2.4.2向量数量积习题课

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平面向量数量积习题课PPT课件

(3)分配律：a·(b＋c)＝_a_·_b_＋__a_·c_.
•2
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
结论
几何表示
坐标表示
模数量积
|a|＝ a·a a·b＝|a||b|cos θ
|a|＝__x_21_＋__y_21 a·b＝x1x2＋y1y2
•9
(2) 法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)， b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)， ∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14. ②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)， ∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
＝0.∴cos θ＝ 22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.]
•19
例 5．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c.
(1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
•20
[尝试解答] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
所以 a·b>0 且 a 与 b 不同向．因此 1＋2λ>0，所以 λ>－12.
又 a 与 b 共线且同向时，λ＝2. 所以 a 与 b 的夹角为锐角时，λ的取值范围为－12，2
∪(2，＋∞)．
•24
所以 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0，解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)．
答案：(1) 10 (2) 2
•13
练一练 1．(1)已知非零向量 a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若 a 与 b 的夹 π 角为 3 ，则|a|＝________； (2)已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b| ＝________．

高中数学第2章平面向量 2.4 向量的数量积练习苏教版必修4

2.4 向量的数量积A 级基础巩固1．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A.332 B.322 C.12 D.32解析：向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝3×cos π3＝32.答案：D2．(2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6，两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 答案：A3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5. 答案：A4．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－92 D ．－232解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，所以(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋72－2＝－92.答案：C5．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.32解析：c ＝a ＋kb ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.答案：A6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝________．解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0.所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)．所以|a －b |＝3 5. 答案：3 57．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋mb ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．解析：因为3a ＋mb ＋7c ＝0，所以3a ＋mb ＝－7c ，所以(3a ＋mb )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a·b ＝49. 又a·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8. 答案：5或－88．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6. 所以点C 的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b 且同向，求a·b ；(2)若向量a·b 的夹角为135°，求|a ＋b |. 解：(1)若a ∥b 且同向则a 与b 夹角为0°，此时a·b ＝|a ||b |＝ 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)． (1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ. 解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)．所以|2AB →＋AC →|＝（－1）2＋72＝5 2. (2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)，所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. B 级能力提升11．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB . 又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB . 所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C12.如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →＝________．解析：CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4.答案：413．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，则a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±314．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量ka ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围．解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以a ＋b ＝(3，4)．则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以ka ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)．因为向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12.(3)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)．因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12.解得k >－92或k ≠12.15．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b －b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203，所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.。

高中数学第2章平面向量 2.4 向量的数量积课后导练

高中数学第2章平面向量 2.4 向量的数量积课后导练苏教版必修4基础达标1.设a =（5，y ）,b =(-6,-4)，且a ·b =-2,则y 等于（）A.-5B.-7C.5D.7解析：a ·b =-30-4y=-2,y=-7.答案：B2.下面给出了四个命题，其中正确的命题有______________个（）①a ⊥b ⇔a ·b =0 ②若a ·b =0且a ≠0,则b =0 ③若a ≠0,b ≠0，则|a ·b |=|a |·|b | ④当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |A.1B.2C.3D.4解析：①④正确.答案：B3.在△ABC 中，=a ,=b ,且a ·b ＜0，则△ABC 是______________三角形（）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析：因a ·b =|a ||b |cosθ<0,∴cosθ<0,∴θ>90°,∴△ABC 是钝角三角形.答案：C4.若向量a ⊥b ，则一定有（）A.|a +b |=|a |+|b |B.|a +b |=|a |-|b |C.|a +b |=|a -b |D.|a -b |=|a |+|b |解析：∵a ⊥b ，由平行四边形法则知，以a 、b 为邻边的四边形为矩形，∴|a +b |=|a -b |. 答案：C5.已知|m |=10,|n |=12,且(3m )·(51n )=-36，则m 与n 的夹角是（） A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由(3m )·(51n )=-36,得m ·n =-60. 即10×12cosθ=-60.∴cosθ=-21,θ=120°. 答案：B6.设e 1,e 2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(2e 1-e 2)·(-3e 1+2e 2)等于（） A.-8 B.29 C.29- D.8 解析：（2e 1-e 2）·(-3e 1+2e 2)=-6e 12-2e 22+7e 1·e 2=-6-2+7×1×1×21=-29.∴选C. 答案：C7.已知a =（-1，3），b =（2，-1），且（k a +b ）⊥(a -2b )，则k 的值为______________.解析：∵(k a +b )⊥(a -2b ),∴(k a +b )·（a -2b ）=0.而k a ＋b =(2-k,3k-1),a -2b =(-5,5),∴-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=43. 答案：43 8.A 、B 、C 三点的坐标分别为A （1，0），B （3，1），C （2，0），a =,b =,则a 与b 的夹角是________________.解析：∵a ==(-1,-1),b ==(-1,0).∴a ·b =1,|a |=2,|b |=1,cosθ=22||||=•b a b a .又θ∈［0°,180°］，∴θ=45°.答案：45°9.已知|a |=6,|b |=8,且a ∥b ，求a ·b .解：∵a ∥b ，∴a 与b 同向或反向.若a 与b 同向，则θ=0°.a ·b =|a ||b |cos0°=6×8×1=48;若a 与b 反向，则θ=180°.∴a ·b =|a ||b |cos180°=6×8×(-1)=-48.10.已知|a |=32,b =(2,-3),且a ⊥b ，求a 的坐标.解：设a =(x,y).由|a |=132，得x 2+y 2=52.又由a ⊥b ，得2x-3y=0.∴⎩⎨⎧=-=+.032,5222y x y x解得⎩⎨⎧==4,6y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,6y x故a =(6,4)或a =(-6,-4).综合运用11.已知=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C 的坐标为（）A.（-3，429-） B.(3,429) C.(-3,429) D.(3,429-)解析：设C （x,y ），则=(x+3,y-1),=(x,y-5),=(3,4).∵∥,∴x+3=0,x=-3. 又BC ⊥AB，∴3x+4(y -5)=0,y=429.∴C(-3,429).答案：C12.平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7,k ），若∠MAN=90°，则k 的值为（）A.6B.7C.8D.9解：依题意有=（-1，1），=（5，k-2）. ∵AM ⊥AN , ∴AM ·AN =0.即-5+k-2=0,k=7.∴应选B.答案：B13.已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），则△A BC 的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形解析：∵AB =（1，1），AC =（-3，3）， ∴·=-3+3=0.∴AB ⊥AC ，选A.答案：A14.若a =(1,m),b =(n,2),a ⊥b ，且|a |2+|b |2=6，则m 2=____________,n 2=____________. 解析：∵a ⊥b ,∴a ·b =0.2m+n=0.∵|a |2+|b |2=6,∴m 2+1+n 2+4=6,m 2+n 2=1,m 2=51,n 2=54. 答案：51 5415.已知向量a =（4，3），b =（-1，2）.（1）求a 与b 的夹角θ的余弦值.（2）若向量a -λb 与2a +b 垂直，求λ的值.解：（1）a ·b =4×(-1)+3×2=2,又∵|a |=2243+=5,|b |=52122=+,∴cosθ=2552555||||==•b a b a .(2)a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8).∵(a -λb )⊥(2a +b )∴(a -λb )·（2a +b ）=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=952.拓展探究16.已知平面内两向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且0＜α＜β＜π.（1）证明：(a +b )⊥(a -b );(2)若两个向量k a +b 与a -k b 的模相等（k≠0），求证：a ⊥b .证明：（1）a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β),a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β).∴(a +b )·(a -b )=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).（2）∵(k a +b )2=|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2,|a -k b |2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,又|k a +b |=|a -k b |,∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,(k 2-1)a 2+4k a ·b +(1-k 2)b 2=0.又|a |=|b |=1,∴4k a ·b =0.∵k≠0,∴a ·b =0,∴a ⊥b .。

2.4向量数量积习题课

探究提示：
1.向量a在向量b方向上的投影可表示为 a b
2.向量 BA 与向量BC 的夹角是∠ABC，是锐角. 3.(1)用a，b表示 AE 的依据是向量加法的三角形法则和数乘向量的几何意义.用a，b表示BD 的依据是向量减法的几何意义. (2)利用第(1)问的结论，求 a 2 ， b2 .
b
【互动探究】在题2的条件下求 AB BC.
【解析】如图，作 AE BC，向量AB 与向量BC 的夹角是∠ABC
的补角.
于是 AB BC AB BC cos ABC AB BC cosABC 8.
【拓展提升】求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b=｜a｜｜b｜cos θ. 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b.
【解题探究】
1.求向量的模的依据是什么？基本步骤是什么？
2.解答第2题的步骤是什么？
探究提示：
1.求向量的模的依据是|a|2=a2.基本步骤是先求a2，再由|a|= 求a的模.
2.先求a·b，再求 c·d和(c+2d)2，最后求|c+2d|. 2
a
【解析】1.因为|3a-2b|=3，
所以|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=9，
设向量a与b的夹角为θ，则有
1+1+2〓1〓1〓cos θ= ( 3)2，
1 解得cos θ= ，又θ∈［0,π］， 2 所以θ= . 3 答案： 3

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4

第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时，则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．

高中数学第2章平面向量 2.4 向量的数量积(二)同步训

2.4 向量的数量积(二)一、填空题1．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.2．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |＝________.4．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝______.6．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为________． 7．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则________． ①a ⊥e ②a ⊥(a －e ) ③e ⊥(a －e )④(a ＋e )⊥(a －e )8. 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是________．二、解答题9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |.10．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．11．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围．三、探究与拓展12．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．答案1．±35 2.120° 3.7 4.－32 5.－49 6.π2或(90°) 7．③ 8．－29．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12；又|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12， ∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12， ∴|a －b |＝22. 10．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n 2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝2n －3m 2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 11．(1)证明因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，所以(a －b )⊥c .(2)解因为|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. 所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2.所以实数k 的取值范围为k <0，或k >2.12．解由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3b ·7a －5b ＝0a －4b ·7a －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b ＝15b 27a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ＝12|b |2|a |＝|b |，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，∴a 与b 的夹角为π3.。

向量的数量积习题课课件

自主探究
鼓励同学们自主探究向量数量积的更多应用，培养创新思维和实践能力。
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碰撞与冲击
在碰撞或冲击问题中，利用向量的数量积可以计算出碰撞后的速度或位移。
在运动学问题中，利用向量的数量积可以计算出物体的速度和加速度。
向量数量积在物理问题中的应用
磁场与电流
在电磁学问题中，利用向量的数量积可以计算出电流产生的磁场强度。
光的反射与折射
在光学问题中，利用向量的数量积可以计算出光线的反射角或折射角。
当$vec{a}$与$vec{b}$共线时，$vec{a} cdot vec{b} = 0$
向量数量积的运算性质
$|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| |vec{b}| costheta$，其
中$theta$为$vec{a}$与 $vec{b}$之间的夹角
$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}|^2$当且仅当$vec{a}$
中等难度习题解析
01
总结词
培养分析能力
02
详细描述
通过中等难度的习题解析，培养学生的分析能力和逻辑思维
能力。
03
总结词
加强数学思维
04
详细描述
通过中等难度的习题解析，加强学生的数学思维训练，为后
续学习打下坚实基础。
高难度习题解析
01
02
03
04
总结词：挑战极能力和思维极限，培养创新精神。
向量的数量积习题课 ppt课件
目录
• 向量的数量积基础概念 • 向量的数量积运算 • 向量的数量积在解题中的应用 • 向量的数量积习题解析 • 常见错误分析 • 总结与回顾

课时作业1：2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17C ．－16 D.16答案 A解析由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于() A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D 解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.二、能力提升已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为() A.322 B.3152C. －322 D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.答案 (－4,8)解析由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132.12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 的夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 三、探究与拓展已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

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C
AD BC
BC // BD AD ( x 2, y 1), BC (6, 3), BD ( x 3, y 2)
又 B、D、C三点共线
例4、已知ΔABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2）， C（-3， -1），BC边上的高为AD，求：
• 课本108页 • 4、8、9

2
c 7

d d (3 b a ) 9 b 6 a b a 13. d 13
2
2
2

2

2

c d (2 a b ) (3 b a )

=7 a b 2 a 3 b

2
2
17 =2
分类讨论！
K还有其他情况吗？若有，算出来。
例4、已知ΔABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），
y B A x
C（-3， 1），BC边上的高为AD，求：（）D点的坐标以及 1 AD （）判断 ABC的形状，并说明理由 2
解： D点的坐标为 x, y 设
ADБайду номын сангаасBC边上的高
（）D点的坐标以及 1 AD
y
B A C x
( x 2) ( 6) ( y 1) ( 3) 0 ( y 2) ( 6) ( x 3) ( 3) 0
9 x 2 1 2 2 2 5 5 AD 1 ，）（解得： AD （））（ 5 5 5 5 5 y 7 5
14 k 15
14 当k 时，向量 a b与a 2b垂直。 k 15
例2: 已知两单位向量 a与b的夹角为120º ，若 c 2a b, d 3b a 求 c 与d 夹角，
的余弦值. 解： a与b 是两个单位向量
注 : a b 0不能保证向量 b的夹角为锐角 a与 .
还要考虑向量 b同向的情况 a与 !
练习： 0 (1).a b 1, a与b夹角为120 ，问t取何值时， tb 最小？ a
（）在 ABC中， BC 0，则 ABC的形状是 2 AB
王新敞
AC AB 5 1 2 1 7 （）（） AC ( 5) 2 1 26 AB 2
7 cos A AC AB 52
AC AB
C
0
A为钝角 ABC为钝角三角形
例3、已知 a =1， = 2，且a - b与a垂直， b 例1 求a与b的夹角。
9 7 5 D点的坐标为（，）， AD 5 5 5
例4、已知ΔABC的顶点分别为A（2， By（3，）， 1）， 2 C（-3，），BC边上的高为AD，求： -1
A x B
（）判断 ABC的形状，并说明理由 2
解：) AC 5， 2 AB 1， (2 （），（ 1 ）
a b 1, 且 a 与 b 夹角为120
2 2 2 2
0

1 a b a b cos120 2

c c (2 a b ) 4 a 4 a b b 4 a 4 a b b 7
2 2
（）a ）解： k a b （a 2b k a b （ 2b 0 （））
王新敞
奎屯新疆
即k a 2k 1 a b 2b 0 （）
2
2
k a 2k 1 a b cos 60 2 b 0 （）
o
2
2
1 2 25k 2k 1 5 4 2 4 0 （） 2
17 91 cos 182 （是c与d的夹角） 2 7 13 c d 17
c d
说明：本题考查平面向量的数量积，向量的模及相关知识。
变形： .已知 a 4, b 3, a与b的夹角为120 , 且c a 2b, d 2a kb,问k为何值时 (1) c d (2) c∥d (3)c与d的夹角为锐角?
平面向量数量积习题课
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。要注意
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形当 1) ABC 90, BA BC , BABC 0 即(2, 3) 1, k 3) 0 ( 2 3( k 3) 0 11 k 3
设解： a与b的夹角为
a b与a垂直
2
a b a 0 （）
2
即a b a 0
2
a b a a 1
1 2 ab 2 2 o o [0 ， ] 180 a与b的夹角为
4
cos
ab
4
o 变形：已知 a = 5， = 4， b a与b的夹角为60 ，问当k为何值时，向量ka - b与a + 2b垂直？
奎屯新疆
（ D ）
A 锐角三角形 C 钝角三角形
B 直角三角形 D 不能确定
（） C
（）在 ABC中， BC 0，则 ABC的形状是 3 AB
A 锐角三角形 B 直角三角形 D 不能确定
C 钝角三角形
小结
向量数量积的坐标表示
向量模的计算
平面内两点间的距离公式
向量垂直的充要条件
作业