最新45积分表的使用
4.5 积分表的使用
通过前面的讨论，我们已经能够求解一些 简单的积分问题，为了使用方便，往往把常用 的积分公式汇成表，这种表叫积分表. 本书末附录有一个简单的积分表,以供查询. 我们先举几个可以直接从积分表中查得结果 的积分例子.
4.5 积分表的使用
例1 求 解 被积函数含有三角函数,在积分表中查得
e
x2
,
sin x , x
1 , ln x
sin( x 2 )
等等，它们的原函数一定存在，但却不能用初 等函数表示出来，它们的计算需要用其它的方 法来解决.
dx a b sin x
dx 5 2sin x
a 5, b 2, a 2 b 2 所以用公式(103),得
x 5 tan 2 dx 2 2 arctan C 5 2sin x 52 22 2 2 5 2 x 5 tan 2 2 2 arctan C 21 21
4.5 积分表的使用
例2 求
x
dx
2
x2 9
解 被积函数含有 x2 9
在积分表(六)中查得关于积分
x
dx
2
x2 a2
的公式(38),于是
x
dx
2
x 9 = C 9x x2 9
2
4.5 积分表的使用
2 2 x 16 9 x dx 例3 求
解 这个积分不能在表中直接查到,需要先进
行变量代换.令 3x u,
2 2 x 16 9 x dx =
1 2 2 2 u 4 u du 27
2 2
被积函数中含有 4 u 在积分表(八)中查得关于积分
2 2 2 u 4 u du
第五节 积分表的使用
4
4
再用公式93
sin3 x cos x 3 x 1 sin 2x C .
4
42 4
第五节 积分表的使用
一般来说，查积分表可以节省计算积分的时间，但是 只有掌握了基本积分方法才能灵活地使用积分表．对于 正在学习高等数学的学习者来讲，我们不提倡用查表的 方法来计算积分．本教材设置积分表的目的是为在校生 在学习其他课程时，快速计算碰到的积分，也为职场工 作者快速计算工作中碰到的积分．
查得于 例公是3式求105 (Pd38x1) .（需先做变换，再查表得结果）
a 解bdxco积s x(分3xx表ax 24中4)bx2查2dxaa不9到bb91 相arlnc关t|a3n的x 公4aa式|，bb3tx需a4n做42x 变形CC .．(a2 b2 ).
于是
dx
dx 2
2 1 5 4 dx
第五节 积分表的使用
最后需要指出的是： 尽管连续函数一定存在原函数， 但有些初等函数的原函数不一定是初等函数．例如
ex2 dx ,
sin x
x
dx
,
dx ln x
,
, 1 x4
它们的原函数都不是初等函数．
2
.5 4
x
第五节 积分表的使用
例4 求 ssiinn44xxddxx..（递推公式的应用）
解 在积分表（十一）中查得公式95 (P380)
sinn xdx sinn1 x cos x n 1 sinn2 xdx .
n
n
于是
sinn xdx sin3 x cos x 3 sin2 xdx
x 4)22
dx . （直接查表可得结果）
解 被积函数中含第五有节a积x 分+表b，的使在用积分表（一）中查得
第四节 积分表的使用方法
x
dx
2
9x 4
2
1 t2 9
1 dt dt 3 , 2 2 2 3 2 t t 2 t 4
上式右端积分的被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 当 a = 2(x 相当于 t)时， (五)类中，查到公式 39， 得
dt
2
t
t 2 22
t2 4 C 4t
5 2 x 4 arctan tan C . 3 2 5 3
2.先进行变量代换，再查表
例3
9x2 4 解 该积分在积分表中直接查不到，要进行变
2
查表求
x
dx
.
1 1 量代换， x t , 令 3 x = t， 则 dx dt , 于是有 3 3
9x2 4 C. 12x
代入原积分中，得
x
dx
2
9x2 4
3
t2
9x2 4 C. 4x t 2 22 dt
3.用递推公式
例4
解
dx . 查表求 4 sin x
被积函数中含三角函数， 在积分表(十一)
类中查到公式 97，递推公式为
1 cos x n2 dx dx sin n x n 1 sin n1 x n 1 sin n2 x ,
等， 都不能用初等函数表示.
第四章 不定积分பைடு நூலகம்
第四节
例1 查表求
积分表的使用方法
dx . 2 x( 3 2 x )
1.在积分表中能直接查到的
解 被积函数含 a + bx 因式，在积分表(一)类 中，查到公式 9 ，当 a = 3，b = 2 时， 得
群众每日积分统计表
群众每日积分统计表
摘要：
1.群众每日积分统计表的意义和作用
2.积分统计表的内容和构成
3.积分统计表的使用方法和注意事项
4.积分统计表的实际应用案例
正文：
一、群众每日积分统计表的意义和作用
群众每日积分统计表是一种记录和统计群众每日积分的数据表格，旨在鼓励群众积极参与各种活动，提升个人素质和团队凝聚力。
通过积分统计表，可以直观地了解群众的活动参与情况，便于组织者对活动进行调整和优化，从而提高活动效果。
二、积分统计表的内容和构成
积分统计表一般包括以下几个部分：
1.表格标题：明确指出表格的主题，如“群众每日积分统计表”。
2.表格日期：记录表格所对应的时间段，方便查询和统计。
3.姓名/编号：列出参与活动的群众姓名或编号，以便于识别和统计。
4.日积分：记录每个群众在当日所获得的积分。
5.累计积分：记录每个群众在整个活动期间所获得的积分总和。
三、积分统计表的使用方法和注意事项
1.使用方法：在活动进行期间，组织者需要每日更新积分统计表，将参与
活动的群众的积分情况进行记录和统计。
在活动结束后，组织者可以根据积分统计表对参与者进行奖励和表彰。
2.注意事项：积分统计表应保持真实、客观、公正，避免出现漏记、错记等情况；组织者应对积分统计表进行定期检查，确保数据的准确性；在活动结束后，积分统计表应妥善保存，以备日后查询和借鉴。
四、积分统计表的实际应用案例
以某公司举办的员工健身活动为例，组织者可以通过设置每日锻炼时长、参加健身课程等项目获得积分，并记录在每日积分统计表中。
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
定积分表格计算法
定积分表格计算法
在求积分[公式]时，很简单，一次分部积分就好了。
但如果让你求的是[公式]甚至[公式]，分部积分就相当麻烦了。
于是诞生出了一个公式（方法）---表格法。
表格法的使用：以[公式]为例。
①画两行表格，[公式]放第一行首位，[公式]第二行首位。
然后第一行依次求导，第二行依次积分，如下，直到把[公式]求导到0为止。
②以[公式]为起点，左上、右下错位相乘，各项符号依次为“+”“-”“+”“-”
然后各项加起来就完事了。
即[公式]整理后答案为[公式]
有了这种方法我们得以秒杀一些简单积分。
如
此方法的推导很简单，用分部积分算下[公式]就可以退出来了。
其厉害之处在于，把积分式拆开，两者分别求导，积分，简便性大大提高。
连开头提到的[公式]都可以用表格法一步到位。
当然，该方法局限性是只能求带多项式[公式]的不定积分，如[公式],[公式],[公式]等。
但这已经够了，如果遇到sinx乘e^x这类积分，老实分部积分就好了，当然这类也有普遍公式，但形式过于复杂，就不再考虑。
(完整版)常用积分表
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分（0a ≠）1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-)3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦ 5．d ()xx ax b +⎰＝1lnax b C b x +-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++（二)的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a -+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．＝2a b - 17．d x x ⎰＝b ⎰18．x＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b--+⎰(完整版)常用积分表27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰（五)含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a +＝ln(x C + 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x＝ln(x C +++37．＝1C a + 38．2C a x -+ 39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ln a a C x +44．x ＝ln(x C +++((0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．＝1arccos aC a x +52．2C a x +53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰arccos aa C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++((0)a >的积分 59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．＝1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x xa x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ln a a C x ++72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C +++75．x2ax b C -+++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C ++(十)79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >)113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin xx C a +114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d xx x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos xx C a117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d xx x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x ax a x C a -++120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x aa x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln xa C a +123．e d ax x ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax nx x x a a --⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n --++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln xx x⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++(十六)定积分 142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m nm n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数）,1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-(n 为正偶数），0I ＝2π(完整版)常用积分表换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法)。
wps表格积分公式
wps表格积分公式
WPS表格中的积分公式主要用于计算数值的累加和，可以按照以下步骤使用：
1.打开WPS表格，选择需要计算积分的单元格。
2.在工具栏中选择“公式”选项卡。
3.在“公式”选项卡中，选择“自动求和”选项。
4.在弹出的菜单中选择“积分”选项。
5.WPS表格会自动在选择的单元格中使用积分公式进行计算，并显示计算结
果。
需要注意的是，积分公式通常用于计算数值的积分值，而不是简单的求和。
因此，在使用积分公式之前，需要确保数据是数值类型，并且需要进行适当的数学运算以获得正确的积分值。