材料力学——第5章(扭转杆件的强度与刚度计算)
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杆件的强度与刚度计算
杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算 1）构件的失效模式 若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能 而不能正常工作，称为构件失效。工程中，构件的失效模式主要 有： • 强度失效 ——构件的材料断裂或屈服。 • 刚度失效 ——构件的弹性变形过大，超出规定范围。 • 疲劳失效 ——构件在交变应力作用下的强度失效。
单向应力状态。因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达
式均演化为
max [ ]
例1 螺旋压力机的立柱如图所示。已
知：F =300kN，立柱横截面的最小直径为
42mm，材料许用应力为[]=140 MPa，试
校核立柱的强度。
解：1）用截面法求立柱轴力
2）求立柱横截面上的应力
max FN
150 103
• 稳定失效 ——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算
1）构件的失效模式 2）杆件的强度计算
首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力 图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最 先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
的杆件， 是指两指定截面的相对扭转角 或单位长度扭转角 ；
对于梁， 是指挠度 v 或转角 。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：
• 校核刚度 • 设计截面 • 计算许可载荷
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于
解：1）求 AB 与 BC 杆的轴力
12-1 强度计算与刚度计算 1）构件的失效模式 若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能 而不能正常工作，称为构件失效。工程中，构件的失效模式主要 有： • 强度失效 ——构件的材料断裂或屈服。 • 刚度失效 ——构件的弹性变形过大，超出规定范围。 • 疲劳失效 ——构件在交变应力作用下的强度失效。
单向应力状态。因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达
式均演化为
max [ ]
例1 螺旋压力机的立柱如图所示。已
知：F =300kN，立柱横截面的最小直径为
42mm，材料许用应力为[]=140 MPa，试
校核立柱的强度。
解：1）用截面法求立柱轴力
2）求立柱横截面上的应力
max FN
150 103
• 稳定失效 ——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算
1）构件的失效模式 2）杆件的强度计算
首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力 图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最 先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
的杆件， 是指两指定截面的相对扭转角 或单位长度扭转角 ；
对于梁， 是指挠度 v 或转角 。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：
• 校核刚度 • 设计截面 • 计算许可载荷
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于
解：1）求 AB 与 BC 杆的轴力
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
第五章材料力学考试复习重点知识与练习题
从图在该段中的变线段(T即为非粮馆举性段, 压液线可看出即整个拉伸过程可分为以下四个阶段。
* /）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E,对应的最高应力值 虎克定律（r=Ec 成立。
而ab 段, 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但它与应力已不成正比。
b点相对立白 勺应力第五早材料力学 主讲：钱民刚 第一节 概论材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供 了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸 和形状，以达到安全与经济的设计要求。
♦一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下：（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下 的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的 （7- e 曲线如图5-1所示。
陶度箓n------- 搬面设计为确保构件不致因强度/、丸而破坏, 应使其最——该啊瓯丽于材料的极限应力0- u,物出射和 （力与姻（美系）* 变形外力 T ］表小，即临界前载应力力布1£配IX没有屈服阶段，也酸 _ 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。
它 1故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时/,在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁TE与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉 事蝌性变形也较为蛾显。
破坏断口为斜断面，这表明试件是因m max对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限①良或名义屈服极限（T该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变 成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 （7S 称为屈服 极限。
这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45。
的滑移线，这是由于试 件材料在45。
的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。
对于塑性材料来说，由于屈 服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故（7S 是衡量塑性材料强度的一个重要指标。
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
材料力学课件 扭转
x ＝ y
2020/3/22
17
5.3 纯剪切
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直的平面 上，垂至于两平面交线的剪 应力总是同时存在，且大小 相等，都指相（或都背离） 两平面的交线。
纯剪应力状态：
y
τy
d
a
τx
τx
x
dy
b
τy
z
dx
c
单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元
体为纯剪应力状态。
2020/3/22
4、扭矩图——扭转变形的内力图
➢扭矩图的作图步骤：
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标， “正在上，负在下”； ③标注正负号、值的大小及图形名称。
➢扭矩图的注意事项：
①多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；
②基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形
③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力
19
思考题
指出下面图形的剪应变
剪应变为 α
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剪应变为 0
20
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
前面推导得到：薄壁圆筒横截面 剪应力与扭矩之间的关系：
T 2R 2t
t——壁厚 R ——平均半径
τ
T
τ
剪应力沿壁厚均匀分布
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21
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆截面杆受扭时横截面上的应力
值的大小，不带正负号；
④202阴0/3/2影2 线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
8
例题：
例5-1： 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别 为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
工程力学第五章
第5章 轴向拉伸与压缩
工程力学第五章
5.1 材料力学基础
5.1.1 材料力学的任务
机械及工程结构中的基本组成部分，统称为 构件。
为了保证构件正常工作，每一构件都要有足 够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。
工程力学第五章
构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡 量：
(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。
分布的密集程度(简称集度)较大造成的。由此
可见，内力的集度是判断构件强度的一个重
要物理量。通常将截面上内力的集度称为应
力。
工程力学第五章
工程力学第五章
应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位)， 简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这 一单位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕 ( GΡa)作为应力单位。 1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。
5.3.3 斜截面上的应力分析
由截面法求得斜截面上的轴力，
工程力学第五章
依照横截面上正应力分布的推理方法，可得 斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为
工程力学第五章
式中 ——斜截面面积。 若横截面面积为A，则
工程力学第五章
5.2 轴向拉伸和压缩
5.2.1 拉伸和压缩的概念
拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用 的拉力或压力而产生的变形。
杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合 力作用线与杆件轴线重合
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短
工程力学第五章
5.2.2 拉压杆的内力
5.2.2.1 内力的概念
材料力学中所说的内力，则是指构件受到外 力作用时所引起的构件内部各质点之间相互 作用力的改变量，称为“附加内力”。材料 力学所研究的这种附加内力，以后均简称为 内力。
工程力学第五章
5.1 材料力学基础
5.1.1 材料力学的任务
机械及工程结构中的基本组成部分，统称为 构件。
为了保证构件正常工作，每一构件都要有足 够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。
工程力学第五章
构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡 量：
(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。
分布的密集程度(简称集度)较大造成的。由此
可见，内力的集度是判断构件强度的一个重
要物理量。通常将截面上内力的集度称为应
力。
工程力学第五章
工程力学第五章
应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位)， 简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这 一单位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕 ( GΡa)作为应力单位。 1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。
5.3.3 斜截面上的应力分析
由截面法求得斜截面上的轴力，
工程力学第五章
依照横截面上正应力分布的推理方法，可得 斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为
工程力学第五章
式中 ——斜截面面积。 若横截面面积为A，则
工程力学第五章
5.2 轴向拉伸和压缩
5.2.1 拉伸和压缩的概念
拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用 的拉力或压力而产生的变形。
杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合 力作用线与杆件轴线重合
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短
工程力学第五章
5.2.2 拉压杆的内力
5.2.2.1 内力的概念
材料力学中所说的内力，则是指构件受到外 力作用时所引起的构件内部各质点之间相互 作用力的改变量，称为“附加内力”。材料 力学所研究的这种附加内力，以后均简称为 内力。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
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47.2 MPa 60 MPa
所以，实心轴强度满足要求。
28
⑶确定空心轴的外径D1 依题意,实心轴的最大切应力等于空心轴的最大切应力。 即 16T 16T
max
Tmax Tmax WP WP 1 D
3
D
16 103
3
max 3
max
D1 ( 1 4 )
8
I p A dA
2
单位：mm4，m4。
③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆 截面杆，只是Ip值不同。 a. 对于实心圆截面：
d
I p A dA
2
2 d
2 0
D 2
O
D
D
4Leabharlann 32 0.1D4
9
b. 对于空心圆截面：
d
I p A dA
d T GI p dx
T Ip
7
T Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公 式。
⑷公式讨论： ①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩 求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
或
d T 180 dx GI p
( /m)
GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能 力，称为圆轴扭转刚度。
30
三、刚度条件
max
T (rad/m) GI p max
[ ]称为许用单位长度 扭转角。
等截面圆轴
max
2
3
⒉应力公式推导
⑴变形几何关系
G1G d tg dx dx
R d 最外层的切应变 dx
d dx
距圆心为 任一点处的与该点到圆心的距离 成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
4
d dx 当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时，切应力与 切应变成正比关系。
3
D1
1
4
1 0.916
4
90mm
⑷比较两轴的重量
W1 A1 D1 ( 1 2 ) ( 90 103 )( 1 0.9162 ) 0.362 3 2 W A D2 ( 60 10 )
2
所以，采用空心轴较为合理。
29
二、单位长度扭转角 ： d T (rad/m) dx GI p
11
⑤ 确定最大切应力
由
T Ip
D , max 知：当 R 2
T Ip T D (令 W P I p ) D WP 2 2
max
T
Ip
D 2
max
T W —扭转截面系数（抗扭截面模量）， P WP 几何量，单位：mm3或m3。
A
dA R0 T
R0 AdA R0 2 R 0 T
T T 2 2 R 0 2 A 0
A0—平均半径所作圆的面积。
R
13
四、切应力互等定理
m
z
0
( dxdz )dy ( dydz )dx 故
上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上， 切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于 两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交 线。
该定理不仅对纯剪应力状态成立，而且对非纯剪应力 状态也成立。
14
15
五、扭转圆轴的变形计算 由公式
d T dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 l T l d 0 dx —的正负号与扭矩相 GI p
T
max
GI p
有时，还可依据此条件进行选材。
32
[例5-4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输 入功率P1 = 367.5kW， 输出功率分别 P2 = 147kW及 P3 = 220.5kW，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa， [ ]=1º /m ，试确定： ⑴AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ⑵若全轴选同一直径，应为多少？ ⑶主动轮与从动轮如何安排合理？
解：⑴作圆轴的扭矩图， 如图所示。 A
D
B
1m 1m
C 1m
d
D
10kN m
⊕
A B
C
D
T图
18
5kN m
⑵计算各段的 I P 和 W P
D
10kN m
15kN m
5kN m
对于AC段
A
I P1
3.14 ( 100 103 )4 32 32
D 4
B
1m 1m
对于等截面圆轴：
WP
[]可由实验确定，静载时,[] 和材料的[σ] 之间 有如下关系 塑性材料 脆性材料
( 0.5 ~ 0.6 ) ( 0.8 ~ 1.0 )
23
强度计算三方面： ① 校核强度：
max
T max WP [ ]
T max GI p
(rad/m)
在工程上，习惯用(°/m)作为[θ]的单位
max
T max 180 ( /m) GI p
31
对于一般传动轴[θ]=(0.5~1) °/m
刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
T G
max
② 设计截面尺寸： I p ③ 计算许可载荷：
Tl 同 单位：rad ( 若 T 值不变） GI p GI P —圆轴的扭转刚度
当用同一材料制成圆轴各段扭矩不同或各段直径 不同时，应用上式分段计算各段扭转角，然后按代 数值相加。
16
当用同一材料制成圆轴各段扭矩不同或各段直 径不同时，应用上式分段计算各段扭转角，然后 按代数值相加。
T l dx i GI P
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
§5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
§5–3 矩形截面杆在自由扭转时简介
1
§5-1
圆轴扭转时的应力和变形计算
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
一、圆轴扭转时的应力 等直圆杆横截面应力 ⒈实验观察 ⑴横截面变形后仍为平面； ⑵轴向无伸缩； ⑶纵向线变形后仍为平行。
6
⑶静力学关系
G
2
d dx
dA τp
d T A dA A G dA O dx d G A 2dA dx 2 令 I p A dA Ip—圆截面对圆心的极惯性矩
d T dx GI p d 代入物理关系式 G 得： dx
⑵物理关系—剪切胡克定律
G
G—材料的切变模量
对于各向同性的线弹性材料，可以证明，三个材料 常数之间有如下关系：
E G 2( 1 )
5
把
G 中，得 d d G G G dx dx
d 代入 dx
d G dx
实： D 3 16 3 WP D 4 空： （ 1 ） 16
② 设计截面尺寸： WP ③ 计算许可载荷：
T max [ ]
T max WP [ ]
24
[例5-2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动 机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核 其强度。 m m 解：⑴求扭矩及扭矩图
C 1m
d
D
9.82 10 m
6
3
4
3 3
10kN m
⊕
A B
I P 1 D ( 100 10 ) WP 1 R 16 16
C
D
T图
5kN m
1.96 10 4 m 3
19
D 4 I P2 ( 1 4 ) 9.82 10 6 ( 1 0.5 4 ) 9.21 10 6 m 4 32 I P2 D 3 WP 2 ( 1 4 ) 1.96 10 4 ( 1 0.5 4 ) 1.84 10 4 m 3 D2 16
27.2 MPa
D
A
1m
B
1m
C 1m
d
D
10kN m
min2
TCD 5 103 25 103 A 6 I p2 9.21 10
⊕
B
C
D
T图
13.6 MPa
5kN m
21
⑷计算扭转角
AB 0
BC
CD
TBC l BC 10 10 3 1 3 12 . 7 10 rad 9 6 GI P 80 10 9.82 10 TCD l CD 5 10 3 1 3 6 . 8 10 rad 9 6 GI P 2 80 10 9.21 10
对于实心圆截面：
WP I p R D 3 16
12
对于空心圆截面： WP I p R D 3 (1 4 ) 16
三、薄壁圆管的扭转切应力
1 薄壁圆筒：壁厚 R0 （R0为平均半径） 10 其扭转切应力可按空心圆轴进行计算，由于管壁较薄， 切应力可认为沿壁厚均匀分布。由 静力关系得
A
T
B
D3 =135
C D2=75 D1=70