04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。
该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。
李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。
在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。
对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。
为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。
如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。
2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。
那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。
如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。
如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。
通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。
对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。
如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。
对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。
总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。
通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
lim x xe
t
则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第二种：渐近稳定 x2 S( )
经典 理论 中的 稳定 就是 这里 所说 的渐 近稳 定
S( )
x0 xe x1
x
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第三种：大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f ( x, t ) 对对整个状态空间中的任意初 始状态x0的每一个解，当t→，都收敛到xe，称系统的平 衡状态xe大范围渐近稳定。
RCx1 x1 0
电容器储存的电场能为
x1 (t ) x1 (0)e
2t
t RC
1 1 2 1 2 2 v( x ) CU c Cx1 Cx1 (0)e RC 0 2 2 2
v( x )
2 v( x ) 0 RC
4.3 李雅普诺夫第二法
3 几个稳定判据
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2 李雅普诺夫第一法
绪论
本章结构 • 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.3 李雅普诺夫第二法
f ( xe , t ) 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
对于非线性系统，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个，即 可能有多个平衡状态。如
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
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系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令
1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe
x1 xe1 x2 xe2
2
2
xn xen
2
类似地, 定义球域S ( ), S ( ). 在H邻域内 , 对任意0 H , 均有：
(1) 如果对应于每一个 S ( ), 存在一个S ( ), 使得当t 时, 始于S ( )的轨迹不脱离 S ( ),则平衡状态xe 0称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。对于 , 有 ( , t0 )即与 , t0 有关。如果与t0无关, 则此平衡状态称为一致 稳定的 平衡状态 — —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时, 系统受扰动, 平衡状态受破坏 , 产生对应初始状态 x0 , 当t t0后, 运动状态x(t )会发生变化。 若无论多么小球域 S ( ),总存在一个球域 S ( ),当 x0 S ( )时, x(t )轨线不会超出S ( ),则平衡点xe为 Lyapunov 意义下稳定。
0
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
xe 1 0
xe1 , xe2 , xe3 在状态空间中是孤立的 , 称其为孤立平衡点
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。 说明：
(1) (2) (3)
第一节
李雅普诺夫稳定性定义
一、稳定性基本概念
1. 自治系统：输入为0的系统 2. 初态：
=Ax+Bu(u=0) x
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3. 平衡状态：
e f ( xe , t ) 0 xe 系统的平衡状态 x n Ax xR a. 线性系统 x
实际上，工程中的李 氏稳定是临界不稳定
S ( ) S ( )
Xe
B 无摩擦，
等幅振荡
A
定义4-3(渐近稳定)：
若系统不仅是Laypunov 意义下的稳定 , 且有 lim x(t ) xe
t
则称xe是渐近稳定的。若 ( , t0 ) ( )与t0无关, 则称 一致渐近稳定。
第四章
动态系统的稳定性分析
1 稳定性基本概念
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3 李雅普诺夫第一法
4 李雅普诺夫第二法
5 线性定常系统渐近稳定性判别法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法
重点内容：
• 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 • 线性定常系统非线性系统稳定性定理与判别 • 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
(4) 对于图(d),轨迹离开S ( ),说明平衡状态不稳定 , 却不说明 轨迹趋于无穷远处。轨 迹还可能趋于S ( )处的某一极限环。 (线性定常系统不稳定 , 则不稳定平衡点附近出 发的轨迹将 趋于无穷远; 但对非线性系统 , 这一结论不成立 )
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态 被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来 的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈 魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线 性系统)
第二节
李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 , ,, 1 2 n 或者说系统极点来判断系统稳定性。 对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得 到一近似的线性化方程，然后再进行判断。
几何意义 S ( ) S ( )
Xe
物理意义
球受外力离开 平衡点,存在摩 擦力时,小球最 终静止在A点。
A
定义4-4(大范围渐近稳定)：
若对任意x0都有 lim x(t ) xe , 则称xe是大范围渐近稳定。
t
又称全局稳定。
S ( )
S ( )
Xe
必要条件：只 有一个平衡点。
定义4-5(不稳定)： 对任意给定实数 0, 不论多么小, 至少有一个x0 ,当 x0 xe , 则有 x(t ) xe , 则称xe不稳定。