第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

基础篇之四第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。

本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。

4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。

在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算：[][]e kw 9549[N m]r /min P M n =⋅其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。

如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N •m/s ），则e []7024[N m][r /min]P M n =⋅马力 外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。

图4－1 受扭转的圆轴用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有M x －M e = 0由此得到图4－3 剪应力互等M x = M e与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。

因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。

据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。

当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。

绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。

【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。

试画出扭矩图。

解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得：M x = －2M e 0x l −≥≥因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。

同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩：M x = +3M e 2l x l +≥≥因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。

建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。

从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。

这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。

4－2 剪应力互等定理 剪切胡克定律4－2－1 剪应力互等定理考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。

为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡图4－2 例题4－1图这两个力偶的力偶矩必须大小相等、方向相反。

于是，根据微元的平衡条件有：0,(d d )d (d d )d 0M y z x x z y ′=−=∑ττ由此解得： xy yx ττ= (4－1)这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairing principle of shear stresses ）。

微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯剪切应力状态（stress state of the pure shear ），简称纯剪应力状态。

4－2－2 剪切胡克定律通过扭转试验，可以得到剪应力τ 与剪应变γ 之间的关系曲线（图4－4）。

τ－γ 曲线的直线段表明，剪应力与剪应变成正比，直线段剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用τp 表示。

直线段的剪应力与剪应变关系为：Gr τ= (4－2)这一关系称为剪切胡克定律(Hooke law),其中G 为材料的弹性常数，称为剪切弹性模量或剪切弹性模量（shear modulus ）。

因为γ 为无量纲量，故G 的量纲和单位与τ 相同。

在第3章曾提到各向同性材料的两个弹性常数－杨氏模量E 与泊松比v ，可以证明E 、v 与G 之间存在以下关系：2(1)E G v =+ (4－3) 这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。

4－3 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度计算应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量⎯扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。

为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截图4－4 剪应力与剪应变曲线面上的剪应力是怎样分布的。

研究圆轴扭转时横截面上剪应力的分布规律，需要考察扭转变形，首先得到剪应变的分布；然后应用剪切胡克定律，即可得到剪应力在截面上的分布规律；最后，利用静力方程可建立扭矩与剪应力的关系，从而得到确定横截面上各点剪应力表达式。

这是分析扭转剪应力的基本方法，也是分析弯曲正应力的基本方法。

这一方法可以用图4－5加以概述。

4－3－1 平面假定与剪应变分布规律圆轴受扭前，在其表面画上小方格（图4－6a ），受扭后，圆轴的两端面相对转动了一角度（图4－6b ），而相距d x 的两相邻圆周线，刚性地绕轴线相对转动了一角度，因相对转动角度很小，故可认为相邻圆周线间的距离不变。

根据圆轴受扭后表面变形特点，假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。

这一假定称为平面假定（plane assumption ）。

根据平面假定，两轴向间距为d x 的截面m －m 与n －n 相对转角为d ϕ（图4－6c ）。

考察两相邻横截面之间微元ABDC 的变形：AB 长为d x ，扭转后由于相对转动，圆轴表面上的B 点移动到B ′：d BBR ′=ϕ ， 于是微元ABCD 的剪应变γ为：图4－6 圆杆扭转的变形物性关系图4－5 应力分析方法与过程d d d d BB R R AB x x′===ϕϕγ 根据平面假定，距轴心O 为 ρ 处同轴柱面上微元A 1B 1D 1C 1的剪应变为：11d d d d BB r A B x x′===ρρϕϕρ (4－4) 其中d d x ϕ为扭转角沿轴线x 方向的变化率，对某一x 处的横截面，d d xϕ为常量。

因此式（4－4）表明：圆轴扭转时，横截面上某处的剪应变与其到横截面中心的距离成正比，亦即剪应变沿半径方向线性分布。

4－3－2 横截面上的剪应力分布根据横截面上的剪应变分布表达式（4－4），应用剪切胡克定律得到：d d Gr G xρρϕτρ== (4－5) 其中G 为与材料有关的弹性常数。

式（4－5）表明：圆轴扭转时横截面上任意点处的剪应力τρ 与该点到截面中心的距离ρ 成正比。

由于剪应变γρ 与半径垂直，因而剪应力作用线也垂直于半径（图4－7a ）。

根据剪应力互等定理，轴的纵截面上也存在剪应力，其分布如图4－8b 所示。

图4－7 圆轴扭转时横截面与纵截面上的剪应力分布由于式（4－5）中的d d x ϕ尚为未知，因而不能用以计算剪应力，为了确定未知量d d xϕ需要应用静力学关系。

4－3－3 圆轴扭转时扭转角变化率以及横截面上的剪应力表达式作用于横截面上的分布剪应力τρ与其作用面积相乘，然向截面形心简化，得到一力偶，这一力偶的力偶矩即为横截面上的扭矩，于是有下列静力学关系：(d )x A A M ρτρ⋅⋅=∫ (4－6)图4－8 圆轴扭转时横截面上剪应力与扭矩之间的静力学关系取半径为ρ、厚度为d ρ 的圆环作为微元，微元面积d 2d A πρρ=⋅（图4－8b ）。

将（4－5）代入（4－6），积分后得到扭转角变化率的表达式：Pd d x M x GJ ϕ= (4－7) 其中2P d AI A ρ=∫ (4－8) 为与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对形心O 的极惯性矩（polar moment cf inertiafor cross section ）。

式（4－7）中GI P 称为圆轴的扭转刚度（torsional rigidity ）。

将式（4－7）代入式（4－5），即可得到圆轴扭转时横截面上剪应力表达式：()Px M I ρτρ= (4－9) 式中M x 为横截面上的扭矩，由截面法确定；ρ 为所求应力点到截面形心的距离；I p 为横截面的极惯性矩。

根据式(4－9)，圆截面和圆环截面上的剪应力分布如图4－9a 所示。

图4－9 圆截面和圆环截面上的剪应力分布根据式（4－8）,由积分可以算得直径我d 的圆截面极惯性矩I p 为4P π32d I = (4－10) 其中d 是圆截面直径。

对于内、外径分别是D 、d 的圆管截面或圆环截面（空心圆轴），极惯性矩I p 为：()44P π1,32D d I Dαα−== (4－11) 4－3－4 最大剪应力与扭转截面模量根据横截面上的剪应力分布，圆轴扭转时横截面上的最大剪应力发生在横截面边缘上各点，并且沿着截面周边的切线方向。

根据式(4－9)，最大剪应力由下式计算：max max P Px x M M I W ρτ== (4－12) 其中 PP max I W ρ= (4－13)称为扭转截面模量（section modulus in torsion ）。

对实心轴和空心轴，扭转截面模量分别为3P π16d W = (4－14) ()34P π116D W α−= (4－15)4－3－5 受扭圆轴的强度条件与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力τmax 限制在一定的数值以下，即：,maxmax []x p M W ττ=≤ (4－16)这一关系式称为受扭圆轴的强度条件。

上式中，[τ ]为许用剪应力；max τ是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩M x 和相应扭转截面模量W P 数值综合考虑才能确定。

对于静载荷作用的情形，可以证明扭转许用剪应力与许用拉应力之间有如下关系钢 [](0.5~0.6)[]τσ=铸铁 [](0.8~1)[]τσ=【例题4－2】实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图9－7所示。

已知轴的转速n=100 r/min ，传递的功率P ＝75 kW 。