第1章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件
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张量分析——初学者必看PPT
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
张量分析
eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
12:17
16
r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
12:17
7
如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j
张量分析TensorAnalysisppt课件
的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi
r xi
zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi
j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk
1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分 量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
σ σ0 σd
0 (1 2 3 ) / 3
d(i) i 0
：由 σ产生的应变能密度可分解为： V d
V：由体积变形引起； P：体积变，形状不变； d：由形状变形引起。 D：体积不变，形状变。
塑性流动条件：
J
D 2
=
Const.
一般塑性流动条件：
f
J
D 2
,
J
Q1 QT
Q1 Q Q Q1 G QT Q Q QT G
detQ2 1
J
Q 3
1
几种特殊的二阶张量
• 正交张量只有一个实特征根
3Q 1
实数标准形
对应特征方向，轴向 e3
cos sin 0
Q sin
cos
0
0
0 1
Q cos e1e1 e2e2 sin e2e1 e1e2 e3e3
➢ 非负张量的构造：任意二阶张量T
第一章 张量分析初步
eijk eijk 6
证明见例题
eijk与ij间的关系
由排列符号的性质 : ei e j eijk ek
ei e j • ek eijk
由于ei e j • ek表示的是混合积,其物理意义是单位立方体的体积.
另外,由矢量分析知, 平行六面体的体积可以表示成其三个棱的行
i e1, j e2, k e3
X1
X3 P(x1, x2, x3)
O
X2
➢ 再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)
➢ 基向量：ei, i=1,2,3 ei ➢ 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值
列式形式.
eeij
(i1, ( j1
i2,i3 , j2,
)
j3
)
ek (k1,k 2 ,k3)
ei,ej,ek为3个单位基向量， i,j,k互不相等。
i1 i2 i3 ei e j • ek j1 j2 j3 eijk
k1 k2 k3
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? 可总结为：aij x j bi
aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
两种方式:
将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；
只有当i=j时ij才不等于“0”，
∴
a j ij ai ii ( ii不求和) ai
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1 、g
2
P
其中 g 1 、g 2 不一定是单位矢量。
矢量 P 可表示为：
P P1 g1 P 2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
x2
( x 1 , x 2 ) Einstein求和约定
r
g2
如何计算 u(vw)？
vw
观察右图，可知 vw正交于
u
v 、w 构成的平面，而 u(vw)
w
正交于 vw，因此，u(vw)
一定在 v 、w 构成的平面
v
u (v w) v w
u(vw)
(u w)v (u v)w (uv) w
数形结合
矢量及其代数运算
➢矢量的乘法 矢量的混合积
uv wuvw群u论的v轮w换次序不变性w
张
gij gi gj gij gi gj
量
可证明：
分 析
g ij g ji
gij g ji
的
称 g i j 为度量张量的协变分量
起
称 g i j 为度量张量的逆变分量
点
gi gij g j gi = g ij g j
协变基矢量在逆变基矢量下分解 逆变基矢量在协变基矢量下分解
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g 1 与 g 2 、g 3 均正交，因此正交于 g 2 与 g 3 所
确定的平面；其模的大小等于
g1 1
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
张量分析.ppt
(A2 5)
3.混合积
1 基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j rer ek ei j rδr k
ei j k
(A2 7)
故也有定义
ei jk (ei e j ) ek ei (e j ek )
2 矢量混合积
(a b) c ei jk aibjek crer ei jk aibjcrδk r
第一节 问题的提出 第二节 矢量的基本运算 第三节 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1,x2xn 记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi
e1 e2 e3 ei j tet ei j kek
a11 a12 a13
（比较： A a21 a22 a23 ei jk a1ia2 j a3k ）
a31 a32 a33
特别地：
e1 e2 e12kek e123e3 e3
2 两个任意矢量的叉积
a b aiei bje j aibjei e j aibjei j kek ei j k aibjek c
0 0 1 31 32 33
ij Ai
1 j A1
2 j A2
3 j A3
A1 A2
A3
Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidx j
性质：
ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
22
23
～ yx
数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
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r确定了基矢量：g1、g2
其中 g1、g2 不一定是单位矢量。
P
矢量 P可表示为：
P P1g1 P2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
1章 矢量与张量
x2
(x1, x2 ) Einstein求和约定
计算功(功率)
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
1章 矢量与张量
➢ 矢量的乘法
矢量的外积
定义式（实体形式，几何表达） ：w u v
w uv
u v u v sin
u v v u (反交换性)
计算式（分量形式，代数表达） ：
w uv
由 dr
r xi
dxi
gidxi
可定
义协变基矢量 gi 为
gi
r xi
g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
1章 矢量与张量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
u
v
uv v
u
平行四边形法则
矢量及其代数运算
➢ 直线坐标系与矢径
笛卡尔坐标系：直角直线 费马坐标系：斜角直线
1章 矢量与张量
z r：矢径
r xi yj zk
r u 矢径 r确定了基矢量：i、 j、k
k
j i
x 笛卡尔坐标系
y 矢量u可表示为：
u uxi uy j uzk
矢量及其代数运算
v u
u
v
w 2
ux vx
uy vy
uz vz
u u
x y
vx vy
wx u u
wz
vu
uv vv
uw vw
wx wy wz uz vz wz w u w v w w
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，因此正交于 g2与 g3所
确定的平面；其模的大小等于
g1 1
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
1章 矢量与张量
➢ 矢量的乘法
u
矢量的内积
定义式（实体形式，几何表达）：
u v u v cos
v cos
u v v u (可交换性)
计算式（分量形式，代数表达）： u cos
v
u uxi uy j uzk
v vxi vy j vzk
物理意义：
u v uxvx uyvy uzvz
矢量及其代数运算
1章 矢量与张量
➢ 矢量和矢量的模
u 、v、w u 、v 、w ➢ 矢量的加法: 平行四边形法则 uv vu (u v) w u (v w) u v u (v) u (u) 0 (a b)u au bu a(u v) au av (ab)u a(bu)
➢ 从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
1章 矢量与张量
x2
(x1, x2 )
x2
(x1, x2 )
r
j
i
x1
笛卡尔坐标系
r
P
g2
g1 x1
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系和矢径
x2
r
g2
g1 x1
费马坐标系
1章 矢量与张量
(
x1
,
x
2
)
r
矢径
x1g1 x2 g2
一定在 v 、w 构成的平面
v
u (v w) v w
u (v w)
(u w)v (u v)w (u v) w
数形结合
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 矢量的混合积
1章 矢量与张量
u v w u v w群 u论的v 轮w换次序不变性w
ux uy uz u ux vx wx
vx vy vz uy v顺y 时w针z 轮换 wx wy wwz uzv vz wz
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
1章 矢量与张量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3，可
设 g1 g2 g3，利用下式：
g1 g1
1 g1 g1 (g2 g3 ) g1 g
可计算出：
g1
1 g
( g2
g3 )
g2
1 g
( g3
g1 )
2 g2
2
g3
v u
i jk ux uy uz
vx vy vz
物理意义： 计算面积
计算 v u时换行。
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 三个矢量u、v 、w 之间的运算
1章 矢量与张量
如何计算 u (v w)？
vw
观察右图，可知 v w正交于
u
v、w构成的平面，而 u (v w)
w
正交于 v w，因此，u (v w)
x2
P2 g2
P2 g2
P
x2
P2 g2
P
2
P1g1
x1
2
P1 g1
2
P2 g2
2
P1 g1
2
2
P1g1 x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r
x2
x2 g2
O x1g1
x1
三维空间中的 斜角直线坐标系
1章 矢量与张量
r x1g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
r
g2
g：协变基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
g
g
0 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g P P g
称为矢量P的逆变分量
1章 矢量与张量
P P g
称为矢量P的协变分量
g3
1 g
( g1
g2 )
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
将 g1在 g1, g2 , g3 标架下分解：
g1 g11g1 g12 g2 g13 g3 g1 j g j
1章 矢量与张量
第1章 矢量与张量
2021年3月10日
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
1章 矢量与张量
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念的内涵和外 延（定量）
怎样计算？
1章 矢量与张量
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量的基本概念 ➢ 张量的代数运算 ➢ 张量的矢积
其中 g1、g2 不一定是单位矢量。
P
矢量 P可表示为：
P P1g1 P2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
1章 矢量与张量
x2
(x1, x2 ) Einstein求和约定
计算功(功率)
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
1章 矢量与张量
➢ 矢量的乘法
矢量的外积
定义式（实体形式，几何表达） ：w u v
w uv
u v u v sin
u v v u (反交换性)
计算式（分量形式，代数表达） ：
w uv
由 dr
r xi
dxi
gidxi
可定
义协变基矢量 gi 为
gi
r xi
g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
1章 矢量与张量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
u
v
uv v
u
平行四边形法则
矢量及其代数运算
➢ 直线坐标系与矢径
笛卡尔坐标系：直角直线 费马坐标系：斜角直线
1章 矢量与张量
z r：矢径
r xi yj zk
r u 矢径 r确定了基矢量：i、 j、k
k
j i
x 笛卡尔坐标系
y 矢量u可表示为：
u uxi uy j uzk
矢量及其代数运算
v u
u
v
w 2
ux vx
uy vy
uz vz
u u
x y
vx vy
wx u u
wz
vu
uv vv
uw vw
wx wy wz uz vz wz w u w v w w
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，因此正交于 g2与 g3所
确定的平面；其模的大小等于
g1 1
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
1章 矢量与张量
➢ 矢量的乘法
u
矢量的内积
定义式（实体形式，几何表达）：
u v u v cos
v cos
u v v u (可交换性)
计算式（分量形式，代数表达）： u cos
v
u uxi uy j uzk
v vxi vy j vzk
物理意义：
u v uxvx uyvy uzvz
矢量及其代数运算
1章 矢量与张量
➢ 矢量和矢量的模
u 、v、w u 、v 、w ➢ 矢量的加法: 平行四边形法则 uv vu (u v) w u (v w) u v u (v) u (u) 0 (a b)u au bu a(u v) au av (ab)u a(bu)
➢ 从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
1章 矢量与张量
x2
(x1, x2 )
x2
(x1, x2 )
r
j
i
x1
笛卡尔坐标系
r
P
g2
g1 x1
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系和矢径
x2
r
g2
g1 x1
费马坐标系
1章 矢量与张量
(
x1
,
x
2
)
r
矢径
x1g1 x2 g2
一定在 v 、w 构成的平面
v
u (v w) v w
u (v w)
(u w)v (u v)w (u v) w
数形结合
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 矢量的混合积
1章 矢量与张量
u v w u v w群 u论的v 轮w换次序不变性w
ux uy uz u ux vx wx
vx vy vz uy v顺y 时w针z 轮换 wx wy wwz uzv vz wz
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
1章 矢量与张量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3，可
设 g1 g2 g3，利用下式：
g1 g1
1 g1 g1 (g2 g3 ) g1 g
可计算出：
g1
1 g
( g2
g3 )
g2
1 g
( g3
g1 )
2 g2
2
g3
v u
i jk ux uy uz
vx vy vz
物理意义： 计算面积
计算 v u时换行。
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 三个矢量u、v 、w 之间的运算
1章 矢量与张量
如何计算 u (v w)？
vw
观察右图，可知 v w正交于
u
v、w构成的平面，而 u (v w)
w
正交于 v w，因此，u (v w)
x2
P2 g2
P2 g2
P
x2
P2 g2
P
2
P1g1
x1
2
P1 g1
2
P2 g2
2
P1 g1
2
2
P1g1 x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r
x2
x2 g2
O x1g1
x1
三维空间中的 斜角直线坐标系
1章 矢量与张量
r x1g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
r
g2
g：协变基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
g
g
0 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g P P g
称为矢量P的逆变分量
1章 矢量与张量
P P g
称为矢量P的协变分量
g3
1 g
( g1
g2 )
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
将 g1在 g1, g2 , g3 标架下分解：
g1 g11g1 g12 g2 g13 g3 g1 j g j
1章 矢量与张量
第1章 矢量与张量
2021年3月10日
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
1章 矢量与张量
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念的内涵和外 延（定量）
怎样计算？
1章 矢量与张量
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量的基本概念 ➢ 张量的代数运算 ➢ 张量的矢积