人教版八年级上册数学书习题13.3答案
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（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？
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如图，AD ∥ BC ，BD 平分∠ABC ，求证：AD=AB 。
分析：题目要求我们证明AD=AB 。
观察图形，AB 与AD 位于△ABD 中。
由已知AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ，可考虑用等腰三角形的判定方法“等角对等边”来证明。
用已知的平行关系，可将∠ADB 与∠CBD 于关联起来，再有角平分线把∠ABD 与∠CBD 关联起来。
证明：
∵AD ∥ BC ，
∴∠ADB=∠CBD 。
又∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∴∠ADB=∠ABD ，
∴AD=AB 。
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如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB
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如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC ，立柱AD ⊥ BC ，且顶角∠BAC=120°∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 各是多少度？
解：∵AB =AC ，∠BAC=120°
∴∠B=∠C= 12
×（180-120）°=30°。
又∵AD ⊥BC ，
∴∠BAD ，∠CAD = 12 ∠BAC = 12
×120°= 60°。
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如图，∠A=∠B ，CE ∥DA ，CE 交AB 于点E 。
求证：△CEB 是等腰三角形。
证明：∵CE//DA ，
M
A B C D E n m ∴∠A=∠CEB 。
∵∠A=∠B,
∴∠CEB=∠B,
∴CE=CB ，
∴△CEB 是等腰三角形。
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如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 。
求证：BD=CE 。
证明：∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C 。
又∵AD ＝AE ，
∴∠ADE ＝∠AED 。
∴∠ADB ＝∠AEC 。
在△ABD 和△ACE 中，有：
⎩⎪⎨⎪⎧∠B=∠C
∠ADB=∠AEC AB=AC
∴△ABD ≌△ACE
∴BD=CE
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如图，AB ＝AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。
求∠DBC 的度数。
解：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠C ＝12
×（180-40）°= 70° 又∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，
∴∠ABD ＝∠A=40°。
∴∠DBC ＝30°。
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尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：点A 在直线m 上。
求作：经过点A 的直线n ,使m ⊥n 。
作法：1 以点A 为圆心，适当的长为半径画弧，与直
线m 交于点B 和C 。
2 分别以点B 、C 为圆心，大于线段BC 一半长为半径
画弧，两弧交于D 、E 两点。
3 过D 、E 两点作直线n 。
直线n 就是所求作的直线。
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某地地震过后，沿河村中学的同学用下面方法检测教室的 房梁是否水平。
在等腰直角三角尺斜边中点摔一条线绳, 线绳的另一端挂
一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？
解：他们的判断是对的，理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合。
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如图△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点 M ，N ，且MN ∥BC ．求证：△AMN 的周长等于AB ＋AC 。
证明：∵BO 平分∠ABC ，
∴∠MBO ＝∠CBO 。
∵MN ∥BC ，
∴∠BOM ＝∠CBO 。
∴∠BOM ＝∠MBO ，
∴BM=OM ，
同理CN ＝ON 。
∴△AMN 的周长= AM+MN ＋AN ＝AM ＋OM ＋ON+AN=AM+ BM+ CN+AN=AB+AC
即△AMN 的周长等于AB ＋AC ．
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上午8时，一条船从海岛A 出发，以15 n mile ／h （海里／时，1 n mile ＝1852m ）的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A ，B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝42°，∠NBC ＝84°。
求从海岛B 到灯塔C 的距离。
解：∵∠NBC ＝84°，∠NAC ＝42°，∠NBC ＝∠NAC+∠C ，
∴84°＝42°＋∠C ，∠C ＝42°，
∴BC ＝BA ＝15×（10－8）＝30（n mile ），
即从海岛B 到灯塔C 的距离是30 n mile 。
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如图，△ABD ，△AFC 都是等边三角形，求证BE=DC 。
证明：∵△ABD ，△AEC 都是等边二角形，
∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ＝60°
∴∠DAB ＋∠BAC=∠EAC+∠BAC ，即∠DAC ＝∠BAE ，
在△ADC 和△ABE 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧AD=AB ∠DAC ＝∠BAE AC=AE ∴△ADC ≌△ABE （SAS ），
∴BE ＝DC 。
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等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一 个结论。
解：以等腰三角形两腰上的高相等为例证明。
已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E 。
求证: BD=CE 证明： 方法一：
○
1当顶角∠A 为锐角时，如图所示， ∵AB=AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB 。
∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ， ∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°
在Rt △EBC 和Rt △DBC 中， E B C A
D
D E ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CDB
∠EBC ＝∠DCB BC=BC
∴Rt △EBC ≌Rt △DBC （AAS ），
∴BD=CE 。
○
2当顶角∠A 为直角时，如图所示，E ，D ，A 三 点重合，显然BD=CE 。
○
3当顶角∠A 为钝角时，如图所示，同○1可证 Rt △EBC ≌Rt △DBC （AAS ）
∴BD=CE
方法二：
∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，
∴BD,CE 是△ABC 的两条高线。
∴S △ABC = 12 ×AB×BD ，S △ABC = 12 ×AC×CE ， 又∵AB ＝AC ，
∴BD=CE 。
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如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，并且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，求∠BAC 的度数。
解：∵PQ ＝AP ＝AQ,
∴△APQ 是等边三角形，
∴∠APQ ＝∠AQP ＝∠PAQ ＝60°
又∵BP ＝AP ，
∴∠BAP ＝∠B ，
又∠BAP ＋∠B=∠APQ ＝60°，
∴∠BAP ＝∠B ＝30°，
同理∠CAQ ＝30°，
所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠PAQ ＋∠CAQ=30°＋60°＋30°= 120°。
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如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果∠C ＝90°，∠B ＝30° ，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来。
作法：
（1）作线段AB 的垂直平分线，分别与AB 和CB 相交于
E 、D 。
（2）连接AD 。
则△ACD ≌△AED ≌△BED 。
C B A D E A B C。
人教版数学八年级上册 13.2---13.3同步练习题含答案
13.2画对称图形一．选择题1．点A（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）2．点A（a，﹣5）关于y轴对称点的坐标（﹣2，b），则a、b的值是（）A．a＝2，b＝5B．a＝2，b＝﹣5C．a＝﹣2，b＝5D．a＝﹣2，b＝﹣5 3．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点B′的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（3，2）D．（2，﹣3）4．已知点P（m﹣1，4）与点Q（2，n+2）关于y轴对称，则n m的值为（）A．﹣2B．C．﹣D．15．在平面直角坐标系中，若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m，n的值分别是（）A．﹣3，2B．3，﹣2C．﹣3，﹣2D．3，26．下列结论：①在第一象限的点N到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，则点N的坐标为（2，1）；②m≠0，点P（m2，﹣m）在第四象限；③与点（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）；④横坐标为﹣3的点在经过点（﹣3，0）且平行于y轴的直线上．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③7．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，a）与点B（b，3）关于x轴对称，则a+b的值是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．58．如图，△ABC顶点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，则顶点B2的坐标是（）A．C．9．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2a，6）与B（4，b+2）关于x轴对称，则a，b的值为（）A．a＝2，b＝﹣8B．a＝2，b＝8C．a＝﹣2，b＝8D．a＝﹣2，b＝﹣8 10．已知点A（a，3），B（﹣3，b），若点A、B关于x轴对称，则点P（﹣a，﹣b）在第_____象限，若点A、B关于y轴对称，则点P（﹣a，﹣b）在第_____象限．关于x轴对称的点的坐标为．12．将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1）、则x+y＝．13．点P（a，b）关于x轴的对称点的坐标为，关于y轴的对称点的坐标为．14．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴对称得到点A′，再将点A′向上平移2个单位，得到点A″，则点A″的坐标是．15．如图，在平面直角坐标系内，点P（a，b）为△ABC的边AC上一点，将△ABC先向左平移2个单位，再作关于x轴的轴对称图形，得到△A′B′C'，则点P的对应点P'的坐标为．三．解答题16．如图，△DEF的顶点在正方形网格的格点上．（1）画△DEF关于直线HG的轴对称图形△ABC（不写画法）；（2）作△DEF中DE边上的中线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．17．如图在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）（1）请在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，点A、B、C的对称点分别为A′、B′、C′，其中A′的坐标为；B′的坐标为；C′的坐标为，（2）请求出△A′B′C'的面积．18．如图，平面直角坐标系xoy中A（﹣4，6），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．（1）作出△ABC关于直线x＝1对称的图形△A1B1C1并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）将△A1B1C1向左平移2个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察△ABC和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请指出对称轴，并求△ABC的面积．19．如图，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．（1）如图1，求证：PE＝PF；（2）如图2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．连接FM，图中与∠EFM相等的角共有个．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），故选：B．2．【解答】解：∵点A（a，﹣5）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，b），∴a＝2，b＝﹣5，故选：B．3．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移4个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+4，2），即（3，2），则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣3，2）．故选：A．4．【解答】解：∵点P（m﹣1，4）与点Q（2，n+2）关于y轴对称，∴m﹣1＝﹣2，n+2＝4，解得：m＝﹣1，n＝2，则n m的值为：2﹣1＝．故选：B．5．【解答】解：∵点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2，则m，n的值分别是：﹣3，2．故选：A．6．【解答】解：①在第一象限的点N到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，则点N的坐标为（2，1），说法正确；②m≠0，点P（m2，﹣m）在第四象限，说法错误；③与点（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣4），说法错误；④横坐标为﹣3的点在经过点（﹣3，0）且平行于y轴的直线上，说法正确．正确的说法是①④，故选：C．7．【解答】解：∵点A（﹣2，a）与点B（b，3）关于x轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b的值是：﹣3﹣2＝﹣5．故选：A．8．【解答】解：∵顶点B的坐标是（﹣5，2），将其向右平移3个单位得到顶点B1，∴顶点B1的坐标为（﹣2，2）．又∵顶点B2和顶点B1关于y轴对称，∴顶点B2的坐标为（2，2）．故选：C．9．【解答】解：∵点A（﹣2a，6）与B（4，b+2）关于x轴对称，∴﹣2a＝4，b+2＝﹣6，解得：a＝﹣2，b＝﹣8，故选：D．10．【解答】解：∵点A（a，3），B（﹣3，b）关于x轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣3，∴﹣a＞0，﹣b＞0，∴点P（﹣a，﹣b）在第一象限，∵点A（a，3），B（﹣3，b）关于y轴对称，∴a＝3，b＝3，∴﹣a＜0，﹣b＜0，∴点P（﹣a，﹣b）在第三象限，故选：A．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：点（﹣2017，2018）关于x轴对称的点的坐标为：（﹣2017，﹣2018）．故答案为：（﹣2017，﹣2018）．12．【解答】解：∵将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，∴平移后的坐标为：（﹣4，y﹣4），∵把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1），∴x＝﹣4，y﹣4＝1，解得：x＝﹣4，y＝5，则x+y＝1．故答案为：1．13．【解答】解：点P（a，b）关于x轴的对称点的坐标为：（a，﹣b）；关于y轴的对称点的坐标为：（﹣a，b）．故答案为：（a，﹣b），（﹣a，b）．14．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴对称得到点A′，∴A′的坐标为：（1，2），∵将点A′向上平移2个单位，∴得到点A″坐标为：（1，4）．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：由题意点P（a，b）先向左平移2个单位得到（a﹣2，b），（a﹣2，b）关于x轴的对称点P′（a﹣2，﹣b），故答案为（a﹣2，﹣b）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）如图，FM为所作．17．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′的坐标为（3，4）；B′的坐标为（4，1）；C′的坐标为（1，1）；故答案为：（3，4）；（4，1）；（1，1）；（2）△A′B′C'的面积＝×3×3＝．18．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（6，6），B1（3，2），C1（6，1）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，6），B2（1，2），C2（4，1）；（3）△ABC和△A2B2C2关于y轴对称，△ABC的面积为×5×3＝7.5．19．【解答】解：（1）如图1，过P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，则∠PGF＝∠PHE＝90°，∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，∴PH＝PG，∵∠AOB＝∠EPF＝90°，∴∠PFG+∠PEO＝180°，又∵∠PEH+∠PEO＝180°，∴∠PEH＝∠PFG，∴△PEH≌△PFG（AAS），∴PE＝PF；（2）由轴对称可得，∠EFM＝∠EF'M，∵F'H⊥OF，AO⊥OB，∴AO∥F'F，∴∠EF'M＝∠AEF'，∵∠AEF'+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，∴∠AEF'＝∠OFE，由题可得，P是FF'的中点，EF＝EF'，∴EP平分∠FEF'，∵PE＝PF，∠EPF＝90°，∴∠PEF＝45°＝∠PEF'，又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，且∠AEP＝∠AOP+∠OPE，∴∠AEF'+45°＝45°+∠OPE，∴∠AEF'＝∠OPE，∴与∠EFM相等的角有4个：∠EF'M，∠AEF'，∠EFO，∠EPO．故答案为：4．13.3 等腰三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A ．甲、乙两种作法都正确B ．甲的作法正确，乙的作法不正确C ．甲的作法不正确，乙的作法正确D ．甲、乙两种作法都不正确2. (2019•天水)如图，等边OAB △的边长为2，则点B 的坐标为A ．(11)，B ．(13)，C ．(31)，D ．(33)，3. （2020·临沂）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°4. （2020·聊城）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120° B．130° C．145° D ．150°F EC5. (2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°6. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 97. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个8. （2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝13BE，AN＝13AD，则△CMN的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形9. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为( )A. 2B. 4C. 6D. 810. （2020·绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小二、填空题（本大题共6道小题）11. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.12. （2020·齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．13. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.15. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．16. 【题目】（2020·滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长．18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．19. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB ＝DC ，过点D 作DE ∥AC ，交射线AB 于点E ，连接AD 交BC 于点F. (1)求证：AD ⊥BC ；(2)如图①，当点E 在线段AB 上且不与点B 重合时，求证：DE ＝AE ； (3)如图②，当点E 在线段AB 的延长线上时，请直接写出线段DE ，AC ，BE 的数量关系．20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】如图，过点B 作BH AO ⊥于H 点，∵OAB △是等边三角形，∴1OH =，22=213BH -=∴点B 的坐标为(13)，．故选B ．3. 【答案】D【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC =，40A ∠=，可得：70ABC ACB ∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB 可得：70BCD ABC ∠=∠=，所以选D ．4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°． 5. 【答案】D【解析】(1)当70°是顶角时，另两个角相等，都等于12×(180°－70°)＝55°；(2)当70°是底角时，另一个底角也是70°，顶角＝180°－70°×2＝40°．因此另外两个内角的底数分别是55°，55°或70°，40°．故选D．6. 【答案】C7. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．8. 【答案】C【解析】由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝13BE，AN＝13AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN ＝60°，∴△MCN是等边三角形．9. 【答案】B10. 【答案】C【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA，∴△BCP和△ABP均是等腰三角形.在△BCP中，∠CBP=θ，BC=BP，∴∠BPC=90°-12θ.在△ABP中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+12θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C．二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．12. 【答案】10或11．【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．13. 【答案】②③④【解析】14. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.15. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2，2)．16. 【答案】80°【解析】本题考查了等腰三角形的性质，∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°，因此本题填80°．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°.∵AB⊥AD，AD＝4 cm，∴BD＝8 cm.∵∠ADB＝90°－∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠DAC＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm)．18. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．19. 【答案】解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在BC的垂直平分线上．∴直线AD是BC的垂直平分线．∴AD⊥BC.(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.(3)DE＝AC＋BE.理由：同(2)得∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。
13.3.2等边三角形同步练习(含简单答案)人教版数学八年级上册
13.3.2 等边三角形一、单选题1．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC ，若30cm AB AC ==，D 是BC 的中点，30ABC ∠=︒，则AD 的长为（ ）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．cm2．如图，ABD AEC 、都是等边三角形，BE CD 、交于F ，则BFC ∠的度数为（ ）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒3．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，cm AD BC a ==，60A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，则这个梯形的周长是（ ）A ．4a cmB ．5a cmC ．6a cmD ．7a cm 4．如图，在Rt ABC △中，9030C B ∠=︒∠=︒，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，在边AB ，AC 上截取AD ，AE ；然后分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在CAB ∠内交于点F ；作射线AF 交BC 于点G ．若2BG =，P 为边AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．无法确定5．如图所示，已知ABC 和DCE △均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG //BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，OP 平分AOB ∠，15AOP PC OA PD OA ∠=︒⊥，∥，于点D ．10PC =，则PD 的长度是（ ）A ．2.5B ．4C ．6D ．57．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB BC cm +=，则AB 的长度为（ ）A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm8．如图，在等边ABC 中，D 是AB 的中点，DE AC ⊥于E ，已知8＝AB ，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP=2，则AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．610．下列叙述不正确的是（ ）A ．等腰三角形一定是锐角三角形B ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线C ．其中有一个内角为60︒的等腰三角形是等边三角形D ．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等二、填空题11．如图，15AOB ∠=︒，P 是OA 上一点，P 与P '关于OB 对称，作'⊥P M OA 于点M ，4OP =，则M P '= ．12．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是角平分线，P 为线段AD 上一动点，M 为AC 的中点，连接PM PC ，，若PM PC +的最小值为15cm ，则AD = cm ．13．如图，∠MON ＝30°，点A 1、A 2、A 3、……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3、……在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4，……均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 2019B 2019A 2020的边长为14．如图所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，则BD ＝ ，CE ＝ ．15．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且5AD =，10AC =．则AB = 16．如图所示，在ABC 中，90,15,ACB B DE ∠=︒∠=︒垂直平分AB ，交BC 于点E ，3cm AC =，则BE 等于 ．17．如图，等边ABC ，D 为CA 延长线上一点，E 在BC 边上，且AD CE =，连接DE 交AB 于点F ，连接BD ，若45BFE ∠=︒，DBE 的面积为2，则DB = ．18．如图，边长为8cm 的等边ABC 中，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 在边BC 上，以2/s cm 的速度从B 向C 运动，点F 在边AC 上，以/s acm 的速度从C 向A 运动，则当=a 时，BDE △与CEF △全等．19．如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于 ．20．如图，AD 为等边ABC 的高，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE CF =，当BF CE +取得最小值时，AFB ∠的度数为 ．三、解答题21．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿AC 和DB 的长度相等，O 是AC 和BD 的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度AD 设计为30cm ，求撑开时的凳腿间距BC ；（2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折叠前凳面与凳腿的夹角D ∠为60度，求折叠后凳腿的高度AC ．22．如图，在ABC 中，,120,AB AC BAC AD BC =∠=︒⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，且OP OC =．(1)请直接写出线段OB 和OP 之间的数量关系：______．(2)请说明： 30APO DCO ∠+∠=︒；(3)请说明：POC △是等边三角形；(4)请直接写出线段AB OA AP 、、之间的数量关系．23．郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ．双翼的边缘54cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ ∠=∠=︒．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：cm ）．当双翼收回进闸机箱内时：(1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机；A ．“80100⨯”的面B ．“60100⨯”的面(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机．24．如图，A 、B 、C 、D 是几个城市，AB BC AC AD CD 、、、、是几条即将修建的公路，经测量：90,30ACB CBA ∠=︒∠=︒，CD AB ∥，,AD AC AB =长为20公里．(1)求ADC ∠的度数；(2)甲施工队沿A C D --方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿AD 方向施工，H 为线段AD 的中点，H 处附近因条件限制只能以H 为圆心、HE 为半径修半圆形公路，AE DG 、每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求HE 的长(π 3.14)≈．25．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，延长BA 至点D ，使12AD AB =，连结CD ，作BAC ∠的平分线与BDC ∠的平分线交于点E ，连结EB ，EC ．(1)求证：AD CD ⊥；(2)求DBE ∠的度数；(3)求BECD 的值．参考答案：1．C2．C3．B4．B5．D6．D7．C8．A9．D10．A11．212．1513．2201914． 5 415．2016．6cm17．18．2或319．1520．105︒/105度21．（1）30cm ；（2）60cm 22．(1)OB OP =；(2)30︒；(3)略；(4)AB OA AP =+．23．(1)B(2)可以通过，略24．(1)60ADC ∠=︒(2)HE 的长为2.9米25．(1)略(2)DBE ∠=︒75(3)BECD =。
人教版八年级上册数学书习题13.3答案
Page 81 1（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？Page82 2如图，AD ∥ BC ，BD 平分∠ABC ，求证：AD=AB 。
分析：题目要求我们证明AD=AB 。
观察图形，AB 与AD 位于△ABD 中。
由已知AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ，可考虑用等腰三角形的判定方法“等角对等边”来证明。
用已知的平行关系，可将∠ADB 与∠CBD 于关联起来，再有角平分线把∠ABD 与∠CBD 关联起来。
证明：∵AD ∥ BC ，∴∠ADB=∠CBD 。
又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∴∠ADB=∠ABD ，∴AD=AB 。
Page82 3如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMBPage82 4如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC ，立柱AD ⊥ BC ，且顶角∠BAC=120°∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 各是多少度？解：∵AB =AC ，∠BAC=120°∴∠B=∠C= 12×（180-120）°=30°。
又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ，∠CAD = 12 ∠BAC = 12×120°= 60°。
Page82 5如图，∠A=∠B ，CE ∥DA ，CE 交AB 于点E 。
求证：△CEB 是等腰三角形。
证明：∵CE//DA ，MA B C D E n m ∴∠A=∠CEB 。
∵∠A=∠B,∴∠CEB=∠B,∴CE=CB ，∴△CEB 是等腰三角形。
Page82 6如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 。
求证：BD=CE 。
证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C 。
又∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED 。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
13.3.2 等边三角形 人教版数学八年级上册同步作业(含答案)
13.3.2 等边三角形 必备知识·基础练(打“√”或“×”)1．三条边都相等的三角形是等边三角形．(√)2．三个角都相等的三角形是等边三角形．(√)3．有一个角是60°的三角形是等边三角形．(×)4．有一个角等于30°的三角形，它所对的边等于最长边的一半. (×) 5．在△ABC中，若AB＝BC＝AC，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.(√)知识点1 等边三角形的性质1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE 的周长为( D )A．4 B．30 C．18 D．12【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12.2．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝__30__°.【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝30°.∴∠BAD＝123．(2020·阜新中考)如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为__102°__．【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°.知识点2 等边三角形的判定4．(易错警示题)下列推理中，错误的是( B )A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形【解析】选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的．5．(2021·长沙期中)如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形．6.(2021·北京期中)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，{∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．知识点3 含30°角的直角三角形的性质7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是( C )A.3 cm B．6 cmC．9 cm D．12 cm【解析】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等)，∵AD＝3 cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.∴BD＝AB－AD＝12－3＝9(cm).8．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON 于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为( D )A.1 B．2 C．3 D．4【解析】如图，过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∠MON＝15°，∴∠2＝∠3＝12∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4.9．(生活情境题)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( B )A.4 m B．6 m C．8 m D．12 m【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝12 m，∠A＝30°，∴BC＝1AB＝6 m．则立柱BC的长度为6 m．210．(2021·珠海期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×3＝6(cm)，∵∠B＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝3 cm，∴BC＝BD＋DC＝6＋3＝9(cm).关键能力·综合练11.如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是( B )A．12 B．16C．20 D．24【解析】∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝1AB＝4，2∴△ABC的面积＝1×8×4＝16.212．(2021·深圳质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )A.15° B．30° C．45° D．60°【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.13．(2020·河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( D )A.63B．9C．6 D．33【解析】连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝3，∴AD＝CD＝3AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×1×3×3＝33.214．(生活情境题)某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( B )A.300a元B．150a元C．450a元D．225a元【解析】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝12AB×CD＝12×20×15＝150 m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元．15．(2020·常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ，∴∠B ＝∠BCF ，∵△AFC 为等边三角形，∴∠AFC ＝60°，∴∠B ＝∠BCF ＝30°.16．(2021·杭州期中)如图，AD ，BE 是等边△ABC 的两条高线，AD ，BE 交于点O ，则∠AOB ＝__120__°.【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ABC ＝60°，∵AD ，BE 是等边△ABC 的两条高线，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∠ABE ＝12∠ABC ＝30°，∴∠AOB ＝180°－∠BAD －∠ABE ＝180°－30°－30°＝120°.17．如图，已知△ABC 是等边三角形，过点B 作BD ⊥BC ，过A 作AD ⊥BD ，垂足为D ，若△ABC 的周长为12，求AD 的长．【解析】∵BD ⊥BC ，在等边三角形ABC 中，∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝90°－60°＝30°.又∵AD⊥BD，即△ABD是直角三角形，∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半．∵等边三角形ABC的周长为12，∴其边长AB＝4.∴AD＝1AB＝2.218．(素养提升题)(2021·广州期中)如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE 和AC分别于G，H点，连接GH.(1)试证明AD＝BE；(2)试证明△BCH≌△ACG；(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACD＝∠ECB，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG.∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.又∵AC＝BC，∴△ACG≌△BCH.(3)△CGH是等边三角形，理由如下：∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，又∵∠ACG＝60°，∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).模型 等边三角形判定定理1的应用模型如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．【证明】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴AD＝AE＝DE，即△ADE是等边三角形．应用模型：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝CA.关闭Word文档返回原板块。
2022年人教版八年级数学上册第十三章练习题及答案 等边三角形(第2课时)
第十三章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第2课时1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC =___________ .4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm.5. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．6. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.7. 如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.参考答案：1.B2.B3.54.85. 解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC= 12AE= 12BE=2.5．6. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.7. 证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA.∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵ BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ.。
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.3知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。
人教版数学八年级上册课后习题参考答案
人教版数学八年级上册课后习题参考答案(总41页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第3页习题答案1. 2010年为+108.7mm; 2009年为-81.5 mm; 2008年为+53.5 mm.2．这个物体又移动了-1 m表示物体向左移动了1m这时物体又回到了原来的位置第4页习题答案1．解：有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BDC,△EDC.2．解：(1)不能；(2)不能；(3)能．理由略第5页习题答案：1.解：图(1)中∠B为锐角，图(2)中∠B为直角，图(3)中∠B为钝角，图(1)中AD在三角形内部，图(2)中AD 为三角形的一条直角边，图(3)中AD在三角形的外部．锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形的直角边上的高与另一条直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部．2.(1)AF(或BF) CD AC (2)∠2 ∠ABC ∠4或∠ACF第7页习题答案：解：(1)(4)(6)具有稳定性第8页习题11.1答案1．解：图中共6个三角形，分别是△ABD，△ADE,△AEC,△ABE,AADC,△ABC.2．解：2种.四根木条每三条组成一组可组成四组，分别为10，7，5；10，7，3；10，5，3；7，5，3．其中7+5>10，7+3=10,5+3<10，5+3>7，所以第二组、第三组不能构成三角形，只有第一组、第四组能构成三角形，3．解：如图11-1-27所示，中线AD、高AE、角平分线AF.4.(1) EC BC (2) ∠DAC ∠BAC (3)∠AFC (4)1/2BC．AF5．C6．解：(1)当长为6 cm的边为腰时，则另一腰长为6 cm，底边长为20-12=8(cm)，因为6+6>8，所以此时另两边的长为6 cm，8 cm.(2)当长为6 cm的边为底边时，等腰三角形的腰长为(20-6)/2=7(cm)，因为6+7>7，所以北时另两边的长分别为7 cm，7cm.7．(1) 解：当等腰三角形的腰长为5时，三角形的三边为5，5，6，因为5+5>6，所以三角形周长为5+5+6=16：当等腰三角形的腰长为6时，三角形的三边为6，6，5，因为6+5>6，所以三角形周长为6+6+5=17.所以这个等腰三角形的周长为16或17；(2)22．8.1：2 提示：用41/2BC．AD—丢AB．CE可得．9．解：∠1=∠2．理由如下：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.又DE//AC，所以∠DAC=∠1. 又DF//AB，所以∠DAB=∠2. 所以∠1=∠2.10.解：四边形木架钉1根木条；五边形木架钉2根木条；六边形木架钉3根木条人教版八年级上册数学第13页练习答案1．解：因为∠CBD=∠CAD+∠ACB，所以∠ACB=∠CBD-∠CAD=45°-30°=15°.2．解：在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°，所以∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=∠D+∠B+ ∠BAD+∠BCD=180°+180°=360°.所以40°+40°+150°+∠BCD= 360°. 所以∠BCD=130°人教版八年级上册数学第14页练习答案1.解：∠ACD=∠B．理由：因为CD⊥AB，所以△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，所以∠B+∠BCD=90°，又因为∠ACB= 90°，所以∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，所以∠ACD=∠B(同角的余角相等)．2．解：△ADE是直角三角形，理由：因为∠C=90。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 针对训练 (含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．82. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论不正确的是()A．∠B＝∠C B．BD＝CDC．AB＝2BD D．AD平分∠BAC4. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE ∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．128. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．309. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为()A．6 B．7 C．8 D．910. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. 如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．17. 如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.18. 如图①，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F.探究一：猜想图①中线段EF 与BE ，CF 间的数量关系，并证明． 探究二：设AB ＝8，AC ＝6，求△AEF 的周长．探究三：如图②，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与△ABC 的外角平分线CO 交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F.猜想这时EF 与BE ，CF 间又是什么数量关系，并证明．19. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于 6.2. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】C4. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC.由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.6. 【答案】C【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.7. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.∵△AED的周长为16，∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.∵AD＝6，∴AB＝10.8. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.9. 【答案】B[解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B作BD⊥AC于点D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝12AB＝12×12＝6.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】7013. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC.∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC ＝AB ＋AC ＝30.14. 【答案】85或14 [解析] ①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－80°2＝50°， ∴特征值k ＝80°50°＝85.②当∠A 为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°， ∴特征值k ＝20°80°＝14. 综上所述，特征值k 为85或14.15. 【答案】105°或55°或70° [解析] (1)如图①，点P 在AB 上时，AP ＝AC ，顶角∠A ＝105°.(2)∵∠B ＝20°，∠BAC ＝105°， ∴∠ACB ＝180°－20°－105°＝55°.点P 在BC 上时，如图②，若AC ＝PC ，则顶角∠C ＝55°.如图③，若AC ＝AP ，则顶角∠CAP ＝180°－2∠C ＝180°－2×55°＝70°. 综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题16. 【答案】[解析] 由已知条件易知△ABE ≌△CAD ，从而BE ＝AD ，只需求PB 的长即可，由BQ ⊥AD 知，若在Rt △BPQ 中有∠PBQ ＝30°就可以求出BP 的长，于是求证∠BPQ ＝60°是解决问题的突破口． 解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA. 又AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD. ∴∠ABE ＝∠CAD ，BE ＝AD.∴∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠CAD ＝∠BAC ＝60°. 又BQ ⊥AD ，∴∠PBQ ＝30°. ∴PB ＝2PQ ＝6.∴BE ＝PB ＋PE ＝7.∴AD ＝BE ＝7.17. 【答案】证明：如图所示，过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，则∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB. 在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DFG ＝∠EFC ，DF ＝EF ，∠GDF ＝∠E ，∴△DFG ≌△EFC(ASA)．∴GD ＝CE.∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD.∴∠B ＝∠DGB.∴∠B ＝∠ACB.∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．18. 【答案】解：探究一：猜想：EF ＝BE ＋CF.证明如下： ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠CBO. ∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14. 探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE. 同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.19. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.20. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE. (3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。
人教版八年级数学上册13.3等腰三角形.docx
初中数学试卷鼎尚图文**整理制作13.3 等腰三角形15一．选择题（共15小题）1．（2015•台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．1472．（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100° D．105°3．（2015•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°4．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°5．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°6．（2015•盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或77．（2015•宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或128．（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或129．（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°10．（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1711．（2015•黄石）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°12．（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2 B． 3 C． 4 D． 513．（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2015•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC15．（2015•黄冈）如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）A．6 B．6C．9 D．3二．填空题（共13小题）16．（2015•乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．17．（2015•广元）一个等腰三角形两边的长分别为2cm，5cm，则它的周长为cm．18．（2015•南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．19．（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=．20．（2015•甘孜州）边长为2的正三角形的面积是．21．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=°．22．（2015•潍坊）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n=．（用含n的式子表示）23．（2015•义乌市）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm．24．（2015•昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．25．（2015•毕节市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=．26．（2015•内江）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=．27．（2015•北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=．28．（2015•曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC 于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为．三．解答题（共2小题）29．（2015•漳州）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．30．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．13.3 等腰三角形15参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．147考点：等腰三角形的性质．分析：先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．解答：解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，故选B．点评：此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等边对等角和三角形内角和分析解答．2．（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100° D．105°考点：等腰三角形的性质；作图—基本作图．分析：根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．解答：解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．点评：（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．3．（2015•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°考点：等腰三角形的性质．分析：先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．4．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°考点：等腰三角形的性质．分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．解答：解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故选C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．5．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°考点：等腰三角形的性质．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，故选：A．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．6．（2015•盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或7考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．解答：解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．故选：A．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．7．（2015•宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．解答：解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．9．（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．分析：根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解答：解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选：A．点评：考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．10．（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．解答：解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．11．（2015•黄石）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．解答：解：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．12．（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2 B． 3 C． 4 D． 5考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．分析：首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C1的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．解答：解：如图，，∵AB所在的直线是y=x，∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b，∵点A（，），B（3，3），∴AB的中点坐标是（2，2），把x=2，y=2代入y=﹣x+b，解得b=4，∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4，∴C1（4，0）以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；AB==4，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．综上，可得若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．故选：B．点评：（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．13．（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：等腰三角形的判定与性质．分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．解答：解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．14．（2015•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：计算题．分析：由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．解答：解：∵DE∥BC，∴=，∠ADE=∠B，∵AB=AC，∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，∴∠ADE=∠C，而DE不一定等于BC，故选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．15．（2015•黄冈）如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）A．6 B．6C．9 D．3考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，∴BC=9，故选C．点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）16．（2015•乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是120°．考点：等腰三角形的性质．分析：三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．解答：解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．点评：本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．17．（2015•广元）一个等腰三角形两边的长分别为2cm，5cm，则它的周长为12cm．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为2cm，只能为5cm，然后即可求得等腰三角形的周长．解答：解：∵等腰三角形的两条边长分别为2cm，5cm，∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长=5+5+2=12cm．故答案为：12．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．18．（2015•南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=52度．分析：设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．解答：解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．点评：本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．19．（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．故答案为：9．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．（2015•甘孜州）边长为2的正三角形的面积是．专题：计算题．分析：求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积．解答：解：过A作AD⊥BC，∵AB=AB=BC=2，∴BD=CD=BC=1，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==，则S△ABC=BC•AD=，故答案为：．点评：此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．21．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°°．考点：等边三角形的性质．分析：根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD 的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC=30°，故答案为：30°．点评：本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键．22．（2015•潍坊）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n=（）n．（用含n的式子表示）考点：等边三角形的性质．专题：规律型．分析：由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到S n．解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴S1=××（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴S2=××（）2=（）2；依此类推，S n=（）n．故答案为：（）n．点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．23．（2015•义乌市）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm．考点：等边三角形的判定与性质．专题：应用题．分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．解答：解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=18cm，故答案为：18点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．24．（2015•昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．分析：根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．解答：解：如图所示：，由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，得AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；S△ABC=AC•BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=．S五边形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN=×42﹣×22﹣××1=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．25．（2015•毕节市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=2．考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质．分析：根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．解答：解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，故答案为2．点评：本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键．26．（2015•内江）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=6．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长．解答：解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案为：6．°点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．27．（2015•北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=8．考点：含30度角的直角三角形；正方形的性质．分析：先由正方形的性质可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8．解答：解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为8．点评：本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正方形的性质，平行线的性质．求出∠E=30°是解题的关键．28．（2015•曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC 于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为（6+2）a．考点：含30度角的直角三角形；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：先根据∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC可知BC=2AB，CD=2DE，再由AB=AD可知点D 是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理可得出AC的长，由此可得出结论．解答：解：∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，∴BC=2AB，CD=2DE=2a．∵AB=AD，∴点D是斜边BC的中点，∴BC=2CD=4a，AB=BC=2a，∴AC===2a，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2a=（6+2）a．故答案为：（6+2）a．点评：本题考查的是含30°的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键．三．解答题（共2小题）29．（2015•漳州）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC，从而求得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．解答：证明：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B=∠C．点评：本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．30．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．解答：证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．点评：考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．。