复数平面内对应的点坐标
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．102．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）3．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 4．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC5．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 7．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+11．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i12．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 13．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．515．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．i16．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -20．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题21．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______.22．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 23．已知i34i z =+，求|z |=___________24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 25．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．26．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 27．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.28．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 29．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 30．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 31．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 32．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.33．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.34．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．35．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________.三、解答题 41．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．42．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值； (2)若复数z >0，求a 的值． 43．（1）化简：2320211i i i i +++++；（2）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值． 44．已知复数1i -+，34i --，43i +，4i ，5i -．(1)在如图所示复平面内，作出各复数对应的向量； (2)求各复数的模；(3)求各复数的共轭复数，并在复平面内作出这些共轭复数对应的向量． 45．复数()()11i z m m =++-对应的点在直线40x y +-=上，求实数m 的值．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D8．B 9．D 10．D 11．D 12．A 13．D 14．A 15．B 16．D 17．B 18．B 19．A 20．C二、填空题21．1 22．3-23．15##0.22425．43i-##3i4-+ 26．27．3528．1291##1-30．i31．132．13i+33．1##1+34．83 35．[)2,+∞36．③37．1239．9π 40．1 三、解答题41．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++ 因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y +=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.42．(1)2a = (2)4a = 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值. （2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值. (1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =．(2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =．43．（1）1i +；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据123*i i +i i 0,n n n n n N +++++=∈求解（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解 【详解】（1）因为123*i i +i i 0,n n n n n N +++++=∈， 所以2320211i i i i +++++，()()2345678910111i i i i i i i i ++i i i =++++++++++()201720182019202020162021+i i i i i i +++++， 1i =+.（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭， 故另一个根为12i -， ∴(12i)(12i)5k =+-= 44．(1)见解析(2)1i -+34i 5--=，43i 5+=，4i 4=，=(3)见解析 【解析】 【分析】（1）直接作出各复数所对应的向量即可； （2）直接利用复数的模的计算公式计算即可；（3）写出各复数的共轭复数，再作出各共轭复数所对应的向量即可. (1)解：设复数1i -+，34i --，43i +，4i ，对应的向量分别为,,,,OA OB OC OD OE ，则()()()()(1,1,3,4,4,3,0,4,0,OA OB OC OD OE =-=--===， 如图，在复平面内，作出各复数对应的向量，(2)解：1i =112-++34i 9165--+=， 43i =1695++=， 4i =0164+，5i =055-+=(3)解：1i -+的共轭复数为1i --，对应向量为()1,1OM =--，34i --的共轭复数为34i -+，对应向量为()3,4ON =-， 43i +的共轭复数为43i -，对应向量为()4,3OT =-， 4i 的共轭复数为4i -，对应向量为()0,4OP =-，5i 5i ，对应向量为(5OQ =，如图，在复平面内作出这些共轭复数对应的向量，45．2m = 【解析】 【分析】求得z 对应的点的坐标并代入直线40x y +-=，由此求得m 的值. 【详解】z 对应点为()1,1m m +-，将()1,1m m +-代入直线40x y +-=得1140,2m m m ++--==.。
(完整版)复数知识点总结
复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-． 五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
高中数学复数平面的几何意义说明
高中数学复数平面的几何意义说明在高中数学中，复数平面是一个重要的概念，它不仅在代数中有着广泛的应用，还具有独特的几何意义。
本文将通过具体的题目和例子来说明复数平面的几何意义，并介绍一些解题技巧，以帮助高中学生更好地理解和应用这一概念。
一、复数平面的基本概念复数平面是由实数轴和虚数轴组成的平面。
其中，实数轴表示实部，虚数轴表示虚部。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
在复数平面中，每个复数对应平面上的一个点，该点的横坐标为实部，纵坐标为虚部。
二、复数平面的几何意义1. 向量的表示：复数可以看作是平面上的一个向量，向量的起点位于原点，终点位于复数对应的点。
向量的模表示复数的模，即复数到原点的距离；向量的幅角表示复数的辐角，即与实轴的夹角。
2. 几何运算：在复数平面中，复数的加法和减法对应向量的平移，复数的乘法对应向量的伸缩和旋转。
例如，两个复数相加时，可以将它们对应的向量首尾相连，得到一个新的向量，该向量的起点为第一个复数对应的点，终点为第二个复数对应的点。
三、复数平面的应用举例1. 求复数的模和辐角：对于复数z=a+bi，可以通过勾股定理计算其模 |z| =√(a²+b²)，通过反三角函数计算其辐角 arg(z) = arctan(b/a)。
2. 复数的乘法和除法：复数的乘法对应向量的伸缩和旋转，模相乘，辐角相加；复数的除法对应向量的缩放和旋转，模相除，辐角相减。
例如，计算复数z₁=a₁+b₁i和复数z₂=a₂+b₂i的乘积z = z₁z₂时，可以将z₁和z₂对应的向量进行伸缩和旋转，得到z对应的向量，再转化为复数形式。
3. 复数的共轭和倒数：复数的共轭对应向量关于实轴的对称，实部不变，虚部取相反数；复数的倒数对应向量关于单位圆的对称。
例如，对于复数z=a+bi，其共轭为z* = a-bi，倒数为1/z = (a-bi)/(a²+b²)。
2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题一、单选题1．已知复数(其中i 是虚数单位)，则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ）1i iz +=A ．(1，1)B ．(1，-1)C ．(-1，1)D ．(-1，-1)【答案】B【分析】利用复数的除法求得复数，然后利用几何意义求得z 在复平面内对应的点的坐标.z 【详解】复数，1i i z +=()21i i 1ii +==-则z 在复平面内对应的点的坐标是(1，-1)，故选：B.2．幂函数的图象过点，则（ ）()f x x α=12⎛ ⎝(2)f =AB ．C ．D212【答案】A【解析】先求得，然后求得的值.α()2f 【详解】由于幂函数的图象过点，所以，()f x x α=12⎛ ⎝12111222αα⎛⎫⎛⎫==⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，所以()12f x x=()1222f ==故选：A3．下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是 ()0,∞+()A ．B ．C ．D ．xy e=1πy log x=-y =12y log x=【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，，为指数函数，其定义域为R ，不符合题意；xy e =对于B ，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；1ππy log x log x=-=()0,∞+对于C ，，不符合题意；y =[)0,∞+对于D ，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意；12y log x=()0,∞+故选B ．【点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题．4．若集合，，则下列结论正确的是（ ）{}21A x x =-<{}(1)(4)0B x x x =--≥A ．B ．C ．D ．A B ⋂=∅A B =R A B ⊆R B A⊆ 【答案】A【分析】解不等式求得集合A 、B ，然后逐一验证所给选项即可．【详解】，{}{}{}2112113A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，{}{}(1)(4)014B x x x x x x =--≥=≤≥或{}R14B x x =<< ，选项A 正确；A B ⋂=∅，选项B 错误；{}34A B x x x ⋃=<≥或不是的子集，选项C 错误；A B ，选项D 错误．R A B⊆ 故选：A ．5．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规1111D C B A ABCD 划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地ABCD 21000m 2m 5m 面积最小时，则核心喷泉区的长度为（ ）1111D C B A BCA ．B ．C ．D ．20m 50m 100m【答案】B【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面BC x =CD 1111D C B A 积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.BC【详解】设，则，所以BC x =1000CD x =11111000(10)(4)A B C D S x x=++，100001040(4x x =++10401440≥+=当且仅当，即时，取“”号，100004x x =50x ==所以当时，最小．50x =1111A B C D S 故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.6．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12πA ．B ．5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先将函数中x 换为x-后化简即可.24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭12π【详解】化解为2(124y x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.7．设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）l αβ､A ．若，则.B ．若，则.,∥∥l l αβαβ∥,l l αβ⊥∥αβ⊥C ．若，则.D ．若，则.,l αβα⊥⊥l β ,l αβα⊥∥l β 【答案】B【分析】根据各选项中线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面关系即可.【详解】对于A ，若，，则可能平行、相交，A 错误；//l αl //β,αβ对于B ，若，过的平面且，则，而即，又，则，B //l αl γm γα= //l m l β⊥m β⊥m α⊂αβ⊥正确；对于C ，若，，则或，C 错误；αβ⊥l α⊥l //βl β⊂对于D ，若，，则或或线面相交，D 错误.αβ⊥//l αl //βl β⊂故选：B 8．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）()2,1a =()3,1b =-A ．B ．向量在向量上的投影向量是//a ba bC ．D ．与向量方向相同的单位向量是24a b += a【答案】D【分析】利用向量平行的坐标表示判断A ；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断a bB ；应用向量数量积运算律求判断C ；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断2a b+ a D.【详解】A ：由，故不成立，错；211(3)⨯≠⨯-//a bB ：由，错；1||cos ,2||||||b a b b a a b bb b b ⋅⋅=⋅=-C ：，则，错；2222445204025a b a a b b +=+⋅+=-+=25a b += D ：与向量方向相同的单位向量是，对.a||a a = 故选：D9．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论正确的是A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线CD ⊥平面PAC【答案】D【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 答案不正确．过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC ，所以AH ⊥BC.又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB ，这与底面是正六边形不符，所以B 答案不正确．若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 答案不正确．故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．10．已知函数若方程f （x ）=m 有4个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且()()22log 113816,3x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（）（x 3+x 4）=（ ）1211+x x A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】画出f （x ）的图象，由对称性可得x 3+x 4＝8，对数的运算性质可得x 1x 2＝x 1+x 2，代入要求的式子，可得所求值．【详解】作出函数f （x ）的图象如图，()221138163log x x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+⎪⎩，＜，＞f （x ）＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，可得x 3+x 4＝8，且|log 2（x 1﹣1）|＝|log 2（x 2﹣1）|，即为log 2（x 1﹣1）+log 2（x 2﹣1）＝0，即有（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝1，即为x 1x 2＝x 1+x 2，可得（）（x 3+x 4）＝x 3+x 4＝8．1211x x +故选C ．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题．二、填空题11．求值:______．sin 75cos 75︒⋅︒=【答案】.14【详解】分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可.详解： sin75cos75︒⋅︒=011sin150.24=故答案为.14点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知sin cos sin cos αααα+-，sin *cos αα22sin cos 1αα+=一求三.12．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试1213图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．【答案】56【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A ，B ，C ，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D ，则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，1()()2P A P B ==1()3P C =D A B C = D ，D ABC =所以，1121()()(((2236P D P ABC P A P B P C ====；5()1(6P D P D =-=故答案为：.5613，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为，r ，侧面积，解得，r=r =所以，圆锥的高h =设球半径为R ，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示，O 由题意可得，，即，解得222()R h R r-+=22)3R R +=R =所以，．34R 3V π==故答案为：．三、双空题14．直线：截圆的弦为，则的最小值为l 10mx y -+=224640x y xy ++-+=MN MN __________，此时的值为__________．m 【答案】21【分析】设圆心到直线的距离为，则l dd然后由MN =MN ==进而利用均值不等式可求解【详解】可化简为，224640xy x y ++-+=22(2)(3)9x y ++-=设圆心到直线的距离为，则l d dMN====，当时，有最小值，当时，没===m>MNm<MN有最小值，所以，当且仅当时，等号成立，此时，1=mm1m=故答案为：①2；②1【点睛】关键点睛：解题关键在于求出MN==答案，属于中档题四、解答题15．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；(3)估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.【答案】(1)0.01a=(2)众数为，平均数为7575.5(3)84【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；可得，()0.020.0250.035101a a++++⨯=（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，()0.020.0250.035101a a ++++⨯=解得.0.01a =（2）解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，75平均数为.0.1550.2650.35750.25850.19575.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以75%分位数为.0.75(0.10.20.35)8010840.25-+++⨯=16．在中，ABC222.b c a +=（1）求的值；cos A （2）若，，求的值.2B A=b =a 【答案】（1）2）.cos A =2【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；cos A （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.sin B a 【详解】（1）因为在中，，所以，ABC 222b c a +=222c 2os b ca A cb =+=-=（2）由（1）知，，所以02A π<<sin A ==因为，所以2B A=sin sin 22sin cos 2B A A A ====又因为，由正弦定理，可得B =sin sin a bA B =sin 2.sin b Aa B===17．设为奇函数，a 为常数．131()log 1axf x x -=-（1）求a 的值．（2）若，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．[2,4]x ∀∈1()3xf x x m⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.1a =-89m <【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可得，代入验证即可得解；()()0f x f x -+=1a =±（2）转化条件为对于恒成立，令131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-[2,4]x ∀∈，结合函数的单调性求得即可得解.()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪()min g x 【详解】（1）因为为奇函数，131()log 1axf x x -=-则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21231log 01ax x -==-则，所以即，()22111ax x -=-21a =1a =±当时，，不合题意；1a =()11331()log log 11xf x x -==--当时，，由可得或，满足题意；1a =-131()log 1x f x x +=-101xx +>-1x >1x <-故；1a =-（2）由可得，1()3xf x x m⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-则对于恒成立，131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-[2,4]x ∀∈令，()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪因为函数在上单调递减，12111x y x x +==+--[2,4]所以函数在上单调递增，131log 1xy x +=-[2,4]所以在上单调递增，所以，()g x [2,4]()()1min 32log 182993g x g -===+所以.89m <【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.18．如图，在正方体中，棱长为2.1111ABCD A B C D -（1）证明：；1AC BD ⊥（2）求二面角的平面角的余弦值.1D AC B --【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连结交于点O ，证明平面，利用线面垂直的性质定理即可证明BD AC AC ⊥1BDD ；1AC BD ⊥（2）连结，证明是二面角的平面角.利用由余弦定理求出的111AD CD OD 、、1BOD ∠1D AC B --1BOD ∠大小即可.【详解】（1）连结交于点O ，在正方形中，，BD AC ABCD AC BD ⊥平面，平面，1DD ⊥ ABCD AC ⊂ABCD ，，，平面，1AC DD ∴⊥1DD BD D = 1DD BD ⊂1BDD 平面，又平面，.AC ∴⊥1BDD 1BD ⊂ 1BDD 1AC BD ∴⊥（2）连结.111AD CD OD 、、在正方体中，，O 是线段的中点，，1111ABCD A B C D -11AD CD =AC 1D O AC ⊥在中，，，ABC AB BC =BO AC ⊥是二面角的平面角.1BOD ∴∠1D AC B --在中，1BOD △2BD BO ====1BD ===1OD ===由余弦定理得:1cos BOD ∴∠==即二面角的平面角的余弦值为1D AC B --。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 29．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1 B ．15 C ．3 D ．16 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 15．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1016．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．17．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C．D ．419．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-20．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 25．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 26．计算：3i1i+=-___________.27．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．28．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______. 32．已知4cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 33．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．43．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．D 10．C 11．A 12．D 13．B14．B 15．B 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B 二、填空题21．1-1- 22．12i -##2i+1- 23．22425．1i -+（答案不唯一）2627．825i 625- 28．72930．2或2- 31．i - 32．2312π3334．2i +##i 2+ 35．1 36．③ 37．12 38．039．40．13i + 三、解答题41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩ ，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+.。
北京市石景山区2023届高三一模数学试题 (解析版)
北京市石景山区2023届高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}22A x x =-≤≤，{}220B x x x =+-≤，则A B ⋃=（ ）A ．[]22-,B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz=（ ） A ．12i -- B ．2i -- C ．12i -+ D ．2i -3．已知双曲线()222104x y b b-=>的离心率是2，则b =（ ）A．12 B ．C D4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+ D ．()()1e e 2x xf x -=-5．设0x >，0y >，则“2x y +=”是“1xy ≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 满足：对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则10a =（ ） A ．43B ．53C ．63D ．103【答案】B【分析】根据对任意的,m n *∈N ，有m n m n a a a +=，且23a =，求得48,a a 的值，即可得10a 的值.【详解】对任意的,m n *∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，所以222249a a a a ===，则2444881a a a a ===，所以510283813a a a ==⨯=.故选：B.7．若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π12【答案】A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得最小正周期T ，从而可求ω的值，结合图象代入已知点坐标即可得ϕ的值.【详解】由图可知()2π0,3f m f m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，由图象可得最小正周期T 满足：1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，又0ω>，所以2ω=， 则由图象可得π2π6k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故选：A.8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0/v km s ．若要使火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A ．202t B ．200t t +C ．02tD ．2002t t +【答案】D【分析】根据对数运算法则可求得()200022000ln 12v t t =++，由此可得结果.【详解】由题意得：()002000ln 1v t =+，9．已知直线l :220kx y k --+=被圆C :()22125x y ++=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为正方形ABCD 所在平面内一动点，给出下列三个命题：①若点P 总满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线；②若点P 到直线1BB 与到平面11CDD C 的距离相等，则动点P 的轨迹是抛物线； ③若点P 到直线1DD 的距离与到点C 的距离之和为2，则动点P 的轨迹是椭圆. 其中正确的命题个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足11PD DC ⊥的动点P 的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点P 的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案. 【详解】对于①，如图在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,BD CD ，在正方体中，因为四边形11CDD C 为正方形，所以11DC CD ⊥， 又BC ⊥平面11CDD C ，1DC ⊂平面11CDD C ，所以1BC DC ⊥， 又11,,CD BC C CD BC ⋂=⊂平面1BCD ，所以1DC ⊥平面1BCD ，平面1BCD ⋂平面ABCD BC =，P ∈平面ABCD ，点P 总满足11PD DC ⊥， 所以P ∈平面1BCD ，所以P BC ∈，则动点P 的轨迹是一条直线，故①正确；对于②，1BB ⋂平面ABCD B =,P ∈平面ABCD ，则点P 到直线1BB 等于P 到B 的距离， 又P 到平面11CDD C 的距离等于P 到DC 的距离，则P 到B 的距离等于P 到DC 的距离，由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线，故②正确；对于③，点P 到直线1DD 的距离等于P 到D 的距离，所以P 到D 的距离与到点C 的距离之和为2，即2PD PC DC +==，则点P 的轨迹为线段DC ，故③不正确. 所以正确的命题个数是2. 故选：C.二、填空题11．向量()2sin ,cos a θθ=，()1,1b =，若//a b ，则tan θ=_________. 【答案】12##0.5【分析】根据平面向量的坐标平行运算得cos 2sin θθ=，利用同角三角函数的商数关系θ【详解】向量(2sin a θ=，()1,1b =，若//a b ，则2sin sin 2sin θθ=.12．若nx⎛⎝的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为_________.13．项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个； ③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________.一列举得数列{}n a ，即可判断②.【详解】由于有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，所以1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈，又因为123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，所以()()123231112312222222121k k k k k k k k a a a a a -------⋅=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+≤++++=-所以1111112k a -⎛⎫-≤≤-< ⎪⎝⎭，且10a ≠，1a 为整数，所以11a =-，故③不正确，④正确；当2k =时，得1220a a +=，所以11a =-，则22a =，故①正确；当3k =时，得123420a a a ++=，因为11a =-，所以2324a a +=，则23245a a =-≤， 所以2512a -≤≤，2a 为整数，则2a 的可能取值为1,012-,,，对应的3a 的取值为6,4,2,0， 故数列{}n a 可能为1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-，共4个，故②正确. 故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的性质入手1n a ≥-，*N ,Z n n a ∈∈从各项1n a ≥-，结合不等式放缩，确定1a 的范围，从而得1a 的值，逐项验证即可.三、解答题14．如图，在ABC 中，42AC =，π6C =，点D 在边BC 上，1cos 3ADB ∠=.(1)求AD 的长；(2)若ABD △的面积为2AB 的长. 【答案】(1)3AD = (2)3AB =15．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(]7,10厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(]7,10厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]4,10，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(]10,16厘米，1,2,3k =，直接写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ的大小关系.（结论不要求证明）)1125=)29100=所以21112936012310025100505EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）132D D D ξξξ<< 理由如下： ()()1129111,04040P P ξξ====，所以22112911292929291131910,10404040404040401600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()2220111,04022P P ξξ=====，所以22221111111140010,10222222241600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3325531,04088P P ξξ=====，所以223353555531537510,108588888641600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以132D D D ξξξ<<.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .(1)求证：//EF AD ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)π3【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD . （2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠= 即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==， 设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z =， 则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，可得(1,0,1)n =-设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则 2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.，所以PAB 为等腰三角形，所以点，所以PAB 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，且AD ABCD ，，所以PAB 为等腰三角形，所以点17．已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,1P -且互相垂直的直线1l ,2l 分别交椭圆C 于M ,N 两点及,S T 两点.求PM PN PS PT的取值范围.18．已知函数()()e 1sin xf x m x m =--∈R .(1)当1m =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ⅱ）求证：0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x >.(2)若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个极值点，求m 的取值范围.1m 时，所以)e x x m =-1m 时，f 时，(f x 'x 与y =-0f x，因此π2⎫⎪⎭上恰有一个极小值点，19．若无穷数列{}n a 满足以下两个条件，则称该数列为τ数列. ①11a =，当2n ≥时，122n n a a --=+；②若存在某一项5m a ≤-，则存在{}1,2,,1k m ∈⋅⋅⋅-，使得4k m a a =+（2m ≥且m *∈N ）. (1)若20a <，写出所有τ数列的前四项；(2)若20a >，判断τ数列是否为等差数列，请说明理由； (3)在所有的τ数列中，求满足2021m a =-的m 的最小值.【答案】(1)τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7- (2)τ数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析 (3)m 的最小值为1517【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a <得21a =-，再根据条件逐个列举即可；（2）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+，由20a >得25a =，利用反证法假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；（3）先根据条件②可得()431506n b n n =-+≤≤必为数列{}n a 中的项，再结合条件①可得31n n a b -=分析即可．【详解】（1）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+， 因为20a <，由条件①知21a =-，所以τ数列的前四项为：1,1,1,1--；1,1,1,5-；1,1,3,3--；1,1,3,7-. （2）若20a >，τ数列是等差数列由条件①知，当2n ≥时，1n n a a -=-或14n n a a -=+， 因为20a >，所以25a =假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-， 则1231,,,,i a a a a -单调递增，由11a =则1231,,,,i a a a a -均为正数，且125i a a -≥=.所以15i i a a -=-≤-.由条件②知，则存在 {}1,2,3,,1k i ∈-，使得41k i a a =+≤-此时与1231,,,,i a a a a -均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a -=-，即14n n a a -=+. 所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （3）由2021m a =-及条件②, 可得1,5,9,,2017,2021-----必为数列{}n a 中的项，记该数列为{}n b ，有()431506n b n n =-+≤≤，不妨令n j b a =，由条件①，143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+均不为141n b n +=--； 此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141n b n +=-- 上述情况中，当143j a n +=-，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=-=--= 结合11a =，则有31n n a b -=.由5062021b =-，得350611517m =⨯-=即为所求.四、双空题20．抛物线C ：24x y =的焦点坐标为_________，若抛物线C 上一点M 的纵坐标为2，则点M 到抛物线焦点的距离为_________.21．设函数()33,,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，①若0a =，则()f x 的最大值为_________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________.。
复数知识点精心总结
复数知识点精心总结复数知识点精心总结复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，b=0.复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
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复数平面内对应的点坐标
复数平面是一个重要的数学工具，它将复数表示为点的集合，使得复数的运算可以转化为点的运算。
在复数平面中，每个复数都可以表示为一个有序对(x,y)，其中x和y分别表示复数的实部和虚部。
在本文中，我们将探讨复数平面内对应的点坐标，包括复数的表示、复数平面的构建、复数的运算和对应点的坐标等方面。
一、复数的表示
复数是一个由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部，i表示虚数单位。
例如，3+4i就是一个复数，它的实部是3，虚部是4。
复数可以在复数平面中表示为一个点，这个点的坐标为(a,b)，其中a表示横坐标，b表示纵坐标。
这个点与复数之间的关系可以通过向量来表示，向量的起点是原点O(0,0)，终点是点(a,b)。
这个向量的长度就是复数的模，记作|z|，它等于复数与原点之间的距离。
二、复数平面的构建
复数平面是一个由实轴和虚轴组成的平面，其中实轴表示实部，虚轴表示虚部。
原点O(0,0)是实轴和虚轴的交点，它表示复数0。
在复数平面中，每个复数都可以表示为一个点，这个点的坐标是(a,b)，其中a表示横坐标，b表示纵坐标。
这个点与复数之间的关系可以通过向量来表示，向量的起点是原点O(0,0)，终点是点(a,b)。
三、复数的运算
复数的运算可以转化为点的运算，这使得复数的运算变得非常简
单。
例如，两个复数z1和z2的加法可以表示为它们对应点的向量相加，即z1+z2=(a1+a2,b1+b2)。
同样，它们的减法可以表示为它们对应点的向量相减，即z1-z2=(a1-a2,b1-b2)。
复数的乘法可以表示为对应点的向量的模长和夹角的乘积，即
z1×z2=|z1|×|z2|×cosθ+i(|z1|×|z2|×sinθ)，其中θ是向量
z1和z2的夹角。
复数的除法可以表示为对应点的向量的模长和夹角的商，即z1÷z2=|z1|÷|z2|×cosθ+i(|z1|÷|z2|×sinθ)。
四、对应点的坐标
在复数平面中，每个复数都可以表示为一个点，这个点的坐标是(a,b)，其中a表示横坐标，b表示纵坐标。
这个点与复数之间的关
系可以通过向量来表示，向量的起点是原点O(0,0)，终点是点(a,b)。
对于一个复数z=a+bi，它对应的点的坐标是(a,b)。
例如，复数
3+4i对应的点的坐标是(3,4)，如图1所示。
图1 复数3+4i对应的点的坐标是(3,4)
在复数平面中，两个复数的和、差、积、商都可以表示为它们对应点的向量的运算。
例如，两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i的和对应的点的坐标是(a1+a2,b1+b2)，如图2所示。
图2 两个复数的和对应的点的坐标是(a1+a2,b1+b2)
同样，两个复数的差对应的点的坐标是(a1-a2,b1-b2)；两个复
数的积对应的点的坐标是(|z1|×|z2|×cosθ,|z1|×|z2|×sinθ)，其中θ是向量z1和z2的夹角；两个复数的商对应的点的坐标是(|z1|÷|z2|×cosθ,|z1|÷|z2|×sinθ)。
总之，复数平面内对应的点坐标是复数的重要概念之一，它将复数表示为点的集合，使得复数的运算可以转化为点的运算。
在实际应用中，复数平面可以用来解决各种问题，例如电路分析、信号处理、控制系统等方面。
因此，熟练掌握复数平面内对应的点坐标对于理解和应用复数具有重要意义。