高中《立体几何》大题(附答案解析)

《立体几何》大题及答案解析1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()ΙΙ求二面角S AM B −−的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ACBA 1B 1C 1DE3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD −的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A −−的大小。

B7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1).(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。

8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱111ABC A B C −中，AB =4, 1AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

9.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A −−的大小。

10.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD，3,FC ED ==．求：（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角F AD E −−的平面角的正切值．11．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．(1)证明：P A⊥BD；(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值FGkHJ 参考答案1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NCEB x ==,在RT MEB ∆中， 60MBE ∠=°ME ∴。

在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+ 解得1x =，从而12MN SD =∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线.NE（II ）分析一:利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S CB A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则)2,,0(),,2,2(),0,2,0(−=−−=−=b a SM b a BM BA ，)2,2,0(−=SC ，由题得>=<SC SM BM BA //21,cos ，即−=−=++−⋅−−)2(22212)2(2)2(222b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12,12,2(),12,12,0(λλλλλ+−+=++MB M 又oAB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故oAB MB AB MB 60cos ||||⋅=•，即22)12()12(214λλλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(−−=MA M ，又)2,0,2(−=AS ，)0,2,0(=AB ， 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则=•=•0011AS n MA n 且=•=•0012AB n MA n ，即 =+−=−−022*******z x z y x 且==−−02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，∴3662202,cos 21=⋅++>=<n n 二面角S AM B −−的大小36arccos −π。

2、解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF121B B ，从而EF DA 。

连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。

又D E ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。

（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。

由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。

由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则。

又AB=2，BC=，故。

由AB AD AG BD ⋅=⋅得。

故AD=AF 。

又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。

连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。

连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，，故EH=1，又EC=112B C =2， 所以∠ECH=300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300.解法二：（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12，2b，c ）. 于是DE →=（12，2b，0），BC →=（-1，b,0）.由D E ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→⋅=0，求得b=1，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →=则0,0.AN BC AN BD →→→→⋅=⋅= 又BC →=（-1，1， 0）， BD →=（-1，0，c ）,故00x y x cz −+=−+=令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1c).又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）由二面角C BD A −−为60°知，AC AN ，=60°， 故 60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °，求得21c =于是 ），，（211=AN ， ），，211(1−=CB 21cos 111=⋅⋅=CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,，在ABE ∆中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 21//==， 又BE DC 21//==，所以DC PQ ==//，又⊄PQ 平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD（Ⅱ）在ABC ∆中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC而⊂EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP所以5551sin ===∠AD DPDAP4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE//PD ，12OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE中，12OEPD AB AO ==， ∴45AOE °∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz −，设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =−==，∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.（Ⅱ）当PD =且E 为PB的中点时，()11,,22P E a a，设AC∩BD=O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，∵11,,,0,0,22EA a a EO −，∴cos EA EO AEO EA EO⋅∠==⋅， ∴45AOE °∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.∴ 多面体ABCDEF 的体积为V E —ABC D ＋V E —BCF=5、解：方法（一）：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠tan tan PD PNM PCD DC ∠=∠=所求角为arctan（3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离.因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD中点，DM =，则O 点到平面ABM。