弹塑性力学第二章
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弹塑性力学第二章PPT课件
面力平均集度：
p S
[力][长度] -2
一点面力的集度：
p lim S 0 S
pS
Ps方向：与ΔP的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
西南科技大学 力学教研室
力和应力的概念
2. 内力
物 体 在外力作用下
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
附加 的内 力场
当内力场足以和外 力平衡时，变形不 再继续
平衡
西南科技大学 力学教研室
二、应力的定义
应力：单位面积上的内力： lim p
S Sc 0
c
单位：帕（Pa)
反映了P点内力的强弱程
度，是度量内力分布强弱
程度的物理量。
应力二要素： 点的位置：不同点的应力不同 截面方位：同一点不同方位截面上的应力不同
yx
yz
力和应力的概念
一点的应力状态 ：
x yx
xy y
xz 坐标变换 yz
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
zx
zy
z
西南科技大学 力学教研室
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量， 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
平衡微 分方程
考虑物体内部任 意一个微分平行 六面体的平衡
静力边 界条件
考虑物体表面任 意一个微分四面 体的平衡
西南科技大学 力学教研室
边界条件
边界条件建立了边界上的物理量与内部物理 量间的关系，是力学计算模型建立的重要环节。
三种边界条件 （1）应力边界条件：在边界上给定内力。 （2）位移边界条件：在边界上给定位移。 （3）混合边界条件：在边界上部分给定面力，部分给定位移。
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
第二章 弹塑性断裂力学
J积分的第一项:
Wdy
/2
Wr
/ 2
cos d
(1
v)(1 4E
2v)
K2
J积分的第二项(平面应变状态下)：
Tx
ux x
Ty
uy y
ds
1
v3
4E
2v
K2
所以，有J积分：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(1
v)(1 4E
2v)
K2
1
v3 2v
4E
K
2
1 v2 E
K2
G
类似的，平面应力状态下有：
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
BC
(Wdy
T
i
ui x
ds)
(Wdy DA
T
i
ui x
ds)
(2.7)
由于在BC和DA段上dy 0及 Ti 0，所以(2.7)中后两个积分为零,即：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
所以J积分与路径无关。
J积分理论
J积分使用范围的前提条件：
ui x
ds]
应用Green公式，上式可写成：
I
W
x
dxdy
xi
ij
ui x
dxdy
(2.4)
J积分理论
又
W
x
W ij ij x
ij
ij
x
ij
x
1 2
ui,
j u j,i
弹塑性力学-02(张量初步)
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
具有相同性质的一组物理量，可以用一个带 下标的字母表示：
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
弹塑性力学2
1 ω′ = − e : ω 2 1 ωi′ = − eijk ω jk 2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
弹塑性力学第二章
一、P点的正应变
x
(u
u dx) x dx
u
u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
x
x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx
yx
y
dy)
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力中的体力和面力的范围。
2020/5/6
2
§2-1 内力和外力 1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）
上的力,如重力（或惯性力）
量纲：力/（长度）3。
x3
F
求 V 中任意点P上承受体力
P
V
采用极限方法：
x2
lim V 0
F V
f
f i ei
fxi
x1
fy j
fzk
Xi Yj Zk
力矢量又可以沿三个坐
13 12
t1
标面分解三个分量，比
11
如坐标面法线为x1
x1(x)
r t1
r tx
11xerx1erx
12erx2yer y13er3
r
1
xz ez
j
er
j
2020/5/6
16
§2-2 应力矢量和应力张量
r ti
ijer j
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
F S
Fiei
Fxi
Fy
j
Fzk
Xi
Yj
Zk
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
2020/5/6
5
§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
2020/5/6
6
§2-2 应力和应力张量
e1
1 2
e2
1 2
e3
的面上的应力矢量t(
n )；
（2）tn 的大小；（3）tn 与
n 的夹角
（4）求t(n)的法向分量 n ；
（5）切向分量 n。
2020/5/6
26
作业：
2.在P点两斜面法线向量n1和n2 ，证：
tn1 n2 tn2 n1（用指标符号证）。
n1
tn1
tn2
Qi'
j
jk
Qi'k
2020/5/6
31
§2-3 应力分量转换公式
eri' erk Qi'k 或
Qi' j eri' er j cos(xi' , xj )
' e e i
与
j 的方向余弦，共有九个元素。
2020/5/6
32
§2-3 应力分量转换公式
九个元素用矩阵表示
Qi' j Q
x'j er
er
' j
' j x1
Qij' xi
ei Q j'i
o
x
' j
r
x2
2020/5/6
36
§2-3 应力分量转换公式
用矩阵表示
x1' x2'
Q1'1
Q2'1
Q1'2 Q2'2
x3'
Q3'1
Q3'2
Q1'3 Q2'3
xx12
Q3'3 x3
x' Qx x QT x'
第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2020/5/6
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
rr r t(x)l t( y)m t(z)n
2020/5/6
12
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
设 ABC S,
-t(2)
P
则 PBC n1 S,
A x1
PAC n2S, PAB n3 S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
2020/5/6
13
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
n2
2020/5/6
27
§2-3 应力分量转换公式
当物体受外力作用下，其内力和变形 也是一定的，但这些物理量随着选取的直 角坐标系不同他们的分量是不一样的，但 不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循 一定的规律。
2020/5/6
28
§2-3 应力分量转换公式
3.1 两个不同直角坐标系基向量的转换：
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
x1
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11
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
f -t(1)
n
n1 nx l n2 n y m -t(2)
t(n)
n3 nz n 即 ：
P A
x2 B
-t(3)
rr
r
rx1
r
t(n) t(i)ni t(1)n1 t(2)n2 t(3)n3
T Q Q Q T i' j' s'
i'i j' j
s's ij s
则T为r阶张量。
2020/5/6
40
§2-4 主应力和应力主方向、应力张量的 不变量
4.1 主应力和应力主方向
由 （ 方t(n柯 或 向) 西 的ti公应）n式力,i在ti，矢x已量i n笛知t卡一(n)尔点坐的标应系力tni 中状，态n则iij任eei何j n
则新坐标基矢量用旧基矢量表示：
e' Q e
eri'
Qi'
r jej
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33
§2-3 应力分量转换公式
同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示
ei
Qij' e'j
Q ij
'
ei
e'j
cos(xi , x'j )
九个元素用矩阵表示
Qij'
注意
Qij' Qi' j T Q T
根据微元体的平衡，得
t(n)S t(i)Si fV 0
而
r
rr
t(i) t(i) ti
C
-t(2)
P A x1
代入上式r ，并忽略r高阶微量 t(n)S tiniS 0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
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14
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
r
r
t(n)S tiniS 0
（旧）第一个直角坐标系：
x3
er xi
i
i 1, 2,3
x
’3
（新）第二个直角坐标系：
' ' x e i i i 1,2,3 x1
er3' e1
e3 e1'
e2' e2
x
x
’2
x2
’1
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29
§2-3 应力分量转换公式
x3
eri eri' 1
新坐标基矢量由旧 坐标基矢量表示
S 0
S
应力矢量与P点位置有关，与截面方向 n （ 方向）有关。
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9
§2-2 应力矢量和应力张量
当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。
量纲为力/（长度）2。
r
r
lim lim 取V-
：r t(
n)
S 0
F S
S 0
F S
r t(n)
作用在V-上。
当P点的截面与坐标面平行时，
(n ei )
或
r
r
t(n) niti
C
-t(2)
P A
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
展开为
r
r
r x1 r
t(n) t1n1 t2n2 t3n3
或
r rr r t(n) txl tym tzn
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15
§2-2 应力矢量和应力张量
2.2 应力张量
x3(z)
每个坐标面上的应
x2(y)
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19
§2-2 r t(
应力矢量和应力张量
n) nr []为一二阶张量，
ij
ei
ej
斜面上的应力矢量 t(n) 沿正交坐标系分解 t(n) ti ei
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20
§2-2 应力矢量和应力张量
t根(n据) 柯西n公式
t(n)
ni
ij
ej
n j
ti ei
21 22 23 yx yy yz yx y yz
31
32
33
zx
zy
zz
zx
zy
z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
应力分量的正负：在正面上应力分量指向 坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分 量指向坐标负向为正，反之为负。
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§2-4 主应力和应力主方向、应力张量的
[ ] [Qik ' ][k'l' ][Qjl ' ]T [Q]T [ '][Q]
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2
§2-1 内力和外力 1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）
上的力,如重力（或惯性力）
量纲：力/（长度）3。
x3
F
求 V 中任意点P上承受体力
P
V
采用极限方法：
x2
lim V 0
F V
f
f i ei
fxi
x1
fy j
fzk
Xi Yj Zk
力矢量又可以沿三个坐
13 12
t1
标面分解三个分量，比
11
如坐标面法线为x1
x1(x)
r t1
r tx
11xerx1erx
12erx2yer y13er3
r
1
xz ez
j
er
j
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§2-2 应力矢量和应力张量
r ti
ijer j
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
F S
Fiei
Fxi
Fy
j
Fzk
Xi
Yj
Zk
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
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5
§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
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6
§2-2 应力和应力张量
e1
1 2
e2
1 2
e3
的面上的应力矢量t(
n )；
（2）tn 的大小；（3）tn 与
n 的夹角
（4）求t(n)的法向分量 n ；
（5）切向分量 n。
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26
作业：
2.在P点两斜面法线向量n1和n2 ，证：
tn1 n2 tn2 n1（用指标符号证）。
n1
tn1
tn2
Qi'
j
jk
Qi'k
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§2-3 应力分量转换公式
eri' erk Qi'k 或
Qi' j eri' er j cos(xi' , xj )
' e e i
与
j 的方向余弦，共有九个元素。
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32
§2-3 应力分量转换公式
九个元素用矩阵表示
Qi' j Q
x'j er
er
' j
' j x1
Qij' xi
ei Q j'i
o
x
' j
r
x2
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§2-3 应力分量转换公式
用矩阵表示
x1' x2'
Q1'1
Q2'1
Q1'2 Q2'2
x3'
Q3'1
Q3'2
Q1'3 Q2'3
xx12
Q3'3 x3
x' Qx x QT x'
第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2020/5/6
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
rr r t(x)l t( y)m t(z)n
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12
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
设 ABC S,
-t(2)
P
则 PBC n1 S,
A x1
PAC n2S, PAB n3 S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
n2
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§2-3 应力分量转换公式
当物体受外力作用下，其内力和变形 也是一定的，但这些物理量随着选取的直 角坐标系不同他们的分量是不一样的，但 不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循 一定的规律。
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28
§2-3 应力分量转换公式
3.1 两个不同直角坐标系基向量的转换：
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
x1
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11
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
f -t(1)
n
n1 nx l n2 n y m -t(2)
t(n)
n3 nz n 即 ：
P A
x2 B
-t(3)
rr
r
rx1
r
t(n) t(i)ni t(1)n1 t(2)n2 t(3)n3
T Q Q Q T i' j' s'
i'i j' j
s's ij s
则T为r阶张量。
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§2-4 主应力和应力主方向、应力张量的 不变量
4.1 主应力和应力主方向
由 （ 方t(n柯 或 向) 西 的ti公应）n式力,i在ti，矢x已量i n笛知t卡一(n)尔点坐的标应系力tni 中状，态n则iij任eei何j n
则新坐标基矢量用旧基矢量表示：
e' Q e
eri'
Qi'
r jej
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§2-3 应力分量转换公式
同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示
ei
Qij' e'j
Q ij
'
ei
e'j
cos(xi , x'j )
九个元素用矩阵表示
Qij'
注意
Qij' Qi' j T Q T
根据微元体的平衡，得
t(n)S t(i)Si fV 0
而
r
rr
t(i) t(i) ti
C
-t(2)
P A x1
代入上式r ，并忽略r高阶微量 t(n)S tiniS 0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
r
r
t(n)S tiniS 0
（旧）第一个直角坐标系：
x3
er xi
i
i 1, 2,3
x
’3
（新）第二个直角坐标系：
' ' x e i i i 1,2,3 x1
er3' e1
e3 e1'
e2' e2
x
x
’2
x2
’1
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§2-3 应力分量转换公式
x3
eri eri' 1
新坐标基矢量由旧 坐标基矢量表示
S 0
S
应力矢量与P点位置有关，与截面方向 n （ 方向）有关。
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9
§2-2 应力矢量和应力张量
当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。
量纲为力/（长度）2。
r
r
lim lim 取V-
：r t(
n)
S 0
F S
S 0
F S
r t(n)
作用在V-上。
当P点的截面与坐标面平行时，
(n ei )
或
r
r
t(n) niti
C
-t(2)
P A
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
展开为
r
r
r x1 r
t(n) t1n1 t2n2 t3n3
或
r rr r t(n) txl tym tzn
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.2 应力张量
x3(z)
每个坐标面上的应
x2(y)
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§2-2 r t(
应力矢量和应力张量
n) nr []为一二阶张量，
ij
ei
ej
斜面上的应力矢量 t(n) 沿正交坐标系分解 t(n) ti ei
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§2-2 应力矢量和应力张量
t根(n据) 柯西n公式
t(n)
ni
ij
ej
n j
ti ei
21 22 23 yx yy yz yx y yz
31
32
33
zx
zy
zz
zx
zy
z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
应力分量的正负：在正面上应力分量指向 坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分 量指向坐标负向为正，反之为负。
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§2-4 主应力和应力主方向、应力张量的
[ ] [Qik ' ][k'l' ][Qjl ' ]T [Q]T [ '][Q]