江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校2014-2015学年高二12月学情调研考试数学试题

江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校2014-2015学年高二12月学情调研考试数学试题2014.12.221．本试题满分160分，考试时间：120分钟．2．答题前请将试卷答题卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题． 3．将答案填写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只交答题卷．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

只填结果，不要过程！）1.已知函数x x f cos )(=，则)(x f 的导函数)('x f = ▲ . 2.命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是 ▲ .3.双曲线112422=-y x 的渐近线方程为 ▲. 4.过点(2,3)-且与直线210x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ； 5. 圆心为(1,1)，且经过点(2,2)的圆的标准方程为 ▲ ．6.已知ABC ∆中， (2,4),(1,3),(2,1),A B C --则BC 边上的高AD 的长为 ▲ ；7.已知两条直线12:(3)453,:2(5)8.l m x y m l x m y ++=-++= 若直线1l 与直线2l 平行，则实数m = ▲ ；8.已知命题p “任意x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题p 为真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围是___▲__．9.方程x 2＋mx ＋1＝0的两根，一根大于2，另一根小于2的充要条件是__▲____．10.函数e ln y x x =-的值域为 ▲ ．11.已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 ▲ .12.函数)(x f 的定义域为开区间()b a ,，导函数．．．)(x f '在()b a ,内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间()b a ,内的极小值．．．点的个数为 ▲ 个.13.点P 是椭圆2212516x y +=上的动点，1F 为椭圆的左焦点，定点()6,4M ，则1PM PF + 的最大值为▲ _______14．设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0x π<<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 ▲．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）已知p ：x R ∀∈，不等式2302x mx -+>恒成立，q ：椭圆22113x y m m +=--的焦点在x 轴上．若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围．16. （本题满分14分） 如图,已知斜三棱柱111ABC A B C -中,AB AC =,D 为BC 的中点.(1) （7分）若1AA AD ⊥，求证:1AD DC ⊥； (2) （7分）求证:1A B // 平面1ADC17. （本题满分14分）设522)(23+--=x x x x f ． （1）求函数)(x f 的单调递增、递减区间；ABCDA 1B 1C 1(第16题)（2）求函数)(x f 在区间[1,2]-上的最大值和最小值．18．（本题满分16分）如图，储油灌的表面积S 为定值，它的上部是半球，下部是圆柱， 半球的半径等于圆柱底面半径．⑴试用半径r 表示出储油灌的容积V ，并写出r 的范围．⑵当圆柱高h 与半径r 的比为多少时，储油灌的容积V 最大？19．（本题满分16分）已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,5)A ，(8,3)B --，C 、D 在该椭圆上，直线CD 过原点O ，且在线段AB 的右下侧．（1）求椭圆G 的方程；（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．20. （本题满分16分）已知函数xea ax x x f )()(2++=，（a 为常数，e 为自然对数的底）． （1）令x ex 1)(=μ，0=a ，求)(x μ'和)(x f '； （2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，试确定a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设由()f x 的极大值构成的函数为()g x ，试判断曲线()g x 只可能与直线230x y m -+=、320x y n -+=（m ，n 为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．一.填空题二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解：p：m <<； ……….4分；q ：23m <<，……….8分；由p q ∧为真知，,p q 皆为真，…………10分；解得2m <<．………..14分16.【答案】证明:(1)因为AB =AC ,D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC . …… 2分因为1AA AD ⊥，11AA CC ，所以1AD CC ⊥，…… 4分1CC BC C =，所以AD ⊥平面BCC 1B 1 ，…… 6分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1,所以AD ⊥DC 1 …… 7分(2) 连结A 1C ,交AC 1于点O ,连结OD , 则O 为A 1C 的中点. 因为D 为BC 的中点,所以OD//A 1B …… 9分 因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B /⊂平面ADC 1, …… 12分所以A 1B//平面ADC 1 …… 14分17.解：（1）2'()32f x x x =--，…………2分 由'()0f x >得23x <-或1x >，……………4分 所以()f x 的单调增区间为2(,]3-∞-和 [1,)+∞，减区间为2[,1]3-； …………6分（2）列表如下所以()f x 的最大值为7，最小值为2．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，储油灌的表面积S 为定值，它的上部是半球，下部是圆柱， 半球的半径等于圆柱底面半径．⑴试用半径r 表示出储油灌的容积V ，并写出r 的范围．⑵当圆柱高h 与半径r 的比为多少时，储油灌的容积V 最大？ABCDA 1B 1C 1（第16题图）O18⑴2222232S r rh r r rh πππππ=++=+，232S r h rππ-∴=， ……3分3223V r r h ππ∴=+35(026rS r r π=-<<； ……7分 ⑵2522S V r π'=-，令0V '=，得r =，…………………9分 列表……13分 ∴当r=时，体积V 取得最大值，此时h =:1:1h r ∴=……………16分19．（本题满分16分）直线CD 过原点O ，且在线段AB 的右下侧．（1）求椭圆G 的方程；（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．19．解：（1）将点A （0，5），B （-8，-3）代入椭圆G的方程解得22110025x y +=………..4分 （2）连结OB ，则111=||222OAB AOD BOC B A B ABCD S S S S x AO d OD d OC ∆∆∆++=⨯+⨯+⨯四边形，………….6分 其中A d ,B d 分别表示点A ，点B 到直线CD 的距离．设直线CD 方程为y = kx ，代入椭圆方程22110025x y +=得22241000x k x +-=，………..8分解得：,D ，………………10分OC OD ∴==又A d =3()8B d k =>……………….12分20.已知函数xe a ax x xf )()(2++=，（a 为常数，e 为自然对数的底）． （1）令x ex 1)(=μ，0=a ，求)(x μ'和)(x f '； （2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，试确定a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设由()f x 的极大值构成的函数为()g x ，试判断曲线()g x 只可能与直线230x y m -+=、320x y n -+=（m ，n 为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．20.解：（1）x ex 1)(-='μ，x e x x x f )2()(2-=' 4分（2）22()(2)ee ()e [(2)]xx x f x x a x ax a x a x ---'=+-++=-+-e ()[(2)]x x x a -=⋅-⋅--，令()0f x '=，得0x =或2x a =-，当2a =时，2()e 0xf x x -'=-≤恒成立，此时()f x 单调递减； 当2a <时，20a ->，若0x <，则()0f x '<，若02x a <<-，则()0f x '>，0x =是函数()f x 的极小值点； ………………………………8分 当2a >时，20a -<，若0x >，则()0f x '<，若20a x -<<，则()0f x '>，此时0x =是函数()f x 的极大值点，综上所述，使函数()f x 在0x =时取得极小值的a 的取值范围是2a < ………………10分 （3）由（Ⅰ）知2a <，且当2x a >-时，()0f x '<，因此2x a =-是()f x 的极大值点，2max ()(2)(4)e a f x f a a -=-=-，于是2()(4)e (2)x g x x x -=-<……………………………………………………12分222()e e (4)(3)e x x x g x x x ---'=-+-=-，令2()(3)e (2)x h x x x -=-<，则2()(2)e 0x h x x -'=->恒成立，即()h x 在(,2)-∞是增函数，…………………14分所以当2x <时，22()(2)(32)e1h x h -<=-=，即恒有()1g x '<，又直线230x y m -+=的斜率为23，直线320x y n -+=的斜率为32，所以由导数的几何意义知曲线()g x 只可能与直线230x y m -+=相切………………16分.。