2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题一、单选题1．设复数12z i =+，设231z z +=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．-2【答案】C【解析】()22221233144342112122i z i i i z i i i++++++====-+- 故选C2．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80【答案】C【解析】分析：写出103152r r rr T C x -+=n n ，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭n n 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C n =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）A ．22112x y -=B ．22193x y -=C ．2213yx -= D ．2212332x y -= 【答案】C【解析】由双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：22231a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴双曲线C 的标准方程是2213y x -=故选：C4．若平面α，β的法向量分别为()12, 3.5n =-r ，()23,1,4n =--r，则（ ）A ．//αβB ．αβ⊥C ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】根据法向量12,n n u r u u r的关系，判断平面,αβ的关系.【详解】()()12=2, 3.5,3,1,4n n -=--u r u u rQ 分别是平面,αβ的法向量， 且()()()12233154290n n =⨯-+-⨯+⨯-=-≠u r u u rg， 1n ∴u r 与2n u u r不垂直，α\与β不垂直. 又1n u r Q 与2n u u r不共线，α\与β不平行.α\与β相交但不垂直.故选：C . 【点睛】本题考查两平面的位置关系，属于基础题.5．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51C ．61D ．68【答案】B【解析】由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====.故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）A ．7B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．7．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．64种 C ．65种 D ．66种【答案】D【解析】由题意，4个不同的数的和为偶数，有3种情况：4个偶数、2个偶数2个奇数、4个奇数，根据分类加法计数原理和组合的知识可求. 【详解】从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数， 有3种情况：4个偶数、2个偶数2个奇数、4个奇数.所以不同的取法共有4224445566C C C C ++=种.故选：D . 【点睛】本题考查分类加法计数原理和组合，属于基础题.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,且l 过点()2,3,M -在抛物线C 上,若点()1,2N ,则MN MF +的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题可得,:2l x =-. 由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．9．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-nB ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B【解析】试题分析：由于123...31nn a a a a ++++=-，所以11231...31n n a a a a --++++=-，两式相减得123n n a -=⋅，所以2149n n a -=⋅是以4为首项，公比为9的等比数列，其前n 项和为()()419191192n n-=--.【考点】等比数列.10．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.二、多选题11．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（ ） A．a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】选项A，利用基本不等式得a b+≥，再利用基本不等式得≥B，把()11a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭展开，利用基本不等式即可证明；选项C，由0a>，不等式显然成立；选项D，作差法证明()()22220a b ab a b+-+≥即得.【详解】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥=Q，当且仅当1a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()222223322 0,0,0 a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题.12．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】选项A ，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B ，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D ，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A 正确；对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确；对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有22A 种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确；对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222C C C C A A ⋅种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.三、填空题 13．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______． 【答案】【解析】根据不等式的解集，求得的值，由此求得不等式的解集.【详解】 由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题，解题过程中要注意正负号的影响. 14．已知函数()4f x x x =+,()2xg x a =+,若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,即需保证,()()max max g f x x ≥.根据函数单调性分别求取()max f x 和()max g x ,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()4f x x x=+,是对号函数, ∴ 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()1752f x ≤≤Q 函数()2x g x a =+是单调增函数∴ 当[]2,3x ∈,()48a g x a +≤≤+若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,则需保证,()()max max g f x x ≥,故8172a +≥ 解得:12a ≥故答案为: 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题,掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.15．设A，B是椭圆C：223x ym+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是______.【答案】（0，1]∪[9，+∞）【解析】分焦点在,x y轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点M在椭圆的短轴端点上,进而求解m的临界值,进而求得取值范围即可.【详解】假设椭圆的焦点在x轴上,则0＜m＜3时,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMO3m=≥tan60°3=,解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时,m＞3,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB ≥120°,∠AMO ≥60°,tan ∠AMO =≥tan60°=解得：m ≥9, ∴m 的取值范围是（0,1]∪[9,+∞） 故答案为：(][)0,19,+∞U 【点睛】本题主要考查了椭圆中的范围问题,主要是临界条件的分析方法,属于中档题.四、双空题 16．已知)22nx的展开式的二项式系数和比()31nx -的展开式的二项式系数和大992，则在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项为__________，系数的绝对值最大的项为__________.【答案】8064- 415360x -【解析】由题意可得222992n n -=，求出n ，即求在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项.设1r T +的系数的绝对值最大，求出r ，即得答案. 【详解】由题意可得222992n n -=，即()()232231992,232,5nnnn -+=∴=∴=.由二项式系数的性质可知，1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第6项的二项式系数最大，∴二项式系数最大的项为()55555610101228064T C x C x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.设1r T +的系数的绝对值最大，又()()2010102110101212rrr r r r rr T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ()()101101101010110110102222r r rr r r r r C C C C -----+-+⎧≥⎪∴⎨≥⎪⎩，即()1122110r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得811,,333r r N r ≤≤∈∴=Q . 4T ∴的系数的绝对值最大， ()3103310644101215360T C x x --=-=-.所以系数的绝对值最大的项为415360x -. 故答案为：8064-；415360x -. 【点睛】本题考查二项式系数和二项式定理的通项公式，属于中档题.五、解答题17．已知复数，是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）z=﹣2i．（2）m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数所表示的点在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．【答案】（1）3600（2）576（3）1440【解析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A 种方法，故共有A ×A ＝1 440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）已知92a x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值； （3）求()5232x x ++的展开式中x 的系数.【答案】（1）2116；（2）4；（3）240. 【解析】（1）求出展开式的通项1r T +，令x 的次数为0，求出r ，即求常数项； （2）求出展开式的通项1r T +，令x 的次数为3，求出r ，根据其系数为94，即求a ； （3）由()()()55523212x x x x ++=++可知，展开式中含x 的项是：()51x +展开式中的一次项与()52x +展开式中的常数项之积；()51x +展开式中的常数项与()52x +展开式中的一次项之积，可求x 的系数. 【详解】（1）9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()9218319911C C 22r rr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令1830r -=，得6r =，即第7项为常数项.6679121C 216T ⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭，即常数项为2116.（2）92a x x ⎛- ⎝的展开式的通项为93992199T =C 22rrrr rr r r a x a C x x ---+⎛⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，8r ∴=. ∴8899C 42a ⎛= ⎝，∴4a =.（3）∵()()()55523212x x x x ++=++，()5232x x ∴++的展开式中含x 的项是：()51x +展开式中的一次项与()52x +展开式中的常数项之积；()51x +展开式中的常数项与()52x +展开式中的一次项之积.∴x 的系数为4555445555C C 2C C 2240⋅⋅+⋅⋅=.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于中档题.20．如图，PA ⊥平面ADE ，,B C 分别是,AE DE 的中点，AE AD ⊥，2AD AE AP ===.（1）求二面角A PE D --的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【答案】（1）33；（2）552． 【解析】试题分析：先利用所给的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标（1）判定AD u u u r 是平面PAB 的一个法向量，求出平面PED 的一个法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三点共线设出点Q 的坐标，利用空间向量的夹角公式得到函数关系式，利用二次函数求其最值． 试题解析：以{,,}AB AD AP u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD u u u r是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =u u u r ．因为(1,1,2)PC =-u u u r，(0,2,2)PD =-u u u r．设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0m PC ⋅=u r u u u r ，0m PD ⋅=u r u u u r，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1,1z x == 所以(1,1,1)m =u r是平面PCD 的一个法向量． 从而3cos ,AD m =u u u r u r 所以二面角A PE D --的余弦值为3（Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-u u u r，设BQ BP λ=u u u r u u u r(,0,2)(01)λλλ=-≤≤，又(0,1,0)CB =-u u u r，则CQ CB BQ =+u u u r u u u r u u u r(,1,2)λλ=--，又(0,2,2)DP =-u u u r ，从而2cos ,102CQ DP CQ DP CQ DP λ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设12,[1,3]t t λ+=∈, 则 2222229cos ,15205109109()99t CQ DP t t t ==≤-+-+u u u r u u u r当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP u u u r u u u r 的最大值为310.因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为5BP =2255BQ BP ==【考点】空间向量在立体几何中的应用【方法点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角、二面角，属于中档题；处理空间角或空间距离时，往往借助空间向量法，即先利用空间中的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用相关公式进行求解，但要注意的是空间角和向量角的区别.21．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ， 且2315a a =n ，416S = (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)设数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=n①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m n ，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】⑴21n a n =-；(2)①()*3221n n b n N n -=∈-；②见解析【解析】（1）直接由2315a a =n ，416S =列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得结论；（2）①把数列{}n a 的通项公式代入111n n n n b b a a ++-=⋅ ,然后裂项，累加后即可求得数列{}n b 的通项公式；②假设存在正整数(),m n m n ≠,使得2,,m n b b b 成等差数列，则22m n m b b b b ++=，由此列关于m 的方程，求解得结论. 【详解】⑴由()()11121543162a d a d a d ⎧++=⎪⎨⨯+=⎪⎩得112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =- (2)①因为()()11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫-==- ⎪-+-+⎝⎭则21111213b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭... ()1111222321n n b b n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪--⎝⎭各式相加得1111221n b b n ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以()32221n n b n n -=≥- 又11b =符合上式， 所以()*3221n n b n N n -=∈-；②存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列， 则22n m b b b +=，即43232232121n m n m --⎛⎫+= ⎪--⎝⎭化解整理可得()111216221m n =+--，因为()1112,622163n ⎛⎤+∈ ⎥-⎦⎝ 所以1126213m <≤-，所以32162m ≤-<，得5742m ≤<， 所以2m =或3当2m =时，2n =，不合题意，舍去 故存在3m =，8n = 【点睛】本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y b b αα+=>>12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OQ OP的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）2OQ OP =；（ⅱ） 【解析】【详解】（Ⅰ）由题意知22311,4a b +=又2a =，解得224,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为221164x y +=.（ⅰ）设00(,),,OQ P x y OPλ=由题意知00(,)λλ--Q x y .因为2200 1.4x y +=又2200()()1164λλ--+=x y ，即22200() 1.44x y λ+=所以2λ=，即2.OQ OP=（ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,∆>可得22416m k <+①则有21212228416,.1414km m x x x x k k -+=-=++所以12214x x k-=+因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积1212S m x x =-===设22.14m t k=+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+②由①②可知01,t S <≤==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（Ⅰ）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.。
江苏省泰州中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省泰州中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.在ABC ∆中，若30B°?，AB =2AC =，则满足条件的三角形有（ ）个 A.B. 1C. 2D. 不确定 【答案】C【解析】【分析】直接利用sin AB AC AB B >>来判断三角形解得情况.【详解】在ABC ∆中，30B°?，AB =2AC =，则sin AB AC AB B >>，所以，ABC ∆有两解.故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．2.正方体被平面所截得的图形不可能是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C 项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.3.10y +-=的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk =求解倾斜角.10y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=.故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.4.以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A. 2280x y x y +---=B. 2290x y x y +---=C. 2280x y x y +++-=D. 2290x y x y +++-= 【答案】A【解析】【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.5.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ）A. 310x y -+=B. 370x y ++=C. 3110x y --=D. 3130x y ++=【答案】D【解析】【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程. 【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--； 设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=则3(4)(1)0m ⨯-+-+=解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=.故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A. 2B.C. 43πD. 6π 【答案】D【解析】【分析】依题意最大的球为与正方体各个面相切，直径为正方体的棱长，即可求解.【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球， 该球为正方体的内切球，其半径为12，所以球体积为341()326ππ⨯=.故选：D .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.7.在ABC V 中，2cos22B a c c +=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC V 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得． 【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键． 8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. 2m 3 C. 43m D. 3m 2【答案】B【解析】【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m 的一扇形，蚂蚁从P 爬行一周后回到P （记作1P ），作1OM PP ⊥，如下图所示：的由最短路径为，即12PP OP ==， 由圆的性质可得13POM POM π∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23π， 则圆锥底面圆的周长为24233l ππ=⨯=， 则底面圆的半径为423223l r πππ===， 故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.9.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A. 5B. C. 4 D. 16 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案．【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211*********()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=- 又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）11.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）A. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥B. 若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nC. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nD. 若αβ⊥，m α⊂，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥【答案】ABD【解析】【分析】根据线面的位置关系对每个选项进行判断．【详解】由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又由n β⊂，得αβ⊥，A 正确；由//αβ，m α⊥，得m β⊥，又由n β⊥，得//m n ，B 正确；若//αβ，m α⊂，n β⊂，,m n 可能平行也可能是异面直线，C 错误；由面面垂直的性质定理知D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．12.设有一组圆k C ：()()224132x k y k k -++-=（*k N ∈）.下列四个命题中真命题的是（ ） A. 存在一条定直线与所有的圆均相切B. 存在一条定直线与所有的圆均相交C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交D. 所有圆均不经过原点【答案】BD【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断A ．由圆心所在直线判断B ，由圆半径可能无穷大，判断C ，代入原点坐标确定方程是否有整数解判断D ．【详解】圆心为(1,3)k C k k -，半径为2k r =，1(0,3)C ，1r =2(1,6)C ，2r =12C C ==<=1C 与圆2C 是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A 错误；易知圆心在直线3(1)y x =+上，此直线与所有圆都相交，B 正确；若k 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C 错；将(0,0)代入圆方程得224(1)92k k k -+=，即2410212k k k -+=，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，掌握反证法，特殊值法，综合性较高．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第15题第一空2分，第二空3分；共20分）13.若直线()2540a x y +-+=与()2210x a y +--=互相垂直，则a 的值是__________.【答案】4-.【解析】【分析】由垂直的条件求解．【详解】∵已知两直线垂直，∴2(25)(2)0a a +--=，解得4a =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．14.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且1BD AC ==，则EF 的长为__________.【答案】12【解析】【分析】 取BC 中点G ，可证EGF ∠（或其补角）是BD ，AC 所成的角，分类计算．【详解】取BC 中点G ．连接,GE GF ，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴//,//EG AC GF BD ，1122GE BD ==，1122GF BD ==， ∴BD ，AC 所成的角是EGF ∠（或其补角）， 若60EGF ∠=︒，则12EF GE ==，若120EGF ∠=︒，则12sin 6022EF GF =︒=⨯=，故答案为：12或2．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时要注意通过平行线作出异面直线所成角时，对应的角或其补角是异面直线所成的角，因此可分类讨论．15.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：()0,3Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切.已知直线l 过点O .（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________.【答案】 (1). 3 (2).125【解析】【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆L 与圆S 的圆心坐标，（1）求出切线方程后，求出Q 到切线l 的距离后由勾股定理得弦长．（2）设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(,0)(0)S a a >23=+，4a =，即(4,0)S ，∴(4,0)L -．（1）设l 方程为y kx =，即0kx y -=2=得k =，由对称性不妨取k =l方程为y x =，0x -=，圆心Q 到l2=，∴弦长为3=； （2）同（1）设直线l 方程为0kx y -=，点Q 到直线l，直线截圆Q得弦长为d ==S 到直线l，直线截圆S得弦长为d ===，解得2421k =，∴125d ==． 故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．16.在锐角ABC V 中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是__________.【答案】2⎭【解析】【分析】由正弦定理化角为边，由余弦定理求出中线长（用三边表示），然后根据已知条件求出b 的范围，结合二次函数性质得bc 的范围，从而得中线取值范围．【详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，又2a =，所以4b c +=，由余弦定理得2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，12BD CD a ==， 所以2222122b c AD a +=+，所以AD === 又4b c +=，即4c b =-，因为ABC V 是锐角三角形，∴222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，所以222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解得3522b <<，∴2215(4)4(2)4(,4]4bc b b b b b =-=-=--+∈，AD ≤<故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，二次函数的性质的综合应用，解题时利用余弦定理建立中线与三角形边长之间的关系是基础，利用锐角三角形求出b 的取值范围是解题关键．四、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． ∴Ⅰ）求∠A ∴∴Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠∴∴2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高∴ 详解：解∴∴1）在△ABC 中，∵cos B =–17∴∴B ∴∴π2∴π∴∴∴sin B=由正弦定理得sin sin a b A B =⇒ 7sin A=AB ∴∴π2∴π∴∴∴A ∴∴0∴π2∴∴∴∴A =π3∴ ∴2）在∴ABC 中∴∴sin C =sin∴A +B ∴=sin A cos B +sin B cos A1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴ 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ∴∴h =sin BC C ⋅=7=∴∴AC∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18.在如图所示五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形∴所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ∴且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o,所以,EH AD BH AD ⊥⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以122BDES ==V , 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为11422BDM BCD S S ===V V , 所以由E BDM M BDE V V --=,得113232h =⨯⨯,解得5h = 即F 到平面BDE的距离为5∴ 19.已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝,（1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程.【答案】（1）x ＋y －3＝0（2）圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40 【解析】 【分析】（1）求出AB 中点坐标和直线CD 的斜率，即得直线CD 的方程；（2）设圆心P （a ，b ），求出,a b 的值，即得圆P 的方程.【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2）. 所以1CD k =-.则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1）， 所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝，所以|P A |＝ 所以（a ＋1）2＋b 2＝40.② 由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）.所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40.【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，AB 是O e 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：PBC V 是直角三角形；（2）若2PA AB ==，且当直线PC 与平面ABC 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）由PA ABC ⊥平面，得BC PA ⊥，再有BC AC ⊥，这样可由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而得证线线垂直，即得证结论；（2）过A 作AH PC ⊥于H ，由（1）可证AH PBC ⊥平面，从而有ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，求出此角正弦值即可．【详解】（1）证明∴AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.∴BC AC ⊥， ∴PA ABC ⊥平面，∴BC PA ⊥，又PA AC A =I ，PA ，AC PAC ⊂平面， ∴BC PAC ⊥平面，∴BC PC ⊥， ∴BPC △是直角三角形.（2）如图，过A 作AH PC ⊥于H ，∴BC PAC ⊥平面， ∴BC AH ⊥，又PC BC C ⋂=，PC ，BC PBC ⊂平面， ∴AH PBC ⊥平面，∴ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角， ∴PA ABC ⊥平面，∴PCA ∠即是PC 与平面ABC 所成的角，∴tan PAPCA AC∠==又2PA =，∴AC =∴在Rt PAC △中，3AH ==，∴在Rt ABH △中，3sin 2AH ABH AB ∠===，即直线AB 与平面PBC 【点睛】本题考查证明线线垂直，考查直线与平面所成的角，求线面角时一般可作出平面的垂直，得出直线与平面所成的角，在三角形中计算即可，即通常所说的作证算三步． 21.已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于【答案】（1）证明见解析；直线经过的定点为M （2，－2）（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形得到2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，得到方程26040x y x y --=⎧⎨--=⎩计算得到答案.（2）易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，直线方程为x －y －4＝0.，而直线系不能表示此直线，故得证.【详解】（1）解显然2＋λ与－（1＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，∴26040x y x y --=⎧⎨--=⎩ 解得22x y =⎧⎨=-⎩故直线经过的定点为M （2，－2）.（2）证明：易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，等号成立 此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴d <.【点睛】本题考查了直线过定点，点到直线的距离范围，确定直线系不能表示x －y －4＝0是解题的关键.22.已知直线220x y -+=与圆C ：2240x y y m +-+=. （1）求圆C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与函数2y x =的图象相交于M 、N 两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若函数2y x =图象上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明.【答案】（1）()2221x y +-=（2）证明见解析；（3）直线QR 与圆C 相切；证明见解析； 【解析】 【分析】（1）化圆方程为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，用表示出弦长，从而求得m ，得圆方程；（2）求出过原点的圆C 的两条切线方程，然后求得两条切线与抛物线的交点坐标后可得证； （3）设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，由此写出直线,,PQ PR QR 的方程，由直线,PQ PR 与圆相切得出,,a b c 的关系，可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-，然后可证直线QR 也与圆相切． 【详解】（1）解：圆C ：2240x y y m +-+=，可化为圆()2224x y m +-=-+，圆心到直线的距离d =，∴，∴224m +=-+⎝⎭， ∴3m =，∴圆C 的方程为()2221x y +-=；（2）证明：设过原点O 的切线方程为y kx =，即0kx y -=，1=，∴k =∴设过原点O 的切线方程为y =，与函数2y x =，联立可得3x y ==，∴3y =与圆C 相切；（3）解：设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，可得22PQb a ka b b a-==+-， 直线PQ 的方程为()()2y a a b x a -=+-，即为()y a b x ab =+-，同理可得，直线PR 的方程为()y a c x ac =+-， 直线QR 的方程为()y b c x bc =+-， ∴直线PQ 和PR 都与圆C 相切，1=1=，即为()2221230b a ab a --+-=，()2221230c a ac a --+-=，即有b ，c 为方程()2221230x a ax a --+-=的两根， 可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-， 由圆心到直线QR222211111a a a a ---===+-，则直线QR 与圆C 相切.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，考查直线与圆的位置关系，掌握用几何方法求弦长和判断直线与圆的位置关系是解题基础．。
解析江苏省泰州中学高二下学期期中考试数学文试题含解析
江苏省泰州中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,25,M N x x x Z -<<∈，则集合M N =I ______. 【答案】{}1,2,3,4 【解析】试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，所以{}1,2,3,4M N ⋂= 考点：集合交集运算2.总体由编号为01,02,19,20⋅⋅⋅的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 _________.【答案】05 【解析】 【分析】根据随机数表的规则，依次读取在编号内的号码，取出第6个编号即为所求，重复的只算一次.【详解】解：由随机数表第1行的第5列和第6列数字组合成的两位数为65，从65开始由左到右依次选取两个数字，将在01,02,19,20⋅⋅⋅内的编号依次取出，重复的只算一次，即依次选取个体的编号为08,02,14,07,11,05,⋅⋅⋅， 因此第6个个体的编号为05.【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题，读懂抽样规则是解题的关键.3.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是_________.【答案】23【解析】试题分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有3216⨯⨯=种排法，其中甲、乙相邻共有2214⨯⨯=种排法，因此所求概率42.63= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的计算方法 (1)列举法：此法适合于较简单的试验．(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求． (3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便． (4)排列、组合数公式法．4.命题"x R ∀∈，有21x x +≥的否定是_______. 【答案】∃x∈R，x 2+1<x 【解析】试题分析：全程命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“∀x∈R，有x 2+1≥x”的否定是：∃x∈R，x 2+1<x 考点：全称命题与特称命题5.已知函数()()3,42,4x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()1f -的值为______.【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数第二段可得()1(1)(3)(5)f f f f -===，再利用分段函数第一段解析式可得结果.【详解】解：因为当3时，)2()(+=x f x f ，故()()()()112112f f f f -=-+==+()()()3325f f f ==+=，因为当4x ≥时，()3f x x =-， 故()5532f =-=， 故答案为2.【点睛】本题考查了分段函数求值的问题，解题的关键是根据分段函数的分界点进行分类讨论求解.6.已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，标准差是2，则xy =________. 【答案】96 【解析】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=-7.执行下面的流程图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为______.【答案】2 【解析】 【分析】此程序框图是循环结构图，由1t =且t N ≤可先假设1=N ，然后模拟程序逐层判断；如若不成立，再假设2=N ，然后模拟程序逐层判断，直至满足条件，得出结果. 【详解】解：因为1t =且t N ≤， 则先假设1=N ，1,100,0t M S ===，第1次循环：10012,0100100,1010S M ≤=+==-=-，2t =， 因为21>，故输出10091S =>，不符合题意. 再假设2=N ，程序执行过程如下：1,100,0t M S ===，第1次循环：10012,0100100,1010S M ≤=+==-=-，2t =， 第2次循环：22,1001090,S ≤=-=10110M =-=，3t =， 因为32>，故输出9091S =<，符合题意.2N ∴=成立，显然2是N 的最小值.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图.8.某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为______.【答案】180. 【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为160016=9009；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =. 故答案为：180. 考点：分层抽样.9.在面积为SV ABC 的内部任取一点P ，则PBC △的面积小于2S的概率为______.【答案】34【解析】 【分析】取AB,AC 的中点E,F,根据题意知点P 落在四边形EFCB 内时PBC ∆的面积小于2s，根据图形求出面积比即可． 【详解】如图所示，EF 为ABC ∆的中位线，当点P 落在四边形EFCB 内时PBC ∆的面积小于2S，已知总事件为ABC ∆的面积S ，344ABC AEF EFCB S SS S S S ∆∆=-=-=四边形． 设满足条件的事件为事件A ，则334()4EFCB ABCSS P A S S ∆===四边形．故答案为：34． 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.函数2y x x =--_______.【答案】74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】 【分析】在含有根号的函数中求值域，运用换元法来求解 【详解】令2a x =-0a ≥22x a =+2217224y a a a ⎛⎫∴=+-=-+ ⎪⎝⎭0a Q ≥,12a ∴=，74min y =∴函数y x =-74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【点睛】本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域。
江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省泰州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，有多少种不同的放法（ ） A. 66A B. 66CC. 65D. 56【答案】C 【解析】 【分析】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，然后由乘法原理可得答案. 【详解】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法， 根据乘法原理可得不同放法为65种. 故选：C【点睛】本题考查的是分步乘法计数原理，较简单.2.561212C C +等于（ ）A. 513C B. 613C C. 1113C D. 712C【答案】B 【解析】 【分析】直接利用组合数公式的性质即可.【详解】由组合数公式的性质可得：566121213C C C +=.故选：B.【点睛】本题考查组合及组合数公式的性质，组合数公式：11m m mn n n C C C -++=，属于基础题.3.已知i 是虚数单位，复数512ii-的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. i -D. i【答案】B 【解析】因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B. 4.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.7D. 0.8【答案】B 【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于x a =对称，且()0.5P X a >=，结合题意得到a 的值. 详解：随机变量ξ服从正态分布(),4N a ，∴曲线关于x a =对称，且()0.5P X a >=，由()10.5P X >=，可知1a μ==，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线x μ=对称；（2）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）． A.1415B.115C.29D.【答案】A 【解析】 【分析】高考资源网（ ）您身边的高考专家设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，可以求()P A,运用公式()1()P A P A=-，求出()P A.【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，所以232101()=15CP AC=，因此114()1()=11515P A P A=--=,故本题选A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.6.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（）A. 0.2484 B. 0.25 C. 0.90 D. 0.3924 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次：两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P=-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C=⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P=⨯=. 所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P=++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.7.若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x-=+-+-+⋅⋅⋅+-，则5a为（）A. 251 B. 250 C. 252 D. 249【答案】A【解析】【分析】根据题意，5a 是展开式中()51x -的系数，因此将等式左边变形为关于1x -的二项式，再求()51x -的系数.【详解】由题意，()()1051051111x x x x -=-+--+，又()()()()10109011010101011111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，()()()()55401555511111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，因为，()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，即55101251a C =-=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理中展开式的系数，关键是将已知等价变形，得到关于()1nx -的二项式，属于基础题. 8.已知10a <<，随机变量ξ的分布列如下： ξ2- 02Pa12a - 12当a 增大时，则（ ） A. ()E ξ增加，()D ξ增加 B. ()E ξ增加，()D ξ减小 C. ()E ξ减小，()D ξ增加 D. ()E ξ减小，()D ξ减小【答案】C 【解析】 【分析】由1020a a ⎧->⎪⎨⎪>⎩，得到a 的范围，再分别求得期望和方差，然后利用一次函数和二次函数的性质求解.【详解】由1020a a ⎧->⎪⎨⎪>⎩，解得102a <<，()21ξ=-+E a ，由一次函数的性质得：当a 增大时，则()E ξ减少，()()()222211()23211248122D a a a a a a a ξ⎛⎫=-⋅+-⋅-++⋅=-++ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质得：当a 增大时，()D ξ增加， 故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每题所给的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分） 9.已知i 为虚数单位，211z i i⋅=--，则关于复数z 的说法正确的是（ ） A. 1z = B. z 对应复平面内的点在第三象限 C. z 的虚部为i - D. 0z z +=【答案】AD 【解析】 【分析】根据211z i i⋅=--，利用复数的乘除运算得到z i =-，再逐项验证. 【详解】因为211z i i⋅=--， 所以()()112i i z i --==-，所以1z =， 0z z +=，z 的虚部为-1，z 所对应的点为（0,-1），在坐标轴上， 故选：AD【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ） A. 存在*n N ∈，展开式中有常数项； B. 对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C. 对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D. 存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 则3411=()()rn rr r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确． 故答案选AD【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 2()5P B =B. 15()11P B A =C. 事件B 与事件1A 相互独立D. 1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】 【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,p A p A p A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断. 【详解】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：()20P K k ≥0.050 0.010 k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】BC 【解析】【分析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 【详解】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音4n 3n 7n 不喜欢抖音 n2n3n合计 5n 5n 10n则()221042310557321n n n n n nK n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分） 13.设221iz i-=+，则z =_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的四则运算得出z ，再求z 即可.【详解】2222(1)2(1)(1)1221(1)(1)i i z i i i i i i i --===-=-+=-++-220(2)2z =+-=故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于中档题. 14.83被5除所得的余数是_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】变形883(52)=-，利用二项式定理展开即可求出被5除所得的余数. 【详解】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+， 所以83被5除所得的余数是1， 故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题. 15.利用组合数的性质进行计算（结果保留数字的形式）：（1）125555512C 4C 2C +++⋅⋅⋅+=___________；（2）222223410C C C C +++⋅⋅⋅+=____________． 【答案】 (1). 243 (2). 165 【解析】 【分析】（1）逆用二项展开式公式即可求解；（2）由组合数的性质1+1m m m n n n C C C -=+即可求解.【详解】（1）由二项展开式知，12555555512C 4C 2C (12)3243+++⋅⋅⋅+=+==， （2）由组合数的性质1+1m m m n n n C C C -=+可知，222232222341033410C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 3224410C C C =++⋅⋅⋅+ 321010C C =+311165C ==.【点睛】本题主要考查了二项展开式公式的逆用，组合数的性质，考查了计算推理能力，属于中档题.16.已知(12)n x -的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第__________项． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出n 的值，确定二项展开式的系数最大项在奇数项，建立不等式求解即可.【详解】由题意知，264n =，解得6n =,由(12)nx -的展开式通项公式16(2)r r r T C +=-知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第1r +项的系数最大，则22662266(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧--⎨--⎩， 解得4r =，故其展开式中系数最大的项第5项. 故答案为: 5【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，涉及二项展开式中二项式系数和与系数和问题，容易出错.要正确区分这两个概念.四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数； （2）若()1m iz m R i-+∈+为纯虚数， 求实数的值．【答案】（1）3z i =-.（2）5m =-. 【解析】【详解】（1）设z a bi =+，,,0a b R a ∈>， 由题意：2210a b +=.①(12)z (12)()2(2)i i i a bi a b a b +=++=-++，得22a b a b -=+② ①②联立，解得3,1a b ==- 得3z i =-.（2）()(1)1133(1)1222m i m i i m m z i i i ----++=++=++-+ 所以1302m -+=且1102m +-≠， 解得5m =-.18.从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛．（1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？ （2）如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？ 【答案】（1）91种；（2）120种． 【解析】 【分析】（1）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可得答案；（2）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数，即可得答案.【详解】（1）先在9人中任选4人，有49126C =种选法, 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有4735C =种, 则甲与女姓中的乙至少要有1人在内的选法有1263591-=种.（2）先在9人中任选4人，有49126C =种选法，其中只有男生的选法有455C =种，只有女生的选法有441C =种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有12651120--=种.【点睛】本题主要考查了组合的应用，间接法，逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.19.设723456701234567(31)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，求：（1）0246a a a a +++； （2）1357a a a a +++；（3）01234567a a a a a a a a +++++++． 【答案】（1）8128-；（2）8256；（3）16384． 【解析】 【分析】（1）取1x =和1x =-，代入计算，两式相加得到答案. （2）根据（1）中结论直接得到答案.（3）利用二项式定理的通项，考虑系数的正负，计算得到答案.【详解】（1）取1x =得到7701234567(31)2a a a a a a a a +++++++=-=， 取1x =-得到7701234567(31)4a a a a a a a a -+-+-+-=--=-，两式相加得到77024********a a a a -+++==-.（2）根据（1）知：()713570246212881288256a a a a a a a a +++=-+++=+=.（3）7(31)x -展开式的通项为：()()71731rrrr T C x -+=-，故当r 为偶数时，对应系数为正；当r 为奇数时，对应系数为负，故()()0123456713570246a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++-+++()8128825616384=-=-.【点睛】本题考查了赋值法求系数和，二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示： 年份2016201720182019时间代号t1 2 3 4 年销量y （万包） 462 444404385（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+．用所求回归方程预测2020年（5t =）方便面在该城市的年销量；（2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品．现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．参考公式：回归方程：y bt a =+，其中121()()()niii nii t t y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：41()()135.5ii i tt y y =--=-∑．【答案】（1）27.1491.5y t =-+，356万包；（2）分布列详见解析，9()10E ξ=． 【解析】 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）ξ的可能值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1） 2.5t =，462444404385423.754y +++==，()()()()4222221()1 2.52 2.53 2.54 2.55i i t t =-=-+-+-+-=∑，135.527.15b -==-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+. 当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=.（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以37310C 7(0)C 24P ξ===；1237310C C 21(1)C 40P ξ===； 2137310C C 7(2)C 40P ξ===；33310C 1(3)C 120P ξ===，故分布列为：ξ123 P72421407401120721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k . 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄； （2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =，所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为X1 2P514 1528 328所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=.设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k时，k P 最大.【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n X ． （1）求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ； （2）求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式． 【答案】（1）概率分布详见解析，2267()64E X =；（2）1357()8()88n n E X -=-． 【解析】 【分析】（1）2X 的可能取值为3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.（2）设(3)n k P X k p =+=，则0123451p p p p p p +++++=，计算概率得到数学期望，整理化简得到17()18()n n E X E X +=+，根据数列知识得到答案.【详解】（1）由题意可知2X =3，4，5．当23X =时，即二次摸球均摸到白球，其概率是1133211889(3)64C C P X C C ==⨯=；当24X =时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是1111355421111888835(4)64C C C C P X C C C C ==+=； 当25X =时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是1154211885(5)16C C P X C C ===， 所以随机变量2X 的概率分布如下表：2X345P9643564516数学期望29355267()34564641664E X =⨯+⨯+⨯=. （2）设(3)n k P X k p =+=，k =0，1，2，3，4，5．则0123451p p p p p p +++++=，012345()345678n E X p p p p p p =+++++．103(3)8n P X p +==，10154(4)88n P X p p +==+，11245(5)88n P X p p +==+， 12336(6)88n P X p p +==+，13427(7)88n P X p p +==+，14518(8)88n P X p p +==+，∴1()n E X +001122335445364()5()6()88888388p p p p p p p +⨯++⨯++⨯+=⨯34277()88p p +⨯+45188()88p p +⨯+012345293643505764888888p p p p p p =+++++ 012345012345345678)7(8p p p p p p p p p p p p +++++++++++=7()18n E X =+， 由此可知，17()8(()8)8n n E X E X +-=-，又135()88E X -=-，故{}()8n E X -是首项为358-，公比为78的等比数列， ∴1357()8()88n n E X --=-，即1357()8()88n n E X -=-. 【点睛】本题考查了分布列，数学期望，根据递推公式求通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定17()18()n n E X E X +=+是解题的关键.。
【精准解析】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期期初检测数学试题
b
1 a
1 b
展开，利用基本不等式即可证明；选
项 C ，由 a 0 ，不等式显然成立；选项 D ，作差法证明 a2 b2 2 ab a b 2 0 即得.
【详解】对 A ， a 0,b 0, a b 1 2 ab 1 2 2 ab 1 2 2 ，当
ab
ab
ab
-5-
41 9n 1 9n 1 . 19 2
-4-
考点：等比数列.
10.已知直线 y kx 2 与曲线 y x ln x 相切，则实数 k 的值为（ ）
A. ln 2
B. 1
C. 1 ln 2
D. 1 ln 2
【答案】D
【解析】
由
y xlnx
得
y ' ln x 1
， 设 切 点 为 x0, y0
【解析】
【分析】
-3-
由题意，4 个不同的数的和为偶数，有 3 种情况：4 个偶数、2 个偶数 2 个奇数、4 个奇数， 根据分类加法计数原理和组合的知识可求. 【详解】从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数， 有 3 种情况：4 个偶数、2 个偶数 2 个奇数、4 个奇数.
对 D ，先把
6
本不同的书分成
4
堆:2
本、2
本、1
本、1
本，有
C62C42 A22
C21C11 A22
种方法；
再分给甲乙丙丁四人，
所以不同的分配方法有
C62C42 A22
C21C11 A22
A44
1080 种，故 D 错误.
故选： ABC .
【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
江苏省泰州中学2019_2020学年高二第二学期4月期初检测数学试题【word版含答案】
江苏省泰州中学2019——2020学年度第二学期4月期初检测高二数学试题 2020.4.14一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－22．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10B ．20C ．40D ．803．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A ．x 212－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝14．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确5．在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋5＝0的根，则S 17的值是( ) A ．41 B ．51 C ．61 D ．686．函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A ．7B ．4C ．0D ．－47．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种C ．65种D ．66种8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．59．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1)10．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。
江苏省泰州中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题含解析
江苏省泰州中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1.不等式10xx-≥的解集为（ ） A. []0,1B. (]0,1C. (][),01,-∞⋃+∞D.()[),01,-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】直接将分式不等式转化将为一元二次不等式，求解即可． 【详解】不等式10xx -≥等价于()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得01x <≤， 所以不等式10xx-≥的解集为(]0,1， 故选：B.【点睛】本题主要考查分式不等式的求法，考查转化思想与计算能力，属于基础题. 2.在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A. 2 B. 18C. 4D. 9【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质得到51a =，959S a =，计算得到答案. 【详解】等差数列{}n a 中，375522,1a a a a +===1995()9992a a S a +⨯===故选D【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.3.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==， 由12=PF ，可得2|2|||4PF -=， 解得26PF =（−2舍去）． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题． 4.已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( ) A. 22n + B. 24n + C. 21n D. 23n -【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等差数列公式和等比中项公式2317a a a =得到答案. 【详解】3a 是1a 与7a 的等比中项，故2317a a a = 即2111(2)(6)a d a a d +=+ 解得：14a =1(1)22n a a n d n =+-=+故选A【点睛】本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型.5.已知椭圆()22:10y C x n n +=>n 的值为（ ） A.14或4 B.14C.12或2 D.12【答案】A 【解析】 【分析】对椭圆C 的焦点位置进行分类讨论，利用离心率公式可求出实数n 的值.【详解】当椭圆C 的焦点在x 轴上时，则01n <<，则21a =，2b n =，则2221c a b n =-=-， 此时，椭圆C的离心率为c e a ===14n =； 当椭圆C的焦点在y 轴上时，则1n >，则2a n =，21b =，则2221c a b n =-=-，此时，椭圆C 的离心率为c e a ===，解得4n =. 因此，14n =或4. 故选A.【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6.若函数()()2125f x a x x =-++的图像恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是( )． A. 65a >B. 65a <C. 65a ≥D.615a a =>或 【答案】A 【解析】 【分析】二次项系数含参数，要讨论二次项系数是否为零，然后再利用二次函数的图像的位置对开口方向、判别式24b ac ∆=-限制即可求解．【详解】当10a -=时：则25y x =+，此直线图像不是恒在x 轴上方，即1a ≠ ；当10a -≠时：若图像恒在x 轴上方，则10420(1)0a a ->⎧⎨∆=--<⎩ 解不等式组可得65a >故选A【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，注意当二次项含有参数数时，需对二次项系数讨论． 7.已知数列{}n a 中，11a =，()111n n a a n n +-=+，则10a 等于( )A.1910B.910C.179D.2111【答案】A 【解析】 【分析】 变形为()111111n n a a n n n n +-==-++，利用累加法和裂项求和计算得到答案.【详解】()111111n n a a n n n n +-==-++10109982111111119 (1191089210)a a a a a a a a =-+-++-+=-+-++-+= 故选A【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用. 8.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列； ③{}1n n a a ++等比数列； ④{}lg n a 是等差数列．其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设11n n a a q -=，得到22(1)1n n a a q q -=⋅，22(1)11n n n a a a q q -+=⋅，1lg lg (1)lg n a a n q =+-，再利用举反例的方式排除③【详解】设11n n a a q -=，则：2122(1)11n n n a a q a q q --==⋅，故{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列，①正确 122122(1)11111n n n n n n a a a q a q a q a q q ---+=⋅==⋅，故{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列，②正确取1(1)n n a -=-，则10n n a a ++=，不是等比数列，③错误.11111lg lg lg lg lg (1)lg n n n a a q a q a n q --==+=+-，故{}lg n a 是首项为1lg a ，公差为lg q 的等差数列，④正确 故选C【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.9.已知正实数,x y 满足+=2x y xy ,则2x y +的最小值为( )．B. 3C. 3+D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件得111()12y x +=，2(2)111()2y x xy x y =+++，利用基本不等式求出最值． 【详解】由已知+=2x y xy ，111()12y x∴+=，所以11112121()(21)(3)3)222222)(x y x y x y x y x y x y x y +=+=+++=++≥=+当且仅当2x yy x =时等号成立，又+=2x y xy ，所以x y == 故选A【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值． 10.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A. B.C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长．【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩， 化简得()222214420kxk x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k---+==--， 因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k -+==-， 解得22k =，所以2242101A B k x x k --==-，则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===故选D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．11.将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每-行均构成公比为2的等比数列，1a23,a a 4567,,,a a a a89101112131415,,,,,,,a a a a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅记数阵中的第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，T 为数列{}n b 的前n 项和，若253n T n n =+，则1025a 等于( )A. 176B. 196C. 216D. 236【答案】C 【解析】 【分析】先确定1025a 为第11行第2个数，由253n T n n =+可得102n b n =-，最后根据从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列即可得出结论．【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的2倍，第一行有一个数， 前10行共计()10112102312-=-个数，即1025a 为第11行第2个数，又∵第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，253n T n n =+， ∴当2n ≥时，()()221535131102n n n b T T n n n n n -=-=+----=-， ∴第11行第1个数为108， ∴10251082216a =⨯=， 故选：C.【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是1025a 为第11行第2个数，属于中档题．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O到直线AB 的距离为1时，则OAB 面积的最大值为( )A.C. 1【答案】C 【解析】 【分析】当AB x ⊥轴时，易求三角形面积，当AB 与x 轴不垂直时，设直线方程为y kx m =+，由坐标原点O 到直线的距离为1可得221m k =+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB ，结合二次函数的性质求其最大值，则AOB 面积的最大值可求．【详解】当AB x ⊥轴时，AB =1122OABS==； 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，，得221m k =+，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=， ∴122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，∴()()()()()22222221222216164114141m k m AB kx x k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦()()()()()()2222222222216141382324333411414k k m k k kk k ++-+--==+=++++()22223331414k k ⎛⎫⎪=+- ⎪++⎝⎭， 令2114n k =+，则()22211333233333AB n n n ⎡⎤⎛⎫=+-+=+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当211143n k ==+，即2k =±时，2AB 最大，此时max 2AB =， 此时AOB 面积的最大值为：12112⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了函数最值的求法，属于难题．二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=,则7a 的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】利用3633S S q S -=及6350S S -=可计算3q ，从而可计算7a 的值.【详解】因3633S S q S -=，故3334q S S =，因为30S ≠，故34q =，故67116a a q ==，故填16.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的，则双曲线的标准方程为_________.【答案】22144x y -=【解析】【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，由三角形ABO 为等腰直角三角形， 可得90AOB ︒∠=，则221b a-=-，即a b =，则双曲线的渐近线方程为y x =±， 设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =， 所以双曲线的方程为22144x y -=．故答案为22144x y -=．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.若正实数,a b 满足关系式24a b +=__________． 【答案】4. 【解析】 【分析】设()1,1m =，(2n a =+，运用||||||m m n n ⋅≤⋅即可得到最大值.【详解】设()1,1m =，(2n a =+，则||||||m m n n ⋅≤⋅，则21322132224a b a b +++≤⨯+++=⨯=，当且仅当 213a b +=+， 又24a b +=，即有32a =，1b =，取得最大值4， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查运用向量的数量积的性质，求最值的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．16.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212x y +=上有三点,,A B C ，满足2OP AO =，52BP BC =，则直线,OA OB 的斜率之积为__________． 【答案】12-.【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，推导出P 点坐标，根据52BP BC =将3x ，3y 用12,x x 和12,y y 表示，代入椭圆方程，结合点,A B 满足椭圆方程可得121202x x y y +=，代入斜率计算公式即可得结果． 【详解】如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，∵2OP AO =，∴()1122P x y --，， ∵52BP BC =，∴()()121232325,222x x y y x x y y ----=--，，∴()()12321232522522x x x x y y y y ⎧--=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，∴3213213455 3455x x x y y y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆， 得2221213425534551x x y y -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+-=，即22221212********* 1252252252x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③ ∵A ，B 在椭圆上，∴221112x y +=，222212x y +=④∴121202x xy y +=，∵直线OA ，OB 的斜率之积为121212121212122y y y y y y x x x x y y ===--⋅，故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程； （2）求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ， 则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知函数()()()2341f x x a x a R =-++∈.（1）若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()121f x a <-+. 【答案】（1）23a <-；（2）当43a =时，不等式解集为∅；当43a <时，不等式解集为()3,4a ；当43a >时，不等式解集为()4,3a . 【解析】 【分析】（1）利用分离参数思想将原不等式等价转化为134a x x+<+在()0,∞+内恒成立，求出右端的最小值即可得出a 的取值范围；（2）分为43a =，43a <和43a >三种情形，解出一元二次不等式即可.【详解】（1）对任意的()0,x ∈+∞，()()23410f x x a x =-++>恒成立即134a x x+<+恒成立 因为当0x >时，12x x+≥(当且仅当时1x =取等号) 所以342a +<即23a <-（2）不等式()121f x a <-+即()()340x a x --< ①当34a =即43a =时，不等式无解； ②34a <即43a <时，34a x <<； ③ 当34a >即43a >时，43x a <<.综上:当43a =时，不等式解集为∅；当43a <时，不等式解集为()3,4a ；当43a >时，不等式解集为()4,3a .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在给定区间内恒成立问题，含有参数的一元二次不等式的解法，属于中档题. 19.设数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121, 2b b ==，()11n n n n a b b n b ++=+（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）()2121nn S n =-⋅+.【解析】 【分析】（1）121, 2b b ==且()11n n n n a b b n b ++=+，1n =时，解得1a ，利用等差数列的通项公式可得n a ，利用等比数列的通项公式可得n b ；（2）()1212n n n a b n -⋅=+⋅，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（1）∵121, 2b b ==且()11n n n n a b b n b ++=+， ∴1n =时，114a +=，解得13a =， ∴()32121na n n =+-=+，∴()()1221n n n b n b ++=+，即12n n b b +=， ∴数列{}n b 是等比数列，公比为2． ∴12n nb -=．（2）由（1）得()1212n n n a b n -⋅=+⋅，∴()0121325272212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++⋅，① ()1233252722122n n n S =⋅+⋅+⋅+++⋅，②两式相减可得()12132********n n n S n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅，即()1221nn S n --⋅-=，所以()2121nn S n =-⋅+.【点睛】本题主要考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．20.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】 【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y 联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x kx x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k -+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PNx x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．21.某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%．（1）求第n 年该设备的维修费n a 的表达式； （2）设12nn a a a A n+++=，若40n A <万元，则该设备继续使用，否则须在第n 年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？【答案】(1) 6416,16540,74n n n n a n -+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2) 第9年 【解析】 【分析】（1）将数列分为两部分，分别利用等差数列和等比数列公式得到答案.（2）当16n ≤≤时，2183040n A n =+≤<恒成立，当7n ≥时，65200204n n A n-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=，判断{}n A 是递增数列，计算840A <,940A >得到答案.【详解】（1）当16n ≤≤时，数列{}n a 是首项为20，公差为4的等差数列，()2041416n a n n =+-=+；当7n ≥时，数列{}n a 是首项为6a ，公比为54的等比数列，又640a = 所以65404n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.因此第n 年该设备的维修费n a 的表达式因此为6416,16540,74n n n n a n -+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由等差及等比的求和公式得： 当16n ≤≤时，()22021218n S n n n n n =+-=+，此时2183040nn S A n n==+≤<恒成立，即该设备继续使用； 当7n ≥时，6667855()18020012002044n n n n S S a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，此时65200204n n A n-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=因为()()61550420401n n n n A A n n -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-=>+，即1n n A A +> 所以{}n A 是递增数列，又86054016A =<,929654072A => 故在第9年必须对该设备进行更新.【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生利用数列知识解决问题的能力和应用能力.22.已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y += （2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅=+-- 因点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AMBMx y kk x x -⋅==--- 因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x 轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝ 因为94BN BMk k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k--+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y yk k x x x x x x ++⋅=⋅==----++ 所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k =-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去. 所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省泰州中学2020_2021学年高二数学下学期期初检测试题202103110168
21.某小微企业去年某产品的年销售量为 万只，每只销售价为 元，成本为 元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量 (万只)与投入广告费 (万元)之间的函数关系为 ，且当投入广告费为 万元时，销售量 万只.现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的 ”之和.
A.等比数列一定是比等差数列，且比公差
B.等差数列一定不是比等差数列
C.若数列 是等差数列， 是等比数列，则数列 一定是比等差数列
D.若数列 满足 ， ，则该数列不是比等差数列
【答案】D
8.若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ， 两点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
（1）当投入广告费为 万元时，要使得该产品年利润不少于 万元，则 最大值是多少？
（2）若 ，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
22.已知椭圆 的一个焦点为 ， ， ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线交椭圆 于点 ．记 和 的面积分别为 和 ．当 时，求直线 的方程．
江苏省泰州中学2020—2021学年度第二学期
高二数学期初检测（答案版）
一､单项选择题(本大题共8小题，共40分)
1. 为虚数单位，复数 的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 若命题“ 使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.函数 的单调递减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】C
4.已知 ，且 ，则 的最大值为（）
A.数列 的前10项和为100
B.若 成等比数列，则
江苏省泰州姜堰罗塘中学2019-2020 学年度第二学期高二教学期中联考数学试卷
2019~2020学年度第二学期期中考试试题高二年级数学考试时间：120分钟 满分150分命题人：一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1、计算3344=A C ⋅（ ）A ．16B ．56C ．96D ．5762、函数xy xe =的导数为（ ）A ．'(1)xy x e =+ B ．'(2)xy x e =+C ．'(1)x y x-e =D ． 'xy xe =3、甲、乙两人走过的路程s 1(t)，s 2(t)与时间t 的关系如图所示，则在[0,t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的大小关系是( )A. v 甲>v 乙B. v 甲<v 乙C. v 甲=v 乙D. 大小关系不确定4、42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．12B ．20C ．24D ． 485、设随机变量ξ～N (3,4)，若P (ξ<2a −3)=P (ξ>a +2)，则实数a 等于( )A. 53B. 73C. 5D. 36、对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ） A ．172,172⎡⎤-+⎣⎦ B ．171,171⎡⎤-+⎣⎦C ．32,32⎡⎤-+⎣⎦D ．31,31⎡⎤-+⎣⎦7、已知某省2018年1月至4月的快递业务量统计图如图①所示，2018年1月至4月的快递业务收入统计图如图②所示，下列对统计图理解错误的是()A. 2018年1月至4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1月至4月的业务量同比增长率均超过50%，且3月最高C. 从两图来看，2018年1月至4月中同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1月至4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长8、将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于()A. 6091B. 12C. 518D. 912169、2019年某省发布了“3+1+2”模式的新高考方案,其中“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目,“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科,某学生根据自身的特点,决定按一下方法选课:①外语可选英语或日语,②若选历史,则政治和地理至多选一科,③物理和日语最多只能选一个,则这个同学可能的选课方式共有( )A.6种B. 11种C. 12种D. 16种10、已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80％.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为()A. 518B. 34C. 14D. 45二、不定项选择题（本大题共3小题，共15.0分） 11、下列说法中正确的是( )A. 数据5，4，4，3，5，2的众数是4B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根C. 数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率12、甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1,σ 12)，N(μ2,σ 22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲类水果的平均质量为0.4 kgB. 甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.9913、关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ）A ．函数()y f x x =-有且只有1个零点．B ．2x =是()f x 的极大值点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）14、已知复数z 满足()232z i i +=-+，则复数z 的共轭复数对应的点在第________象限.15、若函数()()=ln f x x ax a R -∈在[]1,3x ∈上存在极大值，且该极大值为负数，则实数a 的取值范围为____________.16、甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分）心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学(男生30人、女生20人)，给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：(单位：人)（Ⅰ）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（Ⅱ）经统计得，选择做立体几何题的学生答对率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．P(K2⩾k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18、( 本题满分12分)将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．（Ⅰ）有多少种放法？（Ⅱ）每盒至多一球，有多少种放法？(Ⅲ)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(IV)恰好有一个空盒，有多少种放法？在二项式()0102>+a xa x ）（的展开式中8x 项的系数为3360。
江苏省泰州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
江苏省泰州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若向量满足∥且，则=A . 4B . 3C . 2D . 02. （2分）若=，则下列结论一定成立的是（）A . A与C重合B . A与C重合，B与D重合C . ||=||D . A、B、C、D、四点共线3. （2分） (2017高二上·安阳开学考) 椭圆 =1过点（﹣2，），则其焦距为（）A . 2B . 2C . 4D . 44. （2分） (2017高二上·晋中期末) 双曲线 =1的渐近线方程为（）A . y=±B . y=± xC . y=± xD . y=± x5. （2分）以正方形的相对顶点A,C为焦点的椭圆恰好过正方形四边中点，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·孝感期中) 如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A . y2=3xB . y2=9xC . y2= xD . y2= x7. （2分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B 是C的准线与E的两个交点，则|AB|= （）A . 3B . 6C . 9D . 128. （2分）已知双曲线的一个焦点为,点P位于该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .9. （2分）椭圆=1的焦点为F1 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M 的纵坐标是（）A .B .C .D .10. （2分）设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则cos的值等于（）A .B .C .D .11. （2分）双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， P为双曲线上任一点，已知｜｜·｜｜的最小值为m．当≤m≤时，其中c＝，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·西安期末) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C . y=3xD .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·阳高开学考) 已知△ABC的两个顶点为A（0，0）、B（6，0），顶点C在曲线﹣ =1上运动，则△ABC的重心的轨迹方程是________．14. （1分）(2017·淮安模拟) 已知双曲线﹣ =1的右焦点F到其一条渐近线距离为3，则实数m 的值是________．15. （1分） (2016高二上·合川期中) 已知，若则实数x=________．16. （1分） (2016高二上·江北期中) 若双曲线﹣ =1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p 的值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017高二上·南阳月考)（1）求对称轴是轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点的直线它交于两点，求弦的中点的轨迹方程.18. （10分） (2019高二上·遵义期中) 如图，是平行四边形，平面，，，， .（1）求证：平面；（2）求四面体的体积.19. （5分）(2017·海淀模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若直线与抛物线相交于两点，求弦长 .21. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．22. （10分） (2015高二下·双流期中) 在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=﹣1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点R（3，0）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
泰州中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)
【答案】
【解析】
【分析】
在含有根号的函数中求值域，运用换元法来求解
【详解】令 ,则
， ，
函数 的值域为
【点睛】本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域。
11.已知函数 ，则不等式 的解集为________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据单调区间求出 的取值范围，由于 恒成立，即求 ,从而得出 的取值范围。
【详解】解：
当 时， ,
由函数 在 上是增函数得
,
则 ，
又 ，
故取 得， ，
所以 ,
因为 ，根据函数 的图像可得，
所以 ,
.
【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题,解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最值问题来进行求解.
江苏省泰州中学2018-2019学年度第二学期期中考试
高二数学试题（文)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1。已知集合 ，则集合 ______。
【答案】
【解析】
试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，所以
考点：集合交集运算
2.总体由编号为 的 个个体组成，利用截取的随机数表（如下图)选取 个个体,选取方法是从所给的随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 个个体的编号为 _________.
【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题,读懂抽样规则是解题的关键.
3.甲、乙、丙三人站成一排,则甲、乙相邻的概率是_________.
【答案】