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3.5探索与表达规律例题与

5 探索与表达规律

一、【问题引入与归纳】

我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。

1．规律探索

规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：

(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；

(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；

(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；

(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．

探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．

②

(2)新运算的规律 新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序．

(3)图形规律

探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．

【例2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，… (2)§⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝2，§⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝3，§⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝4，§⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫12 013－§(2 012)． 分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的

数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1，所以§(2 012)＝2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等

于括号内那个数的倒数，所以§⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫12 013＝2 013. 解：§⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2. 【例2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )．

A ．(2n ＋1)2

B ．(2n －1)2

C ．(n ＋2)2

D ．n 2

解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝(2n ＋1)2.故选A.

答案：A

3．探索规律的应用

常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律．

(1)探索日历中的规律

在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索．

①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：

②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．

③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.

④日历中的3×3方框内的规律：

在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．

若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a－8)＋(a－7)＋(a－6)＋(a－1)＋a＋(a＋1)＋(a＋6)＋(a＋7)＋(a＋8)＝9a，正好是中间数a的9倍．

(2)折叠中的规律

将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n.

层数：2,4,8,16,32，…，2n.

平行对折的折痕数：

1,3,7,15,31，…，2n－1.

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【例3－1】2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：

春节：2月__________日，除夕：2月__________日．

解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即24－14＝10，春节是10日，根据横列中相邻

相差1的规律，可知除夕是9日．

答案：10 9

【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．

(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？

(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？

(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．

分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律．

解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而90÷18＝5，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍．

(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律．

(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a ＋12)＝5a.

【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行