论证阿贝尔定理错误
阿贝尔定理条件收敛的点在该点的敛散
阿贝尔定理条件收敛的点在该点的敛散一、引言阿贝尔定理是数学中一个重要的收敛性判别法，主要用于判断复杂级数的收敛性。
在阿贝尔定理中，我们关注的是展开式的收敛问题，即一个级数能否在某个特定点收敛。
本文将介绍阿贝尔定理的条件和点的敛散关系。
二、阿贝尔定理的条件阿贝尔定理是基于级数展开式求和的收敛性判别法，其条件包括：1.级数的一般形式为$\s um_{n=0}^{\i n ft y}a_nx^n$；2.级数的收敛半径为$R$，即在$|x|<R$范围内收敛；3.级数的常数项收敛，即$a_0$收敛。
三、点的敛散关系在满足阿贝尔定理的条件下，我们关心的是级数在展开式中的各个点的敛散性。
对于阿贝尔定理中的收敛点$x=R$，有以下几种情况：1.当$x=R$时，级数是绝对收敛的，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$绝对收敛；2.当$x=R$时，级数是条件收敛的，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$条件收敛；3.当$x=R$时，级数是发散的。
在以上情况中，我们将进一步讨论每种情况下的敛散性。
3.1绝对收敛当级数在收敛点$x=R$处绝对收敛，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$绝对收敛时，级数的每一项的绝对值都是收敛的。
这意味着级数的任何一个部分都是收敛的，且收敛到一个有限的值。
因此，在$x=R$处，级数是绝对收敛的。
3.2条件收敛当级数在收敛点$x=R$处条件收敛，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$条件收敛时，级数的每一项的绝对值可能是发散的，但级数的和是有限的。
这意味着级数的任何一个部分可能是发散的，但整体上保持收敛。
条件收敛的级数在一定条件下可以重新排列，使得级数的和可以变为任意值，即级数的和可能发散。
因此，在$x=R$处，级数是条件收敛的。
3.3发散当级数在收敛点$x=R$处发散，即$\su m_{n=0}^{\inf t y}a_nR^n$发散时，级数的和是无限的或不存在。
条件收敛阿贝尔定理
条件收敛阿贝尔定理
阿贝尔定理（Abel's theorem）是数学中的一项重要结果，用于研究级数的收敛性。
它给出了在一定条件下，级数的条件收敛性与其部分和序列的有界性之间的关系。
具体而言，阿贝尔定理适用于满足以下条件的级数∑(a_n * b_n)：
1. a_n 是单调递减的数列，即对于任意的n，都有a_n ≥ a_{n+1}；
2. a_n 严格非负，即对于任意的 n，都有a_n ≥ 0；
3. b_n 是一个部分和数列，即b_n = ∑(c_k) （k = 0 to n），其中 c_k 是常数序列。
阿贝尔定理的结论是，如果数列 a_n 是有界的（即存在一个实数 M，使得对于所有的 n，有a_n ≤ M），那么级数∑(a_n * b_n) 是收敛的。
阿贝尔定理为我们在研究级数收敛性时提供了一种有用的方法。
通过将级数转化为符合阿贝尔定理条件的形式，我们可以推断出级数的收敛性。
需要注意的是，阿贝尔定理只给出了条件收敛的结论，对于绝对收敛的级数并不适用。
1/ 1。
论证阿贝尔定理错误
论证阿贝尔定理的错误江西临川江国泉阿贝尔定理以为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一样的代数根式求解公式。
这是一个错误的结论。
第一，他论证的方式是错误的。
是片面的。
阿贝尔，伽罗瓦都是通过预解式的这种方式来论证的，那个起点确实是一个重大错误。
这种方式只对研究低于五次方程有效。
这是因为，较低次的方程，中间项次少，不需要利用方程组形式，就可将方程换元配方成可开根式的方程，达到开方降次的目的，而五次或更高的方程，由于中间项次多，只能用方程组方法，将其化成能开根式的方程，仅用预解式的方法，没有方法将如何将那么多中间项化成可开根式的形式。
也确实是说，他所假想的不断添加的根式，是用预解方程组变换而成，决再也不是预解式所能产生的。
利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方式一、二个数学新定理介绍定理A、同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，那么相同解方程式必可求出。
利用价值：若是咱们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，咱们能够先求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，依照同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。
定理B、同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。
这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。
利用价值：1》、依照方程系数判别式等于零，那么二个方程之间必存在相同解。
因此，咱们若是要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式等于零，那个方程必与原方程有同解。
2》、利用此定理能够对多元高次方程组快速消元。
那个应用在此不作详细介绍。
2、同解方程式必可求定理论证进程同解方程式必可求出定理定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。
论证进程由于论证进程具有明显的规律性，为了简便说明，在此以方程x3＋ax2＋bx＋c =0与方程x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0假设有公共相等根存在来推导它们的公解方程：由于x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0的左侧x4＋mx3＋nx2＋px＋q总可可化成二部份,即一部份能够整除另一方程左侧x3＋ax2＋bx＋c的一部份和不能整除x3＋ax2＋bx＋c的另一部份,因此方程又化成：（x3＋ax2＋bx＋c ）（x＋m－a）＋（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x ＋q＋ac－cm=0 ；的形式.由于它们存在同解，它们的公共根必需代入二个方程都成立，当：x2的系数（n ＋a2－am－b）≠0时因为那个公共根代入（x3＋ax2＋bx＋c ）（x＋m－a）等于零，因此代入（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm必等于零。
阿贝尔定理判断级数收敛
阿贝尔定理判断级数收敛阿贝尔定理？嘿，听起来像是某种神秘的数学魔法，对吧？但别担心，今天我们就来轻松聊聊这个话题，让复杂的东西变得简单有趣！想象一下，你在街头漫步，突然遇到一个数学家，他跟你说：“嘿，你知道吗？这个级数的收敛性其实可以通过阿贝尔定理来判断哦！”你可能会眨眨眼，心想：“这是什么鬼？”别急，咱们慢慢来。
阿贝尔定理就像一个好心的老朋友，帮你解决那些看似无解的问题。
这个定理主要是用来判断那些看上去神秘兮兮的级数收敛与否的，简单点说，就是告诉你，当你把一堆数字加起来的时候，这个和会不会变成一个固定的值，而不是一直飘来飘去。
哇，听起来有点深奥，但实际上就像是做一道甜品，得看材料配得合不合适。
级数就像是你在做蛋糕时放的各种材料，有些配方会成功，有些却可能塌掉。
想象一下，阿贝尔定理就像是一个厨师，他有一套秘诀，让他能知道哪种材料能一起烤出美味的蛋糕。
举个例子，假设你有一个递减的级数，也就是说，后面的数越来越小，这时候阿贝尔定理就会告诉你，只要这个级数的前n项和的极限存在，哦，那它就是收敛的！这可真是太赞了，等于你省了不少时间和精力，简直是数学界的小助手。
我们说说这个定理适用的场合。
就像你不可能拿一把铲子去钓鱼，阿贝尔定理也有它的“专属场合”。
它特别适合那些和连续函数扯上关系的级数，像是一些和幂级数有关的情况。
在这些情况下，你只需检查一下函数在某个点的表现，再结合一下数列的行为，嘿，结果就出来了！数学的世界里，时常会遇到这样的小惊喜。
说到这里，你可能会问：“这到底有什么用？”别着急，等着看呢。
就好比你在追剧的时候，剧情紧凑，高兴迭起，突然发现一个关键的线索，那可是让你心情大好的一刻！用阿贝尔定理，你可以在某些复杂的数学问题中找到通往真相的钥匙，让看似不相关的事情串联起来。
我们聊聊如何应用这个定理。
想象你正在做一道数学题，前面是个复杂的级数，哎呀，真让人抓狂！这时，你想到了阿贝尔定理。
只需找出相关的函数，检查它们的极限，就能一目了然，这简直就像是在海滩上捡贝壳，一下子捡到了个大金贝！有时候这也不那么简单，得小心翼翼，仔细推敲。
阿贝尔定理——精选推荐
阿贝尔定理
阿贝尔深⼊研究了椭圆积分的问题.
1637年，费马去图书馆看书，违反规定，在图书上乱写，写出了费马⼤定理。
356年后的1993年，费马⼤定理被美国数学家安德鲁.怀尔斯解决，他使⽤的核⼼⽅法就是椭圆积分。
假如⽣活在19世纪的阿贝尔没有死去，费马⼤定理可能轮不到20世纪的⼈解决。
阿贝尔得了肺结核⽆钱医治死去。
数学上，⾼斯排名第⼀，⽜顿第⼆。
但阿尔巴的天分应在⾼斯之上，后者可能感觉到了威胁，所以打算不资助他。
后者看了前者的论⽂只是说：我看不懂，可能没有什么价值。
阿贝尔定理：
已知：上⾯的级数在x=0这⼀点⼀定是收敛的，因为在x=0这⼀点有确定的数值a0.
阿贝尔：假如还能找到⼀个异于x=0的点，使得级数的值存在，即使得级数收敛，那么，在（-|x0|,|x0|）区间，级数必定处处绝对收敛。
假如能找到⼀个异于x=0的点x1，带⼊级数后，级数是发散的，那么级数在(-∞,|x1|)及(|x1|,+∞)区间上发散。
注：
1.当收敛区间扩⼤和发散区间也叩打的时候，它们⼀定会相遇在某⼀点x2，在这⼀点处，(-R,+R)区间级数处处绝对收敛，这个区间外发散。
2.在x2那⼀点处，级数是收敛还是发散呢？阿贝尔没有说。
达朗贝尔，柯西在这⼀点都不讲话的。
只有⼀个办法：把-R和+R那两个点带⼊到级数⾥⾯再作判断（讨论），很⿇烦的。
阿贝尔定理——精选推荐
阿贝尔定理16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。
这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。
当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。
然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。
”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。
阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理定理（阿贝尔（Abel）定理）：1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x/</x0/的一切x使这幂级数绝对收敛。
2.反之，如果幂级数在点x0发散，则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
”它的否定是什么？定理1 （阿贝尔第一定理）1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。
2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。
定理2：有幂级数①，即，若则幂级数①的收敛半径为定理3（阿贝尔第二定理）若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。
定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。
定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分参考资料：阿贝尔与椭圆函数椭圆函数是从椭圆积分来的。
阿贝尔定理证明
阿贝尔定理证明
阿贝尔定理（Abel's theorem）也称作阿贝尔－魏恩斯特拉斯定理（Abel-Weierstrass theorem），是一种重要的数学定理，主要用于解析函数的特殊情况。
阿贝尔定理的证明比较复杂，主要涉及到复分析中的一些基本概念和技巧，例如洛朗级数、共形变换等。
一个简单的阿贝尔定理的例子是：对于一个正整数n，存在常数Cn使得对于任意复数z，有以下等式成立：
(exp(z/n)-1)^n=nexp(z)[1+Cn(z/n)^2+O(z^3)]
其中，“exp”表示指数函数，O符号表示“大O记号”，即在某个条件下某个函数的增长率不超过另一个函数。
这个等式的证明需要利用复分析中的一些技巧，如将复平面上的一个区域映射为单位圆盘，利用洛朗级数展开等等。
阿贝尔定理在解析函数、微分方程、傅里叶级数等领域都有广泛应用。
阿贝尔
他建议：“把注意力放在一门对于分析和力学会有大影响的数 学，我建议研究椭圆积分，一个用功和有才能的研究者不会局 限在具有美丽性质的函数，而且会发现了麦哲伦海峡由此进入 广阔无际的分析海洋。” 对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求一步的详细说 明，而没有就解答是否正确提出自己的意见。阿贝尔在这同时 发现了他的推理中的缺陷。这个想象的解答当然根本不是正确 的解答。这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正 确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的。后来他证明了 一元五次方程不可解。那时他大约十九岁。 霍姆伯厄先生在学业结束的报告书对阿贝尔的评语是： “一个数学天才……如果他活下去他可能会成为大数学家。”霍 姆伯厄本身在数学上没有什么成就，他在科学上的贡献，就是： 发掘阿贝尔的数学才能，而且成为他的忠诚朋友，给他许多帮 忙。阿贝尔死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。
对一个十六岁的孩子，小说和诗歌再不吸引他的兴趣了， 他在图书馆只找纯数学和应用数学的书来看：牛顿的书，天文 学的书，达朗贝尔关于力学的书，他把自己研究的一些东西记 在一本大簿子里。“向大师们，而不是向他们的学生学习！”这 是阿贝尔的名言。 现在我们知道，老一代大师们认为他们已经证明了的很多 东西，实际上根本没有真正证明。特别是欧拉关于无穷级数和 拉格朗日关于分析学的一些工作更是如此。阿贝尔敏锐的头 脑，使他首先探知他的前辈们推理中的缺陷，他决心把他毕生 事业的相当大一部分致力于弥补这些不足，使得推理无懈可击。 他在这方面的杰作之一，是首次证明了一般的二项式定理，牛 顿和欧拉对这个定理的一些特例作过说明，但是要给这个定理 的一般情形作出可靠的证明却不容易。阿贝尔做到了，而这个 证明只不过是阿贝尔澄清无穷级数的理论和应用的更大计划中 的一个细节而已。 在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒 险－试图解决一般的五次方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
论证阿贝尔定理的错误作者：江西临川江国泉阿贝尔，伽罗瓦之所以会错，是因为他始终没有走出一个怪圈，而我找到了坚锐无比的法宝既二个数学定理，将这个怪圈捅破了。
阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数根式求解公式。
这是一个错误的结论。
首先，他论证的方法是错误的。
是片面的。
阿贝尔，伽罗瓦都是通过预解式的这种方法来论证的，这个出发点就是一个重大错误。
阿贝尔定理错误的主要原因是：1、阿贝尔定理证明者伽罗瓦，证明过程中使用了模糊未知的一系列预解式作证据，就连预解式个数都不知道多少。
请问法律上能随便指定一个不清楚事情真相的人来作证吗？2、伽罗瓦人为地将所有预解式系数主观判定为已知，而他却根本不知道高于五次的一元方程预解式系数究竟是多少，是多解性还是唯一性，结果造成所有预解式组成的方程组中未知数不够，使其它未知数取值范围缩小，造成只有特殊方程才能有解的假像。
3、群论有自身的适用范围。
比如卡丹公式中，如果平方根式里开方根得出的是虚数，结果却反而说明这个方程有三个实数解。
用群论如何解释呢？相反，我的换元配方法却能说明这个问题。
利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法1、二个数学新定理介绍定理A、同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，则相同解方程式必可求出。
利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。
定理B、同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。
这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。
利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。
因此，我们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式等于零，这个方程必与原方程有同解。
2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。
这个应用在此不作详细介绍。
2、同解方程式必可求定理论证过程同解方程式必可求出定理定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。
论证过程由于论证过程具有明显的规律性，为了简便说明，在此以方程x3＋ax2＋bx＋c =0与方程x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0若有公共相等根存在来推导它们的公解方程：由于x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0的左边x4＋mx3＋nx2＋px＋q总可可化成二部分,即一部分可以整除另一方程左边x3＋ax2＋bx＋c的一部分和不能整除x3＋ax2＋bx＋c的另一部分,因此方程又化成：（x3＋ax2＋bx＋c ）（x＋m－a）＋（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac －cm=0 ；的形式.由于它们存在同解，它们的公共根必须代入二个方程都成立，当：x2的系数（n＋a2－am－b）≠0时因为这个公共根代入（x3＋ax2＋bx＋c ）（x＋m－a）等于零，所以代入（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm必等于零。
否则它不是公共根,因此公共根必存在在方程：（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0之中，如果已知二个方程存在2个同解根，则方程：（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm －c）x＋q＋ac－cm=0，就是二个方程的同解方程式。
当x2的系数（n＋a2－am－b）=0，而x系数（p＋ab－bm－c）≠0则二个方程之间的同解方程必为：（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0 ；当（n＋a2－am－b）=0又（p＋ab－bm－c）=0时二个方程的公共根方程为：x3＋ax2＋bx＋c =0（说明：前题已告之二个方程有公共根）当x2的系数（n＋a2－am－b）≠0，而已知前题是二个方程只存在一个公共根时，公共根方程必须继续推导下去。
前面推导已经知道，公共根即存在于方程x3＋ax2＋bx＋c =0中，又存在于方程（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0中，而方程：（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0除以（n＋a2－am－b）变成：x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）=0 ；方程x3＋ax2＋bx＋c =0：的左边可化成二部分即：能整除x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n ＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）的一部分和不能再整除x2＋【（p ＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）余数部分，即方程x3＋ax2＋bx＋c =0化成如下形式：｛x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）｝｛x＋【a－（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】｝＋｛b－【（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）】－（p＋ab－c－bm）【a（n＋a2－b－cm）－（p＋ab－c－bm）】/（n＋a2－b－am）2｝x＋c－【（q＋ac－cm）】【a（n＋a2－am－b）－（p＋ab－bm－c）】/（n＋a2－am－b）2=0 ；同前理公共根应存在在余数等于零的方程中。
即方程：｛b－【（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）】－（p＋ab－c－bm）【a（n＋a2－b－cm）－（p＋ab－c－bm）】/（n＋a2－b－am）2｝x＋c－【（q＋ac－cm）】【a（n＋a2－am －b）－（p＋ab－bm－c）】/（n＋a2－am－b）2=0 ；因此说，只要二个方程存在同解，就可以推算出它们的同解方程式。
总结规律：任意两个一元高次方程之间如果它们之间存在公共相等根,要推导出它们的公共根方程来,都可采取把较高次方程的左边拆成二部分，一部分能整除较低次方程左边的那部分，和另一部分即余数部分。
由于二个方程的公共解必存在于余数等于零的方程中，这样多次反复拆分，就必可求出公解方程式了。
3、同解方程判别定理的论证过程：同解方程判别定理定理：任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。
这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。
论证过程：由于证明这个结论具有明显的规律性，所以，我以方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0为例来找推导规律。
首先推导它们的判别式。
假设方程x2＋mx＋n=0的二个根分别为x1 ，x2如果二个方程之间有公共等根存在，则将x1 ，x2分别代入方程x3＋ax2＋bx＋c=0必有：（x13＋ax12＋bx1＋c）（x23＋ax22＋bx2＋c）=0展开变成：x13x23＋a（x13x22＋x12x23）＋b（x13x2＋x1x23）＋c（x13＋x23）＋a2（x12x22）＋ab（x12x2＋x1x22）＋ac（x12＋x22）＋b2（x1x2）＋bc（x1＋x2）＋c2=0 ；根据韦达定理根与系数有如下关系：（x1＋x2）=－m ，x1x2 =n ，又可推出：（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2x1x2 =（－m2）－2n=m2－2n ；（x12x2＋x1x22）=x1x2 （x1＋x2）=－mn ；（x12x22）=n2；（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3x1x2（x1＋x2）=－m3＋3mn ；（x13x2＋x1x23）=x1x2 （x12＋x22）=n（m2－2n ）=m2n －2n2；（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=－mn2；x13x23=n3；将以上等量代换至展开式变成：n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0 ；这就是关于方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0是否有公共根的判别式。
现在我们再来论证一下，如果方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0的系数存在n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0的函数关系时，二个方程间必存在相等根的问题。
论证过程如下：假设二个方程系数之间确实存在上术关系却没有相等的根，说明将方程x2＋mx＋n=0的二个根x1 ，x2分别代入方程x3＋ax2＋bx＋c=0的左边都应当得出如下不等式：（x13＋ax12＋bx1＋c）（x23＋ax22＋bx2＋c）≠0展开变成：x13x23＋a（x13x22＋x12x23）＋b（x13x2＋x1x23）＋c（x13＋x23）＋a2（x12x22）＋ab（x12x2＋x1x22）＋ac（x12＋x22）＋b2（x1x2）＋bc（x1＋x2）＋c2≠0 ；根据韦达定理根与系数有如下关系：（x1＋x2）=－m ；x1x2 =n ；又可推出：（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2x1x2 =（－m2）－2n=m2－2n ；（x12x2＋x1x22）=x1x2 （x1＋x2）=－mn ；（x12x22）=n2；（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3x1x2（x1＋x2）=－m3＋3mn；（x13x2＋x1x23）=x1x2 （x12＋x22）=n（m2－2n ）=m2n －2n2；（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=－mn2；x13x23=n3；将以上等量代换至展开式变成：n3＋a（－mn2）＋b（m2n －2n2）＋c（－m3＋3mn ）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m 2－2n ）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2≠0 ，结果和前题相矛盾。
说明假设不成立。
而判别定理成立。
同理可推出方程x4＋a x3＋b x2＋c x＋d=0与方程x2＋mx＋n=0是否存在公共根的判别式。
推导过程如下：我们设方程x2＋mx＋n=0的二个根分别为：x1 和x2由于方程x4＋a x3＋b x2＋c x＋=0与方程x2＋mx＋n=0存在公共根；则分别用x1 和x2代入方程x4＋a x3＋b x2＋c x＋d=0中必有：（x14＋a x13＋b x12＋c x1＋d`）（x24＋a x23＋b x22＋c x2＋d）=0 ；展开得：x14x24＋a（x14x23＋x13x24）＋b（x14x22＋x12x24）＋c（x14x2＋x1x24）＋d（x14＋x24）＋a2（x13x23）＋ab（x13x22＋x12x23）＋ac（x13x2＋x1x23）＋ad（x13＋x23）＋b2（x12x22）＋bc（x12x2＋x1x22）＋bd（x12＋x22）＋c2（x1x2）＋cd（x1＋x2）＋d2=0 ；由韦达定理可知x1＋x2=－m ,x1x2=n又可推导出如下等式：（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2（x1x2）=m 2－2n ；（x12x2＋x1x22）=（x1x2）（x1＋x2）=－mn ；（x12x22）=n2；，（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3（x1x2）（x1＋x2）=－m 3＋3mn ；（x13x2＋x1x23）=（x1x2）（x12＋x22）=n （m 2－2n ）=m2n－2n ；（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=n2（－m ）=－mn2；（x13x23）=n3；（x14＋x24）=（x12＋x22）2－2（x12x22）=（m 2－2n ）2－2n 2=m4－4m 2n＋2n2；（x14x2＋x1x24）=（x1x2）（x13＋x23）=n（－m 3＋3mn ）=－m3n＋3mn2；（x14x22＋x12x24）=（x12x22）（x12＋x22）=n2（m 2－2n）=m2n2－2n3；（x14x23＋x13x24）=（x13x23）（x1＋x2）=n3（－m）=－mn3；（x14x24）=n4，将这些等量代换到上面展开式中变成：n4＋a（－mn3）＋b（m2n2－2n3）＋c（－m3n＋3mn2）＋d（m4－4m2n＋2n2）＋a2（n3）＋ab（－mn2）＋ac（m2n－2n2）＋ad（－m3＋3mn ）＋b2n2＋bc（－mn ）＋bd（m2－2n ）＋c2n－cdm＋d2=0 ；同上理可证，若方程x4＋a x3＋b x2＋c x＋=0与方程x2＋mx＋n=0系数有如下关系：n4＋a（－mn3）＋b（m2n2－2n3）＋c（－m3n＋3mn2）＋d（m4－4m2n＋2n2）＋a2（n3）＋ab（－mn2）＋ac（m2n－2n2）＋ad（－m3＋3mn ）＋b2n2＋bc（－mn ）＋bd（m2－2n ）＋c2n－cdm＋d2=0时，它们之间必有相等根存在。