专题1——立体图形的展开、还原与投影
立体几何体的投影与展开
立体几何体的投影与展开在我们的日常生活和学习中，立体几何体无处不在。
从建筑的设计到日常用品的形状，从机械零件的构造到艺术作品的创作，立体几何体都扮演着重要的角色。
而理解立体几何体的投影与展开，对于我们更好地认识和把握这些物体的特性具有极其重要的意义。
首先，让我们来谈谈什么是立体几何体的投影。
简单来说，投影就是光线照射在物体上，在某个平面上形成的影子。
就好像我们在阳光下看到一个建筑物的影子，或者灯光下一个杯子在桌面上的影子，这就是投影的直观体现。
在数学中，我们通常研究的是正投影，也就是光线垂直于投影面的情况。
比如一个长方体，当光线垂直于它的一个面照射时，在这个面上就会形成一个矩形的投影。
投影的形状和大小取决于几何体的形状、位置以及光线的方向。
不同形状的立体几何体，其投影也各有特点。
比如，球体无论从哪个方向进行正投影，得到的都是一个圆形；而圆柱体，如果光线垂直于它的底面照射，投影就是一个矩形，如果光线垂直于它的侧面照射，投影就是一个圆形。
投影在实际生活中的应用非常广泛。
在工程制图中，工程师们通过绘制立体物体的投影图来准确地表达物体的形状和尺寸，以便进行制造和施工。
在建筑设计中，建筑师们根据建筑物在不同角度的投影来评估其外观效果和采光情况。
在地理测量中，通过对山峰、山谷等地形的投影测量，可以绘制出精确的地图。
接下来，我们再聊聊立体几何体的展开。
展开，顾名思义，就是将一个立体几何体的表面平铺在一个平面上。
这就像是把一个纸盒子拆开，然后把各个面平铺在桌面上。
以一个正方体为例，它有六个面，我们可以通过一定的方式将这六个面展开成一个平面图形。
常见的展开方式有十一种，展开后的图形是由六个相连的正方形组成的。
通过研究正方体的展开图，我们可以更清楚地了解正方体的结构特点，也有助于我们计算它的表面积。
再比如圆柱体，它的侧面展开图是一个矩形，矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，宽等于圆柱体的高。
圆锥体的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长。
立体形的投影与展开应用
立体形的投影与展开应用立体形的投影与展开是一个重要的概念，在工程设计、建筑设计、艺术绘画等领域中有广泛的应用。
本文将重点讨论立体形的投影与展开的定义、原理以及在实际应用中的价值和意义。
一、立体形的投影与展开的定义立体形的投影与展开是指将一个三维的立体形体通过投影的方式展现在一个二维的平面上，并通过展开的方式呈现出来。
这样可以使得原本复杂的三维形体更加直观地展示出来，并且便于进行分析和设计。
二、立体形的投影与展开的原理立体形的投影与展开的原理基于投影的概念。
投影可以分为正投影和斜投影两种形式。
正投影是指投影线垂直于投影面，斜投影则是投影线与投影面不垂直。
在立体形的投影与展开中，常常采用斜投影的方式。
具体地说，对于一个立体形体，我们可以选择一个适当的位置来投影它，然后根据观察者的角度和方向，将各个点的投影点标注在平面上。
这样，我们就可以得到该立体形体在平面上的投影图。
然后，根据投影图，我们可以进行展开。
展开是指将平面上的投影图按照一定的规则进行分割和展开，形成一个或多个平面上的图形。
展开后的图形能够直观地呈现立体形体的各个面以及它们之间的关系。
三、立体形的投影与展开的应用1. 工程设计与制造立体形的投影与展开在工程设计和制造过程中有广泛的应用。
通过投影和展开，可以清晰地了解到立体形体的各种尺寸、形状和结构，便于进行设计和制造过程的规划和操作。
2. 建筑设计与装饰在建筑设计和装饰中，立体形的投影与展开可以用来展示建筑物的结构框架、内部空间以及装饰元素的设计。
通过投影和展开，设计师可以更好地理解建筑物的整体形态和内部布局，并进行进一步的设计和优化。
3. 艺术绘画与设计立体形的投影与展开在艺术绘画和设计中也得到了广泛的应用。
通过投影和展开，艺术家可以更准确地捕捉到立体形体的形态、纹理和光影效果，并在平面上进行绘制和设计。
这为艺术创作提供了更多的可能性和表现手法。
四、立体形的投影与展开的意义和价值立体形的投影与展开不仅可以准确地展示出立体形体的形状和结构，还可以解决设计和制造过程中的问题，提高工作效率和质量。
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之视图与投影、立体图形的展开与折叠知识点学习PPT
1.三视图的定义及画法
定义
从正面观察物体得到的视图叫做②________；从左面观察物体得到的视图叫做③________；从上面观察物体得到的视图叫做④________.
主视图
左视图
俯视图
画法
主视图与俯视图要⑤________；主视图与左视图要⑥________；左视图与俯视图要⑦________；看得见的轮廓线画成⑧______；看不见的轮廓线画成⑨______.
提分技法
根据主视图和俯视图求小正方体个数的最小值的方法最小值=主视图中小正方形个数+俯视图中小正方形个数-主视图中从下往上数第一层小正方形的个数.
考点3 立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
常见几何体
展开图
图示（选其中一种）
正方体
六个大小相等的正方形
.
D
3.[2019河南,5] 如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图（2）.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )
图（1）
图（2）
A.主视图相同 B.左视图相同C.俯视图相同 D.三种视图都不相同
初中数学中考知识点考点学习课件PPT第七章 图形的变化
第二节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
考点1 投影
平行投影
由一束_________光线形成的投影是平行投影.如：物体在太阳光的照射下所形成的影子.
中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.
① 平行
注意：同一时刻,同一地点太阳光下物高和其影长成正比,但灯光下物高和其影长不具备这样的性质.
一图串考法
考法1 三视图（8年6考）
立体图形的基本投影与展开方法
立体图形的基本投影与展开方法立体图形是在三维空间中存在的物体，其具有长度、宽度和高度三个维度。
在实际生活和工程设计中，我们经常需要对立体图形进行投影和展开，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将介绍一些基本的立体图形投影和展开的方法。
一、投影的基本原理在进行立体图形投影时，我们需要将三维空间中的物体投影到二维平面上。
这种投影是一种近似，因为三维物体的所有细节无法完全呈现在二维平面上。
投影的基本原理有三种类型：平行投影、透视投影和斜投影。
1. 平行投影：平行投影是指投影线与被投影物体平行的投影方式。
在平行投影中，投影线与物体之间的距离保持不变，因此得到的投影图形与实际物体的形状相似。
平行投影常用于工程设计和制图中。
2. 透视投影：透视投影是指投影线与被投影物体不平行的投影方式。
在透视投影中，投影线与物体之间的距离逐渐变远，因此得到的投影图形会产生远近和大小的变化，更接近人眼所见的效果。
透视投影常用于艺术绘画和建筑设计中。
3. 斜投影：斜投影是指投影线与被投影物体倾斜的投影方式。
在斜投影中，投影线与物体之间的角度不是90度，因此得到的投影图形会产生形变。
斜投影常用于工程制图中，以展示物体的各个面。
二、立体图形的展开方法立体图形的展开是指将三维物体展开成为一个平面图形。
通过展开，我们可以更好地了解物体的各个面和结构。
下面介绍几种常见的立体图形展开方法。
1. 正交展开：正交展开是指将立体图形的各个面沿着它们的法线方向展开成为平面图形。
这种展开方法可以保持各个面的形状和尺寸不变，适用于简单的立方体、长方体等几何体。
2. 黏合展开：黏合展开是指将立体图形的各个面按照一定的规则黏合在一起展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的整体结构和关系，适用于复杂的多面体如四面体、六面体等。
3. 切割展开：切割展开是指通过在立体图形上进行切割，将其展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的内部结构和各个面的连接方式，适用于复杂的多面体如球体、圆柱体等。
掌握立体形的投影与展开
掌握立体形的投影与展开立体形是我们日常生活中随处可见的一种物体形式。
无论是建筑物、产品设计还是日常用品，都存在着立体形。
然而，对于立体形的投影与展开，很多人可能并不了解。
本文将介绍如何掌握立体形的投影与展开，并且提供一些案例帮助读者更好地理解。
一、立体形的投影立体形的投影是指将三维的物体以二维的方式进行表达。
投影可以分为平行投影和透视投影两种方式。
平行投影是指以垂直于投影面的直线进行投影，从而得到物体在投影面上的影子。
在平行投影中，投影面和物体平行，保持了物体原有的形状和比例。
常见的平行投影方式有正投影和斜投影。
正投影是指投影线与投影面相互垂直的一种投影方式。
在正投影中，物体的投影与物体之间的相对位置关系得以保持，但没有了深度感。
这种投影方式常用于制图和工程设计领域。
斜投影是指投影线与投影面不相互垂直的一种投影方式。
斜投影相比于正投影更能表现出物体的深度感和空间位置关系。
常见的斜投影方式有等轴测投影和斜轴测投影。
透视投影是指通过透视原理，以观察者的视角进行投影，从而得到物体在投影面上的影子。
透视投影能够表现出物体的远近、近大远小的特点，使投影更加逼真。
这种投影方式常用于绘画和艺术创作中。
二、立体形的展开立体形的展开是指将三维的物体展开成为二维的平面图形。
展开可以帮助我们更好地理解立体形的结构和制作过程。
在进行立体形的展开时，需要注意以下几个步骤：1. 选择一个合适的展开面：根据立体形的结构和特点，选择一个可以展开的平面。
2. 划分展开面：将展开面划分为多个小区域，每个区域对应立体形的一个面。
3. 切割展开面：根据立体形的边缘线，在展开面上进行切割，以便展开。
4. 展开：将切割后的面按照同样的比例和几何关系展开到平面上。
5. 连接：将展开后的面按照原来的位置和方向进行连接，得到完整的展开图形。
通过展开图形，我们可以清晰地看到立体形的各个面以及它们之间的关系。
这对于制作立体模型和进行工程设计非常重要。
数学复习立体几何的投影与展开
数学复习立体几何的投影与展开数学复习立体几何的投影与展开【概述】立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和体形。
其中，立体的投影与展开是立体几何的基本概念之一。
本文将深入讨论立体几何的投影与展开，包括定义、性质、应用等方面的内容，并提供详细的解析和答案。
【一、投影的概念】在立体几何中，投影是指将立体图形或体形影射到平面上的过程。
通过投影，我们可以将三维的实体转化为二维的图像，方便我们进行研究和分析。
投影有两种类型：平行投影和中心投影。
【平行投影】平行投影是指在投影过程中，投影光线与视平面平行。
在平行投影中，原图形与其投影图形的相对位置和形状保持不变。
例如，当我们将一个正方体在垂直于底面的平面上进行平行投影时，我们可以得到一个与原图形形状相同的平行四边形。
【中心投影】中心投影是指在投影过程中，投影光线由立体图形的一个中心点发出。
与平行投影不同的是，中心投影会改变原图形的形状和相对位置。
通过中心投影，我们可以得到更多不同形状的投影图形。
【二、投影的性质】投影具有一些重要的性质，这些性质是我们在解决立体几何问题时的基础。
【性质一：面积关系】在投影过程中，原图形与其投影图形的面积之比保持不变。
这意味着我们可以通过比较两者的面积来推断出一些关于立体图形的性质。
【性质二：相似关系】当投影光线与视平面平行时，原图形与其投影图形相似。
这种相似关系可以帮助我们确定两个立体图形之间的比例关系。
【性质三：距离关系】在平行投影中，平行线上的点在投影后的图像中也保持平行。
这意味着我们可以通过测量两个点在投影图像中的距离来推断它们在原图形中的距离。
【三、展开的概念】在立体几何中，展开是指将一个立体图形通过切割和展开的方式转化成一个平面上的图形。
通过展开，我们可以将一个复杂的立体图形的各个面展示在平面上，方便我们进行计算和分析。
【四、展开的方法】展开一个立体图形有不同的方法，下面我们介绍两种常见且实用的展开方法。
《立体图形的展开》课件
多种展开方案的比较
未来的发展方向是比较不同展 开方案的优劣，并根据具体需 求选择最优方案。
3D打印技术的应用
立体图形展开与3D打印技术的 结合，可以实现更精确和复杂 的立体模型制作。
对于复杂的立体图形，寻找合适的展开方案 是一个挑战，需要考虑形状、结构和展开后 的空间关系。
2 优化展开方案
优化展开方案可以通过减少展开后的图形面 积和最小化形变来实现，以提高展开的质量 和效率。
立体图形展开的发展趋势
利用深度学习提高自动化 程度
通过深度学习算法，可以实现 自动化的立体图形展开，提高 展开过程的效率和准确性。
立体图形的展开方法
1
破面展开法
2
将立体图形切割成平面片段，再将其展
开。这种方法常用于具有复杂结构或内
部空洞的立体图形。
3பைடு நூலகம்
线性展开法
通过将立体图形的各个面按照某种顺序 展开，并将展开图沿直线排列，以得到 整个图形的展开。
对称展开法
利用图形的对称性，只需展开其中一部 分并使用镜像，从而减少展开的复杂度。
立体图形的展开实例
立方体展开
圆锥展开
立方体是最典型的立体图形之一， 可以通过展开将其六个面呈现在 平面上，形成一个十字形的展开 图。
圆锥可以通过展开形成一个扇形 的图形，展开图可以展示圆锥的 底面和侧面的形状和结构。
圆柱展开
展开的圆柱可以呈现为一个矩形， 将圆柱的底面和侧面展开到同一 个平面上。
立体图形展开的应用
《立体图形的展开》PPT 课件
立体图形的展开能够在二维平面上呈现令人惊叹的几何形状，本课件将介绍 关于立体图形展开的概念、方法、实例、应用以及未来发展趋势。
什么是立体图形的展开
理解简单的立体形的投影与展开
理解简单的立体形的投影与展开立体形的投影与展开是在几何学中的重要概念。
通过理解和掌握这一概念，我们可以更好地理解和应用立体形的相关知识。
本文将对立体形的投影与展开进行解释和说明。
首先，我们来介绍一下什么是立体形的投影。
立体形的投影是指将一个立体形状在一个平面上的影子。
在进行投影时，我们需要选择一个适当的平面作为投影平面，然后将立体形在该平面上的每个点投影出来，形成相应的投影点。
在进行立体形的投影时，我们需要考虑几个重要因素。
首先是投影平面的选择，不同的投影平面会导致不同的投影效果。
其次是选择合适的视点，视点的选择会影响到投影的形状和位置。
最后是考虑光线的入射方向和强度，这也会对投影结果产生影响。
通过进行立体形的投影，我们可以更好地理解和描述立体形的特征和形状。
例如，在建筑设计中，我们常常需要对建筑物进行投影分析，以评估其外观和结构。
在机械制图中，我们也需要进行立体形的投影，以便对零件进行加工和装配。
除了投影，我们还可以通过展开来理解立体形。
展开是将一个立体形状展开成一个平面图形的过程。
在进行展开时，我们需要选择合适的展开方式，并将立体形的各个面展开到同一个平面上。
通过展开立体形，我们可以更清晰地观察和分析其各个面的形状和位置关系。
例如，在纸上折纸时，我们可以将一个复杂的立体形状展开成一个简单的平面图形，以便更容易进行折叠。
在制作模型或装配设备时，我们也可以通过展开来确定各个零件的形状和尺寸。
在进行立体形的投影和展开时，我们需要注意几点。
首先是确保投影和展开的准确性，要尽量保持原始立体形的形状和比例。
其次是要理解和运用投影和展开的相关原理和规则，以便正确地进行操作。
最后是要进行反思和验证，确保投影和展开的结果与实际情况相符。
总结起来，理解简单的立体形的投影与展开是学习几何学中的重要内容。
通过投影，我们可以将立体形状在平面上进行观察和分析；通过展开，我们可以将立体形状展开成平面图形进行进一步研究和应用。
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③
解：答案例举如下：
(第 19 题)
(评分注：画对一个得 3 分，画对两个得 6 分；折痕画成实线不扣分）
(第 19 题)
四、投影问题 例 4：已知如图所示，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱。AB=5m ,某一时刻 AB 在阳 光下的投影 DE =3 m (1) 请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影。 (2) 在测量 AB 的投影时，同时测出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长。
重叠的四个部分(称为一个操作)，如图 19 甲（虚线表示折痕）.
(甲)
除图甲外，请你再给出三个不．同．的．操作，分别将折痕画在图①至图③
中 (规定:一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，
如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如
图乙和图甲是相同的操作) ．
(乙)
①
②
A、正视图的面积最大 B、左视图的面积最大
C、俯视图的面积最大 D、三个视图的面积一样大
二、已知展开图，判断原几何体。
例 2：将如右图所示的圆心角为 90°的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸
帽，使扇形的
两条半径 OA 与 OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是
A
O (第 08 题图) B
专题一：立体图形的展开图、还原与投影
一、已知立体图形，求作三视图 例 1：如图所示，右面水杯的俯视图是（ C ）
总结：该类题型主要是需要学生掌握基本图形（包括柱体、椎体、台体和球体）的三视图。
能够用整体与部分的思想将组合图形拆开绘图。
练习： 由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则关于它的视图说法正确的是（ ）
D
A
BC
E
练习：小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不．可．能．是（ ）
A．
B．
C．
D．
l
D 35m
E
A
练习：与“爱”字所在面相对的面上的汉字
我爱 伟 大祖 国
图 3- 2
三、折叠问题 例 3：将一张菱形纸片，按下图的方式沿虚线依次对折后，在沿图中的虚线裁剪，最后将图 中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
AБайду номын сангаас
B
C
D
练习：现有一张长和宽之比为 2∶1 的长方形纸片，将它折两次（第一次
折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不