高二数学教案：几何证明选讲
高中数学几何证明教案
高中数学几何证明教案
主题：证明直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和
目标：学生能够掌握直角三角形斜边平方等于其他两边平方和的证明方法
教学步骤：
1. 引入（5分钟）：
- 回顾直角三角形的定义，并提前告知学生今天的目标是证明直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和。
2. 示范（10分钟）：
- 给出一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB为斜边，AC和BC为两条直角边。
- 用勾股定理说明AB² = AC² + BC²。
3. 操作（15分钟）：
- 学生根据示范的步骤，自行证明直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和。
- 学生可以尝试不同的方法和角度来完成证明。
4. 讨论（10分钟）：
- 学生彼此讨论自己的证明方法，分享思路和经验。
- 教师对学生证明过程中的错误或不理解之处进行指导和解释。
5. 总结（5分钟）：
- 教师总结学生的证明方法和思路，强调勾股定理的重要性和应用。
6. 作业布置（5分钟）：
- 布置作业：练习题目，巩固直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和的证明方法。
评估：
1. 学生能否独立完成直角三角形斜边平方等于其他两边平方和的证明。
2. 学生在讨论环节是否能积极参与，提出自己的想法和见解。
3. 作业完成情况。
中学数学几何证明方法教案
中学数学几何证明方法教案一、引言数学几何证明是中学数学教学中重要的内容之一，它既提高了学生的逻辑思维能力，又培养了他们的创造性思维和问题解决能力。
本教案旨在介绍中学数学几何证明的基本方法和技巧，帮助学生掌握证明过程中的正确思路和操作方法。
二、准备工作1. 知识准备教师要对数学几何证明的基本概念和定理有清晰的理解，并熟悉相关的证明方法和技巧。
同时，要了解学生当前的数学水平和难点，以便有针对性地进行教学。
2. 教具准备黑板、彩色粉笔、教学PPT或投影仪等。
三、教学过程1. 第一节：直角三角形性质的证明1.1 引入介绍直角三角形的定义及性质，激发学生对直角三角形证明的兴趣。
1.2 证明方法一：勾股定理通过引入直角三角形的勾股定理，引导学生从三角形内部关系出发，严谨地证明直角三角形的性质。
1.3 证明方法二：相似三角形通过引入相似三角形的概念和性质，引导学生从三角形的外部关系出发，证明直角三角形的性质。
1.4 拓展应用以一些实际问题为例，让学生掌握将几何证明应用到实际生活中的能力。
2. 第二节：等边三角形性质的证明2.1 引入介绍等边三角形的定义及性质，引发学生对等边三角形证明的思考。
2.2 证明方法一：边长相等通过证明等边三角形的三条边长相等，引导学生从三角形的内部关系出发，严谨地证明等边三角形的性质。
2.3 证明方法二：等腰三角形通过引入等腰三角形的概念和性质，引导学生从三角形的外部关系出发，证明等边三角形的性质。
2.4 拓展应用以一些几何问题为例，让学生运用等边三角形的性质解决实际问题。
3. 第三节：其他三角形性质的证明3.1 引入介绍一些常见的三角形性质，如等腰三角形、全等三角形等，激发学生对三角形性质证明的兴趣。
3.2 证明方法一：等腰三角形的性质通过引入等腰三角形的概念和性质，引导学生运用角平分线、垂直平分线等方法，证明等腰三角形的性质。
3.3 证明方法二：全等三角形的性质通过引入全等三角形的概念和性质，引导学生从各种角度出发，证明全等三角形的性质。
高二数学教案：几何证明选讲 教案
几何证明选讲（共计10课时）授课类型：新授课一【教学内容】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
二【教学重点、难点】理解相似三角形的定义与性质定理．2.掌握以下定理的证明：（1）直角三角形射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理三【教学过程】第一讲相似三角形的判定及有关性质以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用；第1课时. 基础知识:平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________. 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
例题选讲：例1已知：线段ＡＢ求作：线段ＡＢ的三等分点作法：1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结BF4、过点D、E分别作BF的平行线分别交AB于点L、K点L、K为所求的三等分点作业练习：课本P5 习题1.1第2课时. 基础知识:平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。
例题选讲：例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 求BF和CF的长.例2、如图，已知DE//BC，EF//CD，求AD是AB和AF的比例中项。
例3 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握几何证明的基本方法，理解几何证明的逻辑结构，能够运用几何证明解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何证明的兴趣，体会数学的严谨性，培养学生的团队合作意识和解决问题能力。
二、教学内容1. 第一课时：几何证明的基本概念及术语教学重点：了解几何证明的基本概念，如证明、定理、公理等。
2. 第二课时：几何证明的方法与步骤教学重点：掌握几何证明的基本方法，如构造辅助线、相似三角形的应用等。
3. 第三课时：平行线的证明教学重点：学习平行线的证明方法，如同位角相等、内错角相等等。
4. 第四课时：全等三角形的证明教学重点：掌握全等三角形的证明方法，如SSS、SAS、ASA等。
5. 第五课时：三角形的性质及其证明教学重点：了解三角形的基本性质，如三角形的内角和、三角形的两边之和大于第三边等，并学会运用这些性质进行证明。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、推理等过程，发现几何证明的规律。
2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的视觉、听觉学习材料，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组合作学习，让学生在讨论、交流中共同解决问题，培养团队合作意识。
4. 注重个体差异，针对不同水平的学生给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对几何证明方法的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对几何证明知识的掌握情况，为下一步教学提供依据。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括几何证明的基本概念、方法、实例等内容。
2. 几何证明题库：提供各种类型的几何证明题目，供学生练习使用。
几何证明教案
几何证明教案一、教学目标1. 理解几何证明的定义和意义，明确几何证明的基本要素；2. 学会运用几何证明的方法和技巧，提高解决几何问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 几何证明的基本概念和要素；2. 几何证明的方法和技巧；3. 经典几何定理的证明。
三、教学过程第一节：几何证明的基本概念和要素1. 引入几何证明是数学中重要的内容，它能够帮助我们理解几何定理，并且培养我们的思维能力。
今天我们将学习几何证明的基本概念和要素。
2. 几何证明的定义几何证明是通过推理和演绎的方法，从已知条件出发，运用几何定理和几何关系，推导出所要证明的结论的过程。
几何证明需要严谨的推理和逻辑思维，才能确保证明的正确性。
3. 几何证明的要素（1）已知条件：几何证明的起点，是所给出的已知事实或条件，可以是已知长度、角度、线段等几何要素。
（2）待证结论：几何证明的终点，是需要证明的结论，通常是要证明某种几何关系或定理。
（3）证明步骤：推导过程中的每一步操作和推理，需要采用几何定理或几何关系，确保每一步都是可靠的。
4. 案例分析通过一个具体的案例来理解几何证明的概念和要素。
案例：证明等腰三角形的底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC。
待证：∠B=∠C。
证明步骤：（1）画出△ABC的示意图，标明已知条件和待证结论。
（2）由已知条件AB=AC，得到线段AB≌AC。
（3）再由线段等长的性质得到∠ABC≌∠ACB。
（4）根据等角三角形的性质，可得到∠B=∠C。
通过以上步骤，我们完成了等腰三角形底角相等的证明。
第二节：几何证明的方法和技巧1. 直接证明法直接证明法，也称为正向证明法，是指直接从已知条件出发，经过一系列合理的推理和推导，得到待证结论。
这是最常用的证明方法之一。
2. 反证法反证法是指假设待证结论不成立，通过逻辑推理的方法，推导出与已知条件矛盾的结论，从而得出待证结论成立的结论。
高二 数学 选修 几何证明选讲 第一讲 相似三角形判定方法和应用
比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须 转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．
【解析】∵PE∥BC，∠C＝∠A， ∴∠PED＝∠C＝∠A. ∴△PDE∽△PEA. ∴PPAE＝PPDE，即 PE2＝PD·PA. 又 PD＝2，DA＝1，∴PA＝3. ∴PE2＝2×3＝6，故 PE＝ 6.
相似三角形判定方法和应用
知识要点
直角三角 形的射影
定理
平行线分 线段成比
例定理
相似三 角形
相似三角 形的判定
及性质
应用 解题
等分线 段定理
平行线
分线段 成比例定理源自推论定理 1定理 3
相似三角 形的判定
及性质
定理 2
性质定理 1 高、中线、
角分线、
性质定理 2 周长
性质 定理
推论
性质定理 3 面积
【答案】3∶2
陷阱规避
1. 使用平行线截割定理时要注意对应线段、 对应边对应成比例，对应顺序不能乱．
2. 证明相似或者应用时，一定要注意角度 和边的定义关系．
所以
AC BC
2
AD AB BD AB
AD BD
又 AD∶BD＝9∶4，所以 AC∶BC＝3∶2. 方法二：因为 AD∶BD＝9∶4，所以可设 AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋，
又∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D， 由射影定理，得 CD2＝AD·BD，所以 CD＝6k，
由勾股定理，得 AC＝3 13k 和 BC＝2 13k，所以 AC∶BC＝3∶2
【答案】 6
1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系． 2．注意辅助线的添加，多数作平行线． 3．相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外 接圆的直径、内切圆的直径等．
(完整版)几何证明教学设计
(完整版)几何证明教学设计
简介
这份教学设计旨在教授学生几何证明的基本概念和技巧。
通过本课程，学生将研究如何运用几何原理和定理来推导和证明几何命题。
教学目标
- 了解几何证明的定义和重要性
- 掌握几何证明的基本方法和策略
- 能够应用几何原理和定理进行具体的几何证明
- 培养逻辑思维和推理能力
教学内容
第一讲：几何证明的概念和基本要素
- 几何证明的定义和作用
- 几何证明的基本要素：假设、命题、推理和结论
第二讲：几何证明的基本方法
- 直接法证明
- 反证法证明
- 双重否定法证明
第三讲：基本几何原理和定理的应用
- 直线的性质及应用
- 角的性质及应用
- 三角形的性质及应用
第四讲：综合运用几何原理和定理进行证明
- 综合应用直线性质、角性质和三角形性质进行证明
- 实际问题中的几何证明
教学方法
- 授课讲解：通过讲解几何证明的概念、方法和原理，引导学生理解和掌握知识点。
- 练演示：提供一些简单的练题并给予学生指导，帮助他们熟悉和应用所学的几何证明方法。
- 个人作业：布置一些个人作业，让学生独立完成，并进行批改和讲解。
教学评估
- 练题成绩：根据学生的练题成绩评估他们对几何证明的掌握
程度。
- 个人作业评估：评估学生在个人作业中的独立思考能力和准
确性。
- 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问情况。
参考资料
- 《几何证明教程》（作者：XXX）
- 《高中几何教材》（出版社：XXX）
以上是几何证明教学设计的完整版，希望对您有帮助。
几何证明选讲教案(整理)
几何证明选讲教学设计考试要求1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理；2、理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 教材分析这是新课程选修课程的一个新的内容，本专题的内容包括相似三角形的进一步认识、圆的进一步认识．平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的，证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形和三角形的知识进行证明．平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时，就得到弦切角，圆周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想，体现了从特殊到一般的思维过程．相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用． 本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的好资料，在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论，善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
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高二数学教案：几何证明选讲〔共计10课时〕授课类型：新授课一【教学内容】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
二【教学重点、难点】明白得相似三角形的定义与性质定理．2.把握以下定理的证明：〔1〕直角三角形射影定理；〔2〕圆周角定理；〔3〕圆的切线判定定理与性质定理；〔4〕相交弦定理；〔5〕圆内接四边形的性质定理与判定定理〔6〕切割线定理三【教学过程】第一讲相似三角形的判定及有关性质以〝平行线分线段成比例定理〞为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，差不多数学思想是比例及其性质的应用；第1课时. 基础知识:平行线等分线段定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
例题选讲：例1：线段ＡＢ求作：线段ＡＢ的三等分点作法：1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结BF4、过点D、E分不作BF的平行线分不交AB于点L、K点L、K为所求的三等分点作业练习：课本P5 习题1.1第2课时. 基础知识:平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段____________。
例题选讲：例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 求BF和CF的长.例2、如图，DE//BC ，EF//CD ，求AD 是AB 和AF 的比例中项。
例3 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
作业练习：课本P9-10 习题1.2第3、4课时. ［复习提咨询］1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比K ，叫做相似比〔或相似系数〕． ［讲解新课］我们明白，用相似三角形的定义能够判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有 三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，明显用起来专门不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？ 基础知识:预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单讲成：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，同时夹角相等，那么这两个三角形相似．简单讲成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
能够简单讲成：三边对应成比例,两三角形相似。
例题选讲：例2 圆内接△ ABC 的角平分线CD 延长线交圆于一点E 。
求证： 例4 ： D 、E 、F 分不是△ABC 三边的中点, 求证： ΔDEF ∽ △ABC基础知识:定理 〔1〕有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似(2)假如两个直角三角形两条直角边对应成比例那么这两个三角形相似直角三角形相似的判定定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；A BDE C FCB DBEC EB相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；例6 如图，锐角△ABC ，BC=24cm,BC 边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形，如图，求那个正方形的边长。
作业练习：课本P19-20 习题1.3第5课时.. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项； 两直角边分不是它们在斜边上_______与_________的比例中项。
作业练习：课本P22 习题1.4第二讲 直线与圆的位置关系 (共5课时)以〝圆周角定理〞和〝圆的切线概念〞为起点，采纳从专门到一样的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理 基础知识:1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。
推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是_______；90o 的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
2.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。
假如一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个顶点__________；假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个顶点_________。
3.切线的性质定理：圆的切线垂直于通过切点的__________。
推论：通过圆心且垂直于切线的直线必通过________；通过切点且垂直于切线的直线必通过______。
切线的判定定理：通过半径的外端同时垂直于这条半径的直线是圆的__________。
4.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。
、例题选讲：C D QM例1 ：如图,AD是△ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。
求证：AB .AC=AE .AD例2 如图，AB与CD相交于一点P。
求证：AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.作业练习：课本P26 习题2.1例1：如图⊙O1与⊙O2都通过A、B两点，通过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于点D。
通过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF例2：如图,CF是△ABC的AB边上的高EE,BCPF⊥ACFQ⊥求证：A,B,P ,Q 四点共圆.作业练习：课本P30 习题2.2例1 ： 如图，AB 是⊙O 的直径,⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC ，求证：DE 是⊙O 的切线。
例2 ： 如图，AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线垂直，垂足为D 。
求证:AC 平分作业练习：课本P32 习题2.3例 1 ：如图， AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD ⊥CE ，垂足为D 。
试讲明AC 平分∠BAD 。
作业练习：课本P34 习题2.4BCA QPFAA例 1 ：如图圆内两条相交弦AB,CD 相交于圆内一点P ，PA=PB=4, PDPC 41=求CD 的长。
例 2 如图E 是圆内两条相交弦AB,CD 的交点，EF//CB,交AD 的延长线与F,FG 切圆于G 。
求证：〔1〕ΔDEF ∽ △EFA ; (2)EF=FG例 4 如图AB 是⊙O 的直径，过A ，B 引两条弦AD 和BE ，相交点C.求证：2ABBE BC AD AC =⋅+⋅作业练习：课本P40 习题2.5四. 【小结】几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观看、探究、发觉的制造性过程。
本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生运用综合几何方法解决咨询题的能力。
五、【布置作业】 1如下图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，那么圆O 的半径等于 ．2.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，假设PA=4，PC=5，CD=3，那么∠CBD= 。
E BC DF OBAC D PF AB C DEOGACOBPD1题图3. 如下图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，那么圆O 的半径等于 ．4. 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，假设PA=4，PC=5，CD=3，那么∠CBD= 。
A CO B PD 3题图。