初中几何专题一：立体图形的展开图、还原与投影
人教版初中数学七年级上册第四章4.1.1立体图形的展开图(教案)
-将理论知识应用于实际问题的解决，需要学生具备较强的空间想象能力和创新思维。
举例解释：
a.难点：对于圆柱的展开图，学生需要理解圆柱侧面展开成长方形的过程，以及底面圆的展开是如何与侧面连接的。
b.难点：在计算立体图形的表面积时，学生需要记住相应的公式，如长方体的表面积公式为2(lw + lh + wh)，并能够根据展开图正确应用。
人教版初中数学七年级上册第四章4.1.1立体图形的展开图（教案）
一、教学内容
人教版初中数学七年级上册第四章《几何图形初步》4.1.1节，本节课主要围绕立体图形的展开图进行教学。内容包括：
1.理解立体图形及其展开图的概念；
2.学会识别和绘制常见立体图形（如正方体、长方体、圆柱、圆锥等）的展开图；
3.掌握利用展开图计算立体图形的表面积和体积的方法；
4.能够解决实际问题，如制作纸箱、纸筒等物品时，根据需要计算所需材料的面积。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念，通过观察、思考和操作，形成对立体图形及其展开图的认识，提高空间想象力；
2.培养学生的数据分析能力，学会从展开图中提取信息，进行表面积和体积的计算，并能应用于实际问题；
3.培养学生的逻辑推理和几何直观，通过展开图的折叠与展开，理解立体图形之间的内在联系，提高解决问题的能力；
今天的学习，我们了解了立体图形展开图的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对立体图形展开图的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了立体图形的展开图，这是一个既能锻炼学生的空间想象力，又能提高他们实际应用能力的重要课题。我发现，在讲解立体图形展开图的基本概念时，大部分学生能够跟上课堂节奏，但对于一些具体的操作和计算，部分学生还是感到有些吃力。
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之视图与投影、立体图形的展开与折叠知识点学习PPT
1.三视图的定义及画法
定义
从正面观察物体得到的视图叫做②________；从左面观察物体得到的视图叫做③________；从上面观察物体得到的视图叫做④________.
主视图
左视图
俯视图
画法
主视图与俯视图要⑤________；主视图与左视图要⑥________；左视图与俯视图要⑦________；看得见的轮廓线画成⑧______；看不见的轮廓线画成⑨______.
提分技法
根据主视图和俯视图求小正方体个数的最小值的方法最小值=主视图中小正方形个数+俯视图中小正方形个数-主视图中从下往上数第一层小正方形的个数.
考点3 立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
常见几何体
展开图
图示（选其中一种）
正方体
六个大小相等的正方形
.
D
3.[2019河南,5] 如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图（2）.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( )
图（1）
图（2）
A.主视图相同 B.左视图相同C.俯视图相同 D.三种视图都不相同
初中数学中考知识点考点学习课件PPT第七章 图形的变化
第二节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
考点1 投影
平行投影
由一束_________光线形成的投影是平行投影.如：物体在太阳光的照射下所形成的影子.
中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.
① 平行
注意：同一时刻,同一地点太阳光下物高和其影长成正比,但灯光下物高和其影长不具备这样的性质.
一图串考法
考法1 三视图（8年6考）
精选-中考数学总复习第七单元图形与变换第31课时投影展开图与三视图课件
[答案] C [解析] 给定选项中,只有球的主视图是圆, 圆柱、圆锥、正方体的主视图分别是矩形、 等腰三角形、正方形.
最新
精选中小学课件
7
课前双基巩固
2. [七上 P133 习题第 5 题改编] 如图 31-6 是一个正方体的表面展 开图,把展开图折叠成正方体后,“富”字一面相对面上的字是 ()
最新
精选中小学课件
11
课前双基巩固 题组二 易错题
【失分点】 没有分清三视图中的实线与虚线,有圆心与不带圆心的区别;展开图与立体图形不能对应.
6. [2018·潍坊] 如图 31-9 所示几何体的左视图是 ( D )
图 31-9
图 31-10
最新
精选中小学课件
12
课前双基巩固
7. [2018·成都] 如图 31-11 所示的正六棱柱的主视图是 ( A )
[答案] D [解析] 这是一个正方体的平面展开图,共 有六个面,其中“强”与“主”相对,“民”与“文” 相对,“富”与“明”相对.故选 D.
A.强
图 31-6 B.主 C.文 D.明
最新
精选中小学课件
8
课前双基巩固
3. [七上 P133 习题第 4 题改编] 一个几何体的表面展开图如图 31-7 所示,这个几何体是 ( )
������������ ������������ 3 ������������
由 AC'=0.2 m,同理可得 BD'=0.3 m,
图 31-13
∴S 圆环形阴影=0.92π-0.32π=0.72π(m2).
最新
精选中小学课件
故选 D.
15
仅供学习交流！！！
高频考向探究
专题1——立体图形的展开、还原与投影
③
解：答案例举如下：
(第 19 题)
(评分注：画对一个得 3 分，画对两个得 6 分；折痕画成实线不扣分）
(第 19 题)
四、投影问题 例 4：已知如图所示，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱。AB=5m ,某一时刻 AB 在阳 光下的投影 DE =3 m (1) 请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影。 (2) 在测量 AB 的投影时，同时测出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长。
重叠的四个部分(称为一个操作)，如图 19 甲（虚线表示折痕）.
(甲)
除图甲外，请你再给出三个不．同．的．操作，分别将折痕画在图①至图③
中 (规定:一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，
如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如
图乙和图甲是相同的操作) ．
(乙)
①
②
A、正视图的面积最大 B、左视图的面积最大
C、俯视图的面积最大 D、三个视图的面积一样大
二、已知展开图，判断原几何体。
例 2：将如右图所示的圆心角为 90°的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸
帽，使扇形的
两条半径 OA 与 OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是
A
O (第 08 题图) B
专题一：立体图形的展开图、还原与投影
一、已知立体图形，求作三视图 例 1：如图所示，右面水杯的俯视图是（ C ）
总结：该类题型主要是需要学生掌握基本图形（包括柱体、椎体、台体和球体）的三视图。
能够用整体与部分的思想将组合图形拆开绘图。
练习： 由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则关于它的视图说法正确的是（ ）
D
初三一轮教案立体图形的展开折叠、投影与视图
立体图形的展开折叠、投影与视图结构框图⎧⎧→→⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎪⎪→⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩中心投影物体（立体图形）投影平行投影主视图三视图俯视图正投影（视图）左视图中考要求：一、立体图形、视图、展开图1、会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图视图）；2、能根据三视图描述基本几何体；3、了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体图形；4、了解基本几何体与三视图、展开图（除球之外）三者之间的关系；5、观察与现实生活有关的图片，并能作简单的数学描述二、中心投影与平行投影1、能根据光线的方向辨认实物的阴影；2、了解视点、视角的含义，并能在简单的平面图和立体图中表示；3、通过实例了解中心投影和平行投影基础知识1、投影：（1）投影现象的定义（2）平行投影（3）中心投影2、视图：（1）直三（四）棱柱、球体、圆柱、圆锥的三视图（2）简单几何体组合体的三视图（3）由三视图猜想物体的形状（4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形3、三视图的对应关系：（1）主视图和俯视图的长度相等，且相互对正，即“长对正”（2）主视图和左视图的高度相等，且相互平齐，即“高平齐”（3）俯视图与左视图的宽度相等，即“宽度相等”重要数学思想方法和考点1、立体图形转化为平面三视图，由平面三视图转化为立体图形，体现了转化思想。
2、能识别基本几何体的三视图，以及三视图与立体图形之间的相互转化。
类型题解析一、正方体的表面展开图新课程标准指出：“在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉．”正方体的表面展开图，是考查学生对平面图形与空间几何体的相互转换的探索能力，能考查学生的空间想像能力，为高中学习立体几何打下良好的基础，因此，这方面的试题成为中考的命题热点．（一）、正方体表面展开图的三种类型1、正方体展开后有四个面在同一层正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得如下六种情况：2、正方体展开后有三个面在同一层有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形：3、二面三行，象楼梯；三面二行，两台阶(二)、有关正方体表面展开图的中考题例1、（广西玉林）把如图折叠成正方体，如果相对面的值相等，则一组x 、y 的值是分析：这是图⑤模型，把“－1”标做底面，则“5和x+y”是“前面和后面”，“xy 与6”是“左面和右面”，“1和－1”是“上下面”，所以，有方程组：⎩⎨⎧==+65xy y x ，解得：⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==23y x 例2、（江苏扬州）小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下左图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（ ）A B C D分析：展开图是图②模型，将展开图的六个面标上号码，如右图， 把中间的3号标做为底面，则可知：“2和4”是“左右面”、“5和3”是“上下面”、“1和6”是“前后面”，因为小丽制作的正方体是一个对面图案均相同，所以，可以知道只有（A ）是可能的．例3、（湖北黄冈）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“进”表示正方体的前面, “步”表示右面, “习”表示下面.则“祝”、 “你”、 “学”分别表示正方体的_____________.分析：这个展开图是图⑦的情形，题目给出“习”做底面，“进”做前面，显然，“祝”是后面，“学”和“你”是往右边翻折的，所以“学”是左面，“你”是上面．因此，依次填：“后面”、“上面”、“左面”．例4、（济南市）在正方体的表面画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没把握，还可以动的试一试）分析：这个展开图是图⑩模型，以中间的一面做为底面，如图（3） 图（1）中，从后面看，则A 是左面，这样上面、后面都有粗线，因此，应该选（C ）．二、几何体的侧面展开图第1题. 2007北京课标，4分）右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（ ）答案：Ｄ习 学你祝 进步图（3）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知图1所示的图形是由6个大小一样的正方形拼接而成的，此图形能否折成正方体？ （在横线上填“能”或“否”）．答案：能第3题. （2007广西南宁课改，3分）在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（ ） A ．7种 B ．4种 C ．3种 D ．2种答案：B第4题. （2007广西玉林课改，3分）某个多面体的平面展开图如图所示，那么这个多面体是（ ） Ａ．三棱柱 Ｂ．四棱柱 Ｃ．三棱锥 Ｄ．四棱锥答案：Ａ第5题. （2007湖北荆门课改，3分）如图，这是一个正方开体的展开图，则号码2代表的面所相对的面的号码是 ．答案：5第6题. （2007湖北十堰课改，3分）如图，D E F ，，分别是等边ABC △的边AB BC CA ，，的中点，现沿着虚线折起，使A B C ，，三点重合，折起后得到的空间图形是（ ）A ．正方体B ．圆锥C ．棱柱D ．棱锥答案：Ｄ第7题. (2007湖南长沙课改，3分)圆锥侧面展开图可能是下列图中的（ ）BA ．B ．C ．D ．答案：D第8题. (2007内蒙鄂尔多斯课改，3分)将圆柱形纸筒沿母线AB剪开铺平，得到一个矩形（如图）．如果将这个纸筒沿线路B M A→→剪开铺平，得到的图形是（）A．平行四边形B．矩形C．三角形D．半圆答案：A第9题. （2007陕西课改，3分）下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（）答案：B第10题. (2007四川乐山课改,3分)图为一个多面体的表面展开图，每个面内都标注了数字．若数字为3的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6答案：Ｃ第18题. (2007四川眉山课改,3分)下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（）A．B．C．D．答案：D第11题. (2007浙江台州课改,4分)一个几何体的展开图如图所示，则该几何体的顶点有（）Ａ．10个Ｂ．8个Ｃ．6个Ｄ．4个答案：ＣBAB()A)B A．B．D．第12题. (2007新疆课改，5分)将下图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 （填序号）．答案：1或2或6均可（答案不唯一）三、视图与投影（08年中考题）选择题8．（08内蒙古呼和浩特）图（1），（2），（3），（4）四个几何体的三视图为以下四组平面图形，其中与图（3）对应的三视图是（ ）A15．（08贵州黔南）桌上摆放着若干个碟子，从三个方向上看，三种视图如图14所示，则桌上共有碟子（ ）BA ．14个B ．12个C ．10个D ．8个 11．（08贵州黔东南）图12所示几何体的俯视图是（ ）B4．（08鄂尔多斯）与图15中的三视图相对应的几何体是（ ）D5．（08湖北鄂州）图72是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）A（1） （2） （3）A ．B ．C ．D ．图14图12A ．B ．C． D ．7．（08湖北十堰）如图71，桌上放着一摞书和一个茶杯，从左边看到的图形是（ ）D9．（08湖南常德）图80中的几何体的俯视图是( )B15．（08江苏镇江）图1中的几何体的正视图是（ ）D5．（08湖北随州）如图是小华送给她外婆的生日蛋糕，则下面关于三种视图判断完全正确的是（ ）BA ．主视图、俯视图，左视图错误B ．俯视图、左视图正确，主视图错误C ．左视图、主视图正确，俯视图错误D ．主视图、俯视图，左视图都正确 14．（08吉林省）如图16所示的几何体的俯视图是（ ）C10．（08江西省）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图3所示，则组成这个几何体的小正方块最多．．有（ ）C A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个第5题图图16主视图 俯视图左视图俯视图 主视图 图3A ．B ．C ．D ．图71 图1 几何体9．（08山东临沂）如图5是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（）C A．1000πcm3B．1500πcm3C．2000πcm3D．4000πcm34．（08四川达州）某几何体的三视图如图13所示，则它是（）DA．球体B．圆柱C．棱锥D．圆锥2．（08四川巴中）在学校开展的“为灾区儿童过六一”的活动中，晶晶把自己最喜爱的铅笔盒送给了一位灾区儿童．这个铅笔盒（图6）的左视图是（）B9．（08四川绵阳）某几何体的三视图如图10所示，则该几何体可以是（）A3．（08四川泸州）如图14是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是（）CA．7个B．6个C．5个D．4个4．（08江苏盐城）下列四个几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）B A．圆锥B．球C．圆柱D．三棱柱2．（08湖北天门）一个几何体的三视图如图8所示，则这个几何体是（）C12．（08湖南永州）下图9是一种瑶族长鼓的轮廓图，其主视图正确的是（）D主视图左视图俯视图图8图14俯视图左视图主视图左视图正视图图5俯视图左视图A．B．C．D．图6A．B．C．D．主视图左视图俯视图图10图9 A．B．C．D．。
立体图形的表面展开图例题与讲解
立体图形的表面展开图例题与讲解(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--立体图形的表面展开图1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是()．解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C 也要排除；故选D.答案：D2.正方体的表面展开图(1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面．此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．解技巧正方体的表面展开图的判断思路(1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构．【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是()．A．家B．乡C．孝D．感解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对．答案：B【例3】如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是()．A．4 B．6 C．7D．8解析：将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对，1和5相对，则原正方体相对两个面上的数字和最小为6.答案：B谈重点解决正方体展开图问题的关键熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果．3．正方体表面展开图的应用如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．(1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．(2)“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图．(3)“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图．【例3－1】一个正方体的每一个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么，在该正方体中和“超”所对的汉字是__________．解析：这是“1–3–2”型的正方体表面展开图．根据展开图可知对面之间不能有公共边或公共顶点，所以“超”字的对面不能是“沉”、“着”、“越”，根据上下相对和左右相对，由于“信”和“着”相对，“着”和“超”相邻，所以“信”和“超”相邻．这样和“超”相对的字只能是“自”．答案：自【例3－2】六一儿童节时，阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠制作一个封闭的正方体礼盒．她先在硬纸片上设计了一个如图1所示的裁剪方案(实线部分)，经裁剪、折叠后成为一个封闭的正方体礼盒．请你参照如图，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、折叠后也能成为一个封闭的正方体礼盒．图1 图2分析：阿兰设计的是正方体的11种展开图中的一种，可以从剩下的10种展开图中任选两种在如图的小方格中画出．解：如图2所示．4.其他立体图形展开图的应用由平面图形围成的立体图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先观察立体图形的每一个面的形状．圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；n棱柱的侧面展开图是n个高相等的长方形，底面是n边形；n棱锥的侧面展开图是n个三角形，底面是n边形．【例4】小新的茶杯是圆柱形，如图所示．左边下方有一只蜘蛛，从A处爬行到对面的中点B处，如果蜘蛛爬行路线最短，请画出这条最短路线图．分析：先画出圆柱的侧面展开图，再连接得到最短路线．解：如图所示．5．立体图形展开图的应用立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生的空间观念．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种图案的面的特点及位置，解题时，先正确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特点，从而选出正确的答案．有时，根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要求的选择项先排除掉，再一步步的寻找正确的选项．要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经验．【例5－1】如图所示的正方体的展开图是()．解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．选项A和选项D折叠后，箭头不指向白三角形，C项折叠后与原正方体不符．B折叠后与原正方体相同．故选B.答案：B【例5－2】图1是由白色纸板拼成，将其中两面涂上颜色，如图2所示．下列四个中哪一个是图2的表面展开图()．解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除B，D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．故选A.答案：A。
人教版九年级下册数学《展开图》投影与视图说课教学课件复习提高
c′（d′） d
c
a1′ o′
b′（a′）
a
he s
g
f
a1 b
两面投影
采用旋转法：以s为圆心，sa为半 径画圆与水平对称轴交于a1，过a1作 铅垂线交过a′作的水平线于a1′，连接 s′a1′即得三角形腰SA的实长。再过e′ 作水平线与s′a1′交得e1′即可求得棱线 AE的实长。
（2）作等腰三角形
s′
g′（h′）
e1′ f′（e′）
作腰S。A。=S。B。=s′a1′，底A。 B。=ab的等腰三角形S。A。B。；同 理，作出另外A。三个。
c′（d′） d
o′
a1′
b′（a′）
a
he s
g
f
c
A。 a1 b
两面投影
S。
D。
展开图
B。 C。
（3）截取棱线实长
s′
g′（h′）
e1′ f′（e′）
c′（d′） d
d′
c′ b′ a′
g′ f′ e′
FG E D C B A
1′ 2′ 3′ 4′ 5′ 6′ 7′
1。 2。 3。 4。 5。 6。 7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2）
f（6）
c（3）
e（5）
d（4）
两面投影
方法与步骤： （1）等分圆周 （2）圆周展开 （3）量取实长 （4）曲线连接
（1）等分圆周
d′
c′ b′ a′
g′ f′ e′
将俯视图的圆周十二等分，并在主视图上画 出各分点的素线长度，
1′ 2′ 3′ 4′ 5′ 6′ 7′
a（1）
g（7）
b（2）
初中数学知识点立体形的投影与展开
初中数学知识点立体形的投影与展开在初中数学学习中，我们经常会遇到关于立体形的问题。
了解和掌握立体形的投影与展开对于解题和解决实际问题非常重要。
本文将详细介绍立体形的投影和展开的概念、方法以及实际应用。
一、立体形的投影1. 投影的概念在几何学中，投影是指通过平行光线（或平行投影面）使立体形在投影面上的影子。
它可以将三维物体的信息转化为二维平面上的影像。
2. 正交投影与斜投影正交投影是指投影平行于投影面的投影方式，投影的结果是真实的、比例不变的。
而斜投影是指投影平面与投影物体不平行，投影结果会发生形变。
3. 投影的方法（1）垂直平面投影：当投影面垂直于视线时，投影结果是相似的。
可以通过用等距线段在投影面上代替实际物体来得到投影图形。
（2）水平平面投影：当投影面平行于水平面时，投影结果会垂直于水平面。
可以通过将斜线段与水平线段等量代替实际物体来得到投影图形。
二、立体形的展开1. 展开的概念立体形的展开是指将一个立体形按照一定的方法剪开并展平，得到平面上的图形。
展开后的图形可以更方便地计算和分析。
2. 投影与展开的关系投影与展开是紧密相关的。
通过投影，可以得到立体形在某个平面上的影子；而展开则是在该平面上将立体形展平得到的图形。
3. 展开的方法（1）正投影法：将待展开的立体形按照一定的方式剪开，并展平在同一个平面上。
然后将各个部分的相应边、角、面适当地标记，得到展开图形。
（2）伸展法：通过将各个面上的几何图形保持比例的进行伸展，将其展开成平面上的图形。
三、立体形投影与展开的实际应用1. 建筑设计在建筑设计中，需要对建筑物的三维图形进行投影和展开，以便进行布局、分析和计算。
2. 工程制图在工程制图中，需要对各种零部件进行投影和展开，以确保制作过程的准确性和一致性。
3. 产品包装与制造在产品包装与制造中，需要对产品的立体形进行投影和展开，以确定材料的尺寸和加工方式。
4. 数学几何问题在解决数学几何问题中，立体形的投影和展开是常见的考题，通过掌握相关知识和技巧，可以更好地解答和理解几何问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
C
B
A
初中几何专题一：立体图形的展开图、还原与投影
一、已知立体图形，求作三视图
例1：如图所示，右面水杯的俯视图是（C）
总结：该类题型主要是需要学生掌握基本图形（包括柱体、椎体、台体和球体）的三视图。
能够用整体与部分的思想将组合图形拆开绘图。
练习：由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则关于它的视图说法正确的是（）A、正视图的面积最大B、左视图的面积最大
C、俯视图的面积最大
D、三个视图的面积一样大
二、已知展开图，判断原几何体。
例2：将如右图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是
练习：与“爱”字所在面相对的面上的汉字
三、折叠问题
例3：将一张菱形纸片，按下图的方式沿虚线依次对折后，在沿图中的虚线裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）
图3-2
国
祖
大
伟
爱
我
D
E
l
35m
练习：现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次
折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分(称为一个操作)，如图19甲（虚线表示折痕）. 除图甲外，请你再给出三个不同的．．．
操作，分别将折痕画在图①至图③中 (规定:一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作) ．
解：答案例举如下：
(评分注：画对一个得3分，画对两个得6分；折痕画成实线不扣分）
四、投影问题
例4：已知如图所示，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱。
AB=5m ,某一时刻AB 在阳光下的投影DE =3 m
(1) 请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影。
(2) 在测量AB 的投影时，同时测出 DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长。
练习：小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能．．．是（ ）
(
乙)
②
③
① (第19
题
)
(第19题)
A ．
B
．
C ．
D ．。