《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt
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弹塑性力学-07-文档资料18页
其中
为
ij
kronecker
（克罗内科积）
有
ij
1
0
i j i j
23.09.2019
谢谢！
xiexie!
23.09.2019
2、张量的表示法：有三种
设ai及bi为两个矢量，定 的义 量 ai下 为 j 列 二阶张量，
（1）符号a法 (2)分量法（并矢 aijei法 e（ j e） iej不是矢量的点积）
（3）矩阵法a记 ij 或为aij
3、二阶张量的相加和相减
aijbijcij
x1 x2
c 11 c 21
y1 y1
c 12 c 22
y2 y2
c 13 y 3 c 23 y 3
x 3 c 31 y 1 c 32 y 2 c 33 y 3
23.09.2019
§7-2 张量的概念
一 、张 量
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
应变 x,y 分 ,z,x y 量 y,xy： z z,yzx xz
采用下标记法σ：ij,εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
23.09.2019
写成矩阵的形式
11 21
12 22
1 23 3 x yx x
33
a ij b i c j
a ij b i c j
弹塑性力学第七章
r
E
1 2
( dur dr
ur ) r
E
1 2
(ur r
dur ) dr
d 2ur dr 2
1 r
dur dr
ur r2
(1 2 )
E
fr
0
d dr
1 r
d dr
(rur )
(1 2 )
E
fr
0
2020/3/3
24
§7-2 轴对称问题
( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
2020/3/3
33
§7-2 轴对称问题
其中A、B、C、D为任意常数，D可去掉。
将 (r) 代入应力分量与应力函数的关系式，
可得平面应力、平面应变问题应力表达式：
r
1 d A B(1 2 ln r) 2C
)
x
ur r
1 E
(
r )
y
将应力分量表达代入几何方程的第二式，得
2020/3/3
36
§7-2 轴对称问题
ur
r E
(
r )
1 E
(1 )
A r
Br3
r Fr
（在
s
上） ）
2020/3/3
28
§7-2 轴对称问题
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
d r
dr
r
r
弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答
ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
弹塑性力学第7章—平面问题
2 2 2 ε γ xy ∂ ∂ ε ∂ y 应变协调方程： x + = 2 2 ∂y ∂x ∂y∂x
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ∂2 ⎞ 1 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ⎜ ∂ 2 + ∂ 2 ⎟ (σ x + σ y ) = − − ⎜ ∂ + ∂ ⎟ x ⎠ 1 v⎝ x y ⎠ ⎝ y
本构方程 ：
7.1 平面问题的基本方程
7.1.1 平面应力问题
应变协调方程： ∂ ε x + 2 = 2 ∂y ∂x ∂y∂x
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ∂2 ⎞ ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟ ⎜ ∂y 2 + ∂x 2 ⎟ ⎟(σ x + σ y ) = −(1 + v )⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7.1 平面问题的基本方程
7.1.2 平面应力问题
本构方程 ：
1 ⎤=0 εz = ⎡ σ v σ σ − + 由 ( ) z x y ⎦ E⎣
可得
σ z = v (σ x + σ y )
代入一般情况下的广义胡克定律，得到
E v , v1 = 其中 E1 = 2 1− v 1− v
τ xy ⎫ 1 ε x = (σ x − v1σ y ) γ xy = ⎪ E1 G ⎪ ⎪ 1 ε y = (σ y − v1σ x ) γ yz = 0 ⎬ E1 ⎪ εz = 0 γ zx = 0 ⎪ ⎪ ⎭
f1 = C2 x3 + C3 x 2 + C4 x + C5
f 2 = C6 x3 + C7 x 2 + C8 x + C9
弹塑性力学_平面问题_2
本构方程1
（7.16)
本构方程2
（7.17)
1。弹性力学问题的平面问题
平面应力问题的基本方程
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy
协调方程
（7.18)
（7.19)
边界条件
（7.20)
1。弹性力学问题的平面问题
平面问题的基本解法
(1) 位移法
（5.13)
（5.14)
1。弹性力学问题的平面问题
(1) 位移法
平面应力问题
代入
代入
（7.21)
1。弹性力学问题的平面问题
（7.21)
这是平面应力位移法基本方程，也可写成：
（7.21a)
其中
1。弹性力学问题的平面问题
用位移表示的边界条件经过如下转换：
（7.22)
1。弹性力学问题的平面问题
（7.21a)
（7.23)
无体力问题
(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。 作用： (2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。
面力变换公式： X X lXx, Y Y mYy 与坐标系的选取有关， 注意： 因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。
弹性力学问题的解法
对于全部给定外力的边值问题，应力解法可以避开 几何关系（5.2）直接解出工程中关心的应力分量。 但应力解法处理位移边界条件相当困难。 应力解法涉及六个二阶B-M方程，三个一阶平衡方 程和三个边界条件，对于几何形状或载荷分布较复杂 的问题比较困难。
（7.29a)
弹性力学问题的解法
(3) 应力函数解法
（7.29a)
（7.30a)
弹性力学问题的解法
《工程弹塑性力学》PPT课件
工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
7-弹塑性力学-弹性问题的求解
第六章 弹性问题的求解
轴对称问题(axi-symmetrical problem) 的求解
轴对称：几何与载荷场均中心对称。 应力函数 (r , ) ，由于轴对称， (r )
1 d r , r dr
2
d 2 2 , dr
2
r r 0
第六章 弹性问题的求解
厚壁筒受均压的应力解： 讨论： 2 2 qa q 常数（与r无关） （1） r 2 2 2 2 b b / a 1 1 a / b
从而 z ( r ) 常数 E
表明：厚壁筒变形后各载面（垂直z轴）仍为平面。（平面应力与平面应 变问题的转换条件） （2）当 qb 0 ，即只受内均压 作用时，
其中：
E1
E 1 2
, 1
1
这就是平面应变问题的广义虎克定律。
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
不难证明：
1 1 1 E1 E ,G E1 E 2(1 1) 2(1 )
x xy X 0 y x y xy Y 0 y x
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
x 2G x y 2G y 由物理方程可得应力分量 z 2G z G xy xy 0 zx yz
其中
E （拉梅常数）， (1 )(1 2 )
平面应变问题（长轴类问题）(plane strain problem)
ห้องสมุดไป่ตู้
第六章 弹性问题的求解
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x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
2020/10/9
14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
2020/10/9
17
§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
2020/10/9
12
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.7 按应力法求解
在直角坐标 系中按应力求解 的基本方程为 (平面应力问题）
dur dr
ur r
2020/10/9
19
§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
1 r2
2 r 2
1 2 r r 2
(r
)
1 r2
2
r
(r
r
)
1 r
r
r
0
1 d2 r dr 2
(r
)
1 r
d r
dr
0
d dr
(r
)
—r —变形协调方程
2020/10/9
20
§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
1.5 边界条件
1. 位移边界条件：ur u，r u u（在 su 上 ）
2. 力的边 界 条件：
r r
cos(n,
r
)
r
cos(n, s )
Kr
Fr（在
cos(n,r) r cos(n,s) K F
s
上
）
2020/10/9
8
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.5 边界条件
r
cos(n, r )
r
cos(n,
s)
Kr
Fr
r cos(n,r) r cos(n, s) K F
（在
s 上
）
环向边界
n
//
r
:
r
Kr , r
K（r=r0）
径向边界 n // s(nr) :θr Kr , K（ =0 ）
2020/10/9
9
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力 均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移 表示：
2 (
x
x
x
xy
x
y
xy
y
fx
0
y
y
fy
0
) (1 )(fx
x
f y y
)
其中
2＝ 2 2
x 2 y 2
2020/10/9
13
§7-1平面极坐标下的基本公式
在极坐标按应力求解的基本方程为 （平面应力问题）
其中
2
r 1
r r
r
r
( r )
r 1 r (1
4 ( r, ) = 0 或
(
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
)2
0
2020/10/9
15
§7-1平面极坐标下的基本公式
而极坐标系下的应力分量r ,,,r 由 ( r, )
的微分求得, 即：
r
1 r2
2 2
1 r
r
2
r 2
r
r
(1 ) r r
1 r2
1 2
r r
2020/10/9
r
E
1 2
( r
)
1
E
2
u r r
(1 u r
ur r
)
2020/10/9
10
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
E
1 2
(
r
)
1
E
2
(1 u
r
ur r
ur ) r
r
E 2(1
)
r
E (1 ur
2(1 ) r
u r
u ) r
2020/10/9
11
§7-1平面极坐标下的基本公式
r r
2020/10/9
4
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.1 平衡微分方程
r
r
1 r r
1 r
(
r
)
fr
0
r
r
1 r
2 r
r
f
0
2020/10/9
5
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.2 几何方程
r
ur rΒιβλιοθήκη ur r1 ur
1.3 变形协调方程
r
1 ur
r
u r
u r
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件
用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极 坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及 算例。
2020/10/9
2
§7-1平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一
点的物理量为r, 函数。
体力：fr=Kr , f=K 面力： Kr Fr , K F
o r
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题
§7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲
§7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
2020/10/9
1
在平面问题中，有些物体的截面几何形状 （边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
在V内 u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r), r=r (r), = (r) 。
各待求函数为r的函数（单变量的）
2020/10/9
18
§7-2 轴对称问题
2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程 （仅一个）：
d r
r
r
r
fr
0
2. 几何方程（二个）：
r
1 r2
2 r 2
1 2 r r 2
(r
)
1 r2
2
r
(r
r
)
1 r
r
r
0
2020/10/9
6
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.4 物理方程
平面应力问题：
1 E
(
r )
r
1 E
( r
)
r
2(1 E
)
r
平面应变问题将上式中
E
1
E
2
，
1
，即得。
2020/10/9
7
§7-1平面极坐标下的基本公式
d dr
(r
)
r
——变形协调方程
由几何方程：
r ur
d dr
(r
)
dur dr
r
或
d r
dr
r
2020/10/9
21
§7-2 轴对称问题
4.物理方程(两个) 平面应力问题
r
1 E
( r
)
1 E
(
r )