第10章 差错控制编码
信道编码差错控制编码课件
若将上述8种码组选择其中的4种作为许 用码组，例如选择
000 = 晴 011 = 云 101 = 阴 110 = 雨 用来传输信息，令其余4种作为禁用码组，即 001，010，100，111。
组码的结构如图5-3所示。
图5-3 分组码的结构
（4）码组重量
分组码的一个码组中“1”的数目，称为 码组重量，简称码重。
（5）码距
两个码组对应位上数字不同的位数称码 组的距离，简称码距，又称为汉明（Hamming） 距离。
例如001，010，100，111这4个码组之间， 任意两个码组的距离均为2。
5.3.2 汉明码
汉明码是1950年由美国贝尔实验室汉明 （也译为海明）提出的，是第一个用于纠正 一位错码的效率较高的线性分组码。
目前，汉明码及其变型在数字通信系统、 数据存储系统中应用广泛。
本节以汉明码为例，介绍汉明码的构造 原理以及线性分组码的一般原理。
由于S取值有两种，因此只能代表有错和
行监督码元 ↓
0101101100
1
0101010010
0
0011000011
0
1100011100
1
0011111111
0
0001001111
1
1110110000
1
列监督码元 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
0
5.2.3 群计数码
把信息码元中“1”的个数用二进制数字 表示，并作为监督码元放在信息码元的后面， 这样构成的码称为群计数码。
前者主要用于发生零星独立错误的信道， 如卫星信道容易出现随机性错误；而后者则 用于对付以突发错误为主的信道，如短波信 道或存储系统。
第十章差错控制编码要点
第十章差错控制编码要点差错控制编码是指在数据传输过程中对数据进行编码和解码，以便检测和纠正传输中可能发生的差错。
差错控制编码在通信领域中起到了至关重要的作用，能够提高数据传输的可靠性和正确性。
本文将介绍差错控制编码的要点。
一、差错控制编码的基本原理1.码长：指编码后的码字的比特数，通常用n表示。
2.编码率：指信息比特数与编码后码字比特数的比值，通常用k/n表示。
3.控制码：指为了实现差错控制目的而对原始数据进行编码得到的冗余信息。
二、差错控制编码的分类1.奇偶校验码：是一种简单的控制编码方法，通过对数据位逐个进行异或操作，实现对单比特差错的检测。
2.海明码：是一种常用的控制编码方法，具有较强的差错检测和纠正能力，通过增加冗余位实现差错控制。
3.基于重复编码的差错控制方法：将原始数据重复发送多次，接收方通过多次接收进行差错检测和纠正。
4.奇偶交替码：通过在编码时交替插入奇校验码和偶校验码，实现对多比特差错的检测。
三、海明码的编码和解码过程1.编码过程：将原始数据划分为若干组，每组加入冗余位，构成海明码。
2.解码过程：接收到的码字进行差错检测，如果出现差错，则通过海明码纠正算法对错误位进行纠正，从而得到正确的数据。
四、差错控制编码的应用1.数据通信中：通过差错控制编码可以提高数据传输的可靠性，确保数据的正确传输。
2.存储介质中：差错控制编码可以帮助存储介质有效地纠正和恢复错误，提高数据存储的可靠性和稳定性。
3.数字广播和电视中：通过差错控制编码可以提高接收端得到的信号质量，减少传输的差错。
4.网络传输中：差错控制编码可以提高网络传输的可靠性，降低数据传输中的错误率。
五、差错控制编码的性能评估1.可靠性：差错控制编码的主要目标是提高传输的可靠性，可以通过差错概率、纠错率和误码率来衡量编码的性能。
2.码长和编码率：码长和编码率是差错控制编码的基本参数，选择合适的码长和编码率可以根据实际需求来平衡传输效率和纠错能力。
差错控制编码
0110101 1 1101100 1 1001010 0 0011011 1 1000101 0 1000101 0
特点：适合突发信道。
差错控制编码
3 .恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比 码。接收端只要检测接收到的码组“1”的数目是否对，就可 以知道有无错误。 例：“5中取3”恒比码，有C53 =10种不同组合，表示10个阿 拉伯数字。如表 10.2 所示。 “7中取3”恒比码，有C73 =35种不同组合，表示26个英文字 母和其他符号。 而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。。
源密码 制 换
换
器器 器器 介 器
调制信道
解 译 解信 调 码 密宿 器 器器
编码信道
差错控制编码
由于数字信号传输过程中受到加性干扰和乘性干扰的影
响，会产生误码。由加性干扰引起的码间干扰，通常可以采 用信道均衡、匹配滤波器、升余弦系统特性、增加发射功率、 合理选择调制/解调方法等措施，减少误码。由于乘性干扰 影响，或采用了上述方法后，仍不能有效地抑制加性干扰的 影响时, 就要采用差错控制技术。
5. 重复码
监督码元是信息码元的简单重复。
接收端将接收到的码组的前一半（信息位）与后一半（监 督位）作模2加（“同或”），结果全为0则无错码。 特点：能够纠正错码。但效率低。（1/2）
差错控制编码
10.1.4 差错控制编码的基本概念
1. 分组码 分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息 码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度， 简称码长。n-k = r 为每个码组中的监督码元数目。 分组码的结构如下：
差错控制编码
10.2 线 性 分 组 码
通信原理差错控制编码课件
汉明码特点:
式
中的等号成立，即:
最小码距： 编码效率：
d0 = 3 （纠1或检2）
r 是不小于3
的任意正整数
当 n很大和 r 很小时，码率 Rc 接近 1。
答：最小码距: d0 =3
故能 纠1 或检2
线性分组码的一般原理 H ---监督矩
阵
将前面(7, 4)汉明码的监督方程：
改写为：
表示成如下矩阵形式：
A(x) = h(x)g(x)
而生成多项式 g(x) 本身也是一个码组，即有
A (x) = g(x)
∵码组 A(x)是一个 (n – k)次多项式，故 xkA(x) 是一个n次多项式。
由式
可知， xk A(x)在模 (xn + 1) 运算下也是一个码组，故可写成
38
上式左端分子和分母都是n次多项式，故商式Q(x) = 1。上式可化成
§11.5
（n, k）线性分组码
基本概念
线性码：按照一组线性方程构成的代数码。
即每个码字的监督码元是信息码元的线性组合。 代数码：建立在代数学基础上的编码。
汉明码的构造原理
只有一位监督元
---监督关系式
若 S=0，认为无错（偶监督时）；若 S=1，认为有错 。---检错
若要构造具有纠错能力的（n，k）码，则需增加督元的数目。
在上表中的(23, 12)码称为戈莱(Golay)码。其最小码距为7，能纠3个 随机错码；其生成多项式系数 (5343)8 = (101 011 100 011)2，对应 g(x) = x11 + x9 + x7 + x6 + x5 + x + 1，且解码容易，实际应用较多。
差错控制编码要点
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10.1 差错控制编码的基本原理
常用的差错控制方式
1. ARQ(Automatic Repeat Request)方式 (自动请求重发或检错重发)
发端发送出可以发现错误的码字。经过传输到接 收端译码后，如果没有发现错误，则输出。如果发现 错误，则自动请求发端重发，直到正确接收到码字为 止。
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10.1 差错控制编码的基本原理
码间距离d 及检错纠错能力 码字：由信息位和监督位组成的一组码元。
用C = ( cn-1 cn-2 … c0 )表示。
（许用码、禁用码） 码元： 组成码字的元素，用Ci表示。 码长：码字中码元的个数，用n表示。
码组：由多个许用码组成的一组码字。
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10.1 差错控制编码的基本原理
香农有扰信道编码定理：
在有扰信道中只要信息的传输速率R小于信道容 量C，总可以找一种编码方法，使信息以任意小的差 错概率通过信道传送到接收端，即误码率Pe可以任意 小，而且传输速率R可以接近信道容量C。但若R > C， 在传输过程中必定带来不可纠正错误，不存在使差错 概率任意小的编码。
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10.1 差错控制编码的基本原理
减小误码率Pe的两种途径：
（1）n 及 R一定时，增加信道容量C。由图可见，E(R) 随C的增加而增大。由信道容量公式知， 增加C， 可通过增加S和B来实现；
（2）在C及 R一定的情况下，增加n可以使Pe指数减小。
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我国电传机传输汉字采用的是“5中取3” 恒比码，其码长 为5，码字中“1”的个数为3。这种码我国称为保护电码。码长 为5的二进制数共有32种组合，选择其中含有3个“1”的组合作 为许用码，为10个。
(高职精品)差错控制编码
8.2 简单的差错控制编码 1．奇偶校验码
奇偶校验码分为奇校验码和偶校验码，其编码规则是先 将所要传输的数据码元（信息码）分组，在分组信息码元 后面附加1位监督位，使得该码组中信息码和监督码合在一 起“1”的个数为偶数（偶监督）或奇数（奇监督）。
表8-2 奇偶校验码 消息 信息位 监督位 消息 信息位 监督位
信息码元 1011000 1001101 0010011 0110110 1001100 监督码元 1 0 1 1 0 0 0
监督码元 1 0 1 0 1 1
信息码元 1011000 1101001 0110011 0110110 1001100 1011000
监督码元 1 0 1 0 1 1
（1）这种码比水平奇偶校验码有更强的检错能力。它能发 现某行或某列上奇数个错误和长度不大于方阵中行数（或 列数）的突发错误。 （2）这种码还有可能检测出一部分偶数个错误。当然，若 偶数个错误恰好分布在矩阵的4个顶点上时，这样的偶数 个错误是检测不出来的。 （3）这种码还可以纠正一些错误，例如，某行某列均不满 足监督关系而判定该行该列交叉位置的码元有错，从而纠 正这一位上的错误。
信息 编码方法 A 1位编码方法 2位编码方法 3位编码方法 0 00 000 B 1 11 111 无检、纠错能力 检错1位，不能纠错 检错2位，纠错1位 检、纠错能力
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理 编码效率
k nr R n n
其中，k为信息码元的数目 n为编码后码组的总数目（n=k+r，r为监督 码元的数目）。 R越大，编码效率越高，它是衡量编码性能的一个 重要参数。
晴
云
00
01
0
1
差错控制编码
2.差错控制编码2.1. 引言什么是差错控制编码（纠错编码、信道编码）？为什么要引入差错控制编码？差错控制编码的3种方式？本章主要讲述：前向纠错编码（FEC）、常用的简单编码、线性分组码（汉明码、循环码）、简单介绍RS码*、BCH码*、FIRE码*、交织码，卷积码极其译码、TCM编码*。
一、什么是差错控制编码及为什么引入差错控制编码？在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免地会发生错误。
为了在已知信噪比情况下达到一定的误比特率指标，首先应该合理设计基带信号，选择调制解调方式，采用时域、频域均衡，使误比特率尽可能降低。
但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码（即差错控制编码），将误比特率进一步降低，以满足系统指标要求。
随着差错控制编码理论的完善和数字电路技术的发展，信道编码已经成功地应用于各种通信系统中，并且在计算机、磁记录与存储中也得到日益广泛的应用。
差错控制编码的基本思路：在发送端将被传输的信息附上一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。
接收端按照既定的规则校验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输发生差错，则信息码元与监督码元的关系就受到破坏，从而接收端可以发现错误乃至纠正错误。
研究各种编码和译码方法是差错控制编码所要解决的问题。
二、差错控制的三种方式1、检错重发（ARQ）检错重发：在接收端根据编码规则进行检查，如果发现规则被破坏，则通过反向信道要求发送端重新发送，直到接收端检查无误为止。
ARQ系统具有各种不同的重发机制：如可以停发等候重发、X.25协议的滑动窗口选择重发等。
ARQ系统需要反馈信道，效率较低，但是能达到很好的性能。
2、前向纠错前向纠错（FEC）：发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。
不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提高，编译码设备复杂。
Chapter10 差错控制编码
不同的纠错编码方法， 不同的纠错编码方法，有不同的检 错或纠错能力。 错或纠错能力。 一般说来，付出的代价越大， 代价越大 一般说来，付出的代价越大，检错 或纠错的能力就越强。 或纠错的能力就越强。通常用多余度来 衡量，多余度越大， 衡量，多余度越大，系统传输信息的效 率就越低， 率就越低，可见提高传输可靠性是以降 低传输效率为代价的。 低传输效率为代价的。
这种方法只能识别错误， 这种方法只能识别错误，但不能纠 正错误。要想纠正错误， 正错误。要想纠正错误，需要增加多余 比如， 度。比如，只准使用两个码组 000（晴） （ 111（阴） （
其他均为禁用码组， 其他均为禁用码组，则它可检测两个错 码或能纠正一个错码。 码或能纠正一个错码。
二、分组码 将信息码首先分成若干组， 将信息码首先分成若干组，分别代表不同 的含义，然后为每个码组附加若干位监督码元， 的含义，然后为每个码组附加若干位监督码元， 这种编码方式称之为“分组码” 这种编码方式称之为“分组码”。 在分组码中， 在分组码中，监督码仅监督本码组中的信 息码元。与分组码相对应，存在非分组码， 息码元。与分组码相对应，存在非分组码，如 卷积码。在非分组码中， 卷积码。在非分组码中，监督码元除了与本组 信息元有关，还与其它组的信息码元有关。 信息元有关，还与其它组的信息码元有关。由 于卷积码充分利用了各码组间的相关性， 于卷积码充分利用了各码组间的相关性，其性 能要优于分组码。这里仅讨论分组码。 能要优于分组码。这里仅讨论分组码。
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4
引言 纠错编码基本原理 常用的纠错编码方法 线性分组码
本章的主要内容： 本章的主要内容： 概述 纠错编码的基本概念、定理和方法） （纠错编码的基本概念、定理和方法） 几种常用检错编码 线性分组码
差错控制编码
一．差错控制编码是什么？差错控制编码是指在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，所收到的数字信号不可避免地会发生错误。
为了在已知信噪比的情况下达到一定的误比特率指标，首先应合理设计基带信号，选择调制、解调方式，采用频域均衡和时域均衡，使误比特率尽可能降低，一但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码，即差错控制编码。
差错控制编码的基本做法是：在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。
接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的关系将受到破坏，从而可以发现错误，乃至纠正错误。
研究各种编码和译码方法正式差错控制编码所要解决的问题。
扩展资料：常用的差错控制编码方法有：奇偶校验、恒比码、矩阵码、循环冗余校验码、卷积码、Turbo码。
1、奇偶校验奇偶校验是一种校验代码传输正确性的方法。
根据被传输的一组二进制代码的数位中“1”的个数是奇数或偶数来进行校验。
采用奇数的称为奇校验，反之，称为偶校验。
采用何种校验是事先规定好的。
通常专门设置一个奇偶校验位，用它使这组代码中“1”的个数为奇数或偶数。
若用奇校验，则当接收端收到这组代码时，校验“1”的个数是否为奇数，从而确定传输代码的正确性。
2、恒比码恒比码一般指定比码。
定比码是指一组码中1和0的码元个数成一定比例的一种编码。
换言之，它是选用比特序列中1和0码元之比例为定值，所以又称为恒比码。
定比码是一种常用的检错码。
3、矩阵码矩阵码属二维条码的一种，是将图文和数据编码后，转换成一个二维排列的多格黑白小方块图形。
矩阵式二维条形码是以矩阵的形式组成，在矩阵相应元素位置上，用点(Dot)的出现表示二进制的“1”，不出现表示二进制的“0”，点的排列组合确定了矩阵码所代表的意义。
其中点可以是方点、圆点或其它形状的点。
矩阵码是建立在电脑图像处理技术、组合编码原理等基础上的图形符号自动辨识的码制，已较不适合用“条形码”称之。
差错控制基本方法和编码要求
几种差错控制方法比较
自动反馈重传法：
使用的编/解码设施比较简单，如果信道的质量差或干扰严重，则可能经常进 入重发状态而影响通信效率。
前向纠错法：
编/解码相对复杂，且编码的效率很低，但是无需专门的反馈信道。 主要应用于没有反馈信道的场合，或用于线路传播时间很长、要求重发在经
收方判决传输中无错误产生，并通过反向信道把判决结果反 馈给发方；
发方根据反馈的结果决定是否执行重传动作，如果接收方未 正确接收，则重传信息(出错重传)
在规定的时间内，发方若未能收到应答信号(称为超时)，则可 以认为传输出现差错，进而执行重传动作(超时重传)备简单，对突发错误和信道干 扰较严重时有效；但实时性差，主要在计算机数据通信系统 中得到应用。
有差错的信道类型
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类： 随机信道：
恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是 随机的，而且错误之间是统计独立的。 突发信道： 具有脉冲干扰的信道，是典型的突发信道。错误是成串成群 出现的，即在短时间内出现大量错误。 混合信道： 短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机差 错和成串的突发差错都占有相当比例。
混合纠错方式HEC
是FEC和ARQ方式的结合。
信息反馈方式IF
是不用编码的差错控制方式。
（1）自动反馈重发ARQ
自动反馈重发记作ARQ (Automatic Repeat Request )，又称 自动请求重传方式。
发方按照一定的编码规则处理待发信息，构成具有检错能力 的编码，发往传输信道；
随机差错
指数据单元中的单比特差错。 它通常由传输信道的热噪声引起。
突发差错
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第 10 章 差错控制编码
10.1 概述
10.2 常用的几种简单分组码
10.3 线性分组码
10.4 循环码
10.5 卷积码
*10 .6 网格编码调制
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第 10 章 差错控制编码
10.1 概 述
10.1.1 信道编码
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和
10.2.1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元，使得码组
中“1”的个数是奇数或偶数。
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12
第 10 章 差错控制编码
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
an1 an2 a1 a0 0
足条件
(10-1)
奇监督码情况相似，只是码组中“1”的数目为奇数，即满
这组线性方程可用矩阵形式表示为 (10-4)
1 1 1 0 1 0 0 0 T 1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3a2 a1a0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
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(10-5)
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第 10 章 差错控制编码
பைடு நூலகம்
g ( x) A1 ( x) x x x 2 1
4 3
因此，循环码中次数最低的多项式(全0码字除外)就是 生成多项式g(x)。可以证明，g(x)是常数项为1的r=n-k 次多 项式，是xn+1 的一个因式。
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第 10 章 差错控制编码
其它码多项式都是g(x)的倍式， 即
系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然后
从接收到的码字中减去错误图样。
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第 10 章 差错控制编码
表 10-3 (7,4)码S与E的对应关系
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第 10 章 差错控制编码
10.4
的一个码字。
循
环
码
循环码组中任一码字循环移位所得的码字仍为该码组中 在代数理论中，常用码多项式表示码字。(n,k)循环码的 码字，其码多项式(以降幂顺序排列)为
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第 10 章 差错控制编码
码的最小距离d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任 一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误，则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小 距离d0≥t+e+1。
1 0 G 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
(10-12)
称为生成矩阵，由G和信息组就可以产生全部码字。G为k×n 阶矩阵，各行也是线性无关的。生成矩阵也可以分为两部分， 即
G [ I k Q]
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第 10 章 差错控制编码
表 10-1 3∶2 恒比码
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第 10 章 差错控制编码
10.3
线性分组码
在(n,k)分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息 元按模二和而得到的，即监督元是按线性关系相加而得到的，
则称线性分组码。或者说，可用线性方程组表述码规律性的分
组码称为线性分组码。
仅与本组的信息元有关，而且还与前面若干组信息元有关。 (3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检
错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能
检错。
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第 10 章 差错控制编码
10.1.4 纠错编码的基本原理
1. 分组码
分组码一般可用(n,k)表示。
其中，k是每组二进制信息码元的数目， n是编码码组的码元总位数，又称码组长度，简称码长。
n-k=r为每个码组中的监督码元数目。
在二进制情况下，共有2k 个不同的信息组，相应地可得 到2k个不同的码字，称为许用码组。
其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。
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第 10 章 差错控制编码
an－1
an－2
…
ar
ar－1
… r个监督位
a0 时间
k个信息位 码长n＝k＋r
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第 10 章 差错控制编码
10.2.3 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。
由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比 码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元 中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。
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A( x) an1xn1 an2 xn2 a1x a0
(10-19)
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第 10 章 差错控制编码
表 10-4 (7,3)循环码
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第 10 章 差错控制编码
10.4.1 生成多项式及生成矩阵 如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称 g(x)为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式A(x) 都是最低次码多项式的倍式。如表7-4的(7,3)循环码中
(10 - 15)
0 ei 1
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当bi=ai
当bi≠ai
(10 - 16)
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第 10 章 差错控制编码
式(7 - 15)也可写作
B A E
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S BH ( A E ) H EH
T T
T
由此可见，伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关
混合纠错 HEC
图 10-1 差错控制方式
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第 10 章 差错控制编码
另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三 类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的 出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。 具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道，错误是成串 成群出现的，即在短时间内出现大量错误。
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第 10 章 差错控制编码
H矩阵可分成两部分
1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 [ P I r ] 1 0 1 1 0 0 1
(10-8)
P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。可以写成H=［P Ir］ 形式的矩阵称为典型监督矩阵。
HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来
作为判断接收码字A是否出错的依据。
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若把监督方程补充为下列方程
(10-9)
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可改写为矩阵形式
即
变换为
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其中
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第 10 章 差错控制编码
10.1.3 纠错码的分类 (1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。
分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不
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第 10 章 差错控制编码
在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量，简
称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码
组的汉明(Hamming)距离，简称码距。
例如 11000 与 10011之间的距离d=3。码组集中任意两个 码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d０表示。最小
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第 10 章 差错控制编码
现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码 字为A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元，可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监 督元。
a2 a6 a5 a4 a3 a1 a6 a5 a4 a3 a0 a6
并简记为
HAT 0T 或 HAT 0
(10-6)
其中，AT是A的转置，0T是0=［0 0 0］的转置，HT是H的转置。
1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
(10-7)
H称为监督矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之间的关系也 就确定了。H为r×n阶矩阵，H矩阵每行之间是彼此线性无关 的。
A0 ( x) 0 g ( x) A2 ( x) ( x 1) g ( x) A3 ( x) x g ( x) A7 ( x) x g ( x)
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循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示
(10-3)
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表 10-2 (7,4)码的码字表
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第 10 章 差错控制编码
10.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G (7,4)码的 3 个监督方程式可以改写为
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0 1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 1 a 0 a 1 a 1 a 0 a 0 a 1 a 0 5 4 3 2 1 0 6