上海市高一下学期期末考试数学试卷含答案

上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（ ） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-． （1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

三、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．433- 【分析】先根据终边和终边上的点求出对应函数值，进一步利用余弦的和差公式直接得出结论. 【详解】解析依据题意得知3cos 5α=，4sin 5α，cos 32β=-，1sin 2β=，3314433cos()cos cos sin sin 525βαβαβα--=+=+⨯=． 433-．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 【答案】1【分析】利用诱导公式化简即可求解.【详解】解析原式cos (sin )tan sin (sin )ααααα⋅-⋅=⋅-sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅=⋅1=． 故答案为：13．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 【答案】4【分析】根据已知条件可得出312z xz yz =+，根据复数相等可得出关于x 、y ，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由题意知()()()()321212i x i y i y x x y i -=-++-=-+-，由复数相等知322y x x y -=⎧⎨-=-⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，因此，4yx =.故答案为：4.4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 【答案】2【分析】由z ＝1－i 带入22()z z+·z ，直接计算即可得解. 【详解】由2222(1)11z i i z i+=+-=--， 可得22()(1)(1)112z z i i z+⋅=-+=+=. 故答案为：2.5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.【答案】23π 【分析】由向量数积的坐标公式，可求得答案.【详解】由向量()()1,3,3,3a b ==-，则2,23a b ==，3a b ⋅=-=-则231cos ,222a b a b a b⋅-===-⨯⋅，由a 与b 的夹角的范围为[]0π，.a 与b 的夹角大小为23π故答案为：23π 6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.【答案】311-【分析】根据向量()()2,1,0,1a b ==，得到a b λ+的坐标，再根据()a b c λ+⊥，()4,3c =，由()0a b c λ+⋅=求解.【详解】因为向量()()2,1,0,1a b ==， 所以()2,1a b λλλ+=+，又因为()a b c λ+⊥，()4,3c =，所以()()8310a b c λλλ+⋅=++=，解得311λ=-， 故答案为：311-.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 【答案】3πππ3π,0,,2π2222⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦【分析】对x 分类讨论，再根据余弦函数的图像和性质即可得到不等式()0xf x >的解集. 【详解】当0x >时，cos 0x >，且[]2π,2πx ∈-，解得02x π<<或322x ππ<≤； 当0x <时，cos 0x <，且[]2π,2πx ∈-，解得322x ππ-<<-， 不等式()0xf x >的解集为3πππ3π,0,,2π2222⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦.故答案为：3πππ3π,0,,2π2222⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查的是余弦函数的图像和性质，熟练掌握余弦函数的图像和性质是解决本题的关键，是基础题. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】13【分析】根据诱导公式结合题意得cos sin 63παπα⎛⎫+=⎛⎫- ⎪⎝⎪⎝⎭⎭，即可得解. 【详解】由题意得cos cos 13i 3n 623s ππππααα⎛⎫⎛⎫--= ⎡⎤⎛⎫+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：13. 9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】1916【分析】由诱导公式可得5sin()sin()66x x ππ-=+，sin()cos()36x x ππ-=+，所以25sin()sin ()63x x ππ-+-＝2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由1sin()64x π+=，结合同角三角函数的平方关系即可得到答案. 【详解】解：∵1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴51sin sin sin 6664x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，222215sin sin cos 1sin 3266616πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x x x∴2511519sin sin 6341616ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x ， 故答案为：191610．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________. 【答案】,133ππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】，令()2sin 2106f x x a π⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，转化为2sin 2,16y x y a π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭的交点问题，分别作出两个函数的图象，根据三角函数的对称性求解. 【详解】令()2sin 2106f x x a π⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭得2sin 216x a π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭如图所示：因为()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ， 所以12,1[1,2)26x x a π+=-∈ 12,[0,1)3x x a π∴+=-∈∴12,133x x a ππ⎡⎫+-∈+⎪⎢⎣⎭故答案为：,133ππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.【答案】34π-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,22ππωθ<<-<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()33g x f x x ππωωθ=-=-+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②，得12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4πθ=-，所以34ωθπ⋅=-.故答案为：34π-【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.四、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ） A．，34π B．3,4πC．,4πD．,4π【答案】B【分析】由题可知1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出1z ，再根据1z 对应的坐标即可得出它的辐角主值. 【详解】由题可知1255cossincos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1112222z ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)()()1111122i z i i i ---∴====++-， 可知1z对应的坐标为(，则它的辐角主值为34π. 故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题.14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【分析】根据平面向量数量积的运算律，借助于2248a b -=可构造方程求得结果.【详解】22222224444cos12016428a b a a b b a a b b b b -=-⋅+=-⋅+=++=，整理可得：24320b b +-=，解得：4b =或8b =-（舍）. 故选：C.15．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点 D ．()f x 的值域为[2,2]-【答案】B【分析】对于A ，画出函数的图像，由图像判断即可；对于B ，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，对函数化简再判断；对于C ，对函数化简后，求零点即可判断；结合A ，C 求出函数的值域即可【详解】解：对于A ，函数的图像如图所示，由图可知函数不是周期函数，所以A 错误； 对于B ，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，则()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以B 正确； 对于C ，2sin ,[,0)()sin sin 2sin ,[0,]x x f x x x x x ππ-∈-⎧=+=⎨∈⎩，当[,0)x π∈-时，由()0f x =，得2sin 0x -=，解得x π=-，当[0,]x π∈时，由()0f x =，得2sin 0x =，解得x π=或0x =，所以()f x 在[,]-ππ有3个零点，所以C 错误；对于D ，当[,0)x π∈-时，()2sin (0,2]f x x =-∈，当[0,]x π∈时，()2sin [0,2]f x x =∈，当(,2]x ππ∈时，()sin sin 0f x x x =-=，结合函数的图像可得()f x 的值域为[0,2]，所以D 错误， 故选：B16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，6c =C 为（ ） A ．60︒ B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒【答案】C【分析】根据正弦定理先求解出sin C 的值，然后根据,b c 的大小关系确定出C 的结果.【详解】因为sin sin b c B C =，所以26sin 45︒， 所以2632sin 2C ==，且c b >，所以C B >， 所以60C =︒或120︒， 故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. 【答案】3【分析】首先判断不等式两边的复数是实数，再根据虚部为零和不等关系解得参数值即可.【详解】由题意，不等式两边复数可比较大小，即两个复数均为实数，其虚部为零，故2223043010m m m m m ⎧-=⎪-+=⎨⎪<⎩，∴()()()3031010m m m m m ⎧-=⎪--=⎨⎪<⎩，∴m ＝3. 18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值． 【答案】（1）cos2a b x ⋅=，||2cos a b x += （2）12λ=. 【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解； （2）由（1）求得函数2()2cos 4cos 1,[0,]2f x x x x πλ=--∈，令cos [0,1]t x =∈，得到2241,[0,1]y t t t λ=--∈，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sincos()cos 22222222222x x x x x xa b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由2cos 1,(cos 12x a b ==== 所以22||2112cos a b a b a b x +=++⋅=++==.（2）由（1）可得()2||cos 24cos ,[0,]2f x a b a b x x x πλλ=⋅-+=-∈，即2()cos 24cos 2cos 4cos 1,[0,]2f x x x x x x πλλ=-=--∈，令cos [0,1]t x =∈，所以2241,[0,1]y t t t λ=--∈，对称轴为t λ=，若0λ≤，则min 1y =-，不符合题意； 若1λ≥，则min 3142y λ=-=-，解得58λ=（舍去）；若01λ<<，则2min 3122y λ=--=-，解得12λ=，综上可得：12λ=.19．已知函数21()cos(2)sin ()(02)2632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围． 【答案】（1）()cos 2f x x =；（2）11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用降幂公式降次，然后利用辅助角公式合一，代入()04f π=求解即可；（2）根据伸缩平移得到函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用整体法，求解23x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，再根据题干列不等式求解. 【详解】（1）21cos 213()2622x f x x πωπω⎛⎫-+⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎝⎭1cos 2sin 22626x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 2x ω=．因为02ω<<，cos 042f πωπ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1ω=，()cos 2f x x =． （2）由题可知，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有一个0x ，使得()0g x 取得最大值，所以0()()244ππααπ<+--≤，即0απ<≤．因为,44x ππαα⎛⎫∈-+⎪⎝⎭， 所以22,2366x πππαα⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭则112,666πππα⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，132,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当206πα-<，即12πα>时，226παπ+≤，故`111212ππα<≤；当206πα-≥，即12πα≤时，132266πππα<+≤，故α∈∅． 综上，α的取值范围为11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦． 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.20．在①sinsin sin A b c B C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值． 【答案】（1）3π；（2）6. 【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出C 的结果；若选②：根据正弦定理进行边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出C 的结果；若选③：根据面积公式in 12s S ab C =结合已知条件求解出tan C 的值，从而求解出C 的结果；（2）利用余弦定理和c 的值结合基本不等式，求解出a b +的最大值，由此可求解出ABC 周长的最大值. 【详解】（1）若选①：因为sin sin sin A b cB C b a+=--，所以a b c b c b a+=--，所以222ab a b c -=-， 所以222c a b ab =+-，所以2cos ab C ab =且0ab >， 所以1cos 2C =，所以3C π=； 若选②：因为c a =sin sin C A =sin 0A >，cos 1C C =+cos 1C C -=，所以2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭且5,666C πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以66C ππ-=，所以3C π=；若选③：因为in 12s S ab C =，2S CB =⋅，所以sin cos ab C C =且0ab >，所以tan C =()0,C π∈，所以3C π=；（2）因为2222cos c a b ab C =+-，所以224a b ab +-=，所以()234a b ab +-=，所以()224332a b a b ab +⎛⎫+-=≤⋅ ⎪⎝⎭，所以()216a b +≤，所以4a b +≤，取等号时2a b ==， 所以ABC 的周长的最大值为：426+=.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到,a b 满足的等式，结合基本不等式得到a b +的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将,a b 表示为对应角的正弦形式，利用23A B π+=结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值.21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-． （1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．【答案】(1) 6C π=； 【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C ；(2)利用正弦定理求出sin B ，再根据b c <，可知B C <，进而可根据同角三角函数关系，求出cos B ，再利用两角差的余弦公式可求得答案.【详解】(1)由222(2sin )4sin sin A B C B -=-化简，得222sin sin sin sin A B C A B +-=，由正弦定理，得222a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，又(0,)C π∈，所以6C π=.(2)因为1b =，c =sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==，因为b c <，所以B C <，所以cos 14B ==，所以cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+114214214=+=．所以cos()B C -=【点睛】易错点睛：本题在利用同角三角函数求cos B 时，需要注意利用大边对大角确定角B 的范围.。