湖南省长沙市长郡中学2021届高三上学期第三次月考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三上学期月考(三)数学试题
（2）已知 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．如图，在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ， ， ，且 为 边上的中线， 为 的角平分线．
（1）求 及线段 的长；
（2）求 的面积．
19．如图①，在菱形 中， 且 ， 为 的中点，将 沿 折起使 ，得到如图②所示的四棱锥 .
过点P，M，Q的平面截正四棱锥 得等腰 ，截球O1，球O2，…得对应球的截面大圆，如图：
显然 ， ， ，令N为圆 与PM相切的切点，
则 ，设球 的半径为 ，即 ，因为 ，则
显然， ，解得 ， ，
设球 与球 相切于点T，则 ，设球 的半径为 ，同理可得 ，即 ，
设球 的半径为 ，同理可得 ，即球 ，球 ， ，球 的半径依次排成一列构成以 为首项， 为公比的等比数列 ，
【详解】
由图可知， ，故 ，故 ，故排除A B；
又函数 关于 对称，由图象可知， ，故C错，D正确；
故选：D.
4．A
由 可得 ,进而将条件代入求解即可.
【详解】
, ,
故选:A
【点睛】
本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.
5．B
由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.
【详解】
设 ， ，则 为实数，A选项正确．
设 ， ，则 ，正确．
，其共轭复数是 ，C选项错误．
设 是方程的实根，
则 ， ， ．D选项正确．
故选：ABD．
11．ABC
选项A，取 的中点 ，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明 平面 ；选项B，利用 平面 ，可得 ；选项C，先作出并证明所求的二面角为 ，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设 平面 ，再证明 平面 ，得到 ，与 与 的夹角为 矛盾来说明.
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题 理.doc
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题理本试题卷共8页，全卷满分150分。
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2.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交。
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4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{x∈N*|12x∈Z}中含有的元素个数为A.4B.6C.8D.122.设a，b∈R，i是虚数单位，则“复数z＝a＋bi为纯虚数”是“ab＝0”的A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3.2021年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行。
这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异。
今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生。
则丙是来自哪个院校的，学位是什么A.国防大学，博士B.国防科技大学，研究生C.国防大学，研究生D.军事科学院，学士4.(1x＋x＋y2)8的展开式中x－1y2的系数为A.160B.240C.280D.3205.已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe(注：e为自然对数的底数)，则下列关系正确的是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6.函数()()2ln1x xe ef xx--=+，在[－3，3]的图象大致为7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是A.828πB.8216π+ C.1628π D.16216π8.已知a∈(0，2π)，β∈(－2π，0)，且cos(4π＋α)＝13，cos(4π－2β)3，则cos(α＋2β)＝3353D.69.已知F1，F2是双曲线C：2221(0)xy aa-=>的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C 相交于A，B两点，若|AB|2，则△ABF2的内切圆的半径为23222310.已知数列{a n}的通项公式为a n＝＝2n＋2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题
长郡中学2021届高三月考试卷（一）数学本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ） A. {}2x x ≥-∣ B. {}12x x <<∣ C. {}12x x <≤∣ D. {}2xx ≥∣ C根据对数函数的定义域化简{}lg(1)B x y x ==-∣，再利用交集的运算求解即可. 由题意得，{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣， 因为{}22A xx =-≤≤∣， 所以{}12A B xx =<≤∣，故选：C. 本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足()3425z i -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D化简复数z ，进而可得出复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.()()()25342534343434i z i i i i +===+--+，则34z i =-， 复数z 在复平面内对应的点是()3,4-，在第四象限，故选：D.本题考查复数对应的点所在象限的确定，考查了复数的除法法则以及共轭复数的应用，属于基础题.3. 已知a b c <<且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是 A. 222a b c << B. 22ab cb <C. ac bc <D. ab ac <C∵0a b c ++=且a b c <<，∴0,0a c <>． ∴ac bc <． 选C ．4. 在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ） A.1536AC AB - B. 1536AC AB -+C. 1136AC AB -+D. 1136AC AB --A根据2BD DC =，AE ED =，结合平面向量的加法和减法运算，利用平面向量的基本定理求解. 【详解】如图所示：因为AE ED =，2BD DC =， 所以()12BE BA BD =+， ()1223BA AC AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 1536AC AB =-，故选：A 5. 设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B由函数基本初等函数的单调判断函数()f x 的单调性，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(4)0f >，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：函数2()log f x x x m =+-在区间()0,∞+上单调递增，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则11022f m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，(4)60f m =->，解得162m -<<，故“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是“(1,6)m ∈”的必要不分条件.故选：B.本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.6. 已知实数a ，b ，c 满足1lg 10b a c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>D设1lg 10ba t c ===，分别表示出,,a b c ，构造函数，利用函数图象比较大小. 设1lg 10ba t c ===，0t >，则10t a =，lgb t =，1c t=，在同一坐标系中分别画出函数10x y =，lg y x =，1y x=的图象，如图，当3t x =时，a b c >>；当2t x =时，a c b >>；当1t x =时，c a b >>.故选:D. 本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 7. 已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）A. -5B. -3C. 2-D. -1A由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-可求出tan α值，再将()f x 化为关于cos x 的二次函数，即可根据二次函数的性质求出最小值. 由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，有3tan 172tan 3αα+=-，解得tan 2α=，故222()sin 2tan |cos |6cos 4|cos |5(|cos |2)1f x x x x x x α=+-=-+-=---， 故当|cos |0x =时，()f x 取最小值5-.故选：A.本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.8. 设函数2()2f x x xlnx =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫⎪⎝⎭B. 9221,4ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9221,10ln +⎛⎤⎥⎝⎦D. 9221,10ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C判断()f x 的单调性得出()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k 的范围．解：()'21f x x lnx =--，1()2f x x''=-，∴当12x时，()0f x ''， ()f x ∴'在1[2，)+∞上单调递增，11()()2022f x f ln ∴''=->，()f x ∴在1[2，)+∞上单调递增，[a ，1][2b ⊆，)+∞，()f x ∴在[a ，]b 上单调递增，()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，∴()(2)()(2)f a k a f b k b =+⎧⎨=+⎩， ∴方程()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解a ，b ．作出()y f x =与直线(2)y k x =+的函数图象，则两图象有两交点．若直线(2)y k x =+过点1(2，912)42ln +， 则92210ln k +=， 若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为0(x ，0)y ，则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪-+=⎩，解得1k =． 922110ln k+∴<，故选：C ． 本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分. 9. （多选题）下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <C. ()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭BD本题可通过当(0,)x ∈+∞时213x⎛⎫< ⎪⎝⎭判断出A 错误，然后通过当(0,1)x ∈时2log 0x <、3log 0x <以及223log log 31log xx =>判断出B 正确，再然后可通过取12x =判断出C 错误，最后可通过当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭判断出D 正确.A 项：当(0,)x ∈+∞时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即23x x<恒成立，A 错误；B 项：当(0,1)x ∈时，2log 0x <且3log 0x <，因为3322333log log 2log 1log 31log log log 2xx x x ===>，所以23log log x x <恒成立，B 正确；C 项：当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 1x =，此时131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；D 项：由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确，故选：BD.关键点点睛：本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可，考查推理能力，是中档题.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A. {}n a 是等比数列B. 当1p =时，4158S =C. 当12p =时，m n m n a a a +⋅=D. 3856a a a a +=+ABC由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=， 又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.11. 已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义域中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A. ()1f x x B. 4()f x x = C. 1()2f x x =+ D. ()ln(21)f x x =-ACD由题意转化条件为函数()f x 的值域关于原点对称，逐项判断即可得解. 由题意可得函数()f x 的值域关于原点对称， 对于A ，函数()1f x x 的值域为R ，关于原点对称，符合题意；对于B ，函数4y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，函数1()2f x x =+的值域为(,0)(0,)-∞+∞， 关于原点对称，符合题意； 对于D ，函数()()ln 21f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意；故选：ACD . 本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）部分图象，下列结论正确的是（ ）A. 函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π ABD根据函数图象求出()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误. 由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.4π 先利用垂直关系得到2a b ⋅=，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角. 因为向量2a =，2b =，()a b a -⊥，故2()0a b a a a b -⋅=-⋅=，即22a b a ⋅==.设向量a 与b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，[]cos 0,22a b a b θθπ⋅===∈⋅，故4πθ=.故答案为：4π.14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.94根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简，结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可．解：424log (4)log log (4)a b ab +==，44a b ab ∴+=，4040a b ab +>⎧⎨>⎩得00a b >⎧⎨>⎩，得414a bab+=， 即1114b a+=， 则111559()()1214444444a b a a b a b b a b ab a +=++=++++=+=， 当且仅当4a bb a=，即2a b =时取等号， 即+a b 的最小值为94，故答案为：94.本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合1的代换是解决本题的关键．15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .162162π+-由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45︒，设等腰三角形的腰长为a ，利用正弦定理可求出a 的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形， 顶角为360458︒=︒， 设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理可得8135sin 45sin2a =︒︒， 解得13582sin 2a ︒=，所以三角形的面积211351cos13582sin sin 4532216(21)222S ︒-︒⎛⎫=︒=⋅=+ ⎪⎝⎭， 则每块八卦田的面积为()22116(21)216216m 82ππ+-⨯⨯=+-.故答案为：162162π-.本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题.16. 已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.1176先写出前几项与1a 的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值，代入求解{}n a 前48项之和即可.由1(1)21nn n a a n ++-=-，则211a a =+，32132a a a =-=-， 431 57a a a =+=-，5417a a a =-=，65199a a a =+=+，761112a a a =-=-， 8711315a a a =+=-，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因()()()1357451721224a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=⨯=，()()246816482610464818a a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+， 而()()()2610461111198954012a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+，()()()484811117159561212a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-， 所以数列{}n a 前48项之和为()()112454012612121176a a +++-=. 故答案为：1176.本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 ①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A =（1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764. （1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 28ABC S bc A bc ===△∴24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩， 则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==，∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 18. 已知()x x mf x e e-=+是偶函数. （1）求实数m 的值；（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）记{}()ln (3)()1ln 32xg x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围.（1）1m =；（2）{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）[]1,3.（1）利用偶函数的定义求解；（2）先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）先写出函数()g ln (3)1ln32xx a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，然后将()0g x ≤转化为ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即23(3)10x x ae a e +--≥恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.（1）因为()x x mf x e e=+是偶函数，则()()f x f x =-对任意实数x 恒成立， 即xxx xm m e e e e --+=+， 1(1)0x x m e e ⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意实数x 恒成立，则1m =；（2）()1xxf x e e =+，1()xx f x e e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 在[0,)+∞上是增函数， 又因为()f x 是偶函数，∴(2)(1)(|2|)(|1|)|2||1|f x f x f x f x x x ≥+⇔≥+⇔≥+，两边平方可得23210x x --≥，解得1≥x 或13x ≤-；故不等式的解集为{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）()ln (3)1ln32x g x a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)1ln32xa e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)10x a e -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即130xa e a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩，因为[0,)x ∈+∞，则1334xe <+≤，所以03a <≤， 其次，ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为ln32(3)1x a xa e e+-+≤， 即23(3)10x x ae a e +--≥成立，亦即()()3110x xe ae +-≥成立，因为310x e +>，所以10x ae -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围为[]1,3.本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力.19. 已知正项等差数列{}n a 中，12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为112n S b ⋅=，()*122n n n S S b n N +=+∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . （1）31n a n =-；12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）711623(32)n n ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求得3d =，即可求得数列{}n a 的通项公式，再由122n n n S S b +=+，化简得到112n n b b +=，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）可得1111233132nn c n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得n T 即可.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列， ∴2(1)2(22)d d +=+， 即2(1)4(1)d d +=+， 由已知0d >， ∴14d +=， ∴3d =，∴31n a n =-； 由122n n n S S b +=+得：11222n n n n S S b b ++-==， ∴()112g n n b n N b +=∈ 数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）111111112(31)(32)233132n nn n n n c b a a n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21111111111222325583132nn T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112211171113232623(32)12nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，属于中档题.20. 已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为2π. （1）当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域. （1）单调递减区间为,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（2）[-.（1）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，根据条件，可求出周期T 和ω，结合奇函数性质，求出ϕ，再用整体代入法求出,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的递减区间；（2）利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域.（1）())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k πϕπ=+，k Z ∈， 因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，函数为()2sin 2f x x =， ,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22x ππ-≤≤，()f x 单调递减，需满足22x ππ-≤≤-，∴24x ππ-≤≤-，所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；（2）由题意可得：()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴24333x πππ-≤-≤，∴1sin 43x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()[g x ∈-，即函数()g x 值域为[-.本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.21. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6. （1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解. （2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p+=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥， 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．22. 已知点,1x e P x ⎛⎫⎪⎝⎭，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. （1）函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）[2,)-+∞.（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得()2sin x f x e x x =-+，求导后可得()0f x '<，即可得解；（2）当0x =时，易得()1f x ≥恒成立；当0x >时，求导得()cos x f x e m x '=++，设()cos x g x e m x =++，求导可得()2g x m >+，按照2m ≥-、2m <-分类，结合函数()f x 的单调性、(0)1f =即可得解.（1）由已知(),1(,sin )sin x xe f x OP OQ x mx x e mx x x ⎛⎫=⋅=⋅+=++ ⎪⎝⎭，当2m =-时，()2sin x f x e x x =-+，()2cos x f x e x '=-+， 当0x <时，1x e <，又cos 1≤x ，则()2cos 0x f x e x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）①当0x =时，()11f x =≥，对于m R ∈，()1f x ≥恒成立； ②当0x >时，()cos x f x e m x '=++， 设()cos x g x e m x =++，则()sin x g x e x '=-， 因为e 1x >，sin 1x ≤，所以()sin 0x g x e x '=->，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)2g m =+，所以()2g x m >+，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增，且()2f x m '>+， （ⅰ）当2m ≥-时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(0)1f =，所以()1f x >恒成立，符合题意； （ⅱ）当2m <-时，(0)20f m '=+<， 因为()'f x 在(0,)+∞上单调递增，又当ln(2)x m =-时，ln(2)()cos 2cos 0m f x e m x x -'=++=+>， 则存在0(0,)x ∈+∞，对于()00,x x ∈，()0f x '<恒成立， 故()f x 在()00,x 上单调递减，所以，当()00,x x ∈时，()(0)1f x f <=，不合题意. 综上，所求m 的取值范围为[2,)-+∞.本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力及逻辑推理能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．34i-+B ．34i--C ．5D3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = 且()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ．3a- D ．a-r 4．已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为4，则B 点的纵坐标为（）A ．2-B ．C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．4+二、多选题9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1//B P 面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．A =4C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是.14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==，求sin B .16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，160A AC ∠=︒，AC BC ⊥，1A C AB ⊥，1AC =，12AA =.(1)求证：1A C ⊥平面ABC ；(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17．人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；(2)当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18．已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点，过,A B 做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值.(3)求证：IK IA JKJB=19．对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥，且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =，求A 的元素个数及max A ；(2)当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B .（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足12a =，1()n n n f a a a +=，集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑，*N n ∈.求证：*N n ∀∈，4max 3n C =.。
湖南省长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(Word版)
长郡中学2021届高三月考试卷(二)数 学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}2340=28x x x x B x --≤>， ,那么集合AB=A. (3,)+∞B. [1,)-+∞C. [3,4]D. (3,4] 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二 象限,则θ位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3)4.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为A.83 B. 43C. 3D. 35.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+6.已知直三棱柱ABC- A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为 A.3172 B. 10 C. 132D. 3107.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为A.41p - B. 11p - C. 114p - D. 14(1)p - 8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足212n n n a a S +=.且0n a >,则10S =A.10B. 11C. 10311-D.11二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知函数2()lg(1)f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是 A.当a =0时, ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B. ()f x 一定有最小值;C.当a =0时, ()f x 的值域为R;D.若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥ 10.已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程220x kx -+=的两不等实根， 则下列结论正确的是A. tan tan k αβ+=-B. tan()k αβ+=-C. 22k >D. tan 4k α+≥ 11.正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 、G 分别 为BC ,，CC 1，BB 1的中点.则 A.直线D 1D 与直线AF 垂直 B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.已知函数3()sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是A. ()f x 是奇函数B.若()f x 是增函数,则a ≤1C.当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点D.当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点 三、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分. 13.在71(3)x x-的展开式中，41x 的系数是_______ 14.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF,则AF BC ⋅的值为_______15.已知函数()sin(33)cos(22)f x x x ϕϕ=++，其中ϕπ<,若()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减,则ϕ的最大值为___________。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
B
ABFP
轴的垂线交抛物线于点，记
P
，则的值为（
）
2
4
8
A.
B.
C.6
D.
二、多项选择题(本题共小题，每小题分，共分)
4520
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
4
3
女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有
10
当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1
位)
9
4
9
4
11
k1
k1
k
k
9
10
1.80
2.05
，
参考数据：
，
10
5
10
5
k2
k2
11
9
4
11
9
4
k
k
k
k
9
10
10.79
13.32.
k
k
，
10
5
10
5
k2
k2
一、选择题(本题共小题，每题分，共分)
8540
n
2a12a13
n
a
n
n
n
C,D
19.在如图所示的圆柱OO
中，为圆O的直径，
AB
是AB
的两个三等分点，，，都是圆柱
EAFCGB
1
1
2
OO
1
的母线．
2
的
FO//
（1）求证：
平面ADE；
1
（2）设BC=1，已知直线
(解析版)湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学(理科)
长郡中学2021届高三月测试卷〔数学〔理科〕第I卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合｛y E N|y = -/十6〕E M｝的真子集的个数是〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】二函数y =-工之l•3KE^^ x = 0. 1,2时,y分别等于63 2在［0,十面上是减函数,,*二3 时,y ＜0, J. ｛y EN¥=-/+0K EN｝=｛工5,6｝一,该集合的所有真子集为@闭,⑸,⑹：口5｝#2,6*5⑹,,该集合的真子集个数为7,应选C.2 .变量X?■成负相关,且由观测数据算得样本平均数",y =3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是〔〕A. y .1三B. .:,-'C. V - ；：D. ■■』■!【答案】C【解析】由变量x、y负相关,知A, B不正确,把代入C, D方程只有C满足,应选C.3.命题P：% E 〔y,0〕, 2%工3%,命题卬队E 〔o,|j, tanx ＞或ux,那么以下命题为真命题的个数是〔〕①口*q；②pv「q〕；③④pZF.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】B2 靠【解析】•「当x＜.时,总有〔广1 ,即八命题P为假,从而不为真,■■■当匹吟|时,tanx-sinx --- ---------------- ＞.,即面ix＞Wnx.又命题q为真,二〔¥〕八9, pVq为真,真命题的个数cosx是工应选B.4 .复数工满足小1 = ।十］〔:为虚数单位〕,那么工的共轲复数工A. । - -B.C. T 十D. ।【解析】由于Z7 = l十］,所以(1+1)(-1) , gPz= 1-1, E的共轲复数』=1十i,应选A.5 .执行如下图的程序框图,那么输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C2 2 3【解析】第一次循环,S = log^,口= 2 ；第二次循环,S = log3- + = 3 ；第三次循环,J 3 45 = log3- ।匕g%- log2-Ji = <..,第n次需环,.234 , n , 2 2.一一.S = 10g3- + l0g2-卜iQg广1-- + ——一= ------ 浦=n + 1 ,令Wgr ------ < 一己,解得口> 1 5,八输出M 5 F + 1 F + 1 n- 1的结果是n十1 = 16,应选C.6 .f(x)为奇函数,函数［(X)与虱K)的图象关于直线丫=工十1对称,假设2⑴=4,那么£(-3)=( )A. -2B. 2C. -1D. 4【解析】解析：由题意设P〔1冉关于y = x+I的对称点Mo,那么,解之得二;那么｝』〔32〕在函数y = f〔x〕的图像上,故f〔3〕= 2,那么f〔-3〕= -2,应选答案B.7 .实数x;y满足|x| < y + I ,且T M y M I ,那么z = 2x十y的最大值〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6jn11* ■:c、f y > X-1 T x > 0根据题意,约束条件为：y<-x-Lx<0 约束条件围成的图形如图 A.ABC ,,-1 <y< 1z = 2x + >化为y =-2x+z,平移予=-2x十乙当二;时,y =-六+ z在Y轴上的截距m取得最大值,z = 2x + y = 2x2+ 1 = 5,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.8 .某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为〔〕【解析】解析：由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体,其体积 型=,2小2E 应选答案B . 3 3 3「 3兀9 .假设函数 f(x) = sinsx 斗小CQSSK R E R),又®) = -2 , f(p)=.,且o.-fJ|的最小值为一,那么正数m 的 值是()A. B. C. D.3 2 3 3【答案】D/ 7C\ 乳 7T 二(冗 5jt 【解析】f(x) = 2洞ox 4,由 f(o) = -2,得切口 । - =的兀一出 E Z ,口 = ------------- ,由 f(p) =.,3/ 3 2 co 6o) 3.工 2时,|a-p 取得最小值—,那么—=一,解得团=-,应选D.2<0 4 310.如图,正三棱柱AB .A[Bgi 的各条棱长均相等,D 为AA1的中点,M,N 分别是线段口蜕和 线段CJ 上的动点(含端点),且满足BM = gN .当M,N 运动时,以下结论中不正确的选项是()A.平面DMN 1平面BCCBB. 三棱锥A 】DMS 的体积为定值C. ADMN 可能为直角三角形D. 平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,三【答案】C如图,当M,N 分别在上运动时,假设满足BM = C[N,那么线段MN 必过正方形BCCiE .的中央.,而D0 1平面BCCiB]/平面DMN1平面BCC|B 「A 正确；当MN 分别在 BBpCC]上运动时,AA 】DM 的面积不变,N 到平面A 】DM 的距离不变,的棱锥N-AQM 的体积不..,了 ： . . ； .|, 那么 a B _ 2<k r k ^ ,八」dR --------------- co71 2©4(k 「kr)兀 f2<o、kWZ ,变,即三棱维A 「DMN 的体积为定值,E 正确；假设为直角三角形,那么必是以 AfDN 为直 角的直角三角形,但的最大值为BG ,而此时DMDX 的长大于BBp 二Z\DMN 不可能为直角三角形,C 错误；当M,N 分别为BBpCC ］中点时,平面DMN 与平面ABC 所成的角为0,当M 与B 重 7E合,N 与G 重合时,平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大,为 ,C|BC 等于j, ,•.平面DMN 与n 7Txf-1) sin ----- 1- 2dx E [组2tl + l\(nEN),假设数列｛4｝满足11 .i- i . 7CX(—1)“+ 2n + 2,x E [2n + l,2n - 2),a m = ^mXmEN*〕,数列｛鼠〔的前加项的和为兀,那么瓦通一与小 〔 〕A. 909B. 910C. 911D. 912 【答案】A7tx1(-l)nsin — + 2ax E [2n,2n + 1)【解析】函数f(x)=」,n E N ,数列k J 满足(—I/1 siny - 2口 ▼ 2,x E [2n 十[,2n 十 2)斗u = f ⑹(m EN"),二斯/一蹑二的7十%吕+…十%5 二.4M , 49JF . 52?c .. . “、人. sin,— । 2 x 48 + 2-sm ----- + 2 x 49 । ... । sm — । 2 乂 52 4 2 = 909 ,应选 A.2 2 2 12.函数f(、) = x + /F , g(x) = iMx 十2)-4 ,其中1c 为自然对数的底数,假设存在实数 4,使口与)-虱飞)=3成立,那么实数a 的值为( )A.B. In...C. .D. .【答案】B_ ___ , 一 , 1 K + 1 ,, 【解析】令 Rx 〕-g 〔K 〕=x-i e - ln 〔x -I 2〕'I 4e ,令丁 = x- ln 〔x + 2〕 y 1 = l -- -- ----- ,故x + 2 x + 2y =x-ln 〔x +2〕在上是减函数,〔-1,十◎上是增函数,故当K = T 时,y 有最小值-1-0 =-1 , 由根本不等式得『一〞十命一〞之4〔当且仅当= 4/一",即x = a 十足之时,等号成立〕；故f 〔x 〕-g〔x 〕=3〔当且仅当等号同时成立时,等号成立〕,故x=a 十ln2=-1,即a = Tn2-1,应选B.【方法点睛】此题主要考查利用导数求最值、根本不等式求最值以及转化与划归思想的应用, 属于难题.利用根本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等〞的内涵：平面ABC 所成的锐二面角范围为〔0,： D 正确,应选C.11.函数Rx 〕一正是,首先要判断参数是否为正；二定是,其次要看和或积是否为定值〔和定积最大,积定和最小〕；三相等是,最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是屡次用3或•工时等号能否同时成立〕第n卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在做题纸上〕13.抹展开式的常数项为15,贝।sin2x〕dx =., -a【答案】23 -—1 十_j- q【解析】由题意得：T _] = 〔96-『,〔_火〕『=〔_]〕『.产,c：• x之,令3i；r = 0,即r = X D a C「15,,a - --7=15, /.a4= 1. ■■ a> 0, = 1 ,2 乂1H 1 I I 1'JG1 + sin2x〕dx = Jjl -x2d x + J sin2xdx = 法,根据定积分的几何意义可得Jjl—x?dK-a -1 -1 -1 -1表示半径为I的半圆的面积,【方法点晴】此题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及定积分的几何意义,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比拟明确,主要从以下几个方面命题：〔1〕考查二项展开式的通项公式T『+i = C/LE ;〔可以考查某一项,也可考查某一项的系数〕〔2〕考查各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.14 .向量满足：|a| = |b| = I ,且「E = L 假设c = xa十yl 其中x>0 , y >0且x+y = 2 ,那么|c 的最小值是.【答案】忑【解析】v|a| =|b| =1 ,且a -〔? = -,当c = xa 十?后时,c2= x2a3I 2xya - b I y气,,= x2+xy +/=〔x + y〕2-xy,又x>0,y > 0 且x i y = 2, - xy r< | = 1 ,当且仅当x = y = I 时取“=",二/ > 〔x r广笥丫= 231 = 3-、向的最小值是后,故答案为忑.15 .将正整数12分解成两个正整数的乘积有I第12, 2 乂6, 3三种,其中3,4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3丈4为12的最正确分解.当P'q 〔PWq且p,qEN* 〕是正整数口的最正确分解时,我们定义函数f〔n〕= q—p,例如f〔12〕= 4-3 = I .数列/⑨?的前100项和为【解析】当口为偶数时,耳片=0;当n 为奇数时,丁〞、,' ' f(3n ) = 3 2 一3 二S1翼=2(3°-31+…十3勺=2 x --------- = 3,0-1,故答案为产7.3_1 16 .如图,正方体ABCD-AjBgiD]的棱长为3,在面对角线A 】D 上取点M,在面对角线CD 】上取点N ,使得MN II 平面AAgg ,当线段YN 长度取到最小值时,三棱锥 AI-MND]的体积为【答案】1【解析】试题分析：如以下图所示,建立空间直角坐标系,从而可设,Y(m0m) , NB ,n,3-n),• - XdN = (-m,n n 3_n m),而面•工CC-看 的■个法向量是 n=( 1,1,0) , •1- XIN ■ n = O^m = n , 「• xfrj2 = 十 n* 十(3一口-m)* = 2m* 十I 9 = 6(m -])1 + 3 > 3 , 当且仅当m = 1时,等号成立,此时%%/加]=V N -AM D]乂 2" = ],故填：। .考点：立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题,处理时常用如下两种方法：1 .结合条件与 图形恰当分析取得最值的条件；2 .直接建系后,表示出最值函数,转化为求最值问题.三、解做题 (本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)n-1 n-1口=2x3?,17.某高校在今年的自主招生测试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为 5组制出频率分布直方图如下图〔1〕求4d 的值;〔2〕该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试,那么每组应各抽多 少名学生？〔3〕在〔2〕的前提下,面试有 4位考官,被抽到的 6名学生中有两名被指定甲考官面试,其余4名那么随机分配给3位考官中的一位对其进行面试,求这 4名学生分配到的考官个 数X 的分布列和期望.【答案】〔1〕前,03, 20, 0.2; 〔2〕第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽I 人；〔3〕 65 . 27【解析】试题分析：〔1〕由频率分布直方图,求出成绩有 [85,90〕中的频率,由此根据频率与频数的关系能求出abc 的值；〔2〕组的学生数分别为3d20,10 ,由此能求出用分层抽样抽取6名学生进行面试,每组应各抽多少名学生；〔3〕由得X 的可能取值为123,分别求出相应的概率,由此能求出这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 试题解析：〔1〕由题意知 b = o.oe X 5 = 0.3 , a = 100 x 0.3 = 30 , d = I -0.05-035 -03-0.1 =0.2 c= 100x0.2=20 ..30〔2〕三个组共60人,所以第三组应抽人, 20 10第四组应抽6、二=1人,第五组应抽6乂二=1人.60 60 （3） X 的所有可以取的值分别为 1,2,3叱=】)=#=万/+ 14 -P(X = 2) =-------- ----- =—(或 P(X = 2) =27组号分组；粮教 频率1 [75,80) 产30.05 2 [80,85) 350,353 [85,90) a4 [90,95) r d5[95JOO)100, 1C ■设一 2) 144 一P(X = 3)=——=-(或 P(X = 3) = IT 9 所以X 的分布列为:14 27所以X 的数学期望E 〔X 〕 = 1【方法点睛】此题主要考查直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中 档题.求解该类问题,首项要正确理解问题,其次要准确无误的随机变量的所以可能值,计 算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要 过三关：〔1〕阅读理解关；〔2〕概率计算关；〔3〕公式应用关.就18.在3ABe 1中,内角A,B,C 所对的边分别为 电b,c,.=2,〔3 = §. 〔1〕当 2sin2A ++ C 〕 = siriC 时,求 AABC 的面积；〔2〕求.AABC 周长的最大值.【答案】〔1〕亍；〔2〕6.【解析】试题分析：〔1〕由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得23mAeosA = sinBcosA ,分类讨论先分别求出 久,B ,再求出a,b 的值,利用三角形面积公式即可计 算得解；〔2〕由余弦定理及条件可得：/十产rb = 4,利用根本不等式可得〔a + b 〕3 = 4 । 3册玉4 + 3史型-,解得a 『bW4,从而可求周长的最大值.由 2sm2A + sin(2B + C) = sinC得 241nAe 口SA = sinBeosA ,当时,sinB = 2sinA ,由正弦定理b = 2日,联立 2点4小解得b=?T,, 一,―…1 2小故二角形的面积为试题解析:a -+b - - ab = 4b = 2a〔2〕由余弦定理及条件可得：.由〔g+= 4十3处三4十3〔a；b〕得& ± b < 4 ,故AABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到 .19.如下图,直三棱柱ABC-中,AB=AC = 2, 0为-G的中点,E为的中点.B 民〔1〕求证：C^ill 面ARD；〔2〕假设AB[J-面A]DB,求二面角B %D瓦的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕—.4【解析】试题分析：〔1〕设AB1与AR交于F,连接DF.EF, •••EFIIBBJICC],那么EF与CQ平行且相等..♦・四边形EgDF为平行四边形,由线面平行的判定定理可得结果；〔2〕以BC的中点口为原点,分别以OE. OA方向为x轴和工轴正方向,以方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果 ^试题解析：〔1〕设居1与交于F,连接DF、EF,••• EFII BB仲CC1?那么EF与C]D平行且相等..•・四边形EC]DF为平行四边形..CjE IDF,又DF 匚面A]DB, C】E仁面ARB ,,C]E II 面ARD.〔2〕以BC的中点.为原点,分别以OB、OA方向为x轴和工轴正方向,以CC]方向为y轴正方向, 建系如图,设8=K, AAj = y,那么有H〔xaO〕, A〔0A^4^'〕, E]〔xy0〕, 一冬〔.邛<777〕, D卜.•・班= 〔-2x:0〕,..叫=〔-居媪匚♦,,赢1 =〔x,y-J4.x方由AB[,面A]DB ,那么H；A ■ BAj = 0,E；A liD = 0.那么1尸.、解得门.所以面ARD的法向量为_0]=〔12.我,又设面ARD的法向量为S =〔a,b,c〕, 口云「QI.〕,A自=〔】.,我,A1B1n = O, DB1 n = O,所以隹.二;,令a =收那么s瑜」〕,J7.、下-5出击..•",•.・■1 - .S ,尽44所以二面角的余弦值为—.4【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.证实线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证实两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证实的.20.数列kn｝满足为7, %+]=相1卜产1-4口〔武短〕.〔1〕是否能找到一个定义在因’的函数Rn〕=A,2n T I 〔4B、C1是常数〕使得数列｛日口一出口〕｝是公比为3的等比数列,假设存在,求出｛%｝的通项公式；假设不存在,说明理由；〔2〕ifiS1]=a l i-a2 iq 一। %,假设不等式'r?>p x非对任意“ E N〞都成立,求实数p的取值范围.【解析】试题分析：1「由即+1 = 3a n + 2n 1- 4n可得(n + 1) - 3f(n) = 2n-1 - 4n ,纪合f(n 4- 1) - 3f(n) = - A ' 2n 1 - 2Bn + (B - 20 ,对应项系数相等列不等式组求解即可；⑶ 先利用分组求和法求得£门二2n + r? + 2rv化简5n -n2> px 3rl可得p < \ ." +工口= 1,中II I 11 I ■3n试题解析：(1) 8n(口 + l)=地1r氏项,•.•%+[= 3% । Rn 7)-3f(n),所以只需.,■, i,■,二二匕1 '二,•二? ?.即::二T.‘‘」：・； 1 ・3〞一.：一•.7 ,,1 - 一.二"'' 「二n .(2 ：：.二：i- 3.•一：1：・；I ・二•••二：・二. ・n • .「' + ..：二,2 + 2n 2 - 2n=. ________2n-2n 2n- 4n + 2 2n-2(2n- I)当n"时,/=〔I + 1广十u/] 一…十黑；十C：；三2十五n- l〕= 2n>2n- I 二.n"时,％ + 产%.容易验证,当15W3时,% + ]三,,73一 ,O 1・•.p的取值范围为〔-叫\ 81 /21 .f(x) = e'(ax,- x 十］).〔1〕当aWO时,求证：f〔x〕< I ;〔2〕当a >0时,试讨论方程f〔x〕=］的解的个数.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕林」时,方程一个解；当林J且4.时,方程两个解.2 , 2【解析】试题分析：〔1〕f〔x〕三l=e*〞〔ax,十x十】〕01等价于e x - ax3 - X - I > 0 ,令h㈤= 利用导数研究函数的单调性求出h〔x〕En = h〔0〕= 0 ,即可得结论；〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x- ax2- x - 1的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数Mx〕单调性及最值情况,从而可得方程解的个数试题解析：〔1〕要证Rx〕三l=e*'〔ax"十犬十】〕三1 ,只要证e x- ax2- x - I > 0 (* )令h(x) =,- ax" - x - 1 ,贝U h(K)=/- - 1 ,而h"〔*〕=£-%>.,所以h&l在〔-8,十⑼上单调递增,又4〔0〕= 口, 所以Mx〕在上单调递减,在〔0,十⑼上单调递增,,h〔K〕min , h〔0〕= 0 ,即hg 至.,〔* 〕式成立所以原不等式成立.〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x-ax2-x - 1的零点个数.而h (x)=它*= 2ax - 1 , h (x) = e x- 2a.令h"(x) = O,解得x = ln2n所以h'〔x〕在「8血㈤上单调递减,在包十⑼上单调递增.所以h(x)mg = h (ln2a) = 2a - 2aln2a - 1 ,设m = 2a,, g(m) = m - mlnm - 1 ,而, 那么g〔x〕在〔L十刈上单调递减,在〔0,D上单调递增,所以虱m%«= gQ〕= Q,即成刈讪不.〔当m = l即l,时取等〕.1 1 ,1°当/=寸寸,h〔乂〕Mn =.,那么h〔x〕3.恒成立.所以Mx〕在R上单调递增,又h〔o〕= o,那么Mx〕有一个零点;2当时,ln2a > 0 , h(x) = h(In2a.) <0,、* n ■ LIIIJ, /有在। - 上单调递减,在(ln2a,十W上单调递增,且XT+ 馍时,h (x)=已、=2ax - 1 > 0那么存在乂1,()使得h(Kj = 0,又h"(0) = D这时M2在(-皿0)上单调递增,在(0明)上单调递减,h(x)在㈤)上单调递增所以卜的)之履0) = 0,又XT +M时,岭)=金一/.工.]>Q, h(0) = 0所以这时Mx)有两个零点；3 当时,hi2a <0, h(x)mjl]= h(ln2a)<0.有h&)在।-81n*i)上单调递减,在(In知十田上单调递增,且XT - 8时,h(x) =/- 2ax - 1 > 0,那么存在x z -「,)使得h(x2) = 0.又h(0) = 0 ,这时Mx)在(-qxj上单调递增,在(■与⑼上单调递减,Mx)在◎十⑼上单调递增.所以h(xj > h(0} = 0.又XT - 9时,h(x) = e x - ax^ - x - 1, < 0, h(0) = 0.所以这时h(x)有两个零点；,一 1 ,〜, 1 一 ,〜、〜〜…综上：H =-时,原方程一个斛；当：af-且时,原方程两个斛. 2 2请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .直线仃匕祟二(L为参数),圆黑e为参数),兀(1)当u=,时,求C]与％的交点坐标；(2)过坐标原点.作J的垂线,垂足为A, P为.A的中点,当M变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】(1) (Z0)；(2) ! x = giiTs 圆心为(I.]半径为’的圆.[y = -cosasina \2 / 2【解析】试题分析：(I )求得Ci. G的普通方程, 联立方程组堂]？,解之得正解；(x y(n)求得Cj的普通方程n A点坐标为Qsin%, - 2coscisina)P点轨迹的参数方程为[)]皿" (口为参数)=P点轨迹的普通方程为仅二『卜y2：=故P点是圆心为&口),半(y=- cos as in ci 2 4 2径为I的圆.2试题解析：(I)当Q =:时,Ci的普通方程为丫二击仅一),G的普通方程为xJ『= 4.联立方程组F；后厂2)解得％与Q的交点为口,一回,Q0)J [ x —v1 = 4(II) %的普通方程为xsma - ycosa -左inct= 0. A点坐标为Q出i%, - 2cosasina),故当以变化时, P点轨迹的参数方程为[x-suAi (也为参数)ly = - cosasmaP点轨迹的普通方程为(x ；故P点是圆心为?.),半径为；的圆.选彳4- 4-5 :不等式选讲23. (1)函数R X)=|K/1|十|x-2|-旨-冽.假设函数f(x)的图象恒在x轴上方,求实数n的取值范围.(2)f(x} = J]十长,a#b,求证：f(b)| < |Ei-b|.【答案】(1) sE(-lJ) ; (2)证实见解析.【解析】试题分析：(1)求出f(x)的最小值,根据函数f(x)的图象恒在x轴上方,可得3-方炉0,|a-b||a + b|即可求实数a的取值范围；(2)不等式的左边化简为一/=;,利用忖十b|W|a|十|b和Jl 十a - Jl + b右品乒3舟后,即可证得不等式成立.试题解析：(1) fM的最小值为3-|『-冽,由题设,得力卜3,解得aE(-IJ).(2)证实：.「.,|a2|a- b||a i-b|।Jl +) Jl + H 1Jl +b2又. ■..|a I b| 一, . ----------------------------- --- 1 ----------------------------- ----- ।v11 + a + J ।b 'a^b, ..|a-b|>0.。
湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一学期月考数学试题(三)
长郡中学2021届高三月考试卷（三）
数学
一、选择题：本题共8小题，共40分。
1．集合A＝，B＝且A∪B＝，则实数a的可能取值组成的集合是（）
A. B. C. D.
2．已知a＋3i＝2＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则实数a＋b的值为（）
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
3．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，以x轴的正半轴为始边，其终边与单位圆
交点为P，P的坐标是P(x，y)，若x＝－，则cos 2α＝（）
A. B. － C. D. －
4．在的展开式中，若常数项为－40，则正实数a＝（）
A. B. 2 C. 3 D. 4
5．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道
中，最大信息传递速率C(单位：bit/s)取决于信道带宽W(单位：HZ)、信道内信号的平均功率S(单位：dB)、信道内部的高斯噪声功率N(单位：dB)的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变
带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了（）
A. 10%
B. 30%
C. 50%
D. 100%
6．若平面向量，满足＝＝·＝2，则对于任意实数λ，|λ＋(1－λ)|的最小值
是（）
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