勾股定理解析折叠问题ppt
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人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
(3)在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会 是一个以折痕为底边的等腰三角形
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
勾股定理解析折叠问题含详细的答案ppt精选课件
利用勾股定理 解决折叠问题
ppt精选版
1
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找Βιβλιοθήκη 等。3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
ppt精选版
2
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。B
6
4
(E)
6
E
ppt精选版
F
8 10
10
6
(F) 15
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将
点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
A'
C
相个等问的题线，段自（己不解包决括。矩 形的对边）
E2
１
3
H(x,y)
A
ppt精选版
G F Dx 14
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
ppt精选版
1
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找Βιβλιοθήκη 等。3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
ppt精选版
2
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。B
6
4
(E)
6
E
ppt精选版
F
8 10
10
6
(F) 15
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将
点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
A'
C
相个等问的题线，段自（己不解包决括。矩 形的对边）
E2
１
3
H(x,y)
A
ppt精选版
G F Dx 14
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
2020年人教版八年级数学下册第17章《折叠---勾股定理应用》公开课课件
C
C
4m
4m 上 B
C
4m 左 前 后
右
下 A
如图，一圆柱体木块的底面周长为24cm，
高AB为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点
A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最
短路程大约是（
）
A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm
B
C
A
B
C
B
C
B1
沿AB剪开
A
A
A1
∵ 底面圆的周长为24cm ∴BB1=24cm 又∵点C 是BB1 的中点 ∴BC=12cm 而∵AB=4cm ∴ 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3.1米
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
D
E
B
FC
立体图形展开问题
杜登尼(Dudeney,1857-1930年) 是19世纪英国知名的谜题创作 者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出 现在1903年的英国报纸上，它是 杜登尼最有名的谜题之一．它对 全世界难题爱好者的挑战，长达 四分之三个世纪．
A
B
如图，有一棱长为4m的立方体房间，一只 蜘蛛在A处. ⑴若一只苍蝇在B处，蜘蛛去抓苍蝇需要爬 行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
A
A
A
C
4m
4m 上 B
C
4m 左 前 后
右
下 A
如图，一圆柱体木块的底面周长为24cm，
高AB为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点
A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最
短路程大约是（
）
A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm
B
C
A
B
C
B
C
B1
沿AB剪开
A
A
A1
∵ 底面圆的周长为24cm ∴BB1=24cm 又∵点C 是BB1 的中点 ∴BC=12cm 而∵AB=4cm ∴ 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3.1米
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
D
E
B
FC
立体图形展开问题
杜登尼(Dudeney,1857-1930年) 是19世纪英国知名的谜题创作 者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出 现在1903年的英国报纸上，它是 杜登尼最有名的谜题之一．它对 全世界难题爱好者的挑战，长达 四分之三个世纪．
A
B
如图，有一棱长为4m的立方体房间，一只 蜘蛛在A处. ⑴若一只苍蝇在B处，蜘蛛去抓苍蝇需要爬 行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
A
A
A
2018中考复习专题-折叠问题 课件(共13张PPT)
五、中考链接
（15浙江宿迁）
如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3 3 ，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点 C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折， 点C的对应点是R点，设CP的长度为x，与矩形重叠部分的面积为y． （1）求∠CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形的边AB上？ （3）①求y与x之间的函数关系式；
A．150° B．210° C．105° D．75°
四、达标测试
3.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将 其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF长为____
五、中考链接
4.（2017西安）D是AB边上的中点，将 △ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC 上F处,∠B=50°，则∠BDF=____度．
以 社 团 活 动 为载体 推进校 园精神 文明建 设
共 央 《 关 于 进一步 加强和 改进大 学生思 想政治 教育的 意见》 明确指 出,要建 设体现 社 会 主 义 特 点、时 代特征 和学校 特色的 校园文 化,形成 优良的 校风、 教风和学风,大 力 加 强 大 学 生文化 素质教 育,开展 丰富多 彩、积 极向上 的学术 、科技 、体育 、艺术 和 娱 乐 活 动 ,把德育 与智育 、体育 、美育 有机结 合起来 ,寓教育 于文化 之.在 新的形 势 下 ,开 展 校 园精神 文明建 设,不仅 改变了 校园环 境,也 在潜移 默化地 影响着 人们的 行 为 、 心 理 和思想 。校园 文化活 动作为 校园文 化的重 要组成 部分,它 在推动 校园精
____
反思 求边长的常用方法
1.等面积法
F
2.勾股定理
3.相似
勾股定理在折叠问题中的应用讲PPT课件
.
3
C D
B
E
A
E
A
A
E
DD
F
B
F
C
C
A
.
B D
EC
CA
B
B
D E FC
4
项目一、折叠 直角三角形
例 1： 如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
.
5
练习：如图，有一张直角三角形纸片，两直 角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直 线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E， 求CD的长.
E
A
D
B
（D）
F
C
（C）
.
8
❖2、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点 F.若AB=6，BC=8，
❖求:
（1）△FAC是等腰三角形
（2）求CF的长
A
E FD
（3）求△FAC的周长和面积.
.
B
9C
这节课你有哪些收获？
1、折叠的实质：轴对称． 2、选择合适的直角三角形利用勾 股定理列方程解决折叠问题．
.
6
项目二、折叠长方形
例2：如图所示，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在
BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CE的
长。 A
8
B
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
10
D
∴AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
∴在Rt△ABF中
微专题6 方法技巧 巧用勾股定理解决折叠问题课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
【解析】操作一:(1)由翻折的性质可知:BD=AD,∴AD+DC=BC=7.∴△ACD的周
长为CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12(cm).
7.(2024·汉中期末)在数学实验课上,李静同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如
图的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为
AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上.
(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.
②求HF的长.
【解析】(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
DE.
36°
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为____;
操作二:如图2,李静拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与
点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长.
【解析】(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.
由翻折的性质可知:∠BAD=∠CBA=2x,
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH= − = − =6.
本课结束
类型一 三角形的折叠问题
1.(2024·天津模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点C与
AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为
长为CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12(cm).
7.(2024·汉中期末)在数学实验课上,李静同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如
图的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为
AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上.
(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.
②求HF的长.
【解析】(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
DE.
36°
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为____;
操作二:如图2,李静拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与
点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长.
【解析】(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.
由翻折的性质可知:∠BAD=∠CBA=2x,
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH= − = − =6.
本课结束
类型一 三角形的折叠问题
1.(2024·天津模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点C与
AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为
第七讲折叠问题与勾股定理
第七讲折叠问题与勾股定理2012-04-02例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。
将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
(1)求EF的长；(2)求梯形ABCE的面积。
例2．如下图，在∆ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把∆ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠局部(阴影局部)的面积．例3．如图，矩形纸片ABCD的长AD=9 cm，宽AB=3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少例4如下图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上得到线段AB’,折痕为AD，求BD的长为．例5.如图，折叠长方形〔四个角都是直角，对边相等〕的一边AD，点D落在BC边的点F 处，AB=8cm，BC=10cm．求EC的长．例6.如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．(MN的长)例7．如题，在长方形ABCD中，将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置，CE与AD交于点F.(1)试说明：AF=FC(2)如果AB=3，BC=4，求AF的长。
B'D CBACDBAEEF DAB C例8.把一张矩形纸片〔矩形ABCD 〕按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 假设AB = 3cm ，BC = 5cm ，〔1〕重叠局部△DEF 的面积是多少cm 2〔2〕求EF 的长。
例9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，M 为AB 边上中点，将Rt △ABC 绕点M 旋转，使点C 与点A 重合得到△DEA ，设AE 交CB 于点N ．(1) 假设∠B=25°,求∠BAE 的度数； (2) 假设AC=2，BC=3，求CN 的长．例10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B'位置，AB'与CD 交于点E ．(1)求证：△AED ≌△CEB'；(2) AB ＝8，DE ＝3，点P 为线段AC 上任一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．求PG ＋PH 的值，并说明理由．A B C F E 'A 第8题图 〔'B 〕D ABCMDN例11.有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D 的折痕将角A 翻折，使得点A 落在EF 的H 上，折痕交AE 于点G,求EG 的长。
专题训练二--利用勾股定理解决折叠问题(共13张PPT)
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子
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E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
-
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
-
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等折，。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
图中∠1，∠2，∠3 A
有何关系？你能求
出它们的大小吗？
3
F
11 D
6 23
-B
E
C
探究四
证明线段相等的方法有证
如图,矩形纸片ABCD中全四，边等形，A，等B=等角6c量对m,等线A边段D=的，8c和平m行差，
点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
-
谢谢大家！
-
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。 -
相应的直角三角形，用勾股- 定理建立方程，利用方程思
想解决问题。
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点
落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是
多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
-
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
-
相信你,一定行
折叠问题中,求角度
如图，a是长方形纸带，将时纸，带往往沿可EF通折过叠动成手
图b， 如果∠GEF=20°，那折叠么，∠A或E将G图=形还14原0°。
A
E
DA
E 20°
D' A
E
D
20°
?C
B
FC B
G
F C' B
C
F
G
C´
图a
图b
图c
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度
利用勾股定理 解决折叠问题
-
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
-
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。B
数是
120°
-
探究活动
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C
落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么
三角形？说明你的理由.
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找到
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
A'
C
相个等问的题线，段自（己不解包决括。矩 形的对边）
E2
１
3
H(x,y)
A
-
G F Dx
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
课后作业
3、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，
现将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由分△AEF的面积。
A
FD
B
C
-
E
A
D
B FA2 FA2B 1 2 0 8 2 6 cm
FC=BC-BF=4cm 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，
∴EC的长为3cm。
-
F 图2
C
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
6
(E)
6
4
-
F
8
E
10 6
(F)
10
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
E D
-
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm， ∴在Rt△ABF中
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
-
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
-
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等折，。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
图中∠1，∠2，∠3 A
有何关系？你能求
出它们的大小吗？
3
F
11 D
6 23
-B
E
C
探究四
证明线段相等的方法有证
如图,矩形纸片ABCD中全四，边等形，A，等B=等角6c量对m,等线A边段D=的，8c和平m行差，
点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
-
谢谢大家！
-
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。 -
相应的直角三角形，用勾股- 定理建立方程，利用方程思
想解决问题。
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点
落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是
多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
-
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
-
相信你,一定行
折叠问题中,求角度
如图，a是长方形纸带，将时纸，带往往沿可EF通折过叠动成手
图b， 如果∠GEF=20°，那折叠么，∠A或E将G图=形还14原0°。
A
E
DA
E 20°
D' A
E
D
20°
?C
B
FC B
G
F C' B
C
F
G
C´
图a
图b
图c
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度
利用勾股定理 解决折叠问题
-
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
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三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。B
数是
120°
-
探究活动
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C
落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么
三角形？说明你的理由.
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找到
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
A'
C
相个等问的题线，段自（己不解包决括。矩 形的对边）
E2
１
3
H(x,y)
A
-
G F Dx
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
课后作业
3、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，
现将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由分△AEF的面积。
A
FD
B
C
-
E
A
D
B FA2 FA2B 1 2 0 8 2 6 cm
FC=BC-BF=4cm 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，
∴EC的长为3cm。
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F 图2
C
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
6
(E)
6
4
-
F
8
E
10 6
(F)
10
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
E D
-
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm， ∴在Rt△ABF中