数列中的最值问题ppt
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
等差数列中的最值问题
1.等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d
当d≠0，an=dn+a1-d是n的一次函数 ， 是 的一次函数 2.等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和公式： 等差数列的前 项和公式：
n(a1 + an ) Sn= 2
或 Sn=
n( n − 1) na1 + d 2
d 2 d n + (a1 − )n n的二次 当d≠0， Sn= ， 是 的二次 2 2
函数。 函数。
在等差数列{a 中 在等差数列 n}中
a1 > 0, d < 0, Sn有最
an ≥ 0 ) 值(填大或小 an+1 ≤ 0
an ≤ 0 a1 < 0, d > 0, Sn有最 值（填大或小） an+1 ≥ 0
在等差数列｛ 【 问题 2】 在等差数列｛ a n ｝ 中 ， a1 = 26 ， S9 =S18 , 求使 S n ＞０时 n 的最大值
变式训练 是等差数列， 若{an}是等差数列，a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0 是等差数列 求使前n项和 最大的自然数n。 项和S ①求使前 项和 n最大的自然数 。 求使前n项和 项和S 成立的最大自然数n。 ②求使前 项和 n>0成立的最大自然数 。 成立的最大自然数
作业
1.等差数列｛an｝的前 项和 n，且Sm=Sn，Sm+n=—— 等差数列｛ 的前n项和 项和S 等差数列 2．设等差数列 n}的前 项和为 n，已知 3=12，S12>0,S13<0. 的前n项和为 ．设等差数列{a 的前 项和为S 已知a ， (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出 1，S2，…Sn中哪个值最大，并说明理由。 指出S 中哪个值最大，并说明理由。 指出
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
等差数列Sn的最值问题教学1PPT课件
•4
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n
取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足： aamm≤ ＋1≥0，0．即33mm－－2107≤≥0， 0．
．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0， 又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
•7
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0，
则当 Sn 最小时的 n 为
．
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以aa76><00．，
•3
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值. 我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn 取得最小值？
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
•8
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
aamm≤＋1≥0，0． 方法二：Sn＝n×a1＋n(n2-1)×d＝d2n2＋(a1－d2)得最小值．
•6
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大
时的 n 为
数列中的最值问题课件
解决实际问题的方法
利用数学函数和公式
通过运用数学函数和公式，可以解决数列中最值问题，为实际问 题的解决提供有效途径。
利用计算机软件
借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以快速求解数列中的最值 问题。
利用统计学方法
通过统计学方法，可以估计数列中的最值出现的概率，从而更好地 解决实际问题。
最值问题在金融中的应用
决策问题：在决策科学 中，最值问题也是非常 重要的工具。例如，在 风险评估和决策分析中 ，需要用到最值来衡量 极端情况下的风险和收 益。
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要点三
中心极限定理
中心极限定理是概率论中的另一个重 要定理，它描述了在独立随机试验中 ，随着试验次数的增加，试验结果的 平均值将逐渐接近正态分布。在数列 中，可以利用中心极限定理来求解一 些随机变量的最值问题。
06
数列中的最值问题的总结 与展望
最值问题的总结与回顾
最大值与最小值
01
数列中的最大值和最小值是两个最基本的最值问题，它们通常
05
数列中的最值问题的扩展
最值问题的多变量扩展
变量扩展
在数列中，最值问题通常涉及多个变量，需要对多个变量 进行优化。多变量最值问题需要找到一组变量的最优组合 ，使得这组变量的函数值达到最小或最大。
约束条件
多变量最值问题通常存在各种约束条件，如非负约束、等 式约束、不等式约束等。需要在满足约束条件下，求解最 值问题。
等差数列中的最值问题
定义
等差数列中的最值问题是指在 等差数列中寻找满足条件的最
大值或最小值。
性质
等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为 首项，$d$为公差。
专题08 数列中的最值问题【解析版】
第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+ ，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。
等差数列的前n项和的最值问题
精品资料
解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
精品资料
前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
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例3：
• 已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数， 数列{yn}满足yn=2logaxn(a>0,a≠1) 设 y3=18,y6=12
• （1）试问数列{yn}的前多少项和最大，最大值 为多少？
• （2）判断是否存在最小自然数M，当n>M时 xn>1恒成立，若存在，求出M的值，若不存在 说明理由；
数列中的最值问题
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例1、
• 1、等差数列中，S15=90，S30=－270。求： (1)n为何值时，Sn=20? (2)n为何值时，Sn最大?
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学生练习
• 1、等差数列{an}中，a1 >0且前n项之和为 Sn，且S7 = S13，问n为何值时，Sn最大
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Байду номын сангаас2、
• 已知数列an=(9/10)n(n+1),数列{an}是否有 最大项？若有求出这个最大项，若没有说 明理由
• （3）令an=logxnxn+1(n>13,n∈N*) 试比较an与an+1的大小。
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基本原理：
• 1、已知数列{an},若对于任意的k∈N*,都有 ak≥ak+1,且ak≥ak-1 则ak是数列{an}的最大值 • 2、已知数列{an},若对于任意的k∈N*,都有 ak≤ak+1,且ak≤ak-1 则ak是数列{an}的最小值 • 3、等差数列{an}中，若公差d>0，首项a1<0则
前n项和Sn有最小值。 • 4、等差数列{an}中，若公差d<0，首项a1>0则
前n项和Sn有最大值。
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课后作业：
• 1、在等差数列{an}中，a1=25,S17=S9,问这个数列 前多少项的和最大？，并求此最大值。
• 2、数列{11n(n+2)/12n}中第几项的值最大?最大值 是多少?
• 3、在数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an • (1)：求{an}的通项公式； • (2)设bn=1/[n(12-an)],Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最
大的整数m，使得对任意正整数n，都有Tn>m/32 成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由。
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