特殊的平行四边形菱形
魏县第九中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1课
（ 3） 30 m 5mn 24 n （ 4n2 ）
请计算 ： 25 36
类比分数的通分与约分你能联想 分式的通分与约分是怎样的吗 ？
∴菱形的周长=4×5=20（cm）.
课堂小结
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的对角都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角. S菱形= 对角线乘积的一半F. 求证： ∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC, ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠ECA=∠FCA. 又∵BE=DF，∴EC=FC. ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
结束
语 八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊
的平行四边形18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质课 件 （新版）新人教版-八年级数学下册第十八章平 行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课 时菱形的性质课件新版新人教版
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1 课时 菱形的性质课件 （新版）新人教
版同-学八年们级，数下学课下休册息第十十分八钟章。平现行在四是边休形 18.2息特时殊的间平，行你四们边休形息1一8.2下.2眼菱睛形，第1课
时菱形的性质课件新版新人教版
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来
知识点 2 菱形性质的应用
比较菱形的对角线和平行四边形的对角 线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个 全等的直角三角形，而平行四边形通常只被 分成两对全等三角形.
由菱形两条对角线的长 ，你能求出它的面积吗？
1 S菱形ABCD=2 AC ·BD
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m， ∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两 位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
特殊平行四边形的分类。
特殊平行四边形的分类。
特殊平行四边形的分类
特殊平行四边形是指具有特定特征的四边形形状。
根据不同的特征，特殊平行四边形可以分为以下几类：
1. 矩形（Rectangle）：矩形是一种特殊的平行四边形，具有四个直角，即所有的内角均为90度。
其对边互相平行且相等长度。
2. 正方形（Square）：正方形是一种特殊的矩形，具有所有边相等的特点。
正方形的对边互相平行且相等长度。
3. 平行四边形（Parallelogram）：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
平行四边形的对边互相平行，但不要求边的长度相等。
4. 菱形（Rhombus）：菱形是一种特殊的平行四边形，具有所有边相等的特点。
菱形的对边互相平行。
5. 等腰梯形（Isosceles Trapezoid）：等腰梯形是指具有两条平
行边且两对相邻边长度不相等的四边形。
等腰梯形的一对对边互相
平行。
6. 正梯形（Right Trapezoid）：正梯形是一种特殊的等腰梯形，其中两条平行边相等且两对相邻边相互垂直。
7. 直角梯形（Oblique Trapezoid）：直角梯形是一种等腰梯形，其中两条平行边相等且两对相邻边不相互垂直。
上述是特殊平行四边形的一些分类。
通过识别和理解这些特殊
形状，可以更好地解决与平行四边形相关的问题和算数几何题。
第一章特殊平行四边形菱形的性质与判定
菱形的性质与判定教学目标1、掌握菱形的定义，探究菱形的性质和判定以及菱形的相关性质与平行四边形的相关性质之间的关系。
重难点分析重点：1、菱形的概念，性质和判定进行相关的计算和证明。
难点：1、运用菱形的概念，性质和判定的过程，理解特殊和一般的关系，领会菱形的本质属于与平行四边形的相关性质的关系。
知识点梳理1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形判定定理：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四边相等的四边形是菱形。
注意：要证明一个四边形为菱形，可以证明四条边相等，也可以先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等或者对角线相互垂直。
3、菱形的性质：（1）菱形的四条边相等；（2）菱形的对角线相互垂直；（3）菱形的对角线平分角；（4）菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形；（5）菱形的面积公式：BD AC S ⋅⋅=21（AC 、BD 分别为菱形的对角线）（6）如果一个菱形有一个内角为o 60或o 120，则两边与较短的对角线构成等边三角形，两对角线将菱形分成四个含o 30的直角三角形，这些都是非常有用的基本图形。
知识点1：菱形的性质【例1】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是【】A、△ABD与△ABC的周长相等B、△ABD与△ABC的面积相等C、菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D、菱形的面积等于两条对角线之积的两倍知识点2：菱形与面积、周长、边长、角度问题【例1】已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，•菱形的边长是________cm【随堂练习】1、菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．2、如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求对角线AC的长度及周长。
3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为________。
初中八年级下册数学1822 菱形(第1课时)课件q
B
C 第4题图
4.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC , BD相交于O点，
E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为___6_cm___.
18.2 特殊的平行四边形/
5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在 △AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
A
D
O
B
C
∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°.
∴△ABC是等边三角形.
18.2 特殊的平行四边形/
∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm. ∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm.
∴
.
∴BD=2OB= 2 3cm；
（2）S菱形ABCD =
1 AC•BD
2
A.24m
B.12m
C.96m
D.48m
18.2 特殊的平行四边形/
知识点 3 菱形对角线的性质 观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，打开即得一个菱形.
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图 形(如图），并回答以下问题:
18.2 特殊的平行四边形/
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
对边相等
对边相等
四边相等
对角相等 四个角都是直角 对角相等
对角线互相平分
对角线互 相平分且 相等
两条对角线互相 垂直平分，并且 每一条对角线平 分一组对角
18.2 特殊的平行四边形/
考点 1 利用菱形的性质求线段的长 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD＝12cm， AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理,得
19.2 特殊的平行四边形—菱形(1)
1 2
BD平分∠ABC、 BD平分∠ABC、∠ADC 平分
A
O
5 6 3 4 7 8
D
C
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O ABCD的对角线AC 相交于点 如图。 如图。
第十九章
平行四边形
19.2 特殊的平行四边形
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
19.2.2 菱形的性质
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
两次， 将一张矩形的纸对折两次，然后 沿图中的虚线剪下， 沿图中的虚线剪下，得到一个直角三 角形，打开即得到一个四边形。 角形，打开即得到一个四边形。
1.菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD的边 1.菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD的边 菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD 长是 5cm ； 2.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） 2.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ 下面性质中菱形有而矩形没有的是 （A）邻角互补 （B）四个角都为直角 （C）对角线相等 （D）对角线互相垂直
A O B C D
∴AC⊥BD，AC平分∠ ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 平分
同理： AC平分 BCD； 平分∠ 同理： AC平分∠BCD； BD平分 ABC和 平分∠ BD平分∠ABC和∠ADC
菱形是特殊的平行四边形，既具有平行四边 的平行四边形， 形的所有性质，又具有自己的特殊性质：
1特殊的平行四边形-菱形的性质基础题和培优题
特殊的平行四边形菱形菱形的性质【基础练习】1．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．52．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80 °D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A．75° B．65° C．55 °D．50°4．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．35 cmB ．52 cmC ．548 cm D ．524cm 5．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．21 6．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（ ）A ．24B ．16C ．134D ．327．如图，菱形ABCD 的周长为24cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AD 的中点，连接OE ，则线段OE 的长等于（ ）A ．3 cmB ．4 cmC ．2.5 cmD ．2cm8．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是（ ）A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC9．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为（ ）A ．24B ．22C ．48D ．4410．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．18B ．36C ．318D ．33611．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12 cm ²B ．24 cm ²C ．48 cm ²D ．96cm ²12．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A ．3 cm ²B ．4 cm ²C ．3 cm ²D ．32cm ²13．如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）A ．2B ．4C ．34D ．3214．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．3B ．33C ．34D ．3215．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=5，则AC=16．如图，菱形ABCD 中，已知BC=5，AC=8，则BD 的长为17．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是 cm ²18．已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 219．已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AB=6，∠BDC=30°，则菱形的面积为20．如图，菱形ABCD 的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长L=21．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是22．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是 cm23．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB 上且BE=BO，则∠BEO= 度．24．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为 cm2．25．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为26．如图，四边形ABCD为菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F．（1）证明：△ABE≌△ADF；（2）证明：CE=CF．27．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD的周长与面积．28．如图，菱形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，E为AB中点．证明：F为AD中点．29.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．30．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE=AF．（1）求证：CE=CF；（2）若∠ECF=60°，∠B=80°，试问BC=CE吗？请说明理由．31．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．32．如图，菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=120°．（1）求∠BAC的度数；（2）连接BD，请求出BD的长度．33.如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，过点C作AD 的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD，AC与DB交于点O（如图2），若BE=1．①当DC=2时，求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时，求DB的长度与菱形ABCD的边长．34．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．【培优练习】35．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N 的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）36．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B 点的坐标是（ ）A ．)2,22(+B ．)2,22(-C ．)2,22(+-D ．)2,22(--37．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为（4，0），点B 的纵坐标是-1，则顶点A 的坐标是（ ）A ．（2，-1）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（2，1）38．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．239.如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．240.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD =43AB 2 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个41．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE=CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH ，则以下四个结论：①△BDF ≌△DCE ；②∠BMD=120°；③△AMH 是等边三角形；④S 四边形ABCD =43AM 2． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个42．如图：菱形ABCD 中，AB=2，∠B=120°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是43．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E、F，BD=6，AC=4，则图中阴影部分的面积和为44．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是45．如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩．当菱形的边长为18cm，α=120°时，A、B两点的距离为 cm．46．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A-＞B-＞C-＞D-＞E-＞F-＞C-＞G-＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在点．47．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．48．如图，在矩形ABCD中，AB=24，BC=26．先顺次连接矩形各边中点得菱形，又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，照此继续，…，第10次连接的图形的面积是49.菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．50.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．51．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．52．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q 从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【课后作业】1．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：13．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．4．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．6．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ．8．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度．9．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________ 度．10．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ．11．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P 点到AB的距离是_________ cm．12．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．13．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________ cm2．14．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．15．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．16．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．17．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC 于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？18．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________ ；（2）猜想：_________ = _________ ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。
特殊的平行四边形——菱形的定义与性质
6.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是 ______. 7.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度， 若BD＝6cm，则菱形的周长是（ ） D
C
A A.3cm B.12cm C. 6cm D.4cm B
O
C
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 A ∠DAE=2∠BAE， D 求证：EB=OA； O
= AC×BD
C 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对 角线能 计算菱形的面积公式吗?
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
2
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别 是6cm和8cm，求菱形的面积。
D A O B C
S菱形ABCD
1 AC BD 2
24
D O
A
C
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
已知：在
ABCD 中，AC ⊥ BD B
A
∟
求证： ABCD 是菱形
证明：
O C
D
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵AC⊥BD;
∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
判定方法3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D AC⊥BD B C B C A D
□ABCD
菱形ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
2020-2021学年八年级数学下学期期末复习：1.4 特殊平行四边形【知识梳理+真题演练】(人教
专题1.4 特殊平行四边形知识归纳 知识点1：菱形1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.3. 判定方法:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;①对角线互相垂直的平行四边形是菱形;①四条边都相等的四边形是菱形.4. 设菱形对角线长分别为l 1,l 2,则S 菱形=21l 1l 2.1．（2020•荆门）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：13．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，AD ①x 轴且AD ＝4，①A ＝60°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是（ ）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）4．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．125B．52C．3D．55．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD 上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．52C．3D．46．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH①AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．√13D．67．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH①AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．968．（2020•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A．5B．20C．24D．329．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：①BAE＝①DAF．10．（2020•滨州）如图，过①ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：①PBE①①QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．11．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．12．（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD①BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．知识点2：矩形1.定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.3.判定方法:①有三个角是直角的四边形是矩形;①对角线相等的平行四边形是矩形;①有一个角是直角的平行四边形是矩形.4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.1．（2020秋•西安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，①ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（）A．3B．4C．2D．32．（2020春•漳州期末）如图，将矩形纸片右侧部分的四边形ABCD沿线段AD翻折至四边形AB′C′D的位置．若①DAB＝56°，则①1的度数是（）A．34°B．56°C．58°D．68°3．（2020春•复兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分①BAD交BC于点E，若①CAE＝15°，则①BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°4．（2019秋•崂山区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE①BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（）A．B．C．3D．5．（2020春•新乐市期末）如图，在①ABC中，点D在BC上，DE①AC，DF①AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若①BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD①BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分①BAC，则四边形AEDF是矩形6．（2020秋•太原期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．①ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．①BAD＝①ADC7．（2020秋•紫金县期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC8．（2020春•南宁期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020•聊城）如图，在①ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．10．（2020•遂宁）如图，在①ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：①BDE①①F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．11．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF①AB，OG①EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．知识点3：正方形1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.2. 正方形的性质（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.3. 正方形的判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.（3）有一个角是直角的菱形是正方形.（4）对角线相等的菱形是正方形.4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系1．（2020秋•大东区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则①CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°2．（2020春•十堰期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA 上，OE＝3．若①EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．2B．C．D．13．（2020春•漳州期末）如图，在正方形ABCD中，BF①CE于点F，交AC于点G，则下列结论错误的是（）A．①BCG①①CDE B．AG＝BE C．①OBG＝①OCE D．①ABG＝①AGB 4．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：①BAE①①CDE；（2）求①AEB的度数．5．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．。
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菱形
知识技能
1•了解平行四边形与菱形之间的关系；
2•理解并掌握菱矩的特征和识别方法，能综合运用，解决有关问题.
过程与方法
1•让学生通过观察，感受到菱形是特殊的平行四边形，经历寻找、归纳菱形的特征和识别方法的过程；
2•让学生感受在解题中分析和说理的作用.
情感态度价值观
通过对菱形的学习，在解决问题的过程中培养学生严谨的逻辑思维.
重点和难点
重点：掌握菱形的性质和识别条件；
难点：主动探究习惯的培养和说理方法.
课前准备
一张矩形的纸，剪刀.
把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（四边都相等）
菱形具有工整，匀称，美观等许多优点，常被人们用在图案设计上•
二、探究归纳（数学活动）
做一做，如图，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是
一个什么样的图形呢？
可以发现，展开后是一个菱形.
1.讲解这个概念时，要抓住本质，应突出两条：（1）强调菱形是平行四边形，（2）—组
邻边相等.
2 •从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想菱形的特征因为菱形是平行四边
一、复习引入：
观察以下由火柴棒摆成的图形
议一议：（1）三个图形都是平行四边形吗？
⑵与图1相比，图2与图3有什么共同特点？
形，所以它有平行四边形的一切特征 (提问：平行四边形的特征),它又是特殊的平行四边形, 因此，它又具有特殊特征•可以得到：
(1) 菱形的四条边相等.
(2) 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 探索菱形的性质：
如图，四边形 ABCD 是菱形。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
定理2.菱形的对角线相互垂直，并且每条对角线平分一组对角
由定理2可以得出，菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴 这两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质 ，菱形还具有平行四边形的所有性质
三、应用新知
例1•在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点 0, / BAC=30 ° ,BD=6.求菱形的边长和对角
2•已知：在菱形 ABCD 中,AE 丄BC,AF 丄CD,垂足为E,F. 求证:AE=AF.
课本p58页1、2、3 谈谈本课收获 p60页第5题 p61页第6题
线AC 的长.
四、 练习
五、 小结
六、 作业。