计算机中的数制.docx
计算机中的数制
S=± Kn-12n-1+Kn-22n-2+……k020+k-12-1+……k- m2-m =±
j m
k
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1
j
2
j
2.1.3
其中kj＝１或０，它由S决定，m，n为正整数，对于 任意一个二进制数可以写成（２.１.３）式的展开式，如 1101．1011=1*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3+1*2-4 (见表2.1.1) 在计算机中究竟采取什么样的几数字计数制。取决于 该进位制在机器制造上是否容易实现，是否计算简单。由 于各种进位制基数不同，因而产生了各自的特殊性。二进 制在电子计算机中被广泛应用，是由于它的特点所致。 首先二进制只取两个数码０和１，因二进制一个很大
余数。
(见下一页)
37 1 18 0 2 9 1 2 4 0 2 2 0 2 1 1 0 所以37=100101（2） 再举一个例子，将十进制数58506转换成十六进制数。 我们用基数16来除余数
余数 2 2
16 58506 16 3656 16 228 16 14 0
10 8 4 14
所以58506=E48A16 2、十进制小数转换成非十进制小数 设NF 为十进制小数，并以多项式表示与其相等的b进 制小数： d-1 b-1 +d-2b-2+……+d-mb-m 需要求出进制小数中的d-1,d-2,…d-m 等等。因为多项式 所表示的量与NF 相等,故
N =dn-1d
n-2……d0d-1……d-m
=dn-1bn-1+dn-2bn-2 +……+d0b0+d-1b-1……+d-mb-m 2.2.1 式中b为任意记数制中的进位制基数,并以十进制的正 整数 形式表现出来，即以2，8，16, …等，对于象十六进 制代有字母A，B，的数制，多项式中字母应用对应的十进 制数表示。如 4F（16）=4ⅹ161+15*160 =64+15=79 二、十进制数转换为非十进制的数 从十进制整数转换成其它进制数，需要把整数部分和 小数部分分别处理。
大学计算机基础1.2计算机的数制
0.3125
×
8
2.5000…………2
×8
4.0000…………4
因此： (125.3125)10 = (175.24) 8
注意： 在十进制小数转换成二进制小数过程中，如出现小数部分不 归0的情况，则应按精度要求“0舍1入”。
十进制
二进制
八进制
十六进制
不
0
0
0
0
同
1
1
1
1
数
2
10
计算机中常用的数制
进位制 进位规则 基数 二进制 逢二进一 r=2
所用数码 0，1
位权 表示符号
2i
B(Binary)
八进制 逢八进一 r=8 0，1，…，7 8i
O(Octal)
十进制 逢十进一 r=10 0，1，…，9 10i D(Decimal)
十六进制 逢十六进一 r=16 0,1,…,9,A,…,F 16i H(Hexadecimal)
三种基本逻辑运算的真值表
a
b
a
a∧b
a∨b
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
若干位二进制数组成的逻辑数据，位与位之间没有“位权”的内 在联系。对两个逻辑数据进行运算时，每位相互独立，按位进 行运算，不存在进位与借位，运算结果也是逻辑量。
逻辑代数是实现逻辑运算的数学工具，逻辑代数有三种基本的逻 辑运算：与、或、非。其它复杂的逻辑关系均可由这三种基本 逻辑运算组合而成。
①与运算(逻辑乘法) 当做一件事情取决于多种因素时，当且仅当所有因素都满足时才去做，
计算机中常用的数制共38页文档
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
计算机中常用的数制
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
计算机常用数制及编码
计算机常用数制及编码1.二进制数制：二进制是计算机中最基本的数制，只包含两个数字0和1、它是一种逢二进一的计数法，每位上的数值以2为底数的幂来表示。
例如，二进制数1101表示1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=13、在计算机中，二进制数被广泛应用于存储和运算等操作。
2.八进制数制：八进制使用8个数字0-7来表示。
它是二进制数制的一种压缩表示方法，每3位二进制数可以表示为一位八进制数。
例如，二进制数1101可以表示为八进制数15、八进制数在计算机界并不常见，但在一些特定场景下仍然有一定的应用。
3.十进制数制：十进制是我们常用的数制，使用10个数字0-9来表示数值，每位上的数值以10为底数的幂来表示。
例如，十进制数123表示1*10^2+2*10^1+3*10^0=123、十进制数制通常用于人类的日常计算中，但在计算机中也会涉及到十进制的处理，例如在涉及到金额、日期和时间等数字的场景中。
4.十六进制数制：十六进制使用16个数字0-9和A-F来表示，其中A-F分别表示十进制数10-15、它是二进制数制的另一种压缩表示方法，每4位二进制数可以表示为一位十六进制数。
十六进制数常用于计算机领域，因为它们可以更紧凑地表示二进制数。
例如，二进制数1101可以表示为十六进制数D。
编码系统是为了实现计算机和人类之间的信息交流而发展的。
下面介绍几种常见的编码系统：1.ASCII码：ASCII（American Standard Code for Information Interchange）是最早和最广泛使用的字符编码系统之一、它使用7位二进制数（扩展ASCII使用8位二进制数）来表示128（或256）个字符，包括英文字母、数字、符号等。
ASCII码可以用于存储和表示文本文件中的字符。
2. Unicode编码：3.UTF-8编码：UTF-8（Unicode Transformation Format - 8-bit）是一种对Unicode进行可变长度编码的字符编码系统。
1.2 计算机中的数制
13
例：将（45）10转换成二进制。 45） 转换成二进制。 转换过程如图3 所示。 转换过程如图3-4所示。
商 余数
当商为 0时停 止
14
例如： 例如：(0.625)D=( 0.625 2 × 1 .250 2 × 0 .500 2 × 1 .000
当小数为 0时停止
)B
1(最高位 最高位) 最高位 0 1(最低位 最低位) 最低位
世界上使用的十进制系统是在八世纪由阿拉伯数学家 发明的。 发明的。 用十个不同的符号来表示： 、 、 、 、 、 、 、 用十个不同的符号来表示：0、1、2、3、4、5、6、 7、8、9。 、 、 。 该系统基数为10。 位为10 第 位为 位为10 第 位为 该系统基数为 。第1位为 0,第2位为 1,第3位为 位为 102,依此类推。 依此类推。 依此类推
6
3 八进制系统
八进制系统的基数为8。 八进制系统的基数为 。 在八进制系统中有8个数字 个数字， 在八进制系统中有 个数字，0~7。 。
表示形式： 表示形式：(34.76)8或(34.76)O 权展开式： 权展开式：
(473.25)8＝4×82＋7×81＋3×80＋2×8－1＋5×8－2 × × × × ×
15
(C9.5)16转换为十进制 (246.15)10转换为十六进制 (37.5)8转换为十进制 (140.2)10转换为八进制 (56.125)10转换为二进制 (1000111.1101)2转换为十进制
(201.3125)10 (F6.267)16 (31.625)10 (214.146)8 (111000.01)2 (71.8125)10
(11010111100.11011)2=(011010111100.110110)2=(3274.66)8
计算机中的数制
0001，1101，0011 1 D 3
各计数制的相互转换
7
八进制和十六进制数转换成十进制数
【例】将八进制数413转换成十进制数。
将八进制数413转换成十进制数的方法如下： (413)8＝4×82＋1×81＋3×80＝256＋8＋3＝(267)10 八进制数413的十进制数为267。
【例】 将十六进制数1A8F转换成十进制数。
【例】将二进制数1111100转换成十进制数。
＝1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋0×21＋0×20
＝64+32+16+8+4 ＝(124)10
各计数制的相互转换
5
二进制数转换成八进制数
将一个二进制数转换为八进制数的方法：将二进制数从右向左每三位 分成一组，每一组代表一个0~7之间的数，下表表示二进制数与八进 制数的对应关系
十六进制 二进制 十六进制
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
0 1 2 3 4 5 6 7
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
8 9 10 11 12 13 14 15
【例】将二进制数111010011转
换成十六进制数
进制 二进制 八进制 十进制 计数原则 基本符号 逢2进1 逢8进1 逢10进1 0，1 0，1，2，3，4，5，6，7 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F
十六进制 逢16进1
各计数制的相互转换
1
十进制数转换成二进制数
十进制整数转换成二进制整数的规则是“除2取余”，即：将 十进制数除以2，得到一个商数和余数；再将其商数除以2，又 得到一个商数和余数；以此类推，直到商数等于零为止。
2013 第2章 计算机中的数和数制
二进制数转换为八进制数时，以小数点为界，整数 部分向左，小数部分向右，每3位二进制数为一组， 用1位八进制数表示，不足三位的，整数部分高位补 0，小数部分低位补0。 八进制数转换为二进制数采用与上述方法相反的方 法，把每位八进制数用3位二进制数表示即可。
第2章 计算机中的数和数制
【例2-4】把数11010.101B转换为八进制数。 11010.101B ＝011 010 .101B ＝32.5Q
第2章 计算机中的数和数制
【例2-6】把二进制数11010.101B转换为十六进制数。 11010.101B ＝ 0001 1010.1010B ＝ 1A.AH
【例2-7】把十六进制数56.78H转换为二进制数。 56.78H ＝ 0101 0110.0111 1000B ＝ 1010110.01111B
0.0625 （a-3
0 （a-4
＝0）
＝1） 低位
转换结果 ： 117.8125D=1110101.1101B
第2章 计算机中的数和数制
【例2-2】把十进制数117.8125转换成二进制数。
整数部分： 商 余数 117÷ 2＝58 → 1 58÷ 2＝29 → 0 29÷ 2＝14 → 1 14÷ 2＝ 7 → 0 7÷ 2＝ 3 → 1 3÷ 2＝ 1 → 1 1÷ 2＝ 0 → 1 小数部分： 整数 积 0.8125× 2＝1.625 → 1 0.625 × 2＝1.25 → 1 0.25 × 2＝0.5 → 0 0.5 × 2＝1.0 → 1 整数部分低位
i m
a i r i am r m a2 r 2 a1r 1 a0 r 0 a1r 1 an r n
n
第2章 计算机中的数和数制
第2章计算机中数制及转换
第2章计算机中数制及转换在计算机科学中，数制是用于表示数字和执行数学运算的一种系统。
计算机中最常用的数制是二进制（base-2），但也存在其他数制如十进制（base-10）和十六进制（base-16）。
在本章中，我们将探讨计算机中的不同数制及如何进行数制转换。
1. 二进制数制（Binary System）二进制数制是计算机中最基础的数制，因为计算机中的所有数据和运算都是以二进制形式进行的。
二进制由两个数字组成：0和1、每个二进制位（也称为比特）表示一位数字，并且位权从右向左递增。
例如，二进制数1101可以转换为十进制数132. 十进制数制（Decimal System）十进制数制是我们常用的数制系统，由0到9的十个数字组成。
每个十进制位表示一位数字，位权从右向左递增。
例如，十进制数1942可以表示为：1942=1*1000+9*100+4*10+2*13. 八进制数制（Octal System）八进制数制由0到7的八个数字组成。
每个八进制位表示三位二进制位。
八进制数制在计算机中不如二进制和十六进制常用，但在一些特定的编程语言中仍然存在。
例如，八进制数57表示为十进制数474. 十六进制数制（Hexadecimal System）十六进制数制由0到9和A到F的16个数字组成。
每个十六进制位表示四位二进制位。
十六进制在计算机科学中非常常见，因为它可以更简洁地表示二进制数。
例如，十六进制数3A7表示为十进制数9355. 数制转换（Number System Conversion）在计算机中，常常需要进行不同数制的转换。
下面介绍了一些常见的数制转换方法：5.1.二进制转十进制将一个二进制数转换为十进制，只需根据位权逐位相乘，并将结果相加。
例如，二进制数1101转换为十进制数的计算过程如下：1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=8+4+0+1=135.2.二进制转八进制或十六进制5.3.十进制转二进制将一个十进制数转换为二进制，可以从左向右依次对每一位除以2，并将余数从右向左排列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算机中的数制
在数字计算机中，每个数字和字符都是由一系列的电脉冲信号表示的。
在计算机中电路有脉
冲时表示“ 1 ”，否则表示“0”。
因此，可以用一连串的“0 ”、“ 1 ”代码来表示数字和
字符，这样表示的数据容易移动和存储。
一、数制
1.基本概念
表示数的方法称为数制。
通常人们习惯以十进制来计量事物，但在生活中也使用其他的数字
系统。
例如：月与年使用12 进制来计算。
十进制是我们最熟悉的进制，以十进制为例介绍数制的相关概念。
(1)数码：十进制有 0~9 十个数字符号组成， 0~9 这些数字符号称为“数码”。
(2)基数：全部数码的个数称“基数”，十进制的基数为10 。
(3)计数原则：“逢十进一”。
即用“逢基数进位”的原则计数，称为进位计数制。
(4)位权：数码所处位置的计数单位为位权，位权的大小以基数为底。
例如，十进制的个位
的位权是 100 ，十位上的位权为101 ，百位上的位权为102 ，以此类推。
而在小数点后第1位上的位权为10-1 。
由此可见，各位上的位权值是基数10 的若干次幂。
例如，十进制数234.13用位权表示为：
常用计数制的基数、位权和数字符号如表 1 所示。
表 1 常用数制的基数、位权和数字符号
数制十进制二进制八进制十六进制
基数102816
位权10i2i8i16i
数字符号 0~90,10~70~9,A,B,C,D,E,F
2.计算机常用数制
计算机能够直接识别的只有二进制数。
这意味着它处理的数字、字符、图形、图像、声音等
信息，都是以 1 和 0 组成的二进制数的某种编码。
在计算机中采用二进制数是因为：
·二进制数易于表示。
二进制数只用0 和 1 两个不同的数码，所以具有两个稳定状态的元件均可用来表示二进制数。
如开关的通、断；电路电平的高、低等。
·二进制数运算规则简单。
简单的运算规则，会使运算器的运算控制容易实现。
·二进制数适于逻辑运算。
二进制数中只有 1 和 0 ，可代表逻辑代数中的真和假。
由于二进制在表达数字时，位数太长，不易识别，书写麻烦。
因此，在编写计算机程序时，
经常应用到八进制、十进制、十六进制，其目的是简化二进制的表示。
(1)常用数制的表示方法
常用数制的表示方法如表 2 所示。
表 2 常用数制的表示方法
十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制
000081000 108
111191001 119
21022101010 12A
31133111011 13B
410044121100 14C
510155131101 15D
611066141110 16E
711177151111 17F
(2)书写规则
为了区别各种数制，在数字后面加写相应的英文字母标识或在括号外加数字下标。
表示方法如表 3 所示。
其中在括号外加数字下标的方法更直观。
一般约定十进制数的后缀或下标可以省略。
表 3 常用数制的书写规则
数制字母字母示例数字下示例
二制 B101B(101)2
八制 O267O(267)8
十制 D123D(123)10
十六制 H103H(103)16
二、数制
1.r 制十制
基数 r 的数字，只要将各位数字与它的相乘，然后按照逢十位的算法求和，即可将其成十制数。
方法：按位展开并求和。
（ai 第 i 位上的数， r 基数）
(a n⋯ a 1a0.a-1⋯a -m )r=a n×r n + ⋯+a 1×r1 +a 0×r 0+a -1×r -1 + ⋯+a -m×r-m
【例 1 】 (11011.1011)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3+1×2-4
=16+8+2+1+0.5+0.125+0.0625
=(27.6875)10
【例 2 】 (576.5)8 =5×82+7×81+6×80+5×8-1
=320+56+6+0.625
=(382.625)10
【例 3 】 (1B2A.5)16=1×163+11×162+2×161+10×160+5×16-1
=4096+2816+32+10+0.31
=(6954.31)10
2.十进制转换为r 进制
将十进制数转换为r 进制数，可将整数部分与小数部分分别转换，然后相加。
方法：整数部分：整数除以r ，取余数，余数倒排序。
小数部分：小数乘以r，取整数，整数正排序。
【例 4 】将十进制数62.75 转换为二进制数（小数部分保留 3 位）。
求整数部分：
(62)10 ＝ (111110)2
求小数部分：
【例 5 】将十进制数62 转换为八进制数。
【例 6 】将十进制数62 转换为十六进制数。