著名机构六年级数学春季班讲义7 长方体的再认识(三视图)

第7讲长方体的再认识（三视图）（一）长方体直观图的画法知识点1 数学中平面的特征数学中的平面是平的，无边无沿，没有厚度，它是可以无限延伸的。

知识点2 数学中平面的画法和表示方法数学中用一个平行四边形来表示平面，把水平放置的平面画成一边（AB边）是水平位置，另一边（BC边）与水平线所成的角为45°且长度等于水平线一边的一半（12BC AB=）的平αDCBA行四边形。

记作：平面ABCD或平面α。

知识点3 用斜二测画法画出长方体直观图。

1.注意线段的长度：使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，AE等于长方体的高；2.注意角度，45DAB∠=︒;3.注意虚实线的应用：由于图中,,AD DC DH被遮住的线段，因此要用虚线（隐藏线）表示。

长方体的每个面均为长方形，即对边相等，四个角均为直角。

长方体的六个面可以分为三组（上下两个，左右两个，前后两个），每组中的两个面的形状和大小都相同。

H GFEDCBA（三）长方体中棱与棱的位置关系的认识知识点1 如果直线'',','C D A B DD 与直线CD 在同一平面内，具有唯一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线AB 与直线CD 相交。

知识点2 如果直线AB 与直线CD 在同一平面内，但无公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，读作：直线AB 与直线CD 平行，即AB 平行于CD ，CD 平行于AB 。

知识点3 如果直线AB 与直线1CC 既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线AB 与直线1CC 异面。

（四）长方体中棱与平面位置关系的认识知识点 1 直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线PQ ⊥平面ABCD ，读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。

如图QP ABCDDC BAP Q知识点2 直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线//PQ 平面ABCD ，读作：直线 PQ 平行于平面ABCD 。

如图（五）长方体中平面与平面位置关系的认识知识点1 平面α垂直平面β，记作：平面α⊥平面β，读作：平面α垂直于平面β。

如图①βαD 1C 1B 1A 1AB C D① ②在长方体1111ABCD A B C D -中，相对的两个平面分别与夹在它们之间的四个平面互相垂直，如（图②）平面ABCD ⊥平面11A D DA ，平面ABCD ⊥平面11B C CB ，平面11AA B B ⊥平面11A D DA ，平面11AA B B ⊥平面11B C CB ，等等知识点2 平面α平行于平面β，记作：平面//α平面β，读作：平面α平行于平面β。

如图βα（一）三视图定义：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。

主视图、左视图、俯视图统称三视图。

一个长方体的三个视图都是长方形。

例如：主视图左视图 俯视图（二）展开图定义：空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形。

同一个图形可以有不同的展开图。

【例题1】 1）空间两条直线没有公共点，那么它们的位置关系是（）A.肯定平行；B.可能相交；C.可能异面；D.以上说法都不对。

2）长方体的六个面（）A.一定都是长方形；B.有两个正方形，四个正方形；C.一定都是正方形；D.有四个正方形，两个长方形。

3）以下表述中，正确的是：（）A.如果长方体的十二条棱都相等，那么这个长方体就是正方体；B.桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；C.平面就是水平面；D.水平面就是平面。

【例题2】 1. 如图，（1）、（2）、（3）(4)都是正方体。

由于观察的角度不同，各图的虚线位置不同，你能看出它们的区别吗？说出你看到各个正方体的哪几个面。

（1）（2）（3）（4）图中四个图形，能看到的面都不一样：图（1）看到上、前、右三个面；图（2）看到下、前、左三个面；图（3）看到上、前、左三个面；图（4）看到下、前、右三个面。

2. 补画下列各图，使它成为长方体（虚线表示被遮住部分）【例题3】 1. 经过长方体的三个顶点，切去长方体的一个角，得到一个几何体如图所示。

（1）写出与棱AC 平行的直线；（2）写出与棱AC 异面的直线；（3）写出与棱AC 平行的面；（4）写出与面ACFG 垂直的面。

G FEDCBA2. 连结长方体的一个顶点和与它最远的一个顶点，得到线段AG 如图所示,并连结AC EG 、。

（1）写出与线段AG 相交的直线；（2）写出与线段AG 异面的直线；（3）写出与棱DH 平行的面；（4）写出与面ABCD 垂直的面。

HG FEDCBA【例题4】 1. 经过长方体的三个顶点，切去长方体的一个角，得到一个几何体如图所示。

（1）写出与棱AB 平行的直线；（2）写出与棱AB 相交的直线；（3）写出与棱AB 异面的直线。

G FEDCBA2. 在一个长方体中切下一个角得到如图的几何体，与平面111A D C 垂直的是哪条棱？与平面11A D D ,平面11C D D 垂直的棱呢？111DD C A3. 正方体1111ABCD A B C D ，过棱1,,AB BC BB 的中点,,M N P 切一个角，得一几何体如图所示。

和平面11AA B PM 平行的平面有哪几个？和它垂直的有哪几个？1111N MPD DC CB BA A【拓展】在图所示的正方体中，解答下列问题：①比较线段'',','C D A B DD实际长度的大小；②连接正方体的三个顶点，组成等边三角形。

D'C'B'A'D C BA【例题5】 1. 下图是一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则需要个正方体搭成。

主视图左视图俯视图2. （外省市中考题）在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来。

如图所示，则这堆正方体货箱共有（）A.9个B.10个C.11个D.12个左视图 主视图 俯视图3. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个俯视图 主视图【例题6】 1. 如图，是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（ ）（A ） 6和11 （B ）6和10 （C ）7 和11 （D ） 7和101211109876543212. 把下图所示的正方体展开，可以是下列图形中的（ ）（A)(B)(C)(D)【例题7】 1. 下图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式ab c-的值等于 。

2. (希望杯竞赛题)如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则z y x +-的值为 。

4x-33x+27x+2y5-6xz-1x+y【例题8】 1. （希望杯竞赛题）如图所示，一个正方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，根据图中三种状态所显示的数字，?表示的数字是（ ） A.1 B.2 C.4 D.6554332112. 韩老师特制了4个同样的立方块，并将他们按图1放置，然后又按图2放置，则图2中四个底面正方形中的点数之和为（ ）A.11B.13C.14D.16a b 2c4-1图1图2【例题9】1.同下图，正方体边长都为1厘米，则这个立体图形的表面积是多少平方米？2. 如图，每个小正方体边棱长均是1厘米，求图中物体的表面积？【例题10】 1. 有一个长方体形状的零件，在角上挖去一个正方体的孔（如下图）。

你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）865222.有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。

你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）865223. 如图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱 长为1厘米的小正方体，做成一种玩具。

该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些东都打穿， 表面积又变成了多少？【拓展】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱的 洞，已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直 径为4厘米的圆，求下图立体的表面积和体积？（取≈3.14）【例题11】 1. 已知长方体无盖纸盒有一个面为正方形，且已知两条棱的长度分别为4 厘米和6厘米，求这个纸盒外面的表面积和容积。

2. 棱长均为整数且棱长的和为48厘米的长方体，其体积的最大可能值为立方厘米，其体积的最小可能值是立方厘米。

3. 一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图所示），这些小长方体的表面积之和是162平方厘米。

请问：原正方体的体积是多少？【例题12】 1. 有一个长、宽、高分为5厘米、4厘米、8厘米的长方体形容器，里面装了一半水。

现有一根长30厘米，底面为边长为2厘米的正方形的长方体木棒。

将木棒竖直放入容器中，使棒的地面与容器的地面接触。

这时水面升高了多少厘米？2. 有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形。

里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形。

木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面。

现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？【例题13】我们知道三角形有三条边，三个顶点；四边形有四条边，四个顶点，如果我们将边围成的封闭区域称为面，那么三角形、四边形都只有一个面。

你考虑过它们的边数、顶点数及面数之间的数量关系吗？（1）填写下面的表格。

三角形四边形五边形六边形顶点数V边数E面数FV-E+F从上面的表格中你可以得出什么结论？这个结论对其他平面图形也成立吗？（2）下面五个图，是常见的几种立体图形。

数一数这五个图中顶点、边、面的个数，并填写在下面的表格中。

图1图2图3图4图5图1 图2 图3 图4 图5 顶点数V 边数E 面数F V-E+F从上面的表格中你可以得出什么结论？这个结论对其他立体图形也成立吗？2. 一个简单多面体共有12个面和8个定点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，那么其他顶点处各有几条棱？得分：________【练习1】 如图，棱AB 与线段FH 的位置有关系是 ；与棱EH 相交的线段共 条，它们是 ；与棱EH 异面的线段共 条，它们是 。

HGFEDCBA【练习2】 1. 一个长方体如果在高的方向上截取高为5厘米的一个小长方体，剩下的是一个正方体，已知截去后的正方体比原长方体的表面积减少了240厘米，那么原长方体的体积是多少立方厘米？2. 把一块长是54cm的长方体木块的棱AB分成1：2的两段，分点为M，过点M按平行面AEGD的方向把长方体分成两块后，表面积增加了400平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？QP NM H FCG EDBA【练习3】 1. 如图，有一个正方体，其边长是5，若在它的左边上方截去一个棱长分别为5，3，2的长方体，则它的表面积减少百分之几？2. 如图所示，将一个棱长为10的正方体从顶点A 切掉一个棱长为4的正方体，得到如图所示的立体图形。