01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法
广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是微积分中重要的判定法则，它们主要被用来判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。
它们都以数学家的名字命名，分别是尼尔斯·阿贝尔和约翰·彼得·狄利克雷。
阿贝尔判别法是说：如果∫baf(x,y)dx关于x一致收敛，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且关于y一致有界，那么整体就一致收敛。
狄利克雷判别法则稍微有些不同：如果∫baf(x,y)dx关于y一致有界，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且在x→b时一致收敛于0，那么整体也是一致收敛的。
请注意，这里的一致收敛性是一个非常重要的概念，在微积分理论中有着广泛的应用。
一致收敛的函数序列或函数项级数可以保持很多重要的分析性质，比如连续性、可积性等等。
总的来说，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法为我们提供了判断广义积分收敛性的有效工具。
但是，它们的使用需要一定的数学知识和技巧，特别是在判断函数或函数序列的一致有界性、单调性和一致收敛性时。
数分论文三
云南大学数学分析习作课论文三题目：三个判别法的条件强弱学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名：学号：任课教师：时间：2012年12月摘要：莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法和阿贝尔判别法是判断任意项级数的收敛性，但不可以判断发散。
它们的条件有相似之处，又有区别。
当然三个判别法也有强弱之分。
对于不同的级数，应具体问题具体分析，从而采用合适的判别法进行判别。
关键词：Cauchy收敛原理、阿贝尔变换、阿贝尔引理、莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法、阿贝尔判别法、具体问题具体分析。
一、三个判别法的定义和相关证明： 补充：级数的Cauchy 收敛原理：。
的必要条件，于是就得到级数收敛，上式即为取成立。
与一切的正整数对一切，使得存在正整数定的也可叙述为：对任意给成立。
对一切，使得存在正整数：对任意给定的收敛的充分必要条件是级数01,0,0lim 1132113211=<=><=++++>>><=++++>∞→+=++++++=+++∞=∑∑∑x x xx x x xxx x x xx n n n pk kn p n n n n mn k km n n n n n p p N n N N n m N εεεεε阿贝尔变换：{}{}()()()B a a B a B a B a B a B a B a B a B B a B a b a B a aB a b a b B b a kp k k k p p pp p k k k p k k k pk k k p k k k pk k kkp k kkkp k k k ppp k kkki ikkkk ∑∑∑∑∑∑-∑∑∑∑-=+-=+-==-==-=-=+==--=+-=-+=+=--===11111111212112111111111,2,1,,证：）则（是两数列，记设阿贝尔引理：{}{}().,0),2,1,()2()1(2111a a ba Bb B B a ppk kkk ki i k k k MM k M k +≤≤>∃==∑∑==，则，成立对一切为有界数列，即为单调数列；设证：由阿贝尔变换得{}()().2....1111111111111111a a ba aa a a a a a a a a B a ab a b a Ppk kkpp k kk p k kk kp k k k p kp k kk ppp k kkMM +≤-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-+≤∑∑∑∑∑∑=-=+-=+-=+-=+=于是得到单调，所以由于① 莱布尼兹判别法：()()()){})()()().,.,.0lim ,0,1121k 1k 1111-2111-1-1-1-1-1-u r uu r u u u u u uu u u u n n n n n k n n n n n n n n n nn nn nn b a ii i +++∞+=+∞=-∞→+∞=≤==≥+++->∑∑∑且相同，的符号与余和首项余和收敛级数则：；，单调减少，即数列有交错级数即证明：莱布尼兹级数()()0,1111->=∑∑∞=+∞=uu x nn nn n n ，对N p +∈∀，有()uu u u x x x xx xpn P n n n p n n n n n pn ++++++++++-+-+-=++++=-11321321当 P 是奇数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤----->++-+-=++-+++++++++u u u u u u u u u u u n p n p n n n n p n n n n n 1132143210 当 P 是偶数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<----≥-++-+-=++++++-+++++u u u u u u u u u u u n p n n n n p n p n n n n n 1321143210因而有()u uu u u x x x x n pn P n n n p n n n n 113213211++++++++++≤+-+-=++++- 成立成立有于是对成立使得对一切，，所以对由于,.,,00lim 113211εεε<≤++++∈∀<>∈∃>∀=++++++++∞→u x x x xN uN u n n n n n n n n p N n n根据级数的Cauchy 收敛原理知 莱布尼兹级数()()收敛0,111->∑∞=+uu nn nn 。
几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较
《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。
1 正项级数相关概念 1.1正项级数的定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理： 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑，所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑收敛。
14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
数学分析第十二章数项级数阿贝尔判别法狄利克雷判别法第十四讲数学分析第十二章数项级数引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令=+++=12(1,2,,),k k v v v k n σ 121232111()()().(18)ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).数学分析第十二章数项级数推论（阿贝尔引理）=12(i),,,max{};n k kεεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有≤≤≤=≤∑13.(19)nk kk v A εε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.121232111()()()nk kn n n n nk v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得数学分析第十二章数项级数定理12.15（阿贝尔判别法）且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有+=<∑.n p kk nbε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在正数N ,n n a b ∑则级数收敛.+=≤∑3.n p k kk na bM ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.n n a b ∑数学分析第十二章数项级数定理12.16（狄利克雷判别法）若数列{a n }单调递减, →∞=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,故存在正n n a b ∑则级数收敛.12||||2.n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到32M ε≤⋅数学分析第十二章数项级数有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则(0),1n np u u p n n >+∑∑级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:12,lim 0n n n a a a a ，→∞≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.∈∑∑112sin cos 22nk x kx =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解因为1sin ,2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭数学分析第十二章数项级数(0,2π),sin 0,2xx 当时故得到∈≠11sin 12cos .(21)22sin2nk n x kx x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).x 都收敛∈sin cos nx nxn n和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同数学分析第十二章数项级数*例4 级数21sin (1)nn nn ∞=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于21sin (1)nn nn ∞=-∑的绝对值级数为211sin 11cos2,2n n n n n n n ∞∞==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∞=∑21sin n n n发散.21sin (1cos2),2n n =-又因得11n n ∞=∑其中发散，1cos23n nn ∞=∑收敛(根据例结论),故数学分析第十二章数项级数∞=-∑11(1),n n n 由于级数收敛而11cos 2cos(2π)(1),n n n n n n n ∞∞==+-=∑∑21sin (1)n n n n ∞=-∑所以级数为条件收敛.211sin 11cos2(1)(1)2nn n n n n n n n ∞∞==⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑，也收敛，根据例321sin (1).n n n n 因此级数收敛∞=-∑复习思考题数学分析第十二章数项级数n u ∑n v ∑1.假设级数绝对收敛, 级数条件收敛, 问级数()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛?lim 0,2,nn n n nu u v l v →∞=≠∑∑对于一般项级数与从.能?n n u v ∑∑否得出与同敛散3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.。
一致收敛判别法总结
学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：************指导教师：***一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。
首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。
同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。
并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。
Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysisof the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。
交错级数
( −1) n −1un 的部分和数列为 {Sn }, ∑
n =1
∞
其奇数项子列为 {S2m-1 }, 偶数项子列为 {S2m }, 于是有
S 2 m −1 = u1 − u2 + u3 − L − u2 m − 2 + u2 m −1
= u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 m − 2 − u2 m −1 )
∑ cosnx
的部分和数列当 x ∈(0,2π ) 时
有界, 有界,由狄利克雷判别法推得级数 ∑ an cos nx 收敛 收敛. 也是收敛的. 同理可证级数 ∑ an sin nx 也是收敛的 特别地, 特别地, 级数
sin nx ∑ n
和
x ∈(0,2π ) 都收敛. 都收敛.
cos nx ∑ n
u1v1 + u1v2 + u2v2 + u2v1 + u1v3 + u2v3 + u3v3 + L +L
和
u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 + L +L
首页
×
∑u ∑v
n
= u1 + u2 + L + un + L = A
= v1 + v 2 + L + v n + L = B
n
证 由 （ 1） 知
ε1 − ε2 ,ε2 − ε3 ,L,εn−1 − εn
k =1
都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得同号的，于是由分部求和公式及条件（
首页
4.AD判别法
积的情况加以证明。
∫ 记 F( x) = x f (t)dt ，则 F (x) 在[a,b] 连续，且 F(a) = 0 。由于 f ( x) 在[a, b]上 a
连续，于是 F (x) 是 f ( x) 在[a, b]上的一个原函数，利用分部积分法，有
∫b a
f
( x) g ( x)dx
=
F ( x) g ( x)
收敛：
∫ (1)（Abel 判别法） +∞ f (x)dx 收敛， g( x) 在[a, + ∞) 上单调有界； a
(2)（Dirichlet
判别法） F (
A)
=
∫A a
f
( x )dx
在 [a,
+
∞)
上有界，g( x
)
在 [a,
+
∞)
上单调且 lim g(x) = 0 。 x→+∞
证 设ε 是任意给定的正数。
∫ A′ f (x)dx < 2M ； A
因为 lim x→+∞
g(x)
=
0 ，所以存在
A0
≥
a
，当 x
>
A0
时，有
|g(x) |< ε 。 4M
于是，对任意 A, A′ ≥ A0 ，
∫ ∫ ∫ A′
f (x)g(x)dx
≤ g( A) ⋅
ξ f (x)dx + g( A′) ⋅
A′
f (x)dx
A
ak +1Bk + ap BpB
k =1
k =1
p −1
∑ = ap - BpB
(ak+1 − ak )Bk 。
《高等数学教学课件汇编》abel判别法与dirichlet判别法.ppt
2n
;
(2) (1
n1
1 )n n
bn ;
n
(3)
n1
n
1
bn ;
(4)
n1
1 n bn .
证明 : (1)由于
(3n 1)(2n 2) 6n2 8n 2 6n2 8n 2n3(n 1) 1
于是
3n 1 3(n 1) 1 ln 3n 1 ln 3(n 1) 1
).由于 bn收敛, 0,N , n1
对n N 及p N ，有
由Abel引理，可得
n p
bk
k n1
n p
akbk ( an1
k n1
由Cauchy原理，知 anbn收敛. n1
2 an p ) 3M
例：设 bn收敛收敛，证明如下级数收敛：
n1
3n 1
(1) bn ln
k 1
k 1
于是得到
p
akbk M ( a p a p a1 ) M ( a1 2 a p )
k 1
1. Abel判别法
定理( Abel判别法).设 anbn满足 n1
(1) an单调有界； (2) bn收敛. n1
则 anbn收敛. n1
证明：由(1)有，an M ,(n 1、2、3
2n 2(n 1)
2n
2(n 1)
故
ln
3n 2n
1
单调, 又
3n 1 ln
2n
ln
3n 2n
ln 3 ,由Abel判别法知 2
类似地可证(2)(3)(4)
n1
bn
ln
3n 2n
1
收敛.
2. Dirichlet判别法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又由于bn收敛, 依柯西准则，对任意正数 , 存在
正数N, 使当 n >N 时,对任一正整数 p,都有
n p
bk .
kn
n p
(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到 akbk 3M .
这就说明级数 anbn 收敛.
kn
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn )是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从 lim un v n
n
l
0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.
k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
推论（阿贝尔引理）
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
设 i ,vi (i 1,2,, n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1,2,, n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n . (18)
i1
证 以 v1 1 ,vk k k1(k 2, 3,, n) 分别乘以
2
n
cos
kx
sin
n
1 2
x
1.
k 1
2sin x
2
(21)
2
所以级数cos nx 的部分和数列当 x (0, 2π) 时有
界，由狄利克雷判别法得级数 an cos nx 收敛. 同
理可证级数 an sin nx 也是收敛的.
作为例3 的特例, 级数 sin nx 和 cos nx 对一切
(1)n sin2 n
n1
n
1 2
n1
(1)n
1 n
cos 2n n
，
由于级数 (1)n 1 收敛,而
n1
n
(1)n cos2n cos(2 π)n ,
n1
n
n1
n
根据例3也收敛，因此级数 (1) n sin2 n 收敛.
n1
n
所以级数
(1)n sin2 n
n1
n
为条件收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
解 因为
2 sin
x 2
1 2
n k 1
cos
kx
sin
x 2
sin
3 2
x
sin
x 2
sin
n
1 2
x
sin
n
1 2
x
sin
n
1 2
x,
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
当 x (0, 2π) 时, sin x 0, 故得到
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
第十四讲
阿贝尔判别法 狄利克雷判别法
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.
引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）
n
n
x (0, 2π) 都收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
*例4 级数 (1)n sin2 n 收敛但不绝对收敛.
n1
n
解 由于 (1) n sin2 n 的绝对值级数为
n1
n
n1
sin2 n
n
1 2
n1
1 n
cos 2n n
,
其中
1发散， cos
2n
收敛(根据例3结论),
故
n1 n
n1 n
sin2 n发散.又因sin 2 n 1 (1 cos2n), 得
n1 n
2
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
n
kvk 3 A.
(19)
k 1
证 由(i)知 1 2 , 2 3 , , n1 n 都是同号的.
于是由分部求和公式及条件(ii)推得
n
kvk (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n n
k1
A (1 2 ) (2 3 ) (n1 n ) A n
A 1 n A n A( 1 2 n ) 3 A.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
定理12.15（阿贝尔判别法）
若 {an } 为单调有界数列, 且级数 bn 收敛,
则级数 anbn 收敛.
证 由于数列{an }单调有界, 故存在M 0,使 an M .
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
有了阿贝尔判别法就知道: 若级数 un 收敛, 则
级数
un np
(
p
0),
un 都收敛. n1
例3 若数列{an}具有性质:
a1 a2
an
,lim n
an
0，
则 an sin nx 和 an cos nx 对任何x (0, 2π) 收敛.
交错级数
绝对收敛级数及其性质
定理12.16（狄利克雷判别法）
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
若数列{an}单调递减,且
lim
n
an
0,
又级数
bn
的部分和数列有界, 则级数 anbn 收敛.
n
证 由于 bn 部分和数列 Vn bn有界, 故存在正
k1
数M, 使 |Vn | M , 因此当 n, p为任何正整数时,
| bn1 bn2 bn p ||Vn p Vn | 2M .
又由于数列{an } 单调递减, 且 lniman 0, 对 0, N , 当n N时，有 an . 于是根据(19)式得到
| an1bn1 an pbn p | 3 2M 6M .
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社