高中数学 选修4-4参数方程讲义

——基础梳理——1．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．(2)中心在(h ，k)的椭圆的普通方程为－a2＋－b2＝1，则其参数方程为__________． 2．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________． 3．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px(p ＞0)的参数方程为__________，t ∈__________.(2)参数t 的几何意义是__________．[答案]1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数) [0,2π) (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝h ＋acos φy ＝k ＋bsin φ(φ为参数) 2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝asec φy ＝btan φ(φ为参数) [0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数) 3．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) (－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数自主演练1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则()A ．m ＜1B ．－1＜m ＜1C ．m ＞1D ．0＜m ＜1[解析]方程化为x2＋y21m＝1，若要表示焦点在y 轴上的椭圆，需要1m＞1，解得0＜m ＜1.故应选D.2．已知90°＜θ＜180°，方程x 2＋y 2cos θ＝1表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析]当90°＜θ＜180°时，－1＜cos θ＜0，方程x 2＋y 2cos θ＝1表示的曲线是双曲线．故应选C.[答案]C3．直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)的圆心位于第几象限() A ．一 B ．二 C ．三 D ．四[解析]直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则a ＜0，b ＞0，而圆心坐标为(a ，b)，所以位于第二象限．[答案]B4．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( ) A ．π B.π2 C ．2π D.32π [解析]由已知acos θ＝－a ，∴cos θ＝－1，又θ∈[0,2π]，∴θ＝π.故选A.[答案]A5．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标为__________．[解析]原方程消去参数θ，得普通方程为x225＋y29＝1.它是焦点在x 轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c ＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．6．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ是参数)的渐近线方程是________________，实轴长是__________．[解析]原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 4＝sec θ，y 3＝tan θ，因为sec2θ－tan2θ＝1，所以x216－y29＝1.它是焦点在x 轴上的双曲线，∴a2＝16.∴双曲线的渐近线为y ＝±34x ，且实轴长为8. [答案]y ＝±34x 8——题型探究——题型一 椭圆的参数方程及应用【例1】已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程． 【分析】△ABC 的重心G 取决于△ABC 的三个顶点的坐标，为此需要把动点C 的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．【解析】由题意知A(6,0)，B(0,3)，由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y)，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋0＋6cos θ3y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cos θy ＝1＋sin θ，消去参数θ得到－24＋(y －1)2＝1. 【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便． 变式训练在椭圆x225＋y216＝1中有一内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？ [解析]椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cost ，y ＝4sint (t 为参数)，设第一象限内椭圆上任一点M(x ，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S ＝4xy ＝4³5cost³4sint＝40sin2t.当t ＝π4时，面积S 取得最大值40，此时，x ＝5cos π4＝522，y ＝4sin π4＝22，因此，矩形在第一象限的顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫522，22，此时内接矩形的面积最大，且最大面积为40. 题型二 双曲线的参数方程及应用【例2】求点M0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M0距离的最小值)．【分析】化双曲线方程为参数方程，对||MM0建立三角函数求最值．【解析】把双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sec θ，y ＝tan θ.设双曲线上动点M(sec θ，tan θ)，则||M0M 2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，当tan θ－1＝0即θ＝π4时，||M0M 2取最小值3，此时有||M0M ＝3，即M0点到双曲线的最小距离为 3. 【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算过程．变式训练设P 为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：||F1P ²||F2P ＝||OP 2.[解析]如图所示，设双曲线上的动点为P(x ，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sec θ，y ＝tan θ，得(||F1P ²||F2P )2＝[(sec θ＋2)2＋tan2θ]²[(sec θ－2)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋22sec θ＋2＋tan2θ)²(sec2θ－22sec θ＋2＋tan2θ)＝(2sec2θ＋1)2－(22sec θ)2＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2，又||OP 2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得||F1P ²||F2P ＝||OP 2.题型三 抛物线的参数方程及应用【例3】如图，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y2＝2px(p ＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？【分析】利用抛物线的参数方程，将△AOB 面积用其参数表示，再利用均值不等式求最值．【解析】根据题意，设点A ，B 的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1≠t2，且t1²t2≠0)，则 ||OA ＝21＋＝2p ||t1t21＋1， ||OB ＝2＋＝2p ||t2t22＋1.因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0，即2pt21²2pt 2＋2pt1²2pt2＝0，所以t1²t2＝－1.△AOB 的面积为S △AOB ＝12||OA ²||OB ＝12²2p ||t1t21＋1²2p ||t2t22＋1 ＝2p2||t1t221＋2＋＝2p2t21＋t22＋2＝2p2t21＋1t21＋2 ≥2p22＋2＝4p2. 当且仅当t21＝1t21，即t1＝1，t2＝－1时，等号成立． 所以点A ，B 的坐标分别为(2p,2p)，(2p ，－2p)时，△AOB 的面积最小，最小值为4p2.变式训练已知抛物线y2＝2px ，过顶点两弦OA ⊥OB ，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程．[解析]设A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，则以OA 为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt21x －2pt1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt22x －2pt2y ＝0，即t1，t2为方程2pxt2＋2pty －x2－y2＝0的两根，∴t1t2＝－＋2px .又OA ⊥OB ，∴t1t2＝－1，∴x2＋y2－2px ＝0(x≠0)，∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆(除去(0,0)点)．题型四 圆锥曲线参数方程的综合应用【例4】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的动弦BC 平行于虚轴，M 、N 是双曲线的左、右顶点． (1)求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程；(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a 是x1，x2的比例中项．【分析】将双曲线方程化为参数方程．(1)利用交轨法求解；(2)即x1x2＝a2【解析】(1)由题意可设点B(asec θ，btan θ)，则点C(asec θ，－btan θ)，又M(－a,0)，N(a,0)，∴直线MB的方程为y ＝btan θasec θ＋a (x ＋a)，直线CN 的方程为y ＝btan θa －asec θ(x －a)．将以上两式相乘消去参数θ，得点P 的轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1. (2)证明：因为点P 既在MB 上，又在CN 上，由两直线方程消去y1得x1＝a sec θ，而x2＝asec θ，所以有x1x2＝a2，即a 是x1，x2的比例中项．【评析】利用圆锥曲线的参数方程解决圆锥曲线综合问题时要根据条件使用不同方法，如方程的思想、函数思想、数形结合思想等．变式训练抛物线y2＝4x 的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长．[解析]如图，y2＝4x 焦点F(1,0)，设A 点坐标为(4t2,4t)，t 为参数，且t ＞0，则B 点坐标为(4t2，－4t)． AF 斜率为kAF ＝4t 4t2－1，∴AF ：y ＝4t 4t2－1(x －1)． 而OB 的中点(2t2，－2t)应在直线AF 上，∴－2t ＝4t 4t2－1(2t2－1)，∵t≠0，∴－1＝24t2－1(2t2－1)， ∴t2＝38，t ＝64，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6， 则||AB ＝26，||OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋6＝332. ∴△OAB 的周长为||AB ＋2||OA ＝26＋33.课内巩固1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0) [解析]利用平方关系化为普通方程－25＋y29＝1，c2＝16，c ＝4，中心(4,0)，焦点在x 轴上，∴焦点为(0,0)，(8,0)．也可以直接画出椭圆的示意图，排除A ，B ，C.故应选D.2．与参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝21－t (t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x2＋y24＝1 B ．x2＋y24＝1(0≤x≤1) C ．x2＋y24＝1(0≤y≤2) D ．x2＋y24＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)[解析]x2＝t ，y24＝1－t ＝1－x2，x2＋y24＝1，而t≥0,0≤1－t≤1，得0≤t≤1，即0≤x≤1,0≤y≤2.3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝et －e －t ，y ＝et ＋e －t (t 为参数)表示的曲线是( )A ．双曲线B ．双曲线的下支C ．双曲线的上支D ．圆[解析]由已知得x ＋y ＝2et ，y －x ＝2e －t ，两式相乘得y2－x2＝4.又y ＝et ＋e －t≥2.∴方程表示双曲线y24－x24＝1上支．4．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋17cos θ，y ＝8sin θ－2(θ为参数)的中心坐标为______．[解析]将椭圆的参数方程化为普通方程得－172＋＋82＝1，∴椭圆的中心为(3，－2)．5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是__________．[解析]设M1(2pt1,2pt21)，M2(2pt2,2pt22)，∴k ＝2pt21－2pt222pt1－2pt2＝t21－t22t1－t2＝t1＋t2.[答案]t1＋t26．求点M0(2,0)到双曲线y2－x2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M0距离的最小值)．[解析]把双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan θ，y ＝sec θ.设双曲线上动点M(tan θ，sec θ)，则||M0M 2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，当tan θ－1＝0即θ＝π4时，||M0M 2取最小值3，此时有||M0M ＝3，即M0点到双曲线的最小距离为 3.。