二重积分的计算法(2)

D
f ( x,
y)dxdy
D
f ( y, x)dxdy
1 2
D
[
f
(
x,
y)
f ( y, x)]dxdy
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(20)(本题满分10分）2010年数学二
计算二重积分 r2 sin 1 r2 cos 2drd,其中
D
D
(r, )
|
0
r
sec , 0
}. 4
y
解 由题设知，积分区域D如图
4
ox
( x y)dxdy
D
3
4
d
4
2(sin cos ) r 2 (cos sin )dr
0
(5分）
= 8
3
3
4
(sin
cos )3 d(sin
cos )
4
=
2 (sin
3
cos
)4
3
|4
4
8 3
(8分） (10分）
解法2 将区域D分成D1和D2两部分（用直角坐标做）
比较复杂，由学生自己完成。
什么时候采用极坐标计算，应根据积分区域D和被 积函数形式来决定，一般当积分区域是圆域或圆域 的一部分（扇形、环形等），被积函数是f ( x2 y2 ) 或f ( y )等型时，用极坐标计算比较简单。
x
(15)(本题满分10分）2006年数学一、数学二
设区域D={(x,y)|x2 y2 1, x 0},计算二重积分
所围成的闭域.
y
x y 2
解: 令 u y x , v y x ,则
D
x v u , y v u (D D)
2
2
ox
v v2
J
(x, y) (u, v)
1 2
1
2
1 2
1
1 2
2
D u v u v
ou
u
D
ev
1 2
du
dv
e e1
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(4分)
2 1
(5分） o
DD1112 1
0
2x
= 1， 12
(6分）
f ( x, y)d
1 d
D12
D12 x2 y2
(7分)
2
2 d
0
sin cos 1
dr
sin cos
2
1
d
0 sin cos
= 2 ln( 2 1),
（8分） y
2
(9分）
1 o
DD1112 1
2x
（10分）
D
u T
(2) 在D上 雅可比行列式
y
x x
D
定J积(u分, v换b) 元法((xu,,
y) v)
f (x)d x
a
u v 0; y y
fu[(t)v](t) d
t
o
( x (t) )
x
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(3) 变换 T : D D 是一一对应的 ,
则 f (x, y) d x d y f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) du d v
yx
所示，将积分化为直角坐标系下 o
的二重积分为
D x1 1x
r2 sin 1 r2 cos2 r2 sin2 drd
D
y 1 x2 y2dxdy
（2分）
D
1
1
dx
x
1 x2 y2d(1 x2 y2 )
20 0
= 1
3
（1 1
0
x2
3
y2)2
|0xdx
1
所以
D
f
( x,
y)d
4[ 1 12
2 ln(
2 1)])
1 4 2 ln( 2 1). 3
(11分)
*二、二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域D上连续, 变换:
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u, v) D D
o源自文库
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在D上一阶导数连续;
y
计算二重积分 f ( x, y)d ,
D
其中D {( x, y) | x y 2}.
2
1 o
DD1112 1
x 2
解 由区域的对称性和被积函数的奇偶性有y
f ( x, y)d 4 f ( x, y)d ,
D
D1
其中D1为D在第Ⅰ象限的部分，而
2
1 o
DD1112 1
2x
f ( x, y)d = f ( x, y)d f ( x, y)d , (2分）
D1
D11
D12
其中D11 {( x, y) | 0 y 1 x,0 x 1}.
其中D12 {( x, y) | 1 x y 2, x 0, y 0}.(如图）
因为 f ( x, y)d x2d （3分）
D11
D11
y
=
1
dx
1 x x2dy
0
0
1 x2(1 x)dx
o dr
1 ( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r ( )
0
2
r 1( )
o
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
D
2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
第二节 二重积分的计算法(2)
一、利用极坐标计算二重积分 *二、二重积分的换元法
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一、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
0
D
sin cos
例2. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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注: 利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上
二、选择题（本题15分，每小题3分）2009级期末考试
3、球面x2 y2 z2 4a2与柱面x2 y2 2ax所围成的
立体体积V ( B )
( A) 4 2 d
2a cos
4a2 r 2 dr;
0
0
(B)
4
2 d
2a cos
r
4a2 r 2 dr;
0
0
(C)
8
2 d
2a cos
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k 在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
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n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin
k
)rk
rk
D
(
x2
y2
)
dxd
y
0
D
1
2
d
1
r
3
d
r
20
0
4
o 1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 , 利用对称性 , 得
x ye x2 y2 dxd y
D1
x ye x2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx
o D2 D1
1
x
1 y x
例7.
为D上的正值连续函数，a, b为常数，求
a
D
f ( x) b f ( y) d. f ( x) f ( y)
分析: 由于未知 f ( x)的具体形式，直接化为用极坐标
计算显然是困难的，本题可考虑用轮换对称性
解: 由轮换对称性，有
a
D
f (x) f (x)
b
f ( y) f ( y)
d
D
r
4a2 r 2 dr;
0
0
(D)
2a cos
2
d
0
r
4a2 r 2 dr.
2
利用极坐标计算二重积分一般分三个步骤： 第一：将直角坐标下的二重积分化成极坐标下的
二重积分，就是将变量x, y分别用r cos , r sin替代， 而面积元素dxdy用rdrd 表示；
第二：根据区域的不同情况，化极坐标下的二重 积分为二次积分。第三：计算上述二次积分。
=I1
+I
2
=
2
ln
2.
(10分)
(19)(本题满分10分）2009年数学二
计算二重积分 ( x y)dxdy，其中
D
D={(x,y)|(x 1)2 ( y 1)2 2, y x}.
解法1 如图，区域D的极坐标表示为
y
0 r 2(sin cos ), 3 .(2分） D
4
例6. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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a
f ( y) b f (x) d f ( y) f ( x)
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1 2
[
D
a
f (x) b f ( y)
a
f (x)
f ( y)
d
D
f ( y) b f ( x) d] f ( y) f ( x)
a
2
b
D
d
a
2
b
1 4
22
a
2
b
.
说明: 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分 析，特别地，当具有轮换对称性时，往往用如下方法：
sin( x2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4} .
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
sin( x2 y2 ) dxdy 4
sin( x2 y2 ) dxdy
D
x2 y2
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d
rd d
dr
d r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
D f (r cos , r sin )r d r d
d
2 ( )
f
(r
cos , r
sin
)r
1
[1
(1
3
x2 )2 ]dx.
30
设 x sin t, 则
(6分）
y yx
D x1
o
1x
I = 1 1
2 cos4 tdt
1131
1
(10分）
3 30
3 3 4 2 2 3 16
(22)(本题满分11分）2007年数学二、三、四
设二元函数
f
(
x,
y)
x2, 1
, x2 y2
x y 1, 1 x y 2,
1 xy
D 1 x2 y2 dxdy.
解
I1
D
1 1 x2
y2 dxdy
2
d
2
1r 0 1 r 2 dr
y
oD
x
2
ln(1
r2
)
|10
ln 2
2
(6分）
由于D关于x轴对称，且函数 1
xy x2
y2
是y的奇函数， y
所以
I2
D
1
xy x2
y2
dxdy
0
D
o
x
故I
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy 的极坐标二次积分
平面闭区域.
y
解： x2 y2 2 y r 2sin
4
x2 y2 4 y r 4sin
y
3x 0
2
3
2
x
3y 0
1
6
o
x
(x2 y2 ) d x d y
D
3
d
6
4sin r 2 r d r 15(
2 sin
2
3)
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例 4 计算二重积分
D
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos r sin r (r, ) sin r cos
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
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yx
例8. 计算 e yx d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0
1r
例5. 计算二重积分I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y xyex2 y2 d x d y
D
D
y
1 2
非常有用的反常积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例2的结果, 得 故①式成立 .
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例3. 计算 (x2 y2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x2 y2 2 y, D
x2 y2 4 y 及直线 x 3y 0, y 3x 0 所围成的
D
形式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1} .
解
在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos , r sin )rdr.