积分表(全)。
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表1、基本积分公式： (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)(8) (10) (11)2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰3、积分方法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当 时，有 .当 时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（ ， ）式右边的 是在分母，不在分子，应记清. 当 时，有 .是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
(完整版)基本积分表
基本积分表1、⎰+=c kx kdx2、⎰++=+c a x dx x a a 113、⎰+=c x dx xln 1 4、⎰+=+c x dx xarctan 112 5、⎰+=-c x dx xarcsin 112 6、⎰+=c x xdx sin cos 7、⎰+-=c x xdx cos sin8、⎰⎰+==c x xdx dx x tan sec cos 1229、⎰⎰+-==c x xdx dx xcot csc sin 122 10、⎰+=c x xdx x sec tan sec11、⎰+-=c x xdx x csc cot csc 12、⎰+=c e dx e x x13、⎰+=c aa dx a x x ln 14、⎰+=c chx shxdx 其中2xx e e shx --=为双曲正弦函数 15、⎰+=c shx chxdx 其中2xx e e chx -+=为双曲余弦函数基本积分表的扩充16、⎰+-=c x xdx cos ln tan17、⎰+=c x xdx sin ln cot18、⎰++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=⎰2tan ln cot csc ln csc 20、⎰+=+c a x a dx xa arctan 1122 21、⎰++-=-c a x a x a dx ax ln 21122 22、⎰+-+=-c xa x a a dx x a ln 21122 23、⎰+=-c a x dx x a arcsin 122 24、⎰+++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、⎰+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】三角函数公式大全同角三角函数的基本关系倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝c sc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin （a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan （π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) =1/cos(a)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
最全不定积分表(高数)
1
1
含有 a ± x , a > 0 的积分
5.
ò (a + bx) dx = b
2
x
1
2
(
a + In | a + bx |) + C a + bx
四.
1 1 x dx = arctan + C 2 +x a a x-a 1 1 1 13. ò 2 dx = - ò 2 dx = In | | +C 2 2 x -a a -x 2a x+a
x x
n
ò sin( Inx)dx = 2[sin( Inx) - cos( Inx)] + C ò cos( Inx)dx = 2[sin( Inx) + cos( Inx)] + C ò In( x +
1 + x 2 )dx = xIn( x + 1 + x 2 ) - 1 - x 2 + C
利用 pdfFactory Pro 测试版本创建的PDF文档
òx ò òx
1
2
a 2 - x 2 dx = 1
-1 2 x a - x 2 - arcsin + C x a x +C a
2 2
21.
a -x
2
2
dx = arx sin
七. 31.
含有 tan x, cotx,sec x, csc x 的积分
22.
1
2
a -x
2 2
2
dx =
基本积分公式表
2
1 (
cos
2x
cos 2
2x
)
dx
42
4
(1 cos 2x 1 1 cos4x ) dx 424 2
( 3 cos 2x cos 4x ) dx
82
8
3 dx 8
1 2
cos
2
xdx
1 8
cos
4 xdx
3 8
x
1 4
cos 2xd(2x)
类似可求 cos4 xdx
1 cos 2x dx
2
(1 2
cos 2x ) 2
dx
1 2 x 2
dx
cos 2 2
x
1 2
cos2
x
dx dx
x 2
1 4
cos 2xd(2x)
x sin2x C 24
例14 cos4 xdx
(1 cos 2x )2 dx
(13)
a
xdx
ax ln a
C
第二节 换元积分法（一）
一、第一换元积分法
问题
e2xdx ?
被积函数e 2 x 不是积分公式表上的函数,
用直接积分法，求不出它的积分。
怎么办？
e2xdx
1 e2x 2 d(2x)
1
e2x d(2x)
2
u 2x
1 2
e u du
2
常用积分表(绝对有帮助)
7
(a < b)
84． ∫ cos xdx ＝ sin x + C
85． ∫ tan xdx ＝ − ln cos x + C
86． ∫ cot xdx ＝ ln sin x + C
∫ 87．
sec
xdx
＝ ln
π tan(
+
x)
+C
＝ ln
sec
∫ 93． sin2 xdx ＝ x − 1 sin 2x + C 24
∫ 94． cos2 xdx ＝ x + 1 sin 2x + C 24
∫ ∫ 95． sinn xdx ＝ − 1 sinn−1 x cos x + n − 1 sinn−2 xdx
n
n
∫ ∫ 96． cosn xdx ＝ 1 cosn−1 x sin x + n − 1 cosn−2 xdx
∫ 76．
dx
＝ − 1 arcsin 2ax − b + C
c + bx − ax2
a
b2 + 4ac
∫ 77． c + bx − ax2 dx ＝ 2ax − b c + bx − ax2 + b2 + 4ac arcsin 2ax − b + C
4a
8 a3
b2 + 4ac
∫ 78．
x
dx ＝ − 1 c + bx − ax2 + b arcsin 2ax − b + C
8
8
∫ 43． x2 + a2 dx ＝ x2 + a2 + a ln x2 + a2 − a + C
基本积分表-新版.pdf
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设 α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sin α cos （ 2kπ＋α）= cos α tan （ 2kπ＋α）= tan α cot （ 2kπ＋α）= cot α 公式二： 设 α为任意角， π+α的三角函数值与 α的三 角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sin α cos（π＋ α）= -cosα tan（ π ＋ α）= tan α cot（π＋α）= cot α 公式三： 任意角 α与 -α的三角函数值 之间的关系： sin（ -α）= -sin α cos（-α）= cos α tan（-α）= -tan α cot （ -α）= -cot α 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α与 α的三角函 数值之间的关系： sin（π-α）= sin α cos（π-α）= -cosα tan（ π-α）= -tan α cot（π-α）= -cot α 公式五： 利用公式 -和公式三可以得到 2π-α与 α的三角 函数值之间的关系： sin（ 2π-α）= -sin α cos（ 2π-α）= cos α tan（2π-α） = -tan α cot（2π-α）= -cot α 公式六： π /2 ±及α 3π /2 ±与α α的三角函数 值之间的关系： sin（π/2+ α）= cos α cos（π/2+ α）= -sin α tan（ π/2+ α） = -cot α co（t π /2+ α）= -tan α sin（ π /2-α）= cos α cos（π /2-α）= sin α tan （ π/2-α）= cot α cot（π/2-α）= tan α sin（3π/2+ α）= -cosα cos（ 3π/2+ α） = sin α tan（ 3π /2+ α）= -cot α cot（ 3π /2+ α）= -tan α sin（3π /2-α）= -cos α cos （ 3π /2-α）= -sin α tan （3π /2-α）= cot α cot（ 3π /2-α）= tan α (以上 k∈Z) A· sin( ω t+ θ )+ B · sin( ω t+√φ{()A=2 +B2 +2ABcos( -φθ)} · sin{ ω t + arcsin[ (A · sin θ +B· sin φ ) / √ {A^2 +B^2; +-2φAB)}c}os(√表θ示根号 ,包括 { ……｝ 中的内容 诱导公式
147个积分表
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 ) 1．
∫ ax + b ＝ a ln ax + b + C
∫
1 (ax + b) μ +1 + C （ μ ≠ −1 ） a ( μ + 1) (ax + b − b ln ax + b ) + C
dx
1
2． ( ax + b) μ dx ＝
80．
x−a x−a x−a dx ＝ ( x − b) + (b − a ) arcsin +C b− x b− x b− x dx x−a +C ＝ 2 arcsin b− x ( x − a )(b − x )
81．
( a < b)
82．
2x − a − b (b − a ) 2 x−a ( x − a )(b − x ) + arcsin +C ( x − a )(b − x )dx ＝ 4 4 b− x
+C
49．
∫
∫
x2 x2 − a2
x2
dx ＝
x 2 a2 x − a 2 + ln x + x 2 − a 2 + C 2 2
x x −a
2 2
50．
(x − a )
2
2 3
dx ＝ −
+ ln x + x 2 − a 2 + C
51．
∫x ∫x
2
dx x2 − a2 dx
＝
1 a arccos + C a x x2 − a2 +C a2 x
数学积分表
75
．∫
x ax + bx + c
2
dx
1 ＝a −
ax 2 + bx + c b 2 a
3
ln 2ax + b + 2 a ax 2 + bx + c + C
76
．∫ ．∫ ．∫
dx c + bx − ax
2
＝−
1 2ax − b arcsin +C a b 2 + 4ac c + bx − ax 2 + b 2 a3 b 2 + 4ac 8 a
的积分
x−b )+C
．∫ ．∫ ．∫ ．∫
x−a dx x−b x−a dx b− x
＝ ( x − b) ＝ ( x − b)
x−a + (b − a ) ln( x − a + x−b
80
x−a x−a + (b − a ) arcsin +C b− x b− x x−a +C b− x
( a < b)
50
＝−
51
1 a ＝a arccos + C x
52
＝
x ＝2
x2 − a2 +C a2 x
x2 − a2 −
2
53
a2 ln x + x 2 − a 2 x − a ) dx ＝ 8 (2 x − 5a ) x 1 55． ∫ x x − a dx ＝ (x − a ) + C 3
2 2 2 2 3
3 − a 2 + a 4 ln x + x 2 − a 2 + C 8