勾股定理趣题赏析
勾股定理趣题赏析
江苏 刘顿
勾股定理是几何中的重要定理之一，其应用十分广泛.与勾股定理有关的新题、创新题、趣题等等更是花样百出.为激发同学们学习勾股定理的兴趣，现就与勾股定理有关的趣味题举例说明.
例1 如图1，我国古代数学中有这样一道数学题：有一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根藤有多长？（注：树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面圆周长为3尺.1丈＝10尺）
分析 粗看本题似乎比较复杂，其实与上题的解题思想一致，要注意的是，展开后前一圈的终点恰好是后一圈的起点，有几圈展几回.如图2.
解 将圆柱的侧面包括藤一次次展开，可以得到图2，显然AB ＝20，BC 1＝3，BC 7＝21. 在Rt △BC 7D 7中，因为∠BC 7D 7＝90°，所以BD 72＝BC 72+ C 7D 72，
即BD 72＝202+212，所以BD 7＝29（尺）
答：这根藤长29尺.
例2 如图3，智能机器猫从平面上的O 点出发，按下列规律行走：由O 向东走12cm
到A 1，由A 1向北走24cm 到A 2，由A 2向西走36cm 到A 3，由A 3向南走48cm 到A 4，由A 4向东走60cm 到A 5，……则智能机器猫到达的A 6点与O 点的距离是多少厘米？
分析 要求OA 6的长度只要先求出OP 、A 6P 的长度，再根据勾股定理计算其长度即可. 解 依规律第六次由A 5向北走72cm 到A 6，OP ＝12+60－36＝36，A 6P ＝24+72－48＝48.
由勾股定理，得OA 62＝OP 2+P A 62＝362+482＝602.
所以OA 6＝60(cm)
即智能机器猫到达的A 6点与O 点的距离是60厘米.
例3 如图4，美现的人造平面珊瑚礁图案，图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形.如果图中所有的正方形的面积之和是980平方厘米.则最大的正方形的边长是多少厘米？
分析 突破口在于我们可以将图中的小正方形的面积的和与大正方形的面积联系起来.找出图中的基本图形，即两个小正方形的面积的和等于大正方形的面积.
解 根据勾股定理的图形可知，图中所有正方形的面积之和等于5倍的最大正方形的面积为980平方厘米，所以最大的正方形的面积是980÷5＝196平方厘米.
因此最大的正方形的边长等于14厘米.
例4 小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高30尺，两外一棵树高20尺；一 棵棕榈树之间的距离是50尺，每棵树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离较高的棕榈树根有多远？
分析 这是11世纪阿拉伯民间趣题，取名为“鸟儿捉鱼”.画出如图5所示的图形.在图1 呼 图2 A B 1D 1 7 D 7 P A 6A 5A 4A 3A 2
y x A 1o 图3
Rt △ABE 和Rt △ACD 中，应用勾股定理分别有AD 2 +CD 2＝AC 2，AE 2+BE 2＝AB 2，由AB ＝AC ，即AB 2＝AC 2，列方程即可求解.
解 如图4，设所求的距离为x 尺，则根据题意，
由勾股定理，得AB 2＝302+x 2，AC 2＝202+(50－x )2.
因为飞行速度相同，又同时到达，所以AB ＝AC .
所以302+x 2＝202+(50－x )2.
解得x ＝20(尺).
答：这条鱼出现的地方与较高的棕榈树根的距离为20尺.
例5 有一根木柱，木柱下有一个蛇洞.柱高15尺，柱顶站有一只孔雀，孔雀见一条 蛇正向洞口游来，现在与洞口的距离还有三倍柱高.就在这时，孔雀猛地向蛇扑过去.问在离蛇洞多远，孔雀与蛇相遇？（假定孔雀与蛇的速度相同）
分析 这是12世纪印度的一道趣题，取名为“孔雀捕蛇”.我们可以画出如图6所示，设蛇自D 点向洞口C 爬去，孔雀从柱顶B 向蛇扑去，它们相遇于洞口A 处，若设蛇与孔雀相遇时离洞口x 尺，则AD ＝3×15－x ＝45－x .由AB ＝AD ，并在Rt △ABC 中应用勾股定理便可列方程求解.
解 如图6，设离蛇洞x 尺处孔雀与蛇相遇，则AD 为（45－x ）尺，AB ＝AD .
根据题意，由勾股定理，得AC 2+BC 2＝AB 2.即x 2+152＝(45－x )2.解得x ＝20（尺）. 答：在离蛇洞20尺处孔雀与蛇相遇.
通过上面几例奇妙的构思、简洁的数据及答案、绝妙的解决方法，无不体现出数学方法与生活实际的完美结合，同时也更加体现勾股定理的运用价值..
图5 B
A E D C 图4 图6
C D B
A。
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。
把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ CB D A解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。
仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB 41 可以设AB=4a ，那么BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a ,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。
赏析“勾股定理”新题型
赏析“勾股定理”新题型河南省南阳市宛城区汉冢中学，邢进文，邮编473123勾股定理是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量.随着课程改革的进一步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益.1、知识融合型例1、如图1，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 . 分析：本题需要用到轴对称知识. 根据轴对称知识，作出D 点关于AB 的对称点D ′即可，求最短小值要构造直角三角形.解：如图2，作点D 关于直线AB 的对称点D ′，连接C D ′交AB 于点E ，则此时EC+ED 的值最小.由轴对称性质知，ED=E D ′,B D ′=BD=1,∠D ′BE=∠ABC=45°,所以∠CB D ′=90°.所以EC+ED=EC+E D ′=C D ′=22D B CB '+=51222=+.即EC+ED 的最小值是5. 点评：将轴对称与勾股定理相结合，是解决平面上两线段之和最短的重要方法.2、方案设计型例2、国家电力总公司为改善农村用电电费过高的状况，在全国农村进行电网改造.友谊乡有四个村庄A 、B 、C 、D ，恰好位于一个长方形的四个顶点（如图甲）.这个长方形的长为8km ，宽为6km.现计划在四个村庄之间架设线路相通.若想找到一点，使这一点到四个村庄的距离之和最短，从而使架设方案最省钱，那么这一点应在什么位置？并求出这四个村庄的距离之和.分析：为使架设方案最省钱，这一点应是长方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点.解：设长方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点O （如图乙），在长方形ABCD 内任取一点P ，P 不同于O 点，则在△PAC 和△PBD 中，PA+PC>AC=OA+OC,PB+PD>BD=OB+OD ，这就是说明所取的O 点到四个村庄的距离之和最小.在Rt △ABC 中，由勾股定理可得2222268AC AB BC =+=+，所以AC=10km,同理在Rt △ABD 中，得BD=10km ，从而OA+OB+OC+OD=20km. 即这点到四个村庄距离之和为20km.点评：在利用勾股定理进行方案设计时，往往用到三角形两边之和大于第三边的结论.3、推断说理型例3、小红在公园里看到一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到20米的池塘中A 处.另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘的A 处，如果知道两只猴子所经过的距离相等.小红说她知道这棵树的高，你知道她是怎么知道的吗？试着说明你的理由.分析：解题的关键是抓住隐含条件“两只猴子所经过的距离相等”，以此为突破口使问题得以求解.解：设BD=xm ，由题意知：BC+CA=BD+DA ，所以DA=30x -.在Rt ΔADC 中，()()222301020x x -=++，解之得：5x =，()1015x m +=，所以这棵树的高度为15米. 点评：本题中解答过程中运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解.4、规律探究型例4、如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______.分析：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”.即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题. 解：由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S ==， 22(2)2S ==， 2324S == ，24(22)8S ==，照此规律可知：25416S ==，观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -=，因此，817822128S -===.点评：本题是一道探索勾股数的规律的试题，能考查学生观察、分析、类比、猜想和论证等能力.5、实践应用型例5、去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向、B 地的西偏北45°方向C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732） 分析：先构造出以AC 、BC 为斜边的直角三角形，然后结合题意分析出这个直角三角形的两直角边长．解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB＝2，∴3x ＋x ＝2，∴x ＝3－1．即CD ＝3－1≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．点评：运用勾股定理的前提是找到或构造出直角三角形．。
(完整)初中人教版数学勾股定理经典题型分析
勾股定理经典题型分析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°(1)已知 a=6， c=10，求 b ， (2)已知 a=40， b=9，求 c ； (3)已知 c=25， b=15 ，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
， ，再由勾股定理计算出 AD 、DC 的长，进而求出 BC 的长 . 解析 ：作 于 D ，则因，∴ ( 的两个锐角互余)∴ (在 中，如果一个锐角等于 直角边等于斜边的一半) . 理，在中，.理，在中，解析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90 (2) 在△ ABC 中，∠ C=90°，(3) 在△ ABC 中，∠ C=90°，， a=6， c=10,b=a=40，b=9,c= c=25， b=15,a=举一反三【变式】 :如图∠B=∠ACD=90 【答案】∵∠ ACD =90°AD =13, CD=12－ CD 2 122∴AC=5ABC=90 °且 BC=3 理可得 BC 2=52－32=16∴ AB= 4 ∴ AB 的长是 4., AD =13,CD =12, BC=3,则 AB 的长是多少∴ AC 2 =AD 2=132 －=25 又∵∠ ∴由勾股定 AB2=AC 2 －类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中， ， ， . 求：BC 的长 .于 D ，则有 那么它所对的 根据勾股定根据勾股定思路点拨 ：由条件角的直角三角形，为此作举一反三 【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P. 求证：解析：连结 BM ，根据勾股定理，在 中，.而在 中，则根据勾股定理有.∴又∵ （已知）， ∴. 在 中，根据勾股定理有，∴.AB=4 ，CD=2 。
求：四边形 ABCD 的面积。
类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示， 在一次夏令营活动中， 小明从营地 A 点出发， 沿北偏东 方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到达 目的地 C 点。
勾股定理详解与经典例题解析
勾股定理详解与经典例题解析(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除勾股定理(基础)学习目标1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108 B．90C．180D．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A．150B．200 C．225 D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．勾股定理逆定理(基础)学习目标1．理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）．A. 9，12，15 B．3，4，5 C．，,5 D．4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A．1∶1∶2 B．1∶3∶4C．9∶25∶26 D．25∶144∶1695．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )．A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形 D．形状无法确定6．三角形的三边长分别为、、（都是正整数），则这个三角形是（）．A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8．已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）．9. 已知,则由此为边的三角形是三角形.10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_____．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为．12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．三.解答题13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。
勾股定理经典应用例题解析
勾股定理经典应用例题解析嘿，朋友！想象一下，你正在装修你的梦想小屋，突然遇到了一个棘手的问题——计算房间的斜对角长度。
这时候，神奇的勾股定理就派上用场啦！就说小明吧，他是个对数学充满好奇的初中生。
有一天，学校组织活动，要搭建一个临时的舞台。
老师把测量舞台斜对角长度的任务交给了小明所在的小组。
小明和小伙伴们兴冲冲地来到场地，看着眼前的长方形舞台区域，有点不知所措。
“这可咋算呀？”小组里的小胖挠着头嘟囔着。
小明眼睛一亮，说：“咱们可以用勾股定理呀！”其他小伙伴一脸懵，“啥是勾股定理？”小明耐心地解释：“你们看，这个舞台的两条直角边，假设一条是 3 米，一条是 4 米，根据勾股定理，斜边的平方就等于两条直角边的平方和，那斜边长度的平方就是 3 的平方加上 4 的平方，也就是 9 加 16 等于 25 ，所以斜边长度就是 5 米啦。
”小伙伴们恍然大悟，“哇，原来这么神奇！”再比如，李叔叔是个建筑工人，有一次他在盖房子的时候，需要确定房梁的长度。
这房梁所在的位置恰好构成了一个直角三角形。
李叔叔拿着卷尺，嘴里念叨着勾股定理，很快就算出了长度，工地上的人都对他竖起了大拇指。
咱们在日常生活中，勾股定理的应用简直无处不在。
你想想，你要在院子里围个直角三角形的篱笆，是不是得知道斜边多长，好准备材料呀？或者你要设计一个斜着摆放的书架，不也得用勾股定理算算尺寸嘛？这不就像我们走路需要知道方向，吃饭需要拿筷子一样，勾股定理就是我们解决这类几何问题的得力助手。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多看似复杂的几何谜题的大门。
朋友，你说勾股定理是不是超级实用？它可真是数学世界里的大宝贝，让我们能轻松搞定那些让人头疼的长度计算问题。
所以呀，一定要好好掌握勾股定理，让它为我们的生活服务！。
勾股定理经典题型讲解
我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有 方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水 深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题.
译：有一个水池，水面是一个边 长为10尺的正方形，在水池正中 央有一根芦苇，它高出水面一尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点，它的顶端恰好到达池边的 水面.这个水池的深度与这根芦 苇的长度分别是多少？
是（ C ） 3 4 π2
A．3 1π B．3 2 C． 2
D．3 1 π2
解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离
为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD
为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC= 32 (3π )2 3 4 π2 ，
2
2
故选：C．
在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52， 解得
x （5 舍去）
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
（结果取整数）.
解: AB BC2 AC2
602 202 40 2
≈57(m).
四.勾股定理解决线段移动问题
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO 为2.4米． （1）求梯子的底端B距墙角O多少米？ （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
勾股定理经典题型讲解
一.利用勾股定理求直角三角形的边长
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
《勾股定理》典型例题
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2—a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理。
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度。
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数,称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:(3，4，5）（5，12，13） （6,8,10) （7，24，25） （8，15，17 )（9，40，41 ）4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1)阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（3）阴影部分是半圆．2. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3 B 。
S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3<S 1 D 。
S 2- S 3=S 13、如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积. S 3S 2S 15、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、34S S 、，1234S S S S +++则=___________。
八年级勾股定理应用题及解析
八年级勾股定理应用题及解析哎呀，今天咱们来聊聊勾股定理，顺便解决点应用题。
你知道吧，勾股定理就像数学界的小明星，很多地方都能看到它的身影。
想象一下，你正在公园里玩飞盘，飞盘飞得可高可远，结果掉在了一个大树上。
这时候，你得想办法去把它拿下来。
这个大树离你有点远，你站在树下，向上看，心里琢磨：我得爬多高，才能把飞盘给捞回来呢？这就牵扯到我们今天的主角——勾股定理了。
勾股定理告诉我们，直角三角形的两个直角边的平方和，等于斜边的平方。
简单点说，假设你的飞盘掉在了离你10米远的地方，而树高5米。
咱们就可以把这情景看作一个直角三角形：一个边是5米（树高），另一个边是10米（你和树的距离），然后我们来求斜边。
这个斜边，就是你从地面到飞盘的那条斜线。
公式一用，5的平方加10的平方等于斜边的平方，换算一下，结果就是25加100等于125。
好嘛，斜边的平方是125，咱们再开个方根，得出斜边大约是11.18米。
天哪，这个高度可真不低，真得好好想想怎么才能上去。
不过说到这里，你可能会问了，勾股定理除了在树下捡飞盘，还能用在哪呢？哎，这可多了去了！比如说，你想测量一个建筑物的高度，但又不想爬上去。
你站在离建筑物10米远的地方，仰头一看，嘿，这建筑物就像一座高耸的山峰。
假设你仰望的角度是60度，咱们又可以用勾股定理来推算了。
先把视线延伸成一个直角三角形，这个三角形的底边就是你和建筑物之间的距离，另外一边就是建筑物的高度，而斜边就是你视线的长度。
用一些简单的三角函数，咱们就能算出建筑物的高度，轻松搞定。
再比如，假设你在海滩上玩，看到远处有个帆船。
想测量它离你的距离，却又不想游过去。
你在海滩上找个高地，打算用望远镜观察。
这时候，你只需要知道高地的高度和你与帆船之间的距离，就能用勾股定理来算出帆船到高地的直线距离。
真是方便得让人惊讶。
数学不仅仅是那些冰冷的公式，更是一种解决问题的思维方式，生活中的点点滴滴都可以用上。
别忘了，勾股定理在我们的日常生活中无处不在。
勾股定理典例分析
勾股定理典例分析窗体顶端 历史上，勾股定理的证明异彩纷呈，近年来中考中对勾股定理的考查打破了以往直接给出结论要求学生证明的方式，而是通过观察、操作、实验探究证明勾股定理，注重考生的动手实践和自主探索，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；而数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用体现了勾股定理丰富的文化内涵，有些中考题中呈现出勾股定理的历史便于我们深入的了解，证明、运用勾股定理解决一些实际问题是近几年中考的热点题型．典型例题剖析：例1如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形证明勾股定理．(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）分析：本题第（1）问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔德首先提出的．此题是对学生的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再证明结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有意义，考生在拼拼、画画、证明结论的过程中，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了学生通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第（3）问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考生的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导学生学会学习．解：（1）图形要规范、正确．如图，写出是直角梯形．（2）∵ S 梯形 =()2)(21)(21b a b a b a +=++， S 梯形 =222121221c ab c ab +=+⨯ ∴2221)(21c ab b a +=+. 整理，得 222c b a =+.（3）拼出能证明勾股定理的图形即可．下面举出三种拼图方法：例2（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm 、宽为2cm 的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形.（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）分析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5① 由勾股定理，得a 2+b 2=13②. ①2 – ②，得 2ab=12.∴(a-b)2 = a 2+b 2-2ab=13 –12 =1③. 即 所求的中间小正方形的面积为1. （2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm 2)，所以，可按照图甲制作. 由③，得a-b=1.由①、③组成方程组解得 a=3，b=2.结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm 的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-12×3×2×4=13-12=1(cm 2)，恰好等于中间的小正方形面积.于是，得到以下分割拼合方法：小结：例1拼合、例2分割相得益彰．例3据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且从3起就没有间断过.计算)19(21-、)19(21+与)125(21-、)125(21+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式； ⑵根据⑴的规律，用n (n 为奇数且．．．n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，图甲图乙3cm 3cm 0.5cm 13cm 1cm1cm0.5cm 3cm 2cm 13cm 2cm合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；⑶继续观察4，3，5； 6，8，10； 8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m (m 为偶数且．．．m ＞4)的代数式来表示他们的股．和弦．. 分析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明. 由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识．解：(1)∵4)19(21=-，5)19(21=+；12)125(21=-，13)125(21=+； ∴7，24，25的股的算式为()1721)149(212-=-弦的算式为()1721)149(212+=+(2)当n 为奇数且n ≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n ， ()1212-n ，()1212+n .例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：222弦股勾=+ 证明关系式①：弦－股＝()()()()[]111211211212222=--+=--+n n n n 或证明关系式②：()()2222422222141412141121弦股勾=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+n n n n n∴猜想得证．(3)例如探索得，当m 为偶数且m ＞4时，股、弦的代数式分别为：122-⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，122+⎪⎭⎫⎝⎛m 例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股. 即上一组为：n ，()1212-n ，()1212+n (n 为奇数且n ≥3)， 分别记为：A 1、B 1、C 1，下一组为：2+n ，()[]12212-+n ，()[]12212++n (n 为奇数且n ≥3)， 分别记为：A 2、B 2、C 2， 则：A 1+B 1+ A 2＝n +()1212-n +(2+n )＝()34212++n n ＝()[]12212-+n ＝ B 2. 或B 1+ C 2＝ B 2+ C 1(证略)等等.例4如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2 .(1) S 1=S 2+S 3 .(2) S 1=S 2+S 3 . 证明如下：显然，S 1=23c ，S 2=23a ， S 3=23b ，∴S 2+S 3=22233()a b c +==S 1 .(也可用三角形相似证明)(3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：∵ 所作三个三角形相似， ∴22322211,.S S a b S c S c == 2223123211,S S a b S S S S c ++∴==∴=+.(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1＝S 2＋S 3下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用 例5阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．OA 1 OA 2OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072 例62002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169分析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C. 说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a 2+b 2=c 2.他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”即2ab+（b-a ）2=c 2 化简便得出：a 2+b 2=c 2这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.【每周一练】 一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68CA BD3、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为.6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160 m，则A、B两点之间的距离为m（结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c2＝＋．化简后即为c2＝．8米2米8米第6题图6012140B6AC第5题图bc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为．10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ． 11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________. 13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ， ， ）． 三、解答题1、n 2 3 4 5 … a 22-1 32-1 42-1 52-1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1） 分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a 2+b 2=c 2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．（3） 用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空：寻求某些勾股数的规律：B B'OA A'⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ． ⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=；若勾股数为5，12，13，则有131252+=；若勾股数为7，24，25，则有 ；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ， ，则有=2m ，用m 来表示n ＝ ； 当17=m 时，则n ＝ ，此时勾股数为 ． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB C D '''的位置，连结CC '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形BCC D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EFGH 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；D 'A B 'D C 'A B C bc 第4题图ABCDEFGH1……S 1A 2S 2A 3S 3S 4S 5A 6A 5A 4A 1O 11111（2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．【参考答案】 一、选择题1、C2、D3、B4、B5、C 二、填空题1、3；2、6.5；3、判断一个三角形是直角三角形分类讨论8；4、6；5、100mm ；6、10；7、803；8、ab 214⨯，b 2 – a 2，a 2+b 2 ； 9、4，6；10、13；11、122（或4096）12、③；13、212-k ，212+k三、解答题1、解：（1）n 2-1 2 n n 2+1（2）答：以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形证明：∵a 2+ b 2=(n 2-1)2+4 n 2= n 4-2 n 2+1+4 n 2= n 4+2 n 2+1=( n 2+1)2=c 2 ∴以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形2、分析：由题中给出的五组商高数的构成形式，便可掌握商高数的构成规律，从而得到商高数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程． 解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数． （2）（40，42，58，），（119，120，169） （3）a = 2mn ， b = m 2 – n 2， c = m 2 + n 2 证明：a 2 +b 2 = (2 m n)2+ ( m 2 – n 2)2= 4m 2n 2 +m 4 -2m 2n 2n +4= m 4 +2m 2n 2+n 4 = (m 2+n 2 )2 ∴ a 2+b 2 = c 23、⑴222554433=+ 222)5()4()3(n n n =+⑵252472+= 1+n 12+n 212-m 144 （17，144，145）⑶)810(28106222+=-=)1517(215178222+=-= )2426(2242610222+=-= )3537(2353712222+=-=)1(4)22(2)2(222+=+=-+=n n n n m442-=m n当24=m 时，14344242=-=n ，1452=+n 当偶数为24的勾股数：（24，143，145） 4、证明：四边形BCC D ''为直角梯形，21()()22BCC D a b S BC C D BD ''+'''∴=+⋅=梯形 Rt ABC △≌ Rt AB C ''△，BAC BAC '∴∠=∠.90CAC CAB B AC CAB BAC '''''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒.（或：矩形ABCD 绕点A 旋转90︒，AC 旋转到AC '的位置，则90CAC '∠=︒）ABC CAC D AC BCC D S S S S '''''∴=+△△△梯形+2211122222c ab ab c ab +=++=. 22222()2.22a b c aba b c ++∴=∴+=.5、分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角. ∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.在Rt △ABF 与△DAE 中，∠BAF=∠ADE ，AB=AD ∴△ABF ≌△DAE(AAS). 6、解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+ （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA 10＝10（3）455)210()23()22()21(2222210232221=+++=++++ S S S S。
人教数学八年级下册《勾股定理》典型例题分析.docx
初中数学试卷马鸣风萧萧《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9 ，12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（ 2）阴影部分是长方形；（ 3）阴影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．S 3S 1S 23、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。