在职工程硕士GCT_数学__第10章_平面解析几何共52页
在职工程硕士GCT数学__第10章平面解析几何PPT课件
一、平面向量 二、直线 三、圆 四、椭圆 （焦点在长轴上） 五、双曲线（焦点在实轴 六、抛物线
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
第10章 平面解析几何
一、平面向量
1. 定义 具有大小和方向的量。
Hale Waihona Puke 向量常用 a ,● a ∥ a
● 定理
a ∥ b 存在数 ，使 a b
6
3. 向量的坐标
设 aa1i a2j，则 a(a1,a2)
ya
j
oi x
● 有了向量的坐标后，向量的运算可转化为其坐标
之间的运算。
● 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则
① A→B (x2x1,y2y1)
②
d
|
→
AB |
● 经过两点 A( x1, y1), B(x2 , y2 )的直线斜率为：
k y2 y1 x2 x1
( x1 x2 )
17
2. 直线方程的几种形式
① 点斜式
.k P(x0 , y0 )
yy0k(xx0)
（微分学中，导数的几何意义）
② 斜截式
y
k, b
③ 截距式
b
y kxb
o x x y 1
② a b a1b1a2b2 0
★ 6. 中点坐标公式
x x1 x2 2
M (x, y)
A( x1 , y1 )
B(x2 , y2 )
y y1 y2 2
13
例 在平面直角坐标系中，已知两点 A (cos110,sin110)
GCT考试数学必知公式、定理
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ， b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ， c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 。
1 1 1 S Δ = bc sin A = ac sin B = ab sin C 。 2 2 2
AI A = A， AU A = A， AI∅ = ∅， AU∅ = A， AU A = I ， AI A = ∅ ， A I B = B I A， A U B = B U A，
A I ( B I C ) = ( A I B) I C ， A U ( B U C ) = ( A U B) U C ，
A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) ， A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ) ， AU B = AI B， AI B = AU B。
card ( A U B) = card ( A) + card ( B) − card ( A I B) ，card（*）为集合中元素个数。
n > 0 y 过（1,1） ， （0，+ ∞ ）上是减函数。
4.6 指数函数 y = a x ， a > 0, a ≠ 1 ，y 在 x 轴上方，过（0,1）点， a > 1 是增 函数； 0 < a < 1 是减函数。 ， 4.7 对数函数 y = log a x ， a > 0, a ≠ 1 ，是 y = a x 的反函数；定义域（0，+ ∞ ） y 在 y 轴的右方，过点（1,0） ， ， a > 1 是增函数； 0 < a < 1 是减函数。 对数运算：
平面解析几何
甲x乙x图1.1.2x平面解析几何17世纪，法国数学家笛卡尔创始了解析几何.解析几何的产生,通常以笛卡尔《几何学》一文（发表于1637年的《方法论》的附录）为标志.平面解析几何是用代数方法研究平面几何问题的一门学科,它是在坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示曲线(含直线),通过研究方程间接地研究曲线(含直线)的性质.在本部分内容中，我们将学习平面直角坐标系中直线和圆锥曲线方程的知识,一般曲线方程的概念,以及用坐标方法研究几何问题的初步知识.这些知识是进一步学习较复杂的平面解析几何、立体解析几何以及导数和微分等知识的基础.此外，还要学习线性规划的初步知识，它是直线方程的一个直接应用.平面解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程研究平面曲线的性质.第一章 直线1.1 直线的概念以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解.这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.一条直线向上的方向和x 轴的正方向所成最小的正角叫做这条直线的倾斜角.如图1.1的α.当直线和x 轴平行时，我们规定它的倾斜角是零.任意一条直线的倾斜角α的范围是0απ≤<.一条直线在平面内的方向，可以用它的倾斜角来表示.图1.1 .1我们用斜率来表示一条直线对于x 轴的倾斜程度.一条直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示，就是tan k α=.当一条直线的倾斜角是090时，它的斜率不存在.例1.1.1如图所示，直线1l 的倾斜角0130α=，直线21l l ⊥，求12,l l 解：1l 的斜率011tan tan 30k α===因为2l 的倾斜角00029030120α=+=，所以2l 的斜率02tan120k ==.设已知直线上任意两点12,P P 的坐标是()()1122,,,x y x y ，那么直线12PP 是确定的.当直线12PP 的倾斜角不等于090时，则直线的斜率为()211221y y k x x x x -=≠-例1.1.2 求经过()()2,0,5,3--两点的直线的斜率和倾斜角. 解：斜率 03125k -==--+就是 ()()()4,,,.a b c b c a ++tan 1α=-0απ≤<∴ 倾斜角 0135α=习题1.11.倾斜角的大小有什么限制？斜率的大小有什么限制？是不是所有的直线都有倾斜角？是不是所有的直线都有斜率？2.求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：()()()13,5,4,12 -； ()()()210,8,4,4; - ()()113,,6,2;22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()()()41,0,0,1; ()()(50,0,; - ()((6,.3.已知,,a b c 是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角. ()()()1,,,;a c b c ()()()2,,,;a b a c ()()()3,,,;b b c a c a ++ ()()()4,,,.a b c b c a ++4.画出经过点()0,2，且斜率分别为2与2-的直线.5．已知直线PQ的斜率为P 顺时针旋转60所得直线的斜率是 6．已知直线过点(2,3),(2,1)A m B -，根据下列条件，求实数m 的值． （1）直线倾斜角为135；=k(x-x0) y-y0xx（2）直线倾斜角为90；（3）直线倾斜角为锐角；（4）点(3,)C m也在直线上．7．若过点(1,1),(3,2)P a a Q a-+的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．1.2直线方程的几种形式1.2.1 点斜式已知直线l经过点()000,P x y，并且它的斜率是k，求直线l的方程.设(),P x y是直线l上的任意一点（图2.1.1），那么直线l的斜率y ykx x-=-于是()00y y k x x-=-反过来，坐标适合于这个方程的点都在l上.因此l的方程是这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定，叫做直线的点斜式方程.当直线l的倾斜角为00时（图1.2.2），0t a n00=，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是y y-=或y y=.x当直线l 的倾斜角为090时（图1.2.3），直线没有斜率，这时直线l 与y 平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时直线上每一个点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=或0x x =.例1.2.1 一条直线经过点()2,1P -，倾斜角045α=解：这条直线经过点()2,1P -，斜率0tan 451k ==，代入点斜式，得12y x -=+ 即30x y -+= 这就是所求直线的方程. 其图形如图1.2.4所示. 1.2.2 斜截式已知直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是()0,P b ，代入直线方程的点斜式，得到直线l 的方程 ()0y b k x -=- 即y=kx+b我们称b 为直线l 在y 轴上的截距.这个方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程.一次函数y kx b =+中，常数k 是直线的斜率，常数b 就是直线在y 轴上的截距（b 可以大于0也可以小于0）. 1.2.3两点式已知直线l 经过两点()()()11122212,,,P x y P x y x x ≠，求直线l 的方程.因为直线l 经过点()()()11122212,,,P x y P x y x x ≠，所以它的斜率 2121y y k x x -=-代入点斜式，得()211121y y y y x x x x --=--图1.2.5x即这个方程是由直线上两点确定，所以叫做直线的两点式方程. 1.2.4 截距式已知直线l 与x 轴的交点为(),0a ，与y 轴的交点为()0,b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程. 因为直线l 过(),0a 与()0,b 两点，代入两点式，得 000y x ab a--=-- 即称,a b 分别为直线l 在x 轴与y 轴上的截距，上式叫做直线的截距式方程.例 1.2.2 设三角形的三个顶点是()()()3,3,0,2,5,0A B C --,求这三角形三边所在的直线的方程（图1.2.5）.解：直线AB 在y 轴上的截距是2，斜率是325.303AB k --==-- 代入斜截式，得AB 的方程是523y x =-+.即536x y +=.直线BC 在x 轴与y 轴上的截距分别是5-和2，代入截距式，得BC 的方程是 152x y +=- 即25100x y -+=.直线CA 经过()5,0C -，()3,3A -两点，代入两点式，得CA 的方程是 003.553y x -+=+-- 即38150x y ++=.1.2.5一般式在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.当090α≠时.它们都有斜率，因此方程可以写成下面的形式y kx b =+ 当090α=时，它的方程可以写成 1x x =的形式.这个方程可以看作是关于,x y 的二元一次方程，其中y 的系数是0.这样，在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于,x y 的二元一次方程.下面证明，任何关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线. ,x y 的二元一次方程的一般形式是0Ax By C ++= （1） 其中,A B 不同时为0.现在我们分0B ≠和0B =两种情况加以研究. ()0i B ≠时，方程（1）可以化为A C y xB B=--. 这就是直线的斜截式方程.它表示斜率为A B -，在y 轴上的截距为CB-的直线.()0i i B =时，由于,A B 不同时为0，必有0A ≠.方程（1）可以化为 A x C=-. 它表示一条与y 轴平行或重合（与x 轴垂直）的直线. 因此，任何关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线. 我们把方程0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） 叫做直线的一般式方程.例1.2.3 把经过点()6,4-并且斜率等于43-的直线的点斜式方程化为一般式方程，在化为截距式. 解：经过点()6,4-并且斜率等于43-的直线的点斜式方程为 ()446,3y x +=--化成一般式，得43120x y +-=.化为截距式，得134x y+=.习题1.21.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点()2,5，斜率是34； （2）经过点()2,3-，倾斜角是4π； （3）经过点()1,4-，和斜率是25的直线l 平行；（4）经过点()1,4-，和斜率是25的直线l 垂直.2.写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是3-，y 轴上的截距是7-； （2）倾斜角是6π，y 轴上的截距是2. 3.先写出下列直线的两点式方程，再化为斜截式方程：（1）经过()()2,1,1,3--两点； （2）经过()()0,5,5,0两点； （3）经过()4,5--点和原点. 4.写出下列直线的截距式方程，根据截距式方程作出直线.（1）x 轴上的截距是2，y 轴上的截距是3； （2）x 轴上的截距是5-，y 轴上的截距是6； (3) x 轴上的截距是4-，y 轴上的截距是3-; (4) x 轴上的截距和y 轴上的截距都是12-. 5.由下列条件，写出直线的方程，并且化成0Ax By C ++=的形式：（1）斜率是12-，经过点()8,2-； （2）y 轴上的截距是5-，倾斜角是34π； （3）经过()()123,2,5,4P P --两点; (4) x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-. 6.一条直线和y 轴相交于()0,2P 点，它的倾斜角的正弦是45，求这条直线的方程.7.三角形的三个顶点是()()()2,1,0,7,4,1A B C --,求这个三角形三条中线所在直线的方程.y x1.3 两直线的位置关系1.3.1点与直线的位置关系点()000,P x y 与直线:0l Ax By C ++=的位置关系有两种：（1）点()000,P x y 在直线l 上； （2）点()000,P x y 不在直线l 上. 点()000,P x y 在直线l 上的充要条件是000Ax By C ++=点()000,P x y 不在直线l 上的充要条件是000Ax By C ++≠. 点()000,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d =.例1.3.1 已知点()()()1,3,3,1,1,0A B C -,求ABC ∆的面积. 解：如图1.3.1，设AB 边上的高为h ，则 12ABC S AB h ∆=.AB ==AB 边上的高为h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线的方程为311331y x --=--， 即40x y +-= 点C 到40x y +-=的距离h ==因此，152ABC S ∆=⨯=.例1.3.2 用解析法证明等腰三角形底边上一点到两腰距离的和等于腰上的高.证明：取底边所在的直线为x 轴，底的中垂线为y 轴，于是等腰三角形的三个顶点分别具有坐标()()(),0,,0,0,A a B a C c -，两腰的方程分别为1,1,x y x ya c a c+=+=- 底边上一点(),0P x 到腰AC 的距离为1d =点(),0P x 到腰BC 的距离为2d =因(),0P x 在底上，故有x a <，所以1d =2d =所以12211212tan A B A B A A B B θ-=+12d d +=再腰上的高即点(),0B a 到边1x ya c+=-的距离为12d d d ===+.1.3.2 两条直线的位置关系设已知两条直线12,l l 的方程分别为： 111:l y k x b =+或1110A x B y C ++=; 222:l y k x b =+或2220A x B y C ++=. 那么：（1）12,l l 两直线相交的充要条件是：12k k ≠或1122A B A B ≠. (2) 12,l l 两直线平行且不重合的充要条件是：1212k k b b =⎧⎨≠⎩或111222A B CA B C =≠.图1.3.2x(3) 12,l l 两直线重合的充要条件是：1212k k b b =⎧⎨=⎩或111222A B CA B C ==. （4）12l l ⊥的充要条件是：121k k =-或12120A A B B +=. (5) 若两直线12,l l 相交，设θ为1l 到2l 的夹角，则 2121tan 1k k k k θ-=+或12211212tan A B A B A A B B θ-=+.例1.3.3 已知两条直线12:250,:4230l x y l x y -+=+-=，求证：12l l ⊥. 证明：1l 的斜率112k =，2l 的斜率22k =-，所以 12.1k k =-所以12l l ⊥.例1.3.4 求过点()2,1A 且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程.解：直线2100x y +-=的斜率是2-.因为直线l 与已知直线垂直，所以它的斜率1122k =-=- 根据点斜式，则直线l 的方程是()1122y x -=- 即20x y -=.例1.3.4 等腰三角形一腰所在直线1l 的方程是220x y --=，底边所在直线2l 的方程是10x y +-=，点()2,0-在另一腰上（见图1.3.2），求这条腰所在直线3l 的方程.解 设123,,l l l 的斜率分别为1231,,,k k k l 到2l 的角是1θ，2l 到3l 的角是θ，121,12k k ==-，所以()21121112tan 31111.2k k k k θ---===-++-因为123,,l l l 所围成的三角形是等腰三角形，所以12θθ=，即21tan tan 3θθ==-即323231k k k k -=-+将21k =-代入得32k =.因为3l 经过点()2,0-，斜率为2，则由点斜式方程得 ()22y x =--⎡⎤⎣⎦ 则直线3l 的方程为240x y -+=.例1.3.5 求经过3470,5380x y x y +-=+-=的交点和原点的直线方程. 解：经过1l 和2l 的交点的直线系方程是 ()3475380x y x y λ+-++-=. 因为所求直线经过原点()0,0，故把0,0x y ==代入上述的方程而求得78λ=-，故所求直线方程为 ()734753808x y x y +--+-= 即0x y -=例1.3.6 已知三角形各边所在的直线的方程是34190,43170,70x y x y x --=+-=+=，求它的各边的长，各内角的大小，面积以及外心和内心的坐标.解：解方程组()()()34190,43170;34190,70;43170,70.x y i x y x y ii x x y iii x --=⎧⎨+-=⎩--=⎧⎨+=⎩+-=⎧⎨+=⎩分别得到三个顶点()()()5,1,7,10,7,15A B C ----,于是各边的长是： 15,20,25AB AC BC === 由于222AB ACBC +=，故已知三角形是直角三角形，其中090BAC ∠=,而且153sin ,255204sin 255AB C BC AC B BC ∠===∠===查表得 0/0/3652,5308C B ∠=∠=.三角形面积120151502ABC S ∆=⨯⨯=.又外接圆圆心就是BC 的中点，因而它的坐标是57,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.为了求内心，必须先求出角平分线的方程，由于原点O 在ABC ∆内部，所以内心与原点在任何边的同侧，因而,B C ∠∠的平分线的方程是34197514317751x y x x y x --+=-+-+=- 即它们分别是 240,360x y x y -+=++= ()2,0-2,0x y ∴=-= 故知内心的坐标是()2,0-.习题1.31 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________2 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________； 3.若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________4点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________5 直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________6 已知直线Ax By C ++=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=0007 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程8 经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程9过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为510.若方程()()2322250m m x m y m -++--+=表示直线,(1)求实数m 的值;(2)若该直线的斜率1k <,求实数m 的范围.11．已知直线l 14:=-+mym x （1）若直线的斜率是2，求m 的值；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程.第二章 曲线方程与圆2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程之间的关系在平面直角坐标系中，曲线C 上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解之间建立了一一对应的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.如果满足上述两个条件，那么曲线C 叫做方程(),0f x y =的曲线，方程(),0f x y =叫做曲线C 的方程.在曲线和方程之间建立了这样的关系以后，研究曲线的几何问题就可以转化为研究方程的代数问题了.例2.1.1 下列各点是不是在方程2225x y +=所表示的曲线上？()()113,4;P - ()()222P-.解：（1）因为()223425+-=，所以1P 在方程2225x y +=所表示的曲线上；x图2.1.2x（2）因为(22225-+≠，所以2P 不在方程2225x y +=所表示的曲线上.关于曲线和方程有两个基本问题： （1）已知曲线，求它的方程； （2）已知方程，画出它的曲线. 2.1.2求曲线方程已知曲线求曲线方程，实际就是将曲线上的点满足的条件，用点的坐标,x y 表示出来. 已知曲线求方程的一般步骤为：（1）建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任意点P 的坐标；（2）写出适合曲线条件的点P 的坐标的集合； （3）用坐标表示点P 的集合，列出方程； （4）化简方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（如果方程化简过程为同解变形时，此步可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点）.例2.1.2 设,A B 两点的坐标是()1,1--和()3,7，求线段AB 的垂直平分线的方程. 解：设(),P x y 是这条垂直平分线上任意一点（如图2.1.1），那么有 PA PB =. 由两点间的距离公式，得=（1）化简后得270.x y +-=此方程即为线段AB 的垂直平分线的方程.2.1.3 由方程画曲线由方程画出曲线的基本方法是描点法.为了用较少的点画出比较准确的图形，要对方程进行讨论：（1）曲线与坐标轴的交点：在方程(),0f x y =中，令0y =，可求出曲线与x 轴的交点；在方程(),0f x y =中，令0x =，可求出曲线与y 轴的交点.（2）曲线的对称性：如果用y -代替方程(),0f x y =中的y ，方程(),0f x y =不变，则曲线关于x 轴对称；如果如果用()2226150,2,1x y x y +---=--x -代替方程(),0f x y =中的x ，方程(),0f x y =不变，则曲线关于y 轴对称；如果如果用x -，y -代替方程(),0f x y =中的x ，y 方程,0f x y =不变，则曲线关于原点轴对称.（3）曲线的范围：由方程(),0f x y =确定x ，y围.若能把方程(),0f x y =化为()y g x =，可讨论x 的取值范围；把方程(),0f x y =化为()x y φ=，可讨论y 的取值范围.例2.1.3 描绘方程224936x y +=的曲线.解：（1）曲线与坐标轴的交点：令0,y =得3x =±；令0x =，得2y =±. 所以曲线与坐标轴的交点为()()3,0,0,2±±.（2）曲线的对称性：以y -代替y ，或者以x -代替x ，或者以x -，y -代替x ，y .方程都不变，所以曲线关于x 轴、y 轴、原点对称. （3）曲线的范围：因为y =±3x ≤.又x =± 所以2y ≤.因此这曲线位于直线3,3,2,2x x y y ==-==-所围成的矩形内.（4）求x ，y 的对应值：根据关于曲线的对称性的讨论和范围的讨论，我们知道只要描出曲线在第一象限从0x =到3x =的一部分，就可以画出曲线的全部.（5）描点绘图（如图2.1.2），这方程的曲线是椭圆. 2.1.4 两曲线的交点 如果两条曲线有交点，那么交点的坐标就是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解.反过来，方程组的每一组实数解对应于这两条曲线的一个交点.因此，求曲线的交点的问题，就是求由它们的方程所组成飞方程组的实数解的问题.例2.1.4 求下面两个方程的曲线的公共点： 224850,x y x y +-+-= (1) 2226150x y x y +---=. (2) 解：解方程组2222485026150x y x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎨+---=⎪⎩ 得 12125,2,0; 1.x x y y ==-⎧⎧ ⎨⎨==-⎩⎩ 所以两条曲线的公共点的坐标是()5,0 和()2,1--. 习题2.11. 下列哪一对方程表示相同的曲线A. 1112+-=-=x x y x y 与 B. x y x y lg 2lg 2==与C. 33x y x y ==与D. 2x y x y ==与2. 点()y x P ,的坐标满足关系式0lg lg =+y x ,则点P 的轨迹是 A. 一个点 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 直线3.方程x xy x =+2的曲线是A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线4.已知M （－2,0）,N （2,0）,则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 A.222=+y x B.422=+y x C.()2222±≠=+x y x D.()2422±≠=+x y x5.动点P 到定点()4,0F 的距离比它到定直线05=+y 的距离小1,求动点P 的轨迹方程.6.已知两曲线1+=kx y 与082=--y x 的两个交点关于y 轴对称,求这两个交点的坐标.7.过点A （1,0）作直线交已知直线05=++y x 于点B,在线段AB 上取一点P,使得AP ：PB=1：3,求P 的轨迹方程8.设三角形的两个顶点分别是()()1,1,3,6B C ,已知这个三角形的面积等于3，求第三个顶点A 的轨迹方程.9.一条线段AB 的长等于2a ，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程.10.已知方程13y kx =+和2225x y +=，当k 是什么数时，它们的曲线有两个公共点，只有一个公共点或没有公共点？2.2 圆 2.2.1圆的标准方程已知一个圆的圆心是(),C a b ，半径是r ，求它的方程.如图2.2.1所示，设(),M x y 是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心C 的距离等于r ，所以所求圆就是集合{}P M MC r ==由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为r = （1）把（1）式两边平方，得()()222x a y b r -+-= （2）方程（2）就是圆心为(),C a b ，半径为r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程. 如果圆心在坐标原点，这时0,0a b ==，那么圆的方程就是 222x y r +=. 2.2.2 圆的一般方程把圆的标准方程()()222x a y b r -+-=展开，得22222220x y ax by a b r +--++-=. 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式220x y Dx Ey F ++++= (3) 反过来，我们来研究形如（3）的方程的曲线是不是圆.将（3）的左边配方，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)(1) 当2240D E F +->时，方程（4）表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭圆；（2）当2240D E F +-<时，方程（4）没有实数解，因而它不表示任何图形； （3）当2240D E F +-=时，方程（4）表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因此，当2240D E F +->，方程（4）表示一个圆.方程（3）叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于0； （2）没有xy 这样的二次项. 以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件.例 2.2.1 已知一曲线是与两个定点()()0,0,2,1O A的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.解：设(),P x y 是曲线上的任意一点，由题意可得点P 的集合2OP M PAP⎧⎪==⎨⎪⎪⎩⎭所以2=两边平方并整理得()()222110x y +++= 这就是所求曲线方程，它是以()2,1C --.例2.2.2 一个圆经过()2,1P -,和直线1x y -=相切，且圆心在直线2y x =-上，求它的方程.解：设所求的圆的方程是()()222x a y b r -+-=.因为点()2,1P -在圆上，所以()()22221a b r -+--=，即222425a b a b r +-++= （1） 因为圆和直线1x y -=相切，所以圆心(),a b 到直线1x y -=的距离等于r ，即r = （2） 因为圆心(),a b 在直线2y x =-上，所以2b a =- （3） 由（1）、（2）、（3），得1,2,a b r ==-=或者9,18,a b r ==-= . 所以所求的圆的方程是()()22122;x y -++= 或者 ()()22918338.x y -++=例2.2.3 （1）一条直线和圆2229x y +=相切于一点()5,2P -,求这条切线的方程；（2）一条直线和圆222x y r +=相切于一点()11,P x y ，求证这条切线的方程是211x x y y r += 解：（1）因为所求切线经过()5,2P -且垂直于OP ,而202505OP k --==-- 故所求切线的方程是()5252y x +=- 即52290x y --=.（2）证明：由于()11,P x y 是切点，故11OP y k x =. 故所求切线是()1111x y y x x y -=--，即 2221111xx yy x y r +=+=.例2.2.4 设221111:0C x y D x E y F ++++=, (1) 222222:0C x y D x E y F ++++= (2)两圆相交于()()111222,,,P x y P x y 两点.证明：当1λ≠-时，方程 ()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= （3）表示经过12,C C 两圆交点的圆. 证明：方程（3）可以写成()()()()22121212110x y D D x E E y F F λλλλλ+++++++++=.这个方程是一个,x y 的二次方程，其中2x 和2y 的系数相同并且不等于零()1λ≠-，不含xy 项，图2.2.1x y x所以表示一个圆.又因为()()111222,,,P x y P x y 的坐标适合于方程（1）和（2），也就适合于（3），所以方程（3）表示经过12,C C 两圆交点的圆.2.2.3 圆的参数方程设圆O 的圆心在原点、半径为r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是0P (见图2.2.1). 设点P 是圆上任意一点，0POP θ∠=.如果P 点的坐标是(),x y ， 根据三角函数的定义，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数， 即cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （1） 并且对于θ的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点P (),x y 都在圆O 上.把方程组（1）叫做以圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程，θ是参数.圆心为(),O a b ，半径r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） 例2.2.5 如图2.2.2所示，已知点P 是圆2236x y +=上一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为()18,0.当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 解：设点M 的坐标是(),x y ，因为2236x y += 6c o s 6s i n x y θθ=⎧⎨=⎩所以可设点P 的坐标为()6cos ,6sin θθ.由线段中点坐标公式得 点M 的轨迹的参数方程 93cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩所以，线段PA 的中点M 的轨迹是以点()9,0为圆心、3为半径的圆. 习题2.21. 已知实数x ，y 满足关系：2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值2. 已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ___3. 圆1C ：422=+y x 和2C ：0248622=-+-+y x y x 的位置关系是_______ ___4. 求过点P （6，－4）且被圆2220x y +=截得长为的弦所在的直线方程．5. 如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，求yx的最大值. 6. 求与圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程.7. 已知直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，求b 的取值范围.8. 已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l ，()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．9. 已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．10. 已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．11.求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，22x y +2280x y ++-= 交点的圆的方程．12.已知圆ab 和直线()10,0x ya b a b+=>>相切，求ab 的最小值.图3.1.1x图3.1.2x第三章 圆锥曲线3.1 椭圆3.1.1椭圆及其标准方程在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，焦距的一半叫半焦距.根据椭圆的定义，我们来求椭圆的方程.如图3.1.1所示，建立直角坐标系，使x 轴经过点12,F F ,并且点O 与12F F 的中点重合.设(),M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c ()0c >，那么 焦点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -.又设点M 与12,F F 的距离之和 等于常数2a ，由定义可知，椭圆就是集合{}122MMF MF a +=即方程整理后，得()()22222222ac x a y a a c -+=-由椭圆的定义知，22a c >，即a c >，所以2a 222a c b -=()0b >，代入上式得222222b x a y a b += 也就是()222210x y a b a b+=>>这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上.如果使焦点12,F F 在y 轴上，点12,F F 的坐标分别为()()120,,0,F c F c - （见图3.1.2），,a b 的意义同上，那么所得方程变为()222210y x a b a b+=>>x图3.1.4y x这个方程也是椭圆的标准方程.例3.1.1 求两个焦点的坐标分别是()()4,0,4,0-，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10的椭圆的标准方程.解 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的方程为()222210x y a b a b+=>>因为210,28,a c ==所以5,4a c ==.所以22222549b a c =-=-=所以所求椭圆的标准方程为221259x y +=. 例3.1.2 已知,B C 是两个定点，8BC =，且ABC ∆的周长等于18，求顶点A 的轨迹方程.解 如图 3.1.3所示，建立坐标系，使x 轴经过点,B C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知18,8AB AC BC BC ++==,所以10AB AC += 即点A 的轨迹是椭圆，且28,210c a ==，所以222224,5,549c a b a c ===-=-= 但当点A 在直线BC 上，即0y =时，,,A B C 三点不能构成三角形， 所以点A 的轨迹方程是()2210259x y y +=≠ 3.1.2椭圆的性质我们利用椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>>来研究椭圆的几何性质.1.范围椭圆上讨论方程中,x y 的取值范围，的点的坐标(),x y 都适合不等式：22221,1x y a b≤ ≤ 所以22,x a y b ≤≤即,x a ≤ y b ≤这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形里（见图3.1.4）.2.对称性在椭圆的标准方程里，以x -代替x ，或以y -代替y ，或以,x y --代替,x y ，方程都不变，所以椭圆关于y 轴、x 轴和原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.顶点在椭圆的标准方程里，令0x =，得y b =±.这说明()()120,,0,B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点.同理，令0y =，得x a =±，即()()12,0,,0A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点.因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.线段1212,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 4.离心率椭圆的半焦距与长半轴长的比c e a=，叫做椭圆的离心率.222x y a +=因为0a c >>，所以01e <<.e 越接近1，则c 越接近a ，从而b =反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=.例3.1.3 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标. 解 把已知方程化为标准方程，得2212516x y +=.所以()()3,0,3,0-5,4,3a b c ===.因此椭圆的长轴和短轴的长分别是210a =和28b =，离心率0.6ce a==，两个焦点坐标分别为()()3,0,3,0-.图3.1.6x例3.1.4一动圆过定点A （2，0），且与定圆032422=-++y x x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解：将圆的方程化为标准形式2226)2(=++y x ，这时，已知圆的圆心坐标为B （－2，0），半径为6，如图，设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），由于动圆与已知圆内切，设切点为C ，所以已知圆（大圆）半径与动圆（小圆）半径之差等于两圆心的距离，即||||||BM MC BC =-，而6||=BC ，所以，6||||=+BM MC ，又||||AM CM =，所以6||||=+BM AM ， 图3.1.5 根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点（－2，0）和点A （2，0）为焦点，线段AB 的中点（0，0）为中心的椭圆，所以a ＝3，c ＝1，522=-=c a b ，所以所求圆心的轨迹方程为.15922=+y x 例3.1.5点P 是椭圆192522=+y x 上一点，以点P 以及焦点21,F F 为顶点的三角形面积为8，求P 的坐标.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由椭圆192522=+y x ，可知： c ＝4，所以82||21==c F F ，所以2121=∆F PF S 8||||21=⋅y F F ，所以2||=y ，即2±=y ，又点P 在椭圆上192522=+y x ，解得：355±=x ，所以点P 的坐标为).2,355(±± 例 3.1.6 点(),M x y 与点(),0F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数ca()0a c >>，求点M 的轨迹. 解：设d 是点M 到l 的距离，由题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭由此得ca=将上式两边平方，并化简，得()()22222222ac x a y a a c -+=-设222a cb -=，就可以化为()222210x y a b a b+=>> 这就是椭圆的标准方程. 点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为2,2a b 的椭圆.例3.1.7 直线:10l x y -+=与椭圆223412x y +=相交于,A B 两点，求弦AB 的长. 解：设已知直线与椭圆的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ,于是有AB =因为,A B 在直线:10l x y -+=上，所以112211y x y x =+⎧⎨=+⎩于是1212y y x x -=-所以AB ==由方程组22341210x y x y ⎧+=⎨-+=⎩消去y ，整理得：27880x x +-=所以1212878.7x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩于是247AB =.习题3.11．椭圆1204522=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于B A ,若2ABF ∆的面积是图3.2.1x20，直线AB 的方程是 .2．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b ，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为3. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围.4. 已知21,F F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，过2F 作椭圆的弦AB ，若B AF 1∆的周长为16，椭圆离心率23=e ，求椭圆的方程. 5. 已知两椭圆822=+y ax 与10025922=+y x 的焦距相等，求的值.6. 已知21,F F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率.7. 已知动圆P 过定点),0,3(-A 并且在定圆64)3(:22=+-y x B 内部与定圆相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.8. 已知椭圆14:22=+y x C 及直线m x y l +=:.（1）当实数m 取何值时，直线l 与椭圆C 有公共点？ （2）当直线l 被椭圆C 截得的弦最长时，求直线l 的方程.3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这个定点叫做叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程.如图3.2.1所示，建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点12,F F ， 并且点O 与线段12F F 的中点重合.设(),M x y 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c ()0c >， 那么焦点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -.又设点M 与1F 、2F。
平面解析几何初步
平面解析几何初步解析几何是几何学和代数学的交叉领域，它研究平面内的点、线、圆等形状及其相互关系，利用代数方法进行分析和计算。
在平面解析几何中，我们将重点讨论直线、圆和二次曲线及其性质。
本文将介绍平面解析几何的基本概念和常见问题，以及一些解题技巧。
一、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。
一条直线可以由其上的两个点确定，我们可以通过计算斜率和截距来表示直线的方程。
直线的方程有多种形式，常见的有点斜式和截距式。
1. 点斜式方程点斜式方程形如 y-y₁ = k(x-x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
通过给定一点和斜率，我们可以轻松写出直线的方程。
例如，已知直线上的点 A(2,3) 和斜率 k=2，我们可以得到直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)。
点斜式方程的优点在于直接给出了直线的一般形式，但不适用于垂直于 x 轴的直线。
对于垂直于 x 轴的直线，我们可以使用斜截式。
2. 截距式方程斜截式方程形如 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
斜截式方程适用于所有类型的直线，包括垂直于 x 轴的直线。
例如，有一条直线经过点 B(3,4) 且斜率为 1/2，我们可以得到直线的斜截式方程为 y=(1/2)x+2。
二、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要概念，它由平面上与固定点的距离等于常数的点构成。
在平面解析几何中，圆的方程一般形式为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆的圆心坐标，r 是圆的半径。
根据圆的方程，我们可以计算圆心和半径，以及圆上的点。
例如，对于方程 (x-2)² + (y+3)² = 9，我们可以得到圆的圆心坐标为 (2,-3)，半径为 3。
利用这些信息，我们可以描绘出圆的几何形状。
三、二次曲线的方程除了直线和圆，二次曲线也是平面解析几何中的重要对象。
10-平面解析几何
l r 则 A A′ ⊥ a , 且 A A′ 的中点在 l在，故得
l1
− 4( x − 2) + 3 y = 0
x+2 y 3⋅ + 4 −1 = 0 2 2 4 8 4 8 解得 x = , y = − ，故 A′ 是 ( , − ) 5 5 5 5
A′
.
.A
18
§3 圆
圆的圆圆
标准圆圆： 标准圆圆：( x − x0 ) + ( y − y0 ) = r ；
x = b cos ϕ
2 2
M
F1
.
F2
.
.
l2
F.
2
l1
l2
y = a sin ϕ
F1
.
21
l1
§5 双曲线
F1， F2是两个定点 F1 F2 > 2a > 0, 称集合 { M MF1 − MF2 = 2a}为双曲线。 为双曲线。 2、标准圆圆：设两定点 为 F1 ( − c ,0)， F2 (c ,0), 则 标准圆圆： L1 x2 y2 − 2 =1 2 a b 其中 b 2 = c 2 − a 2 , a > 0, b > 0。 . . F F x = a secϕ 3、参数圆圆： 参数圆圆： l1 l2 y = b tan ϕ L2 2 2 a a 4、准线圆圆： l1： x = − ； l 2： x = 准线圆圆： c c b b 5、渐近线： L1： y = x ， L2： y = − x 渐近线： a a 1、定义
π
若两直线存在斜率 k1 , k 2，则 k1 ⋅ k 2 = − 1；
若 k1 = 0，则 k 2 = ∞ ，反之亦然。 反之亦然。
平面解析几何
平面解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它通过使用代数和几何的方法来研究图形在平面上的性质和关系。
本文将介绍平面解析几何的基本概念和原理，并探讨一些相关的应用。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是平面解析几何的基础，它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为$x$轴和$y$轴，它们的交点称为原点$O$。
平面上的任意一点$P$可以通过它相对于原点的横纵坐标来确定，记作$(x,y)$，其中$x$称为横坐标，$y$称为纵坐标。
二、向量向量是平面解析几何中的另一个重要概念，它表示平面上的一条有方向的线段。
向量$\overrightarrow{AB}$由起点$A$和终点$B$唯一确定，记作$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{AB}$。
向量的长度称为模，记作$|\overrightarrow{AB}|$。
向量的方向可以用一个有向角来表示，有向角的起边是$x$轴正半轴，终边是向量$\overrightarrow{AB}$。
如果一个向量的终点与另一个向量的起点重合，这两个向量可以相加，称为向量的加法。
三、直线方程在平面解析几何中，直线方程的表达形式有多种，常见的有一般式、点斜式和截距式。
一般式方程$Ax+By+C=0$表示一条直线的所有点$(x,y)$满足这个方程。
点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$表示一条直线通过点$(x_1,y_1)$且斜率为$m$。
截距式方程$y=mx+b$表示一条直线在$y$轴和$x$轴上的截距分别为$b$和$m$。
四、圆的方程圆是平面解析几何中的一个重要几何图形，它由到圆心距离相等的所有点构成。
圆的方程有多种形式，常见的有标准方程和一般方程。
标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$表示圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$的圆。
一般方程$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$表示一个圆。
五、距离公式平面解析几何中经常涉及到线段或两点之间的距离，距离公式可以用来计算它们之间的距离。
(整理)平面解析几何
领程教育一对一个性化辅导教案
1．空间直角坐标系
从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同的单
位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyz O -.点O 叫做坐标原点， x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面．
2．空间右手直角坐标系的画法
通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135o ，而z 轴垂直于y 轴．y 轴和z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的单位长度的一半 ．
3. 空间点的坐标表示
对于空间任意一点A ，作点A 在三条坐标轴上的射影，即经过点A 作三个平面分别垂直于x 轴与y 轴与z 轴，它们与x 轴与y 轴和z 轴分别交与R Q P ,,．点R Q P ,,在相应数轴上的坐标依次为x ，y ，z ，我们把有序实数对(,,)x y z 叫做点A 的坐标，记为(,,)A x y z ．
如右下图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为5,8,12='==A A AD AB ．以这个长方体的顶点A 为坐标原
点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
业
布
置。
数学分析第十章
4 14 3 9 S ( A) S ( A1 ) S ( A2 ) . 3 3 2 2
若把 A 看作为 y 型区域，则
g1 ( y ) y 2 ( 1 y 2), g2 ( y ) y 2 ( 1 y 2).
S ( A) [( y 2) y 2 ]dy
§10.1 平面图形的面积
本节介绍用定积分计算平面图形在 各种表示形式下的面积. 一、直角坐标方程表示的平面图形的
面积
二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积
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一、直角坐标方程表示的 平面图形的面积
用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面
积,通常把它化为 x 型和 y 型区域上的积分来计算.
设
mi inf r ( ) | [ i 1 , i ] , M i sup r ( ) | [ i 1 , i ] ,
i 1,2,, n.
1 2 1 2 则 mi Δ i S ( Ai ) M i Δ i , 从而 2 2 n 1 n 2 1 n mi Δ i S ( Ai ) M i2 Δ i . 2 i 1 2 i 1 i 1 由于
S ( A) y dx y( t ) x( t )dt
a
b
y( t ) x( t )dt .
因此,不论 x(t)递增或递减,
S ( A) y t x t dt .
若上述曲线C 是封闭的，即
x( ) x( ), y( ) y( ),
a a
b
b
[ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx .
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ar
joir
x
● 有了向量的坐标后，向量的运算可转化为其坐标
之间的运算。
● 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则
① A→B (x2x1,y2y1)
②
d
|
→
AB |
(x2x1)2(y2y1)2
4. 向量的数量积（内积、点积）
r
①
ar
r b
|a r||br|cos
其中
记作：
ar
r
A1 B1
A2 B2
k1 k2
l1 l 2 A1A2B1B20 k1k2 1
③ 两直线相交 若 A1 B 1 0 , 则两直线相交。 A2 B2
或 若 k1 k 2 ，则两直线相交。
4. 两条直线的夹角
直角或锐角l l1 叫2 两它直两们线条是的直两夹线对角对l 1 。顶，l 角2 相(0，交我成们四把个) 其角中，的
ar与, br b
的夹角
b o ar
(0 )
● 内积满足： (ara brr)b rbr ar(a rb r)
(a r b r)c r a rc r b rc r
② 数量积用坐标表示
设 ara rb r(a 1,a a1 2b )1,bra2 b2 (b1,b2) ，则 ● ar ar | ar |2 ● |a r|a ra ra12a22
D. 1 6
解法一 用向量加法满足的三角不等式：
|a rb r||a r||b r|
Q |2 a r b r| |2 a r| | b r|2|ar||br| 4
所求的最大值为 4.
y
法二 （画图 ）
2 ar
o
1
3r b
x
5.
两个结论
设 ar (a1,a2),
r b (b1,b2)
则
① ②
ar
r ∥b
4
M.
只要验证 O M 的中点是否在已知直线上 2 o
x
二、直线
1. 直线的方向向量、倾斜角和斜率
y ar
l ● 与直线 l 平行的非零向量，称
为直线 l 的一个方向向量。
o
x ● 直线 l 向上的方向与 x 轴正方向
所成的最小正角，称为直线 l 的倾斜角。(0)
● ktan，称为直线 l 的斜率。
法二 由题知
M (c o s1 1 0 c o s5 0 ,sin 1 1 0 sin 5 0 )
2
2
则 | OM | (co s1 1 0 co s5 0 )2(sin1 1 0 sin5 0 )2
2
2
12 2 (c o s1 1 0 c o s5 0 s in 1 1 0 s in 5 0 ) 2
● 经过两点 A( x1, y1), B(x2 , y2 ) 的直线斜率为：
k y2 y1 x2 x1
( x1 x2 )
2. 直线方程的几种形式
① 点斜式
.k P(x0 , y0 )
yy0k(xx0)
（微分学中，导数的几何意义）
② 斜截式
y
k, b
③ 截距式
b
y kxb
o x x y 1
M 的距离是（ C ）.
1 A. 2
2 B. 2
C. 3 2
D. 1
解法一 由题知，点 A , B 在单位圆上
AOB是等边三角形，边长为1
在 RtAOM中，OA 1, A M 1
2
（08年）
y A MB
50
ox
| OM | 1 ( 1 ) 2 3
22
或 |OM|sin60|OA|
3. 2
第10章 平面解析几何
一、平面向量
1. 定义 具有大小和方向的量。
向量常用 ar ,
b→,
c→,
→
AB
表示。
r ● 向量的模： 向量的大小。 | a | ,
零向量： 模为0 的向量。
2. 向量的运算 ① 加法
ar
r b
三角形法则：
ar
r b
r
ar b
r
平行四边形法则： b
1 22cos(11050) 2
1 22cos60 3
2
2
▽
★补 关于直线 y 2x4 与原点对称的点的坐标
是（ A ）.
A. ( 1 6 , 8 ) 55
C. ( 1 6 , 8 ) 55
解 画图 可排除C, D.
设对称点为 M
B. ( 8 , 4 ) 55
D. ( 8 , 4 ) 55
y 2x4 y
ab
④ 一般式 AxByC0（ A , B 不同时为 0）
其中： nr (A,B)
直线的一个法向向量
ar(B,A)或 ar(B,A) 直线的一个方向向量
3. 两条直线的位置关系
设不重合的两条直线为 l 1 : A1xB1yC10 l 2 : A2xB2yC20
① 两直线平行 ② 两直线垂直
l1 P l2
o ar
ar
r b
A→B B→C A→C
ar
r b
● 向量加法满足三角不等式：
|a rb r||a r||b r|
② 减法
ar
r b
r b
ar
r b
o ar
r b
ar arbr
r b
o ar
③ 数乘 ar
向量
a. |a r||||a r|
b.
当 当
0 0
时， 时，
aarr
与 ar 与 ar
方向相同； 方向相反。
例
ar
ar
1 ar 2
●
设 ar
r 0
，则
r
★ ar 0
a | ar
|
与 ar 同方向的单位向量
● 平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的向量。
● ar ∥ ar
● 定理
ar
∥
r b
存在数
，使
ar
r
b
3. 向设量arar的坐(aa标11ir,a2a)2rj，则
y r
416cos216 1 2
|
ar
r3 b |
2
3
法二 （画图 用余弦定理）
ar
r b
r
b
r
Q |a r b r |2 2 2 4 2 2 2 a 4 c o s 6 0
12
|
ar
r b
|2
3
补
r 设 b(
3,1)，ar
为任意方向的单位向量，
则
|
2ar
r b
|
的最大值为（
B ）.
A. 2 2 B. 4 C. 8
★
例
已知向量
ar
,
r b
满足：| ar | 2,
r | b | 4,
ar ,
r b
2
,
则
|
ar
r b
|（
C
）.
3
A. 2 2 B. 3 2 C. 2 3 D.3 3
解法一 Q
|
ar
r b
|2(a rbr)(a rbr)
a ra r 2 a rb r b rb r
|a r |2 2 |a r | |b r |c o s a r , b r |b r |2
ar
r b
a1 a2 b1 b2
a1b1a2b2 0
★ 6. 中点坐标公式
x x1 x2 2
M (x, y)
A( x1 , y1 )
B(x2 , y2 )
y y1 y2 2
例 在平面直角坐标系中，已知两点 A (cos110,sin110)
B(cos50,sin50),则由坐标原点 o 到线段A B 中点