电动力学复习总结第四章

第四章 电磁波的传播

一、 填空题

1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ

2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。答案：S wv =

3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。答案：0x E e α-?

4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。 答案：变化的电场和磁场相互激发

5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：

1>>ωε

σ

, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以

( )波模传播。答案： 10TE 波

7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为

( )，它对时间的平均值为( )。答案：2E ε,

202

1E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。它们的相位( )。 答案：E vB =,相等

9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部

是( )的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为( )。

答案： ω

σεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-??-= ,

10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=

n m c ,,ω( )，当电磁

波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。 答案： 22,,)()(b n a m n m c +=

μεπω，ω＜n m c ,,ω，με

πb ，01TE

11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )

时,反射波是完全偏振波.答案：2

01

n i arctg

n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t

e

σε

ρρ-=

二、 选择题

1、 电磁波波动方程22222222110,0E B

E B c t c t

???-=?-=?? ,只有在下列那种情况下

成立（ ）

A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A

2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）

A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C

3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A

4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）

A ．4π B.π C.0 D. 2π

答案：C

5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）

A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C

6、 平面电磁波E 、B

、k 三个矢量的方向关系是（ ）

A ．

B E ?沿矢量k 方向 B. E B

?沿矢量k 方向 C.B E ?的方向垂直于k D. k E ?的方向沿矢量B

的方向

答案：A

7、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ）

A ．

μεπa B. με

π

b C.

b a 11+μεπ D. a

2

με

π

答案：A

8、 亥姆霍兹方程2

2

0,(0)E k E E ?+=??= 对下列那种情况成立（ ）

A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波 C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波 D. 介质中的一般电磁波 答案：C

9、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ）

A ．

μεπa B. μεπ

b C.

b a 11+μεπ D. a

2

με

π

答案：A

三、 问答题

1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物

理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。

答：（1）真空中的波动方程：22210E E c t →

??-=? ，2

2210B B c t

→

??-=? 。

表明：在0=ρ，0=→

J 的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在；真空中一切电磁波都以光速c 传播；适用于任何频率的电磁波,无色散。

（2）均匀介质中定态波动方程：2222222210

10

E E v t

B B v t

??-?=???-?=? ，其中()

v ω=。 当电磁场在介质内传播时，其ε与μ一般随ω变化，存在色散,

在单色波情况下才有此波动方程。

（3）亥姆霍兹方程：(2

2

0,0E k E k E i

B E

ω

?+==??==-?? 表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表

一种可能存在的波模。

2、 什么是定态电磁波、平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电场表示式。

从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。

答：（1）定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐

波。(,)()i t

E x t E x e ω-=

（2）平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量→

K 传播的电磁波。

0()ik r E x E e ?= （3）平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。

()0(,)i k r t E x t E e ω?-= 3、 在0ω≠的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立

的，怎样证明？不是独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。 答：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为：

00E i B B i E E B ωωμε???=?

??=-????=????=?

(1)

(2)

……（3）……（4） 对（1）和（2）取散度可得（3）(4)两式，所以它不独立。不独立不表示方程多余，定态电磁波只是一种特殊情形,在更普遍的情况下，麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。

4、 设有一电磁波其电场强度可以表示为 ())(t i t x E E 00ex p ,ω-=

。试问它是否是平面时谐波（平面单色波）？为什么？

答：不是。因为E

做傅立叶展开后，可以看成是无数个平面单色波的叠加。如令

)2()2(0000000002

1

2)2cos(),(t x k i t x k i x ik e e E t e E t x E ωωω-++==

则

)(0)3(0000022t x k i t x k i e E e E E ωω-++=

是两个单色波的叠加。

5、 试述平面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性？并且一一加以证明。

答：特性：①是横波，且E B

，，k 有右手螺旋关系 证：()

0(,)i k r t E x t E e ω?-=

0B ,B ,E i i 1B E ik E k E k E k E ik E k E ωωω

??=?=⊥?

?⊥⊥⊥?

=-??=-?=??

即即电波为横波，得证。 ②()p B v c E

与同相位，振幅比为真空中为

()()

()

i k x t o i k x t o p

E x,t E e

11B k E n E e

V ωωω?-?-==?=?

k k n ωω

==

其中：

E B k x-t,ω?

此式证明：，相位均为且振幅比为

p E v B

==

6、 在自由空间中，38(,)10sin(910)/y E z t e t kz V m π=?-

说明：(1)波数以及波的传播方向,(2)

H z t (,)的表现形式

答：已知电场38(,)10sin(910)/y E z t e t kz V m π=?-

(1)由电场表示式知:8

8

9103(/)310

k rad m c ω

ππ?===?.电磁波沿z 方向传播 (2)自由空间中,0,0J ρ==

0,B E ik E i H t

ωμ???=-?=?

1z H e E c μ=?

380

110sin(910)z y H e e t kz c πμ=??- =82.65sin(9103)x t z e ππ-?-

7、 研究反射、折射问题的基础是电磁场在两个不同介质分界面上的边值关系，

但为什么只需用两式，可否用另两式呢？

答：边值关系：000

)()()(0

)(12121212==????

???=-?=-?=-?=-?σασα，在绝缘介质界面上

B B n D D n H H n E E n

对时谐电磁波，麦氏方程组不独立，由前两式可得后两式，相应的边值关系也不独立，当???=-=-?0)(0

)(1212H H n E E n

成立时，法向分量的边界条件自然满足。

8、 试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么关

系？

答：频率关系：'"ωωω=＝，

振幅与相位关系：sin()

sin()E E E θθθθ'''-⊥=-=''+ 入射面:(

)2cos sin sin ``E E θθ

θθ''==+ E tg()

//E tg()

E θθθθ'''-=''+ 入射面时:，

E 2cos sin E sin()cos()

θθθθθθ''''

=

''''+- 传播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，

1

2

k k ,k ,v v ω

ω

'''==

=

sin ',

sin "

θ

θθθ== 9、 全反射时有什么特点？若要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏

振波，则对介质有什么要求？

答：①特点：a.发生全反射时，21sin n θ≥

折射波的波矢量垂直于界面的分量

z

k ''=,折射波随进入深度所得增加而迅速衰减.b. 折射波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度为1-k 的薄层内，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即对平均时间来说，入射波的能量全部被反射。

②要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则全反射波的两个分量

,E E ⊥ 振幅必须相等，相差等于(21),0,1,2,32

m m π

+=

反射波的菲涅尔公式：

sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin E E θθθθθθθθθθθθ⊥⊥'''''''

--=-=-

''''''

++ （1） E tg()sin cos sin s E tg()sin cos sin s co co θθθθθθθθθθθθ'''''''

--=

''''''

++

= （2）

由折射定律

21sin sin "

n θ

θ==，全反射发生时，21sin n θ≥ 21

1

sin sin n θθ''=

，cos θ''=== （3） 将三式代入（1），（2）式，得：

E E ⊥

⊥'=

（4）

E E '=

(5)

可以看出,

E 1E '=

.

设,i i E E e E E e δ

δ⊥⊥

⊥''== ,由（4）,(5)式得

: 2121arctg arctg

δδ⊥== (6)

当入射波的线偏振时, ,E E ⊥ 相位相同.经反射后,E E ⊥'' 相位不相同,

当

1E E ⊥

=

时,且E E ⊥'' 与相差 (21)

,0,1,2,32

m m π

δδ⊥-=+= 时, (7)

反射成为圆偏振波.于是由(6),(7)得:

1sin 2

θ=

(8)

结论: 当线偏振的入射波电矢量的两个分量,E E ⊥ 的振幅相等,并且入射角θ和

相对折射率21n 满足(8)式时,反射波便成为圆偏振波. 10、

当光以布儒斯特角入射时，反射光变为垂直于入射面的完全偏振光。但

人们要想得到完全偏振光,不直接采用反射的完全偏振光，往往通过一组平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光滤掉，得到平行于入射面的完全偏振光，为什么？已知玻璃的布儒斯特角为56。。 答:反射光虽然是完全偏振光，但它的强度太小

37.022sin 90

sin )

3456sin()sin()sin(-=-=--=''+''--='⊥ θθθθE E 而按题中的做法，可得折射光（平行于入射面的完全偏振光） 11、

有哪些理由足以说明光波是频率在一定范围内的电磁波？

答：真空中电磁波的传播速度和光波在真空中的传播速度都是c,且不需要任何介质。光波的反射、折射、干涉、衍射规律与电磁波遵循相同的规律。 12、

试推出导体中定态电磁波波动方程的两种不同形式以及亥姆霍兹方程，

并与介质中的相应方程进行比较，阐明它们之间有何异同之处？

答：良导体中：0,J E ρσ==

，，代入麦氏方程组得：

00

B E t E B E t

E B μεμσ???=-

????=+???=??=

，对前两式取旋度得波动方程：

2222220

E E

E t t

B B

B t t

μεμσμεμσ???--=?????--=?? 与介质中的方程相比多了与时间的一次导数项，表明传导电流使电磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。 定态电磁波：(),()i t

i t E E x e B B x e ωω--== ，代入麦氏方程组得：

'00E i B

B i E E i E

E B ωωμεμσωμε???=?

??=-+=-????=????=?

其中：'i σεεω=+，由第一式解出B

代入第二

式可得：(2

2

'0'E k E k ?+== ，即亥姆霍兹方程。与介质中的最大区别

在于'k =,如果是绝缘介质, 0,σεε'==

,'k =,上述亥姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程. 13、

波矢量k 的物理意义是什么？如何理解导体中的波矢量？衰减常量α的

方向如何确定，相位常量β的方向又如何？

答：波矢量k 是描述电磁波传播方向的一个矢量，其量值λ

π

μεω2==k 称为

波数，导体中波矢量为一复矢量。'k i βα=+

波矢量k 的实部β 描述波的传播的相位关系，虚部α

描述波幅的衰减。

将'i

σ

εεω

=+，'k i βα=+

代入'k = 2221

2

βαωμε

αβωμσ

-=?=

由边界条件可确定α ，β 的方向。再代入上式确定α

，β 的大小.在良导体内，

α

垂直于表面，β

也很接近法线方向。 14、

电磁波在导体中和在介质中传播时存在哪些差别？

答：①导体与绝缘介质本质差异在于导体有自由电子，电磁波进入导体后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波能量转化为焦耳热，故在导体中传播电磁波是一个衰减波。绝缘介质中传播电磁波振幅不衰减②绝缘介质平面电磁波电场与磁场相位相同, 导体平面电磁波电场与磁场相位不相同③绝缘介质平面电磁波电场与磁场能量相等, 导体中磁场能量远大于电场能量. 15、

设电子浓度为e n ，电量为e ，质量为m ，在空气中电子在电磁波的作用

下以速度v 运动，设电磁波的角频率为ω，电子的运动方程近似地为：

d e m

m dt

γ=+v

E v 式中γ为电子与气体分子碰撞频率，且设v 为常数。已知：

0t e ω-=i E E ，0t e ω-=i v v

试讨论电子对空气的0μ和0ε的影响如何。

答：将0t e ω-=i E E ,0t e ω-=i v v 代入电子的运动方程:d e m

m dt

γ=+v

E v ,得: ()e m i γω=-E v ,空气中的电流密度

2

()e e n e E J n ev m i γω=-=-

-

,于()()J E σωω= 比较 ,空气电导率 22222

()

()()e e n e n e m i m i m γωσωγωγω

+=-=--+ 2220002222222222

222()()

[]()()()

e e e e n e im n e n e m i i

m m m n e m i

m γωγσωεεεεωωγωγωωγωγεωγω-'=+=-=+-+++=-+

其中实部2

0222

e n e m εεγω

=++ 可见, 空气中电子的存在使得空气变成导体,电导率出现虚部,说明有欧姆能量损

耗,另外空气的电容率由0ε变为2

022

2

e n e m εεγω

=++,当电子浓度为

0e n =,0εε=,()0σω=,当对空气的磁导率没有影响.

16、 将一般的边值关系用到波导内表面处，因设波导为理想导体，n 为由理

想导体指向管内的法向单位矢量，故除=0n E 外，还有哪几个关系式，它们的作用如何？对于亥姆霍兹方程的解必加的条件0??=E 可如何应用？

答：在导体表面有边界条件： 00

n E n H n D n B α

σ?=?=?=?= 当前面两式满足时，后面两式自然满

足。n H α?=

，说明H 方向平行于表面

0n E ?=

，说明E 只有n 方向分量， 考虑0??=E ，即得：0n E n ?=?

17、

何谓TM 波、TE 波和TEM 波？比较一下TEM 波与平面单色波之间的关系如何？

答：在波导内传播的波，电场E 和电磁场H 不能同时为横波，设波沿Z 方向传

播，波模0=z E 的波称为横电（TE ）波，波模0=z H 的波称为横磁（TM ）波；

TEM 波则为0,0==z z E H 的横波，平面单色波需满足0==z z E H ，,E B

同相且

相互垂直，B E

?沿波矢方向，故平面单色波是TEM 波，而TEM 波未必是平面单色波。 18、

我们要用波导内的电场，沿z 方向加速一个带电粒子，应在波导中建立

什么波型电磁场？

答：应建立TM 波，从而在z 方向上有电场可以加速电子。 19、

有相距为L 的两无穷大理想导体板，设x 轴垂直板面，在导体板间传播

的波场与y 无关。问在何种条件下，能得到TE 型、TM 型、TEM 型波？写出其表示式。

答：导体板间的电磁波满足亥姆霍兹方程，设电场的通解为：

11(,,)(sin cos )z ik z x x E x y z C k x D k x e =+，由边界条件0n E ?= 和0n E n ?=?得：

()1()

2()

3cos(

)sin()sin()z z z i k z t x i k z t y i k z t z n E A x e L

n E A x e L

n E A x e L ωωωπ

ππ

---===

，其中x k ==0E ??= 132,z n A ik A A L

π

=独立。再由i H E ωμ=-?? ，可得,,x y z H H H ，分析知当A 1＝0时得到TEM 波：()2()

2sin(

)sin()z z i k z t y i k z t z z x y n E E A x e L

k k A n H H E x e

L

ωωπ

πωμωμ--====-=-

20、

为什么谐振腔最低频率

是110f =

，而不

是100f =

答

: mnp f =

m,n,p 最多只能有两个为零，如果有2个或都为零，则由

123cos sin sin ,sin cos sin sin sin cos x x y z y y y z z x y z E A k x k y k z E A k y k y k z E A k x k y k z ===

123

,,x y z m n p k k k L L L πππ

=

==

知谐振腔内场强0.0E B ==

。

21、 矩形波导中的电场强度E 和磁感应强度B

沿传播方向的分量不同时为

零，这一结论似乎违背了电磁波是横波的论断，请解释这一现象。 答：实际上波导管的轴线方向并不是波的真正传播方向。在波导管中的电磁波是在被管壁多次反射曲折前进的。由于多次反射波叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波，而使合成波沿轴线方向前进。 22、

低频电磁波用双线传输，较高频用同轴线，更高频时用波导传输。试问

高频电磁波用双线传输或低频电磁波用波导传输，可以吗？为什么？ 答：都不可以。高频电磁波用双线传输有向外辐射损耗和热损耗。而低频电磁波在波导中则不再沿波导传播，而是沿z 轴方向振幅不断衰减的电磁振荡。 23、

大气中的电离层能够反射广播频段的电磁波，不能反射电视频段的电磁

波，这是为什么？

答：因为大气中的电离层是等离子体，广播频段 p ωω<，不能在等离子体中传

播，因而被反射回来，而电视频段

p ωω>，可以在电离层中传播。

四、 计算与证明

1、 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振

平面波，它们都沿z 轴方向传播。

（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。 （2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：

)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ； )cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E

则合成波为)]cos())[cos((),(),(2211021t z k t z k t t ωω-+-=+=x E x E x E E

)2

2cos()22cos()(22

12121210t z k k t z k k ωωωω---+-+=x E

其中 dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2 所以 )cos()cos()(20t d z dk t kz ?-?-=ωωx E E

用复数表示 )](ex p[)cos()(20t kz i t d z dk ωω-?-?=x E E 相速由 t kz ωφ-=确定，k dt dz v p //ω== 群速由 t d z dk ?-?=ωφ'确定，dk d dt dz v g //ω==

2、 一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射

面，求反射系数和折射系数。

解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射

波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：

2020''E E R =??=n S n S ， 2012

2cos ""cos "E n E n T θθ=??=n S n S

又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得

2

2121"cos cos "cos cos ???

? ??+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("

cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：?=30"θ，代入上式，得

3232+-=R ， 3

232+=T

3、 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反

射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为501028.6-?=λcm ，水的折射率为n =1.33。

解：由折射定律得，临界角?==75.48)33.1/1arcsin(c θ，所以当平面光波以60°角入射时，将会发生全反射。

由于 θsin k k x

='' 所以折射波相速度 2/3sin /sin /sin //c n c v k k v x

p ====''''=θθθωω水 透入空气的深度为

52252

21211107.1)4/3(60sin 2/1028.6sin 2/---?≈-?=-= πθπλκn cm

4、 频率为ω的电磁波在各向异性介质中传播时，若H B D E ,,,仍按)(t i e ω-?x k 变化，但D 不再与E 平行（即E D ε=不成立）。

（1）证明0=?=?=?=?E B D B D k B k ，但一般0≠?E k 。 （2）证明μω22/])([k E k E D ?-=k 。

（3）证明能流S 与波矢k 一般不在同一方向上。 证明：1）麦氏方程组为：t ?-?=??/B E （1）

t ??=??/D H （2）

0=??D （3） 0=??B

（4） 由（4）式得： 0)(0)(0=?=?=??=??-?-?B k B k B B x k x k i e i e t i t i ωω

0=?∴B k

（5）

同理由（3）式得：0=?D k （6） 由（2）式得： D H k H H x k ωωi i e t i -=?=??=??-?0)(][

ωμω//B k H k D ?-=?-=∴ （7） 0/)(=??-=?ωμB k B D B （8） 由（1）式得：B E k E E x k ωωi i e t i -=?=??=??-?0)(][

ω/E k B ?=∴ （9） 0/)(=??=?ωE E k E B

（10） 由（5）、（8）可知：B k ⊥；B D ⊥；B E ⊥，所以D E k ,,共面。 又由（6）可知：D k ⊥，所以，当且仅当D E //时，k E ⊥。 所以，各向异性介质中，一般0≠?E k 。 2）将（9）式代入（7）式，便得：μωμω222/])([/)(k E k E E k k D ?-=??-=k 3）由（9）式得 ωμ/E k H ?=

ωμωμ/])([/)(2E E k k E k E H E S ?-=??=?=∴E

由于一般情况下0≠?E k ，所以 S 除了k 方向的分量外，还有 E 方向的分量，即能流 S 与波矢 k 一般不在同一方向上。

5、 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿x 方向偏振，

另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前2π，求合成拨的偏振。反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？ 解：偏振方向在 x 轴上的波可记为

)cos()cos(000x x t A kz t A E ?ωω-=-=

在 y 轴上的波可记为 )cos()2/cos(000y y t A kz t A E ?ωπω-=+-=

2/00π???=-=?x y

合成得轨迹方程为： )](cos )([cos 02022022y x y x t t A E E ?ω?ω-+-=+

2

0020220)](sin )([cos A t t A x x =-+-=?ω?ω

所以，合成的振动是一个圆频率为ω的沿 z 轴方向传播的右旋圆偏振。反

之一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为2/π的线偏振的合成。

6、 平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变

为焦耳热。

证明：设在 z >0 的空间中是金属导体，电磁波由 z <0 的空间中垂直于导体表面

入射。已知导体中电磁波的电场部分表达式是：

)(0t x i z e e ωβα--=E E

于是，单位时间内由 z =0 表面的单位面积进入导体的能量为H E S ?=， 其中 ωμαβωμ/)(/E n E k H ?+=?=i

S 的平均值为 ωμβ2/)*Re(2

021E S =?=H E 在导体内部： )(0t x i z e e ωβασσ--==E E J

金属导体单位体积消耗的焦耳热的平均值为：

2/)*Re(2201z

e

E dQ ασ-=?=E J

作积分：ασσα4/200

2202

1E dz e E Q z ==?∞

- 即得界面上单位面积对应的导体中消耗的平均焦耳热。

又因为 2/ωμσαβ=，所以ωμβασ2/4/2020E E Q ==，原题得证。 7、 已知海水的1=r μ，1=σS ·m -1，试计算频率ν为50，106和109Hz 的三种

电磁波在海水中的透入深度。

解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：

πνμσωμσαδ/1/2/1===

由于 1=r μ，所以0μμ=，σπνμδ0/1=

1）当50=νHz 时, 72110450/171=????=-ππδm 2）当610=νHz 时, 5.0110410/1762≈????=-ππδm

3）当910=νHz 时, 16110410/1793≈????=-ππδmm

8、 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为1θ。求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。若导电介质为金属，结果如何？ 提示：导电介质中的波矢量αβk i +=，α只有z 分量。（为什么？） 解：根据题意,取入射面为 xz 平面，z 轴沿分界面法线方向，如图所示。

设导体中的电磁波表示为：)(0t i e e ω-??-=x βx αE E z

而 αβk i += k 上式中βα,满足： θ

μεωαβ222=- （1） x 2/ωμε=?βα （2） 1θ 2θ 根据边界条件得： k 1 k 2 c k k i k x x x x /)sin (sin 1111θωθαβ===+= （3） 01==+=y y y y k i k αβ （4）

∴0=x α，c x /)sin (1θωβ=，0=y α，0=y β。

将结果代入（1）、（2）得： μεωαβθω222221/)sin (=-+z z c （5）

2/ωμε=z z βα （6）

解得：2122222122212

2222

])sin [(21)sin (21σμωμεωθωθωμεωβ+-+-=c c

z

21222212222

122222])sin [(21)sin (21σμωθωμεωθωμεωα+-+--=c

c z

其相速度为：22//z x v ββωβω+==。衰减深度为：z αα/1/1=。 如果是良导体，2k 的实部与其虚部相比忽略，则：

??

?==-+2

/0

/)sin (22221ωμεαβθωz z z z βαc 212

22144412222)sin (21sin 2σμωθωθωβ++-=∴c c

z

21222144412

222)sin (21sin 2σμωθωθωα++=c c

z

9、 无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭，

求在-∞=z 到z=0这段管内可能存在的波模。

解：在此结构的波导管中，电磁波的传播满足亥姆霍兹方程：

022=+?E E k ，00εμω=k ，0=??E 电场的三个分量通解形式相同，均为：

)cos sin )(cos sin )(cos sin (),,(332211z k D z k C y k D y k C x k D x k C z y x E z z y y x x +++=

边界条件为：

在0=x 及a x =两平面：0==z y E E ，0/=??x E x 在0=y 及b y =两平面：0==z x E E ，0/=??y E y 在0=z 平面： 0==y x E E ，0/=??z E z 由此可得：z k y k x k A E z y x x sin sin cos 1=

z k y k x k A E z y x y sin cos sin 2= z k y k x k A E z y x z cos sin sin 3=

波数满足：a m k x /π=，b n k y /π=，（??????=2,1,0,n m ）

22002222/c k k k z y x ωεμω==++

振幅满足：0//321=++z k A b n A a m A ππ

综合上述各式，即得此种波导管中所有可能电磁波的解。

10、 电磁波)(),(),,,(t z k i z e y x t z y x ?-=ωE E 在波导管中沿z 方向传播，试使用

H E 0ωμi =??及E H 0ωεi -=??证明电磁场所有分量都可用),(y x E x 及

),(y x H z 这两个分量表示。

证明：沿 z 轴传播的电磁波其电场和磁场可写作：

)(),(),,,(t z i z e y x t z y x ω-=k E E ， )(),(),,,(t z i z e y x t z y x ω-=k H H

由麦氏方程组得：H B E 0/ωμi t =?-?=??， E E H 00/ωεεi t -=??=??

写成分量式：x z z z y z H i E ik y E z E y E 0///ωμ=-??=??-?? （1）

y z x z z x H i x E E ik x E z E 0///ωμ=??-=??-?? （2） z x y H i y E x E 0//ωμ=??-??

x y z z y z E i H ik y H z H y H 0///ωε-=-??=??-?? （3） y z x z z x E i x H H ik x H z H 0///ωε-=??-=??-?? （4）

z x y E i y H x H 0//ωε-=??-?? （5）

由（2）（3）消去Hy 得：)/(/)//(2220z z z z x k c i x E k y H E -??-??-=ωωμ 由（1）（4）消去Hx 得：)/(/)//(2220z z z z y k c i y E k x H E -??-??=ωωμ 由（1）（4）消去Ey 得：)/(/)//(2220z z z z x k c i y E x H k H -??+??-=ωωε 由（2）（3）消去Ex 得：)/(/)//(2220z z z z y k c i x E y H k H -??-??-=ωωε 11、 写出矩形波导管内磁场H 满足的方程及边界条件。

解：对于定态波，磁场为：t i e t ω-=)(),(x H x H

由麦氏方程组E D H ωεi t -=??=??/，0=??H 得：

E H H H H ??-=-?=?-???=????ωεi 22)()(

又H B E ωμi t =?-?=??/

H E H μεωωε22=??-=-?∴i

所以022=+?H H k ，μεω22=k ，0=??H 即为矩形波导管内磁场H 满足的方程

由 0=?B n 得：0=?H n ，0=n H

利用H E ωμi =??和电场的边界条件可得：0/=??n H t

边界条件为：0=n H ，0/=??n H t

12、 论证矩形波导管内不存在TM m 0或TM 0n 波。 证明：已求得波导管中的电场 E 满足:

z ik y x x z ye k x k A E sin cos 1=

z ik y x y z ye k x k A E cos sin 2= z ik y x z z ye k x k A E sin sin 3=

由H E ωμi =??可求得波导管中的磁场为:

z ik y x z y x z ye k x k k iA k A i H cos sin ))(/(23--=ωμ (1)

z ik y x x z y z ye k x k k A k iA i H sin cos ))(/(31--=ωμ (2) z ik y x y x z z ye k x k k A k A i H cos cos ))(/(12--=ωμ (3)

本题讨论TM 波，故Hz =0 ，由（3）式得：0)(12=-y x k A k A （4）

1）若0=n ，0≠m 则 0/==b n k y π ，0/≠=a m k x π （5） 代入（4）得：02=A （6）

将（5）（6）代入（1）（2）得：0==y x H H 2）若0=m ，0≠n 则 0=x k ，0/≠=b n k y π （7）

代入（4）得：01=A （8）

将（7）（8）代入（1）（2）得：0==y x H H

因此，波导中不可能存在TM m 0 和TM0n 两种模式的波。

13、 频率为91030?Hz 的微波，在0.4cm cm 7.0?的矩形波导管中能以什么波

模传播？在0.6cm cm 7.0?的矩形波导管中能以什么波模传播？ 解：1）波导为0.4cm cm 7.0?，设cm 7.0=a ，cm 4.0=b

由22)()(22b

n

a m c c c +=

=πων得： 当m=1，n=1时, νν>?=Hz 103.4101c

当m=1，n=0时, νν

当m=0，n=1时, νν>?=Hz 107.3103c 所以此波可以以TE10 波在其中传播。

2）波导为0.6cm cm 7.0?，设cm 7.0=a ，cm 6.0=b

由22)()(22b

n

a m c c c +=

=πων得： 当m=1，n=1时, νν>?=Hz 103.3101c

当m=1，n=0时, νν

当m=0，n=1时, νν

所以此波可以以TE10 和TE01 两种波模在其中传播。

14、 一对无限大的平行理想导体板，相距为b ，电磁波沿平行于板面的z 方

向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。

0)(22=+?E k

00εμω=k 0=??E

令),,(z y x U 是E 的任意一个直角分量，

由于E 在 x 方向上是均匀的，所以)()(),(),,(z Z y Y z y U z y x U ==在 y 取行波解。

所以通解为： z ik y y z e y k D y k C z y x U )cos sin (),,(11+=

由边界条件：0=?E n 和0/=??n E n 定解，得到

)(1)/sin(t z k i x z e b y n A E ωπ-=；

)(2)/cos(t z k i y z e b y n A E ωπ-=； )(3)/sin(t z k i z z e b y n A E ωπ-=

且 2222222//z k b n c k +=πω，（??????=,2,1,0n ）

又由0=??E 得：A 1 独立，与A 2，A 3 无关，32/A ik b n A z =π 令k z =0 得截止频率：b c n c /πω=

15、 证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等。 证明：设谐振腔的三边长度分别为a ，b ，c ，则谐振腔中电场E 的分布为：

z k y k x k A E z y x x sin sin cos 1=

z k y k x k A E z y x y sin cos sin 2= z k y k x k A E z y x z cos sin sin 3=

振幅满足：0321=++z y x k A k A k A ，波数满足：a m k x /π=，b n k y /π=，

c p k z /π=， μεω2222

2==++k k k k z y

x （??????=2,1,0,,p n m ） 电场能量密度：D E ?=21e w 对时间的平均值为：

)*Re()]*Re([41

2121D E D E ?=?=e w

4/)cos sin sin sin cos sin sin sin cos (222232222222221z k y k x k A z k y k x k A z k y k x k A z y x z y x z y x ++=ε

于是谐振腔中电场能量对时间的平均值为：

)(32

232

221000A A A abc dz w dy dx dV w W c e b a V e e ++===????ε

由H E ωμi =??可求得谐振腔中的磁场为：

z k y k x k k A k A i H z y x z y x cos cos sin ))(/(23--=ωμ

z k y k x k k A k A i H z y x x z y cos sin cos ))(/(31--=ωμ z k y k x k k A k A i H z y x y x z sin cos cos ))(/(12--=ωμ

磁场能量密度：B H ?=21m w 对时间的平均值为：

)*Re()]*Re([41

2121B H B H ?=?=m w

+-=z k y k x k k A k A z y x z y 2

22232

cos sin sin )[(41μ

ω +-+z k y k x k k A k A z y x x z 22231cos sin cos )( ]sin cos cos )(22212z k y k x k k A k A z y x y x -+

谐振腔中磁场能量的时间平均值为：

????==c

m b a V

m m dz w dy dx dV w W 0

])()()[(322122312232

y x x z z y k A k A k A k A k A k A abc

-+-+-=μ

ω 因为0321=++z y x k A k A k A ，所以

))((322

222322212

z y x m k k k A A A abc W ++++=

μ

ω )(32)(322322212322212

2A A A abc A A A abck ++=++=εμ

ω 即m e W W =