2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二下学期期中考试数学(理)试题
宝安中学2016－2017学年第二学期期中考试高二数学（理科）试卷命题人：杜 锐 审题人：陈 芳本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。
2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。
3、考试结束，监考人员将答题纸收回。
第Ⅰ卷 （本卷共计60 分）一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分） 1．设i z +=1（i 是虚数单位），则=+z z2（ ）A ．i 22-B ．i 22+C ．i --3D ．i +32、设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c bc a+++，，（ ）Ａ．都大于2 Ｂ．至少有一个大于2 Ｃ．至少有一个不小于2 Ｄ．至少有一个不大于2 3、用数学归纳法证明1+a +a 2+…+an+1=aan --+112（a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边计算所得的项是（A ）1 （B ）1+a （C ）1+a +a 2（D ）1+a +a 2+a 34、函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC. e x y -=D. )1(-=x e y5、“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形-22xyO 1 -1-116、已知函数)(()(x f x f x y ''⋅= ))(的导函数是函数x f 的图像，则下面四个图象中)(x f y =的图象大致是7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cos x (0≤x ≤π2)的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A .32 B ．1 C ．2 D .128．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)9、由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )A ．ʃ40(x 2－4)d x B. |ʃ40(x 2－4)d x | C ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x10、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差 数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( )A. 1B. 2C.3D.411、函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+-=a x x x x x x f 0,2301,1)1(log )(32的值域是[0，2]，则实数a 的范围是（ ）A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[3，2]1 2 0.51 abcO -2 2xy1 -1-212Oxy-2-2 21-112O-2 4 xy1-1 -212 O-22xy-124 A B C D12、已知函数()(1)ln ()a f x x a x a x=--+∈R ．至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x > 则a 的取值范围是（ ） A ．)11,(--∞e B ．)11,11(-+-e e C ．)11,0[+e D ．)11,(+-∞e第Ⅱ卷 （本卷共计90分）二、填空题（每小题5分，共计20分） 13、已知复数 z 满足(13)1i z i +=+，则||z =14、设曲线2x y =在点)4,2(处的切线与曲线xy 1=（0>x ）上点P 处的切线垂直，则P的坐标为 ． 15、已知t>0，若⎠⎛0t dx x 24-＝2332+π，则t ＝______.16、类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：d a a n n =++1（N n n ∈≥,1+,d 为常数,称为公和），已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为______________________．三、解答题（共6小题，计70分） 17、（本小题10分）若下列方程： 03442=+--a ax x ，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．18、（本小题12分）用数学归纳法证明不等式)(),11(2131211+∈-+>+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++N n n n19、（本小题12分）已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---= （1）当1=a 时,求)(x f 的单调区间； （2）求证：当0=a 时，0)(≥x f20、（本小题12分）已知函数32()f x x ax bx c=+++在23x=-与1x=时都取得极值(1)求,a b的值与函数()f x的单调区间(2)若对[1,2]x∈-，不等式2()f x c<恒成立，求c的取值范围21、（本小题12分）已知函数f(x)＝2x＋a ln x－2(a>0).(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)若对∀x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，试求实数a的取值范围；(3)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，当a＝1时，函数g(x)在区间[e－1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.22、已知函数f(x)＝x＋1e x(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋1e x，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．宝安中学2016－2017学年第二学期期中考试高二数学（理科）答案与解析一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACCDBCABCACA12、解析：至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，()fx x ≤恒成立”。
即可转化为()(1)ln a f x x a x x x=--+≤亦即()1ln 0a a x x ++≥恒成立。
令()()1ln x a a x x ϕ=++，则只需()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞恒成立即可， ∵()()()11ln x a x ϕ'=++当10a +>时，在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<，在1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>∴()x ϕ的最小值为1e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10e ϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得11a e ≥-，∴当11a e ≥-时()f x x ≤恒成立，当10a +=时，()1x ϕ=-，()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，当10a +<时，取,1=x 有,1)1(-<=a ϕ ()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立， ∴当11a e ≥-时，(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立综上，当11a e <-时，至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立。
二、填空题3、2214、)21,2( 15、3 16、318=a ；=n S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥=∈≥-=-N k k k n n N k k k n n ,1,2,25,1,12,215三、解答题 17、（本小题10分）．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩，，或，，即312a -<<-． 所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．18、（本小题12分）证明：①当时，左端，右端n ===+-=-112111221()() 显然，左端＞右端；所以n ＝1时，原不等式成立。
②假设当n ＝k （k ∈N ）时不等式正确，即：112131211++++>+-…kk ()那么当时n k =+11121311121111++++++>+-++…k k k k ()又211112111()(())k k k +-++-++-1)2)(1(232+++-+=k k k k01)2)(1(2)2(22>+++-+>k k k k∴ (112)131112111++++++>++-kk k [()]即n ＝k ＋1时，不等式也成立由①、②可知，对任意n ∈N +，不等式都成立。
19、（本小题12分）解：（1）)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(∞+上单调递增 (2) 证明0)(min ≥x f ，即可。
20、（本小题12分）解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：x2(,)3-∞-23-2(,1)3-1(1,)+∞'()f x +-+()f x ↑ 极大值 ↓极小值 ↑所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 21、（本小题12分）解 (1)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋a x ，∴f ′(1)＝－212＋a 1＝－1，解得a ＝1， ∴f (x )＝2x ＋ln x －2，f ′(x )＝x －2x 2，由f ′(x )>0得x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2).(2)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2(a >0)，由f ′(x )>0得x >2a ，由f ′(x )<0得0<x <2a ，∴f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，单调递减区间为(0，2a )，当x ＝2a 时，f (x )取极小值， 也就是最小值f (x )min ＝f (2a ).∵对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，∴f (2a )>2(a －1)，即22a ＋a ln 2a －2>2(a －1)，∴a ln 2a >a ，ln 2a >1，0<a <2e，∴实数a 的取值范围为(0，2e).(3)当a ＝1时，g (x )＝2x ＋ln x ＋x －2－b (x >0)，g ′(x )＝x 2＋x －2x 2，由g ′(x )>0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1. ∴g (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)， 当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1). ∵函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (e －1)≥0，g (e )≥0，g (1)<0，解得1<b ≤2e＋e －1.∴b 的取值范围是(1，2e ＋e －1].22、（本小题12分）解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}， 即2·t ＋1e t <max{1，3－t e }．(*)由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，∴不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。
广东省深圳市宝安区2016-2017学年高二第二学期期中数学试卷理
广东省深圳市宝安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理时间：120分钟 ；分值150分第一部分 选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数12i z =-的虚部是（ ）A. 2-B. 2C.2i -D. 2i2．已知函数21y x =+的图象上一点(1,2)及邻近一点(1,2)x y +∆+∆，则y x ∆∆等于（ ） A ．22()x +∆ B ．2x +∆C ．2xD ．2 3. 函数2cos y x x =+，则y '等于（ ）A ．2cos x +B ．2sin x -C ．2sin x +D ．2sin x x +4． 函数f （x ）=3x －x 3的单调增区间是（ ）A. （0，+∞）B. （－∞，－1）C. （－1，1）D. （1，+∞） 5．⎰+10)2(dx x e x 等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e 6．函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37. 函数()1-=x x f 的图象在点（2，()2f ）处的切线方程是（ ）A. 04=-y xB. 024=--y xC. 012=--y xD. 044=-+y x9．由10>8，11>10，25>21，…若a >b >0且m >0，则a ＋m 与a之间大小关系为( ) A ．相等 B ．前者大 C ．后者大 D ．不确定10．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n ）=2n ×1×3×…×（2n ﹣1）（n ∈N *）成立时，从n=k 到n=k+1左边需增加的乘积因式是（ ）A ． 2（2k+1）B ．C ． 2k+1D ．11．若函数)(x f y =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称)(x f y =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A.ln y x =B. sin y x =C. x y e =D. 3y x =12．已知函数()21ln 22f x x ax x =+-有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,2C ．()0,1D ．()0,3 第二部分 非选择题二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
【中小学资料】广东省深圳市宝安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
2016－2017学年第二学期期中考试高二文科数学第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．极坐标方程2sin()2ρπθ=+和参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）所表示的图形分别是（ ）A ．圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆3. 用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是A. 假设,,a b c 都是奇数B.假设,,a b c 至少有两个是奇数C. 假设,,a b c 至多有一个是奇数D. 假设,,a b c 不都是奇数4．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B.18 C.14 D.125.若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+3的最小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、2 6.设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ）A 充要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.若复数z 满足11zi z-=+，则2z +的值为（ ） .5AB .3CD8．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9. 已知a>0,b>0，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于( )A. 10B. 9C. 8D. 710、已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的两倍，则双曲线的离心率e =A．2 11. 设,,a b c 大于0，则3个数,,a b cb c a的值 A. 至多有一个不大于1 B. 都大于1 C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1 12．若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分.）13.设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.14.极坐标系中,两点A (3,)6π与B 2(4,)3π间的距离为____________ 15. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“ 远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。
2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理)Word版含解析
2016-2017学年高二下学期期中试卷（理）数学一、选择题1、命题“若q则p”的否命题是（）A、若q则￢pB、若￢q则pC、若￢q则￢pD、若￢p则￢q2、已知命题p：存在x0＞0，使2 ＜1，则￢p是（）A、对任意x＞0，都有2x≥1B、对任意x≤0，都有2x＜1C、存在x0＞0，使2 ≥1D、存在x0≤0，使2 ＜13、已知向量→m=（λ+1，1，2），=（λ+2，2，1），若（→m+ ）⊥（→m﹣），则λ=（）A、B、﹣C、﹣2D、﹣14、设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A、B、C、D、5、如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A、B、C、D、6、已知椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A、2B、3C、4D、97、函数f（x）= x2﹣lnx的递减区间为（）A、（﹣∞，1）B、（0，1）C、（1，+∞）D、（0，+∞）8、若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A、f（0）+f（2）＜2f（1）B、f（0）+f（2）＞2f（1）C、f（0）+f（2）≤2f（1）D、f（0）+f（2）≥2f（1）9、直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A、2B、4C、2D、410、三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且= ，= ，= ，用，，表示，则等于（）A、（﹣+ + ）B、（+ ﹣）C、（﹣+ ）D、（﹣﹣+ ）11、在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=CC1=2，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A、0B、C、﹣D、12、若函数f（x）= +bx+c有极值点x1， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1，则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实数根的个数为（）A、1B、2C、3D、4二、填空题13、如图，函数F（x）=f（x）+ x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=________．14、若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于________．15、若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．16、若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f′（m）满足f（b）﹣f（a）=f′（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数f（x）= x3﹣x2在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是________．三、解答题17、设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．(1)若a=3，求A∪B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18、已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19、已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．(1)求a，b的值；(2)判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．20、如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．(1)求CE的长；(2)求证：A1C⊥平面BED；(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21、已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．(1)求椭圆的方程；(2)过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．22、已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．(1)当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；(2)当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．(3)若a＞0，且对任意的x1， x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．2016-2017学年高二下学期期中试卷（理）数学答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】C【考点】四种命题间的逆否关系【解析】【解答】解：根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可得到命题的否命题．∴命题“若q则p”的否命题是的否命题是：若￢q则￢p．故选：C．【分析】根据否命题的定义进行判断即可．2、【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：∵命题p：存在x0＞0，使2 ＜1为特称命题，∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．故选：A【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．3、【答案】B【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】【解答】解：∵向量→m=（λ+1，1，2），=（λ+2，2，1），（→m+ ）⊥（→m﹣），则∴（→m+ ）•（→m﹣）=（2λ+3，3，3）•（﹣1，﹣1，1）=﹣2λ﹣3=0，解得．故选：B．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．4、【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故选D．【分析】先求出导函数，再代值算出a．5、【答案】A【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．6、【答案】B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：∵椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【分析】利用椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．7、【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x﹣= ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．8、【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0 ∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选D．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．9、【答案】D【考点】定积分【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）| =8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．10、【答案】B【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解：∵= ，= ，= ，=，= ，∴= == ﹣+ ，∴= + ，故选：B．【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：= ，= ，= ，= ，= ，代入化简即可得出．11、【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=CC1=2，∴以A为原点，在平面ABC中过A作AC 的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（，1，2），B（，1，0），C1（0，2，2），=（），=（﹣，1，2），设异面直线AB1和BC1所成角为θ，则cosθ= = = ．∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为．故选：D．【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和BC1所成角的余弦值．12、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，∴f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2，不妨取0＜x1＜x2， f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：C．【分析】函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，可得f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．二、<b >填空题</b><b></b>13、【答案】-5【考点】函数的值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′（x）+ x，所以F′（5）=f′（5）+ ×5=﹣1，解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案为：﹣5【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F'（x），根据F'（5）=﹣1求出f′（5），从而求出所求．14、【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，∴直线l与平面α所成的角的正弦值=| |= ．故答案为．【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面α所成角的正弦值．15、【答案】[1，2）【考点】元素与集合关系的判断，四种命题的真假关系【解析】【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x ＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故答案为[1，2）．【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．16、【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f′（x）=x2﹣2x，设= b2﹣b，由已知可得x1， x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，则，解得：＜b＜3，故答案为：．【分析】根据新定义得到x1， x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：解不等式x2+2x﹣3＜0，得﹣3＜x＜1，即A=（﹣3，1），当a=3时，由|x+3|＜1，解得﹣4＜x＜﹣2，即集合B=（﹣4，﹣2），所以A∪B=（﹣4，1）（2）解：因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集又集合A=（﹣3，1），B=（﹣a﹣1，﹣a+1），所以或，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2【考点】并集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可．18、【答案】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）【考点】命题的真假判断与应用【解析】【分析】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．19、【答案】（1）解：因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1（2）解：由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）= ，f′（1）=0得到a、b 即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．20、【答案】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞= = ．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用•=0，即可求得结论；（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21、【答案】（1）解：根据题意，得F（1，0），∴c=1，又，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为：（2）解：显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，联立直线l与椭圆方程，化简，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则△＞0恒成立，由韦达定理，得y1+y2= ，y1y2= ，∴==|y1﹣y2|=== ，令t= ，t≥1，则m2=t2﹣1，∴= = ，令（t≥1），则= ＞0，∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，∴当t=1即m=0时，u min（t）=u（1）=4，（）max=3，故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3【考点】椭圆的简单性质【解析】【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；（2）由题设l：x=my+1，A（x1， y1），B（x2， y2），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得=，利用换元法计算即可．22、【答案】（1）解：当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x∈时，f′（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e（2）解：由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x= （舍），或x= ．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2， f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．= ．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）解：若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，由此说明函数G（x）=f（x）+ 在[1，e]单调递减，所以G′（x）= ≤0对x∈[1，e]恒成立，即a 对x∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a ．所以，满足a＞0，且对任意的x1， x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，不等式的证明，根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，构造辅助函数G（x）=f（x）+ ，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．。
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高一(下)期中数学试卷(理科)
第1页（共19页）2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷（理科）一•选择题：本大题共12小题，每小题 5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ 5分）已知倾斜角为 45的直线经过A （2,4） , B （3,m ）两点，贝U m=（ ）A . 3B . -3C . 5D . -12.（ 5分）过点A （.. 3,1）且倾斜角为120的直线方程为（ ）A . y=_3x_4B . y=_. 3x4 C . y =3x - 2 D .y = 一―3 x 亠2333. （ 5分）下列四个命题中正确的是 （）① 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；② 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③ 垂直于同一平面的两个平面相互平行；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.则该几何体的主视图（或称正视图）为 （ ）A .①和③B .①和④C .①②和④D .①③和④4. （5分）如图是一正方体被过棱的中点 M 、N 和顶点A 、D 截去两个角后所得的几何体,第3页（共19页）C . -210 . （ 5分）点O 在 ABC 所在平面内，给出下列关系式:O A [O B =O BOC =O C ^A ； ( 3) OAk 竺-_|AC| |(OA OB) LA^(O B OC)_BC =0 .则点 O 依次为 ABC 的()第2页(共19页)5. （ 5分）如图，平面「，丨平面1 , Ah z , B • 1 , AB 与两平面 -所成的角分别为 4 和_，过A , B 分别作两平面交线的垂线，垂足为6 A , B ，若AB *6，贝UC .6. （5分）已知两条直线m , n 和两个不同平面二匚， :，满足〉_ ： , f 1 =1 ,mil 】，A . ml in C.milln_l 7.（5分）已知向量a =(-1,一2) ,b =(3,0)，若(2a b)//(ma —b)，贝U m的值为（B. -37C . —（5分）某几何体的正视图和侧视图如图 ①，它的俯视图的直观图为矩形OAB I G 如图②,正视图国①图②A . 16 2B . 32.2C . 32649. （ 5分）已知向量a ,b 满足 a 2b =0 , (2 b)L_a =2，则 Xb-((1) OA OB 0C =0 ； ( 2))AA . 4侧视團其中0小=6 , QG =2，则该几何体的体积为 （）)=0 ； ( 4)A .内心、外心、重心、垂心B .重心、外心、内心、垂心C .重心、垂心、内心、外心D .外心、内心、垂心、重心I T -1 411.（5分）已知0是正三角形ABC内部一点，OA 2OB 3OC =0，则AOC 的面积与UOAB的面积之比是（）3 2 1A . B. C. 2 D.-2 3 312 . （5 分）直角梯形ABCD ,满足AB_AD , CD _ AD , AB =：2AD =2CD =2 现将其沿AC折叠成三棱锥D_ABC，当三棱锥D_ABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A . —B . -7 C. 3二 D . 4■:2 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. （5分）直线3x • .3y =1的倾斜角等于________ .14 . （5分）如图，在直三棱柱ABC -ABQ!中，.ACB =90 , AA二AC = BC =1，则异面直线AB与AC所成角的余弦值是 ______________ .片呻T 呻115.（5分）设a、b是单位向量，其夹角为“若|ta b|的最小值为—，其中t・R .则r - ____________216 . （5分）在棱长为1的正方体ABCD-ABG D中，以A为球心半径为B至的球面与正3 方体表面的交线长为_______ .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17 . （10分）已知直线I的方程为2x，3y=6（1）若直线m与I平行且过点（-1,3），求直线m的方程；（2）若直线n与l垂直，且n与两坐标轴围成三角形面积为3，求直线n的方程.4 彳18 . （12 分）已知向量a =（4,3）, b =（-1,2）.（1 ）求a与b的夹角的余弦值；（2）若向量2 -%b与a b垂直，求■的值.19. (12分)已知四棱锥P — ABCD ,底面ABCD是/A =60、边长为2的菱形，又PD _底ABCD，且PD =CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1) 证明：DN //平面PMB ；(2) 证明：平面PMB _平面PAD ；(3) 求二面角P _BC _D的余弦.20. (12分)如图，在组合体中，ABCD -ABiGD!是一个长方体，P - ABCD是一个四棱锥.AB=2 , BC =3，点P 面CC1D1D 且PD 二PC - . 2 .(I)证明：PC _面APD ;(n)求面PAB与面PCD所成锐二面角的正切值；(川)若CG =a ,当a为何值时，CP//平面ABQ .21. (12分)已知向量山=(1,1)，向量n与向量m的夹角为—，且- -1 ；4(1)求向量n ;x(2)设向量 a =(1,0),向量 b =(sin x,2cos 2( x)),其中0 ：：： x ，求| n • b | 的取值范围.3 2 222. (12分)如图，在正三棱柱ABC - ABC 中，AB二AA1 =2 , M为AB的中点，N为AA的中点，BG与CB的交点为O ,(2)求证：CB’ _NG2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析有一项是符合题目要求的【解答】解：T 斜率k 二ta n120 =_.3,.过点P （ 3 , 1），且倾斜角为120的直线方程为：y -1=f 3（x -「3）, 即为 y = 一 3x • 4 , 故选：B .3. （ 5分）下列四个命题中正确的是（ ）① 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；② 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ③ 垂直于同一平面的两个平面相互平行;④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. A .①和③B .①和④C .①②和④D .①③和④【解答】 解：对于 ①，根据面面垂直的判定定理知， 一个平面经过另一个平面的垂线时，这两个平面相互垂直， ①正确；对于②，一个平面内的两条相交直线都与另一个平面都平行，•选择题：本大题共12小题，每小题 5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只1. （ 5分）已知倾斜角为45的直线经过 A(2,4) , B(3,m)两点，则m =(【解答】解：由题意可得: 解得m =5 . 故选：C .B . -3C . 5m —4 tan 45 =1 ,3—22. （ 5分）过点AC ，3,1）且倾斜角为120的直线方程为（A . y = - 3x -4B . y = - 3x 4C .y 」x_2 3那么这两个平面相互平行，.②错误；对于③，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，.③错误；对于④，根据面面垂直的性质定理知，两个平面垂直时，一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直, .④正确； 综上，正确的命题序号是①④• 故选：B •4. （5分）如图是一正方体被过棱的中点 则该几何体的主视图（或称正视图）为【解答】解：对于选项 A ，由于只是截去了两个角，此切割不可能使得正视图成为梯形•故A 不对；对于B ,正视图是正方形符合题意， 线段AM 的影子是一个实线段， 相对面上的线段 DC1的 投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B 正确.对于C ，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不对；对于D ，正视图是正方形符合题意，其中的两条实绩符合斜视图的特征，故 D 不对.故选：B .5. （ 5分）如图，平面〉—平面：，BAB 与两平面 > ,:所成的角分别为 一4M 、N 和顶点A 、D 截去两个角后所得的几何体,（ ）和二，过A , B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 6由题意可得：.BAB 丄一,/ABA '=— ,4 6又；AB =16，. BB =8、.2, AB =8.3，. A 二.:BB 2 - A B 2 =8 .故选：C .6. （ 5分）已知两条直线 m , n 和两个不同平面 鳥，：，满足丨：，：=1 , n _ ［，则（）A . m / / nB . m_nC . m//lD . n_l【解答】解:两条直线m , n 和两个不同平面：•，1 ,满足=I 「，-=1 , m/八， 则m , n 的位A , B ，若 AB =16，贝U A B =(C . 8)A . 4B . 6置关系是，平行，相交或异面，直线n与I的位置关系是垂直，如图:。
2016-2017年广东省深圳市宝安中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞bC．若 D．若2．（5分）（文）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣2，a+2，a+8，则a n=（）A．B．C．D．3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．354．（5分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．205．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．36．（5分）已知a1=1，a n=n（a n+1﹣a n），则数列{a n}的通项公式是（）A．2n﹣1 B．（）n﹣1C．n2D．n7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．298．（5分）若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值11．（5分）在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．或12．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在二．填空题：（每小题5分，共计20分）13．（5分）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a6=．15．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，则cx2+bx+a＜0的解集为．16．（5分）△ABC中，a，b是它的两边，S是△ABC的面积，若S=（a2+b2），则△ABC的形状为．三．解答题：（共6题，共计70分）17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．18．（12分）（1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值．（2）已知正数a，b满足2a2+3b2=9，求a的最大值并求此时a和b的值．19．（12分）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞bC．若 D．若【解答】解：当c≤0时，若ac＞bc⇒a≤b，故A错误；当a+b＜0时，a2＞b2⇒a2﹣b2＞0⇒（a+b）（a﹣b）＞0⇒a﹣b＜0⇒a＜b，故B 错误；若，则a＞0＞b，故C错误；若，则0≤a＜b，则a3＜b3，故D正确；故选：D．2．（5分）（文）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣2，a+2，a+8，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a﹣2，a+2，a+8为等比数列{a n}的前三项，∴（a+2）2=（a﹣2）（a+8），即a2+4a+4=a2+6a﹣16，解得：a=10，∴等比数列{a n}的前三项依次为8，12，18，即等比数列的首项为8，公比为=，则此等比数列的通项公式a n=．故选：C．3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：由等差数列的性质得，3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，所以a1+a2+…a7=7a4=28，故选：C．4．（5分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a 2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选：A．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选：C．6．（5分）已知a1=1，a n=n（a n+1﹣a n），则数列{a n}的通项公式是（）A．2n﹣1 B．（）n﹣1C．n2D．n【解答】解：整理a n=n（a n+1﹣a n）得=∴=×==n∴a n=na1=n故选：D．7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a 1==16故S5==31故选：C．8．（5分）若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2+2bc+c2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA，bc=2bccosA，cosA=，∴A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形故选：B．9．（5分）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，则，∴c=3；故角B为最大角，cosB=故选：B．10．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=﹣x+z经过A时z最小，经过B时z最大，由得到A（2，0）所以z 的最小值为2+0=2，由于区域是开放型的，所以z 无最大值；故选：B．11．（5分）在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．或【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==，∴C=，A=，S=AB•ACsinA=或C=，A=，S=AB•ACsinA=．故选：D．12．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选：A．二．填空题：（每小题5分，共计20分）13．（5分）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（﹣2，1）．【解答】解：由a⊙b=ab+2a+b，得到x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，即x2+x﹣2＜0分解因式得（x+2）（x﹣1）＜0，可化为或，解得﹣2＜x＜1所以实数x的取值范围为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）14．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a6=．=，两边取倒数可得：﹣=2，【解答】解：∵a n+1∴数列是等差数列，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴．则a6=．故答案为：．15．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，则cx2+bx+a＜0的解集为（﹣3，）．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，∴﹣，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0；∴﹣+2==﹣，﹣×2=﹣=；∴b=﹣a，c=﹣a，∴cx2+bx+a＜0化为﹣ax2﹣ax+a＜0，∴2x2+5x﹣3＜0，∴（x+3）（2x﹣1）＜0，解得：﹣3＜x＜；∴不等式cx2+bx+a＜0的解集是：（﹣3，）．故答案为：（﹣3，）．16．（5分）△ABC中，a，b是它的两边，S是△ABC的面积，若S=（a2+b2），则△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，a，b是它的两边长，S是△ABC的面积，S=（a2+b2）=ab•sinC，可得sinC=≥1．再由sinC≤1，可得sinC=1，故有C=90°，且a=b，可得：△ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．三．解答题：（共6题，共计70分）17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．【解答】（本题12分）解：（1）当m=1时，不等式f（x）＞0为：2x2﹣x＞0⇒x（2x﹣1）＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；…（6分）（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0∵不等式f（x）+1＞0的解集为，所以是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的两根因此⇒．…（12分）18．（12分）（1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值．（2）已知正数a，b满足2a2+3b2=9，求a的最大值并求此时a和b的值．【解答】解：（1），=，∵x＜﹣1，∴x+1＜0，∴﹣（x+1）＞0，∴∴，当且仅当时，f（x）取最大值1．…（6分）（2）解：a，b都是正数，，，当且仅当2a2=3+3b2，又2a2+3b2=9，得时，有最大值．…（12分）19．（12分）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？【解答】解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，由图可知，直线y=﹣x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小．故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．（2分）又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，（5分）可得=．（7分）（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…（12分）21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴T n=[（6n﹣5）4n+5]22．（12分）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．【解答】解：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=，设BE=x．由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BE•EDcos∠BED，5=x2++2××x，解得x=1，x=﹣（舍去）．故BC=2，从而AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=，即AC=又sinB=，故=，sinA=．解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限．由sinB=，则=（cosB，sinB）=（，），设=（x，0），则=（，）．由条件得||==．从而x=2，x=﹣（舍去）．故=（﹣，）．于是cosA===．∴sinA==．解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=，BN====，而HB=，∴CN=，HC=，AC==．故由正弦定理得=，∴sinA=．。
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．1- 【答案】A【解析】试题分析：根据直线斜率坐标公式，可知4ta n 45112m -==-，解得3m =，故选A ．【考点】直线的斜率做报表公式．2．过点)A 且倾斜角为120︒的直线方程为A. 4y =-B. 4y =+C. 23y x =-- D. 23y x =-+【答案】B【解析】倾斜角为120︒的直线斜率为-利用点斜式可得1y x -=--.整理得4y =+.故选B.3．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．A. ①和③B. ①和④C. ①②和④D. ①③和④ 【答案】B【解析】若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直， 这是面面垂直的判定定理，故①正确若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行， 这里缺少了相交的条件，故②不正确，垂直于同一平面的两个平面也可以相交，故③不正确，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④正确总上可知①和④正确， 故选B.4．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）【答案】B【解析】试题分析：棱D C 1看不到，故为虚线；棱AM 可以看到，故为实线；显然正视图为答案B 。
【考点】三视图。
5．如图，平面α⊥平面β， ,,A B A B αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，若16A B =，则A B ''=.A 4 .B 6 .C 8 .D 9【答案】C【解析】连接','A B A B ，如下图所示：∵AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π即','46B A B A B A ππ∠=∠=，又∵16A B =∴''B B A B ==∴''8A B ==故选C.6．已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥， =l αβ⋂, //m α,n β⊥,则A. //m nB. m n ⊥C. //m lD. n l ⊥ 【答案】D【解析】两条直线m ,n 和两个不同平面α,β,满足α⊥β,α∩β=l ,m ∥α，n ⊥β，则m ，n 的位置关系是，平行，相交或异面，直线n 与l 的位置关系是垂直，如图：故选：D.7．已知向量()1,2a =--， ()3,0b =，若()()2//a b m a b +-，则m 的值为 A.37B. 37-C. 2-D. 2【答案】C【解析】向量()1,2a =--， ()3,0b =.()()21,4,?3,2a b m a b m m +=--=---.由()()2//a b m a b +-可知， ()()1243m m ⨯-=--- 解得2m =-. 故选C.8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为A. 32B. 64C. 1D. 3【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 由俯视图的直观图为矩形1111O A B C ,且11116,2,O A O C ==， 故底面直观图的面积为12，故底面面积122S =⨯=， 高h =4，故棱锥的体积133V S h ==.故选：D.点睛：在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来的二分之一。
2016-2017学年广东省深圳高级中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．14．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．245．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．7cm36．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．8．（5分）设a，b，c大于0，则3个数：，，的值（）A．都大于4 B．至少有一个不大于4C．都小于4 D．至少有一个不小于49．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种．A．27 B．30 C．33 D．3611．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线﹣=1的离心率e的值是（）A．B．C．D．12．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．（5分）已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=．14．（5分）若（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，则m=．15．（5分）曲线y=sinx与直线x=﹣，x=及x轴所围成的图形的面积是．16．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．18．（12分）设n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，且a1，a2，a5成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足=（），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．20．（12分）如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．．2016-2017学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【分析】由（1+2i）z=（1﹣i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：C．【点评】本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．4．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52=20，故选：C．【点评】本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，采用插空法求解是关键．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．7cm3【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A﹣BCD其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC⊥平面BCD，∴几何体的体积V==（cm3），故选：A．．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．6．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的单调性，属基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，由于：tan+tan+tan=0，k∈Z，且：2016=3×672，所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了正切函数求值的应用问题，属于基础题．8．（5分）设a，b，c大于0，则3个数：，，的值（）A．都大于4 B．至少有一个不大于4C．都小于4 D．至少有一个不小于4【分析】分别举反例即可比较．【解答】解：依题意，令a=b=c=2，则三个数为4，4，4；令a=b=c=4，则三个数为5，5，5，排除A，B，C选项．故选：D．【点评】本题考查了不等式的证明，属于基础题．9．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题．10．（5分）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种．A．27 B．30 C．33 D．36【分析】甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．【解答】解：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，①2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列：共有：×=18种；②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列：共有：×=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．11．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线﹣=1的离心率e的值是（）A．B．C．D．【分析】依题意，利用椭圆的通经=a，可求得=，从而可求得双曲线﹣=1的离心率e的值．【解答】解：据题意知，椭圆通径长为a，故有=a⇒a2=4b2⇒=，故相应双曲线的离心率e===．故选：B．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，属于中档题．12．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y'=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．（5分）已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=2．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，=||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．14．（5分）若（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，则m=﹣2．【分析】由题意可得m3C63=﹣160，解得即可．【解答】解：∵（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，∴m3C63=﹣160，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解展开式的指定项的系数，属于公式的基本应用．15．（5分）曲线y=sinx与直线x=﹣，x=及x轴所围成的图形的面积是．【分析】先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：由题意和定积分的意义可得所求面积：====．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的几何意义及其求法．16．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为2200元．【分析】先设出甲车、乙车的辆数及运输费用，列出约束条件、目标函数；画出可行域，画出目标函数对应的直线，将其平移，由图得到最值【解答】解：设甲型货车使用x辆，乙型货车y辆，所花运费z元为，目标函数z=400x+300y；画出可行域，将z=400x+300y变形为y=﹣，将其平移至（4，2）时，z最小为2200元故答案为2200元【点评】本题考查将实际问题转化为线性规划问题，画出不等式组表示的可行域，数形结合求出最值．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．【分析】（1）由同角的基本关系式和正弦定理，计算即可得到所求值；（2）运用余弦定理可得CD，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）因为，所以∠ABC为钝角，且，，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD=，在△ABC中，可得=，可得AC==8；（2）因为AB∥CD，所以∠BCD=180°﹣∠ABC，可得cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，在△BCD中，，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）设n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，且a1，a2，a5成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足=（），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I）利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）数列{b n}满足=（），可得b n=（2n﹣1）2n．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．=S n+a n+2，【解答】解：（I）∵S n+1∴a n﹣a n=2，+1∴数列{a n}是公差为2的等差数列，∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，∴=a1（a1+8），解得a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）∵数列{b n}满足=（），∴b n=（2n﹣1）=（2n﹣1）2n．∴数列{b n}的前n项和T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，∴2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣6+（3﹣2n）×2n+1，∴T n=6+（2n﹣3）×2n+1．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【分析】（1）利用古典概型公式求解；（2）根据题意，得到变量的可能取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据变量和概率的值写出分布列，做出期望值．【解答】解：（1）甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，共有25种抽法，其中只有一个优秀成绩，共有12种抽法，∴其中只有一个优秀成绩的概率为；（2）ξ=0，1，2，3，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列ξ0123P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1.2【点评】本题考查了平均数计算公式及古典概型的概率计算，离散型随机变量的概率分布及期望值的求解，读懂茎叶图的数据是关键．20．（12分）如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥BC，EF⊥BC，从而EF⊥平面ABCD，进而EF⊥BD，由此得到BD⊥平面BCE，从而BD⊥CE．（Ⅱ）以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE 所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD是平行四边形，且CD=AB=2BC=4，BD=2，∴CD2=BD2+BC2，∴∠CBD=90°，即BD⊥BC，取BC的中点F，连接EF，∵BE=CE，∴EF⊥BC，…（2分）又∵平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴EF⊥BD，∵EF∩BC=F，EF，BC⊂平面BCE，∴BD⊥平面BCE，∵EC⊂平面BCE，∴BD⊥CE．…（6分）解：（Ⅱ）∵BE=CE=，由（Ⅰ）得EF==．以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（2，﹣2，0），D（0，﹣2，0），E（﹣1，0，3），∴=（﹣3，2，3），=（﹣1，2，3），…（8分）设平面ADE的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，﹣2），由（Ⅰ）知BD⊥平面BCE，∴设平面BCE的一个法向量为=（0，1，0），…（11分）设平面ADE与平面BCE所成二面角为θ，则cosθ==，即平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为，，离心率求出a，b即可得到椭圆的方程．（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k ＜0），则BC边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），…（1分）则，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分）则△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分）…（9分）解得.，满足（*）∴．…（10分）（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，由，得A，…（11分）∴，…（12分）用代替上式中的k，得，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分）∵k＜0，∴解得：k=﹣1或，故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．22．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）可得g（x），函数g（x）无零点，即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数．对k讨论，运用单调性和函数零点存在定理，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，又由题意有：，故．此时，由f'（x）≤0⇒0＜x＜1或1＜x≤e，所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e]．（Ⅱ），且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要函数g（x）无零点，即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数．①当k≤0时，h'（x）＜0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，所以函数h（x）在（0，1）内单调递减，h（x）在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点，在（1，+∞）内也无零点，故满足条件；②当k＞0时，，（1）若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；（2）若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，所以x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点，满足条件；（3）若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，所以在及（1，+∞）内均无零点．又易知，而h（e﹣k）=k•（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2，又易证当k＞2时，h（e﹣k）＞0，所以函数h（x）在内有一零点，故不满足条件．综上可得：k的取值范围为：k≤0或k=2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
2016-2017学年深圳宝安区第一学期高二理科数学调研测试卷附答案
高二理科数学第1页（共4页）2016-2017学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二理科数学2017.1一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12x =-B ．12y =-C ．18x =-D ．18y =- 2．与椭圆C ：2211612x y +=共焦点且过点双曲线的标准方程为( ) A ．2211612x y -=B ．22122x y -=C ．22122y x -=D ．2211216y x -= 3．空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (-1，1，2)，以下四点中，在直线AB 上的是 ( ) A ．(3，2，1)B ．(-2，4，5)C ．(7，5，6)D ．(2，3，4)4．若a 、b 、c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是( )A ．11a b <B ．22a b > C ．2211a bc c >++D ．||||a c b c > 5．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（） A ．1:2:3B ．3:2:1C．2D．6．若4支玫瑰与5支康乃馨的价格之和小于20元，而6支玫瑰与3支康乃馨的价格之和大于24元，则2支玫瑰和3支康乃馨的价格 （） A ．2支玫瑰的价格高B ．3支康乃馨的价格高 C ．两者一样高 D ．不确定 7．已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3 D ．48．设等差数列的前n 项和为n S ，若6,11641-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时n 的值为（）A ．6B ．7C ． 8D ．99．1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M N =”的（） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件； D ．既非充分又非必要条件．{}n a高二理科数学第2页（共4页）10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面的中心，E 是1CC 的中点,那么异面直线1A D 与EO 所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．若双曲线()222103x y b b -=>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的虚轴长是（ ）A ．2B ．1 C．5 D．512．椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，若F0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（）A ．12BCD1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和的余弦是_____ 14．已知,a b R +∈，且21a b +=，则11a b+的最小值为_15．已知数列{}n a ，11a =，前n 项部分和n S满足n S S -=则n a = 。
广东省深圳市高级中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题理201806290192
深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试高二数学（理）本试卷由两部分组成.第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分；选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；填空题包含第13题、第16题，共10分；解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分.第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分;选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；填空题包含第45题、第15题，共10分；解答题包含第19题，共12分.全卷共计150分,考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A x|y (1 x)(x 3) ， | log 1 ，则（）B x 2 x A BA． x| 3 x 1 B． x| 0 x 1 C． x| 3 x 2 D． x| x 22. 若复数z满足(1 2i)z (1 i) ，则| z| ( )2 3 1010A. B. C. D.5 5 53．在等比数列{ }中，表示前项和，若，则公比等于a 3 2 2 1, 4 2 3 1S n a S a Sq n n( )A. 3B. 1C. 1D. 34．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A．10 B．16 C．20 D．245．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )23 22 473 3 3A. B. C. D. 7cm cm cm cm33 3 6136.已知函数 f x sin 2x 0 )的图象的一个对称中心为, 则函数,0 2 8fx的单调递减区间是()35A.ZB.Z2k ,2k (k )2k ,2k(k )8 88835C.ZD.Zk ,k (k ) k ,k (k )888 87．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是（）n否开始1 S Sn 2016?输出S结束n , 0S tan3是A ．n n 13 B ．C ． 33D ． 348．设 a ,b ,c 大于 0，则 3个数： a，， 的值()b 4c 4 bc aA．都大于4 B．至少有一个不大于4 C．都小于4 D．至少有一个不小于49.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）21. （ 5分）设z =1 i （i 是虚数单位），则一 • Z =（）zA . 2 -2iB . 2 2iC . _3_iD . 3 i1112.（5分）设a , b , R •，那么三个数a , b - , c （）b c aA .都不大于2B .都不小于2C .至少有一个不小于 2D .至少有一个不大于 21 n3.（5分）用数学归纳法证明1 +a +a 2中…十a n+ =——a — （a 右,n 乏N ）,在验证n =1成立时，1 -a左边的项是（）提为（ ）A .正方形都是对角线相等的四边形B .矩形都是对角线相等的四边形C .等腰梯形都是对角线相等的四边形D .矩形都是对边平行且相等的四边形6. （ 5分）已知函数y =xf （x ）的图象如图所示（其中 f （x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四 个图象中，y = f （x ）的图象大致是（）A . 14. ( 5分)函数f(x)A . y =2e(x -1)B . 1 a二 e x lnx 在点(1 , f (1)B . y =ex -12C . 1 a a )处的切线方程是( C . y = e(x —1)4D . 1 a a a )D . y = x —e5. （5分）“T 四边形ABCD 为矩形,四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前则实数k 的取值范围是（）9. （ 5分）由曲线y =x -4，直线x=0, x =4和x 轴围成的封闭图形的面积（如图）是 （4 2| .0 (x -4)dx|4 2°|x -4dx4(x -4)dx 2(x -4)dx10. （5分）在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，贝U a b c 的值是（）7. （ 5分）函数4x 1,（ 一1 ：： x :: 0）f （x ）二 -的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）|cosx,（0 剟x —） 、 2C . 2&（ 5分）若函数 f （x ^x24lnx 1在其定义域内的一个子区间（k-1,k 1）内不是单调函数,A . [1，:B .⑴!）C.（冷，|）D .弓，2).这个数列的前n 项和s n 的计算公式为 三、解答题(共6小题，计70 分)2 2 2 -217. (10 分)已知下列三个方程 x 4ax-4a 3 = 0, x (a-1)x a =0 , x 2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数 a 的取值范围. 18.(12分)用数学归纳法证明不等式1 +纟+A +--•+壬A 2(J n+1 _1),(n ^ N* .V 2 V 3J n19. (12 分)已知函数 f(x) =(2 -a)(x-1) -21 nxA . 1B . 2 c .11. (5 分) 已知函数f (x )= log 2(1-x )[-1*0x -3x +2,0剟x a的值域是［0 , 2］，则实数a 的取值范围A . (0 , 1]B . [1 , 3]C . [1 , 2]D . [ 3 , 2]a12. (5分)已知函数 f(x)二x (a ・1)lnx(a ・R)至少存在一个x X o (0,：：)，使 f (x o )X o ,则a 的取值范围是1 1B .(訂冷C . [°,七e +11D. (p)二、填空题(每小题5分，共计20分) 13z 满足(V 3i)^1 i ，则 |z|二14. (5分)设曲线y21=x 在点(2,4)处的切线与曲线y (x 0)上点P 处的切线垂直，则Px的坐标为15.( 16.(已知t 0,若0 类比等a n a n 1 =d(n ・・・1 , n N - , d 为常数, 称为公和)，已知数列｛a n ｝是等和数列，且a^2，公和为5，那么a 8的值(1 )当a =1时，求f(x)的单调区间；(2)求证：当a =0时，f(x)・・O .3 2 220. (12分)已知函数f(x)二x ax bx c在x , x =1处都取得极值3(1 )求a，b的值与函数f(x)的单调递减区间；(2)若对xw[_1，2]，不等式f (x) :::c恒成立，求c的取值范围.221. (12 分)已知函数f(x) alnx -2(a . 0).x(I)若曲线y=f(x)在点P(1 , f (1))处的切线与直线y=x・2垂直，求函数y = f(x)的单调区间；(H)若对于-x. (0,二)都有f(x) 2(a-1)成立，试求a的取值范围；(川)记g(x)二f (x) • x「b(b • R).当a =1时，函数g (x)在区间[e」,e]上有两个零点，求实数b的取值范围.x +122. (12分)已知函数f(x) -(e为自然对数的底数).e(I)求函数f (x)的单调区间；(2)设函数(x^xf (x) tf (x)x,存在函数石,x2• [0 , 1],使得成立2「(xJ •；：<(x2)成e 立，求实数t的取值范围.2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）21. （5分）设z =1 i（i是虚数单位），则—• z =（）zA . 2 -2iB . 2 2i C. -3-i D. 3 i【解答】解：-z =— 1 _i = 2（11_i=1_i 1_i=2_2i .z 1+i （i+i）（i—i）故选：A.2. （5分）设a , b , R •，那么三个数a - , b - , c -（）b c aA .都不大于2B .都不小于2C .至少有一个不小于2D .至少有一个不大于21【解答】解：A •取a =3 , b =1 , . a • - .2，可知A不正确；b1B .取a =1, b =2，则a 2，因此不正确；b1 1 1 1 1 1C .假设三个数a , b , c 都小于2，则a b •- c - 6::,而b c a a b ca -b -c -1-2. [a 12 |_c 16,当且仅当a=b=c=1时取等号，得出矛盾，因a b c a ' c此假设不成立，.至少有一个不小于2，正确.D .取a =b =c=2，则三个数都大于2,因此不正确.综上可得：只有C正确.故选：C .1 n七3. （5分）用数学归纳法证明1 +a+a2+…+ a n+= _a（aH1,n^ N*），在验证n=1成立时，1 -a左边的项是（）2 2 4A. 1B. 1 aC. 1 a aD. 1 a a an '2【解答】解：用数学归纳法证明1 a a^ 亠a n1=- -—（a = 1,n^N*）,1 -a在验证n =1时，把当n =1代入，左端=1 a a2.故选：C ._ x4. （5分）函数f（x）=el nx在点（1 , f （1））处的切线方程是（）A . y =2e(x _1)B . y =ex _1 C. y = e(x —1)【解答】解：函数f (x) =e x lnx的导数为f (x) =e x lnx - e^jl ,x.切线的斜率k =f (1) =e ,令 f (x)二e x Inx 中x =1，得f (1) = 0 ,.切点坐标为(1,0),.切线方程为y-0=e(x—1)，即y=e(x—1).故选：C .5. （5分）“丁四边形ABCD为矩形，.四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A .正方形都是对角线相等的四边形B .矩形都是对角线相等的四边形C .等腰梯形都是对角线相等的四边形D .矩形都是对边平行且相等的四边形【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，T由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，■大前提一定是矩形的对角线相等，故选：B .6. （5分）已知函数y =xf （x）的图象如图所示（其中f （x）是函数f （x）的导函数）.下面四个图象中，y = f（x）的图象大致是（）2i V.A/b£-2厶P「\2—1当x ”「1 时，xf (x) ：：：0 , f (x) 0，此时 f (x)增当_1 ：：：x ：：：0时，xf (x) .0, f (x) ：：：0，此时 f (x)减当0 ：：： x ：：： 1 时，xf (x) ：：： 0 , f (x) ::: 0，此时 f (x)减当x 1 时，xf (x) .0 , f (x) 0，此时f(x)增.故选：B .4x 1,（ -1 ：： x :: 0）7. （5分）函数f（x）二的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为cosx,（0 剟x —）L 23 1A .B . 1 C. 2 D.-2 20 H 1 1 3【解答】解：由题意 a （x 亠1）d x亠I2cosd x = （— x2 x）|°!■ _sinx|7=—川1= —故选：A.2 1&( 5分)若函数f(x)二x --1nx 1在其定义域内的一个子区间(k-1,k 1)内不是单调函数，2则实数k的取值范围是()一 3 1 3 3A . [1，:■)B . [1,-)C . (-；,；)D . [-，2)2 2 2 2【解答】解：函数的定义域为(0,；)，所以k 即k--1 ,1 4x2—1 1 1f (x) =2x —= 一-，令f (x) =0，得x =-或x = --(不在定义域内舍)，2x 2x 2 2由于函数在区间(k-1,k 1)内不是单调函数，所以 -(k -1,k 1),21 1 3即k —1 k 1，解得：k ：：：—,2 2 23综上得1, k <-,2故选：B .29. ( 5分)由曲线y =x「4，直线x =0 , x=4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(42l.0(x -4)dx|40|x -4dx4 20 (x2_4)dx + 2 (x2-4)dx【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，2 4 2据此可得：由曲线y=x2— 4 ,直线x=0, x=4和x轴围成的封闭图形的面积是f0|x^4dx . 故选：C .10. （5分）在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a 亠b亠c的值是（）120.51abcA . 1B . 2 C. 3 D. 4【解答】解：根据使每一横行各数组成等差数列，可得表格中前两行中的各个数：2 5第一行各数分别为1, - , 2, - , 3;2 2第二行各数分别为0.5, 0.75, 1 , 1.25, 1.5;再根据每一纵列各数组成等比数列，求出后两行中的各个数：第三行各数分别为13—?15—3 4828,4第四行各数分别为1一 ?315-816416, 8第五行各数分别为1二,3 1632832,16。