第9章扭转强度与刚度

→
d G dx
（实心截面）
（空心截面）
d G dx
三）静力关系：
d ? dx

A

O
dA
2 d dA T A dA A G dx d G A 2 dA dx
A dA dA dA
令
I p A dA
切应力互等定理
'
a dy

O ' dx
d

c x
z
b
在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。

单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
a
'
d


b
'
c
圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验： 2、变形规律： 圆周线—形状、大 小、间距不变，各圆周 线只是绕轴线转动了一 个不同的角度。
2
d T GI p dx
d T dx GI p
扭转变形计算式 d 代入物理关系式 G dx 得： T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:
T Ip
二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
由截面法 T m 199 N m （2）计算极惯性矩 , AC段和CB段 横截面的极惯性矩分别为 D 4 4
I P1
d 4 6.38 cm 4 T D T AC AC 37.5 106 Pa 37.5 MPa （3）计算应力 max 外 I P1 2 WP1
例 已知 T =1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件设
计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 确定实心圆轴直径
max
T π 3 d 16
3
3
2. 确定空心圆轴内、外径
T π 3 D (1 4) 16
max [ ]
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me
y a
dy b
'
d x d z
d

O '

c
d yd z
x
F 0 M 0
y z
自动满足
存在'
z
dx
d y d z d x d x d z d y
得
且由于 Fx 0

y


' '



' '

3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。 4、定性分析横截面上的应力 （1） 0, 0
（2） 0 0 因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。 t （3） t D, 认为切应力沿壁厚均匀 分布（方向垂直于其半径方向）。 D


d

5、切应力的计算公式：
dA
对圆心的矩 → dAr0
2 2 2
T dA.r0 r0 td r0 t 2
A 0
T 2 2r0 t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
l

为扭转角 r0 l
计算结果表明，轴的强度足够
二、 扭转杆的变形和刚度计算
一、扭转变形：（相对扭转角）
d T dx GI P
T d dx GI P
扭转变形与内力计算式
T L dx GI P
Tl GI p Ti li GI pi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ扭转角单位：弧度（rad）
扭矩不变的等直轴 各段扭矩为不同值的阶梯轴
T πd 3 16
3
Wp
πD 3 16
1
4
16T 16(1.5 10 N m) d π( 50106 Pa) π
0.0535m 实心轴取： d 54 mm
D
3
16T 76.3 mm 4 π(1 )
d D 68.7mm
取：D 76 mm， d 68 mm
例 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm，
d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[ 50 MPa，试校核
圆管强度。 解：1. 计算扭矩作扭矩图 2. 强度校核 危险截面： 截面 A 与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] 2 2 2πR0 d 1 2πR0 d 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2 2 2πR0 d 2 2πR0 d2
AC 段
BD 段
T 0.621103 0.621103 max 49.4MPa [ ] 60MPa 3 d W 1 (403 ) 109 16 16 T 1.43103 1.43103 max 21.2MPa [ ] 60MPa 3 d W 2 (703 ) 109 16 16
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(

4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
πd 3 Wp d / 2 16
Ip
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
空心圆截面：
I p 2 π 3 d

r0 l 即
T 纵轴 T—— 2 2r0 t
横轴
τ
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
r0 l
τ
b
τ τ p
s

γ
剪切虎克定律
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p,
G
G
γ τ τ p
s
E 2(1 )
τ
b
τ
2、切应力互等定理
等截面圆轴: max 2、强度条件应用：
Tmax Wp
Tmax 1）校核强度: max WP
≤

2）设计截面尺寸: WP ≥ Tmax
[ ]
3）确定外载荷:
Tmax≤ WP [ ] m
D 3 实 心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空 心. 16
A
a点处的切应变
Db
b' D’
tg dd d dx dx
d dx
二）物理关系： 弹性范围内
d / dx－扭转角变化率
max P
G
→
→

G
d G dx
方向垂直于半径。
扭转切应力分布
d dx
3.
π 2 2 ( D d ) 重量比较 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
例 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[ 50 MPa，试校核圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
GIP——抗扭刚度。
d T dx GI P
rad
m ——单位长度的扭转角
# 图示阶梯圆杆，如各段材料 也不同，AB 两截面的相对扭转角 为： n M T ni l i AB n 3 i 1 GI pi # 图示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 N m m 。 从中取 dx 段，dx 段两相邻截面 的扭转角为： T M n x dx d GI p AB 截面相对扭转角为： Tn x dx M l d l GI p
4
I P2
D 32

32
7.95cm

CB CB max 外
T D T 46.8 106 Pa 46.8 MPa I P 2 2 WP 2
扭转变形 扭转强度和刚度计算
一、 扭转强度计算
1、强度条件：
max [ ]
变截面圆轴: max
T W p max
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 r0 , r0为平均半径） 10
实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验：
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。
A
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力 ] = 80MPa ，试校核该轴 MA 的强度。 MC Ⅰ MB Ⅱ 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图 A C B 22 2、计算轴横截面上的最大 T图（kN· m） 切应力并校核强度
AB段
1,max
T1 22 106 N mm 64.8MPa π Wp1 120mm 3 16