随机过程第3章离散鞅论
(优选)随机过程第三章
性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则
它的数学期望也必定连续，即：
lim E[X (t t)] E[X (t)]
t 0
证 设 Y X (t t) X (t) 是一个随机变量
D [Y ] E [Y 2] E2[Y ]
E [Y 2 ] D [Y ] E2[Y ] E2[Y ]
RX (t t,t t) RX (t t,t) RX (t,t t) RX (t,t)
∴有
lim
t 0
E
X
0
RX
(t
t
,
t
t
)
RX
(t
t
,
t
)
RX
(t,
t
t
)
RX
(t
,
t
)
对于右边极限式，自相关函数 t1,t2 是的函数。
欲使右边极限为零，则需 RX (t1,t2) 中,t1 t2 t ，才能 保证随机过程均方连续。
§3.2 随机过程的连续性
定义：若随机过程X(t)满足lim E [ | X (t t) X (t) |2] = 0， t 0
则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称
m s 连续）。
另一方面，由定义知
E
X
(t
t)
X
(t)
2
E X (t t)X (t t) X (t t)X (t) X (t)X (t t) X (t)X (t)
n,m
xn xm 2 0
则必然存在一个随机变量x，使得
。
xn m s x
洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量
序列 {xn, n 0,1,2,L }均方收敛于x的充要条件是
离散鞅论及应用
离散鞅论及应用一、 基础定义设(,,)P ΩF 为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q =-，I 表示Q 的一个“区间”，指Q 的不间断子集，比如：{1,2,,}I n =，{1,2,3,}I =等。
定义1：设(),n n I ∈F 为单调上升（或下降），指n m ⊂F F ，,,n m I n m ∀∈≤（或n m ⊃F F ）。
设{},n Z n I ∈为随机变量序列，若n Z 关于n F 可测，n I ∈，称{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量。
定义2：设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，若下两条满足：1. ()n E Z <∞，2. (|),,,n m m E Z Z n m n m I =>∈F 。
则称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅。
若2改写成(|)()n m m m E Z Z Z ≥≤F ，称{},,n n Z n I ∈F 为下鞅（上鞅），合称为半鞅。
定义3设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，{}n F 下降，若()n E Z <∞，n I ∈且(|),,,n m m E Z Z n m n m I =∀<∈F ，则称{},,n n Z n I ∈F 为一个反鞅。
命题 1.对于区间{1,2,,}I n =,{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，则{},,1i i Z i n ≤≤F 为一个鞅，当且仅当{}11,,1n i n i Z i n -+-+≤≤F 为一个反鞅。
定义 4 设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，()n E Z <∞，n I ∈，若(|)0,,,n m E Z n m n m I =∀>∈F ，称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅差。
命题2 设{},1n n ≥F 为上升σ域（列），下两条成立：（1） 若{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，则{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，其中1n n n X Z Z -=-（2） 若{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，则{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，其中1nn i i Z X ==∑。
鞅
周生笛
• • • •
鞅的概念 多布—迈耶分解 随机积分 测度变换和鞅表示
概念
• 简单地讲，一个随机变量的时间序列没有表现出 任何的趋势，就可以称之为 鞅。他是一种用条件 数学期望定义的随机运动形式。 • 如果对于任意的n≥0， Sn 的值包含在 f n 中，就称 Sn f为 适应的。 n • 离散鞅：假定 Sn 是滤波空间｛ ，f , , F ｝的 一个适应过程，若： E(Sn ) , n Z 1. E(Sn1 f n ) Sn , n Z 2. Sn 为离散鞅 则称
0
鞅变换
• 鞅的数学期望形式是基于相应的概率测度的，通过这个， 我们可以通过适当的改变概率测度，把任意的一个随机过 程变换为鞅。
X n M n An , n Z
• 2.多布迈耶定理： (t )t(0,) 是一个 f n 适应的右连续的下 如果 鞅，E(St ) , t, 则对于任何0≤t≤ , (St ) 都 可分解为下列形式： St M t At At Mt 是右连续鞅 是一个可料增量过 程。
t 1 t
• 由定义可知，上式
X t 是一个鞅，并称( M )n 为对M的鞅变换
• 鞅变换提供了一个简单但很有用的判断鞅的方法： 当且仅当对于任意可料随机过程θ，有：
E ( M ) n 0
则,M是一个鞅。
• 简单过程随机积分
0 t0 t1 ,..., tn T
E(Sn f n ) 0
• 由上式知对 Sn 在下一时间内变化的最好预 测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运 动方向和大小是不可预测的，这就是所谓 鞅性
多布迈耶分解
• 问题：当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度下的鞅。那怎样把原本是上 下鞅的资产价格运动过程变成鞅？ • 1.多布分解定理： • 令 ( X n )nz 为一个 f n 的适应下鞅，则它可以唯一 的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：
随机过程精品课件 (18)
即表示 给出信息集 I t ，就会知道价值 S t
从而 使用不同的信息集I t 就会产生顺序 S t 的不同
的预期。可用条件期望表示成：
E t [ S T ] E [ S T I t ], t T
鞅 设St,t[0,] 是一个随机过程，
证 由条件期望的性质可得
n
E | X n | E |Yk |
且
E( X n1
| Y0 ,,Yn )
k 0
E[( X n
Yn1)
| Y0 ,,Yn ]
E( X n | Y0 ,,Yn ) E (Yn1 | Y0 , ,Yn )
X n EYn1 X n
性质7
{X n}、{Yn} 上鞅
{ X n Yn }上鞅
{X n}、{Yn} 下鞅
{ X n Yn }下鞅
证 对m n有 E[( X m Ym ) | Y0 ,,Yn )]
E(Xm | Y0,,Yn ) E(Ym | Y0 ,,Yn )
{X n} {Yn} 上鞅 X n Yn
其它
证明
（1）与（2）的等价性
一方面 另一方面
n
n
{ n}
{ m}
{ m} (Y0 ,,Ym )
m0
m0
{ n}
{ n}
{ n1}
（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得
{ n} 1 { n}
{ n} 1 { n}
也为下鞅。
性质4
{X n} 上鞅 {X n} 下鞅
{ X n} 下鞅 { X n} 上鞅
性质5
随机过程的鞅理论基础
随机过程的鞅理论基础随机过程是描述在随机现象下发生的过程的数学工具。
鞅是随机过程理论中的一个重要概念，在概率论和统计学中有着广泛的应用。
鞅是指一个随机过程，其条件期望在给定任何时刻前的信息下都是已知的，即能够在未来给定以往信息来对未来的情况进行合理预测。
鞅理论是随机过程的重要分支，它为我们提供了一种强大的工具，用于研究各种随机现象，比如金融市场、生态系统、通信网络等领域中的随机过程。
随机过程和鞅的定义随机过程是由一系列随机变量组成的数学模型，表示随机现象随着时间的演化。
在一个随机过程中，每个时间点都会有一个随机变量与之对应。
而鞅则是一种特殊类型的随机过程，它满足以下两个条件：1.鞅在任意时刻的期望都是已知的，即给定过去的信息时，可以预测未来的情况。
2.鞅在任意时刻都是渐近有界的，即它在任意时间都不会远离某个固定值。
鞅理论的基本性质和应用鞅具有许多重要的性质和应用，其中一些包括：•停止定理：停止定理指出，如果一个随机过程是鞅，并且在某一时间点停止后仍然是鞅，那么在该时间点后的条件期望与该随机过程的值相等。
•鞅的收敛定理：鞅的收敛定理是鞅理论中的一个基本结果，它描述了鞅序列的极限存在性和性质。
•鞅在金融领域的应用：在金融市场中，鞅理论被广泛应用于定价、风险管理和衍生品定价等方面。
例如，鞅理论可以用来描述股票价格的演变和预测未来价格走势。
总结随机过程的鞅理论是概率论和统计学中重要的理论分支，它为我们提供了一种强大的工具，用于研究各种随机现象。
鞅的定义和基本性质为我们理解随机过程的特性和行为提供了基础，而鞅在金融领域等实际应用中也发挥着重要作用。
通过深入学习和理解鞅理论，我们可以更好地理解和分析各种随机现象，为实际问题的解决提供有力支持。
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
随机过程第三章课件
2
状态转移概率
Байду номын сангаас
通过定义状态转移矩阵，可以计算出不同状态之间的转移概率。
3
状态分布
简单随机过程可以有稳定的状态分布，在长期运行时呈现固定的概率分布。
泊松过程介绍
定义和特征
泊松过程是一种连续时间的计数过 程，具有独立增量和固定的平均速 率。
概率分布
应用领域
泊松过程的计数分布服从泊松分布， 可以用于模拟和预测稀有事件的发 生。
平稳分布
如果马尔可夫链的状态分布不随时间变化，称之为 平稳分布。
应用领域
马尔可夫链在金融、生物学、通信等领域有广泛的 应用。
离散时间马尔可夫链
状态空间
离散时间马尔可夫链的状态空间可 以是有限的或无限的。
转移图
状态之间的转移关系可以用转移图 来可视化，更易理解和分析。
平稳分布
离散时间马尔可夫链存在唯一平稳 分布，可以用数值方法求解。
连续时间马尔可夫链
1 指数分布
2 充分条件
3 应用领域
连续时间马尔可夫链的时间 间隔服从指数分布，可以描 述事件发生的间隔时间。
连续时间马尔可夫链需要满 足无记忆性和马尔可夫性才 能成立。
连续时间马尔可夫链常用于 排队论、信号处理和可靠性 分析等领域。
简单随机过程定义
1
定义
简单随机过程是指在离散或连续时间内，随机事件按固定概率发生，无记忆性，且状态空间是有限 的。
泊松过程在交通流量、通信网络和 排队论等领域有广泛的应用。
布朗运动原理解析
1
定义和特征
布朗运动是一种连续时间和连续状态的随机过程，具有随机性和连续性。
2
随机漫步
布朗运动可以看作是随机漫步的连续极限，可以用随机微分方程描述。
随机过程第3章离散鞅论
3.12 Azuma不等式的推广
3.12 Azuma不等式的推广
推广应用 注意不等式的特点
3.13 鞅论的应用(2)
Sn n
拖尾概率 的估计
3.13 鞅论的应用(2)
请注意 ?
鞅的应用要点
几个特定的例题 古典概率的拖尾估计 鞅的构造特点以及注意事项
3.14 连续鞅论介绍
3.14 连续鞅论介绍
3.10 鞅论的应用(1)
关于随机移动 几个基本问题
与结论
仔细研究, 能否利用 古典概率 方法计算讨论?
征集答案
3.10 鞅论的应用(1)
思考?
注意停时 的定义与应
用
3.10 鞅论的应用(1)
理论结果 与直观判定
说明 理由
3.10 鞅论的应用(1)
为什么 上升一步
3.10 鞅论的应用(1)
3.8 上穿不等式及应用
问题简化技巧
3.8 上穿不等式及应用
3.8 上穿不等式及应用
用上 穿的 几何 特征
3.8 上穿不等式及应用
推广
3.8 上穿不等式及应用
收敛性分析
3.8 上穿不等式及应用
3.9 极大值不等式与Doob定理
一些重要的不等式
转化技巧
类似推导
S<0
认真思 考
3.9 极大值不等式与Doob定理
3.14 连续鞅论介绍
关于连续鞅的例子
利用泊松过程构造的鞅 （第4章内容）
利用Brown运动构造的鞅 （第5章内容）
本章重点
鞅的定义与不变量 上鞅,下鞅的定义与分解定理 上鞅,下鞅 与鞅的基本构造方法 几个重要的不等式 停时定义与停时定理的应用例题
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3.12 Azuma不等式的推广
3.12 Azuma不等式的推广
推广应用 注意不等式的特点
3.13 鞅论的应用(2)
Sn
n
拖尾概率 的估计
3.13 鞅论的应用(2)
请注意 ?
鞅的应用要点
几个特定的例题 古典概率的拖尾估计
鞅的构造特点以及注意事项
3.14 连续鞅论介绍
3.14 连续鞅论介绍
第三章
离散鞅论 (3)
教师：樊平毅教授 清华大学电子工程系
3.8 上穿不等式及应用
请注意
3.8 上穿不等式及应用
b
a
定义的特点
上穿两次的观察窗 口 一个简图
3.8 上穿不等式及应用
上穿次数 的估计
为什么会有此结果? 物理意义?
问题思考
为什么下鞅要研究上穿不等式?
相应上鞅需要研究上穿不等式吗? 为什么? 按简单的推理可知,上鞅如何处理? 你能够想象到上穿不等式的应用是什么?
3.8 上穿不等式及应用
问题简化技巧
3.8 上穿不等式及应用
3.8 上穿不等式及应用
用上 穿的 几何 特征
3.8 上穿不等式及应用
推广
3.8 上穿不等式及应用
收敛性分析
3.8 上穿不等式及应用
3.9 极大值不等式与Doob定理
一些重要的不等式
转化技巧
类似推导
S<0
认真思 考
3.9 极大值不等式与Doob定理
3.9 极大值不等式与Doob定理
下鞅构造模 式的首次应 用
3.9 极大值不等式与Doob定理
定理的证明从略
思考问题
你认识的随机不等式还有哪些?请列举. 上述几个不等式,在理论分析或科研中你 们应用过哪个? 举例说明. 你如何看待这些公式? 给出你的观点.
3.10 鞅论的应用(1)
问题: 试用古典概率 方法分析计算?
古典概率分 析中的典型 应用事例
3.10 鞅论的应用(1)
3.10 鞅论的应用(1)
分类讨论
对称性处理
3.10 鞅论的应用(1)
对称性处理
3.10 鞅论的应用(1)
为什么不用
问题提示与思考:
因为一阶统计量中难以找到和时间指标n 有关的明确关系式. 高阶统计量是否可行? 为什么在本题目中采用书上定义的统计量?
表现形式 的差别
3.11 Azuma不等式
特殊的 不等式
不 等 式 的 特 点
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
不等式的 特点 它实际上是一种 拖尾概率估计
3.11 Azuma不等式
为什么? 直接应用引理1, 但又有一点不同
总结归纳
3.10 鞅论的应用(1)
请看注解
鞅的应用思考要点
如何构造鞅使之满足题目要求? 如何应用停时定理? 停时定理的结论出现问题时如何处理? 如何看待对称随机移动问题? 如果随机移动是非对称的,其结果又如何?
3.11 Azuma不等式
凸函数的 特点与应用ຫໍສະໝຸດ 3.11 Azuma不等式
3.10 鞅论的应用(1)
关于随机移动 几个基本问题 与结论
仔细研究, 能否利用 古典概率 方法计算讨论?
征集答案
3.10 鞅论的应用(1)
思考?
注意停时 的定义与应 用
3.10 鞅论的应用(1)
理论结果 与直观判定
说明 理由
3.10 鞅论的应用(1)
为什么
上升一步
3.10 鞅论的应用(1)
3.14 连续鞅论介绍
关于连续鞅的例子
利用泊松过程构造的鞅 （第4章内容）
利用Brown运动构造的鞅 （第5章内容）
本章重点
鞅的定义与不变量 上鞅,下鞅的定义与分解定理 上鞅,下鞅 与鞅的基本构造方法 几个重要的不等式 停时定义与停时定理的应用例题
3.11 Azuma不等式
迭代运算
加上引理2
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
应用要点提示
3.11 Azuma不等式
要点
推广应用
3.11 Azuma不等式
Doob鞅出现了
3.12 Azuma不等式的推广
简化条件, 推广应用
3.12 Azuma不等式的推广
注意引理的应用