平行四边形和菱形
平行四边形.矩形.菱形.正方形的区别与联系
平⾏四边形.矩形.菱形.正⽅形的区别与联系平⾏四边形两组对边分别平⾏的四边形叫做平⾏四边形。
1、平⾏四边形的对边平⾏且相等；2、平⾏四边形的对⾓相等；3、平⾏四边形的对⾓线互相平分。
1、两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形；3、⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形；4、两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形；5、对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形；1、夹在两条平⾏线间的平⾏线段相等；矩形有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形（长⽅形）。
1、矩形的对边平⾏且相等；2、矩形的四个⾓都是直⾓；3、矩形的对⾓线互相平分且相等。
1、有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形；2、有三个⾓是直⾓的四边形是矩形；3、对⾓线相等的平⾏四边形是矩形。
1、直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半。
菱形有⼀组邻边相等的平⾏四边形叫做菱形。
1、菱形的对边平⾏，四条边都相等；2、菱形的对⾓相等；3、菱形的对⾓线互相垂直平分，并且每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓；1、有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形；2、四边都相等的四边形是菱形；3、对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。
菱形的⾯积等于它的两条对⾓线长的积的⼀半。
正⽅形有⼀组邻边相等并且有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做正⽅形。
1、正⽅形的对边平⾏，四条边都相等；2、正⽅形的四个⾓都是直⾓；3、正⽅形的对⾓线互相垂直平分且相等，并且每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓。
1、有⼀组邻边相等并且有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是正⽅形；2、有⼀组邻边相等的矩形是正⽅形；3、有⼀个⾓是直⾓的菱形是正⽅形；4、即是矩形⼜是菱形的四边形是正⽅形。
中⼼对称中⼼对称图形1、把⼀个图形绕着某⼀个点旋转180°，如果它能够与另⼀个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（中⼼对称）；2、把⼀个图形绕它的某⼀个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中⼼对称图形。
菱形正方形平行四边形的集合关系
菱形正方形平行四边形的集合关系
菱形、正方形、平行四边形是几何学中常见的图形，它们之间存在一定的集合关系。
首先，正方形是一种特殊的菱形，因为它的四条边相等且四个角都是直角，同时，正方形也是一种特殊的矩形，因为它的四个角都是直角。
因此，正方形既是菱形的子集，又是矩形的子集。
其次，菱形和正方形都是平行四边形的子集，因为它们都有两组对边平行且相等。
最后，平行四边形包含了所有的菱形和正方形，因为它们都是有对边平行且相等的四边形，但是平行四边形也包含了其他不同形状的四边形。
因此，菱形、正方形、平行四边形之间的集合关系可以表示为：
平行四边形 = 菱形∪ 正方形∪ 其他四边形
其中，菱形和正方形是平行四边形的子集。
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菱形的四条边相等吗
菱形的四条边相等吗
菱形四条边都相等，这是菱形的证明定理。
菱形：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形是中心对称图形。
菱形性质：
1、具有平行四边形的性质；
2、菱形的四条边相等；
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
（特殊的菱形——正方形有4条对称轴）
菱形判定定理：
1、四边都相等的四边形是菱形；
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形正方形长方形平行四边形 的特征
菱形正方形长方形平行四边形的特征平面几何是数学中非常重要的分支之一。
它是研究平面内点、线、面以及它们之间的关系的学问。
在平面几何中，有许多不同的几何图形，包括圆形、三角形、四边形、梯形、矩形等等。
本文将重点探讨菱形、正方形、长方形和平行四边形这几种特殊的几何图形。
第一种几何图形是菱形。
菱形是一种四边形，其中每一边的长度相等，且两对相邻的边平行。
它也是一种特殊的矩形，因为它具有与矩形相同的两组相等的对角线，并且每一对对角线相交于90度的角。
因此，我们可以得出菱形的几个特征：1、菱形是一种四边形，其中每一边的长度相等，且两对相邻的边平行。
2、每一对对角线相等，并且相交于90度的角。
3、菱形的面积等于对角线之积的一半。
4、菱形的内角和为360度。
接下来是正方形。
正方形是一种四边形，其中四条边长度相等，且每个角都是直角。
因此，它也是一种特殊的矩形和菱形。
正方形具有以下几个特征：1、正方形是一种四边形，其中四条边长度相等，每个角都是直角。
2、正方形的对角线相等，并且相交于90度的角。
3、正方形的面积等于边长的平方。
4、正方形的内角和为360度。
第三种几何图形是长方形。
长方形是一种四边形，其中两对相邻的边相等，但不一定平行。
长方形也是一种特殊的平行四边形和矩形。
长方形的几个特征如下：1、长方形是一种四边形，其中两对相邻的边长度相等，但不一定平行。
2、长方形的对角线长度不一定相等，并且相交于90度的角。
3、长方形的面积等于宽度乘以长度。
4、长方形的内角和为360度。
最后是平行四边形。
平行四边形是一种四边形，其中两对相邻的边平行。
平行四边形也是一种特殊的梯形，但它的两对相邻的边长度相等。
平行四边形的几个特征包括：1、平行四边形是一种四边形，其中两对相邻的边平行。
2、平行四边形的对角线不一定相等，并且相交于90度的角。
3、平行四边形的面积等于底边乘以高度。
4、平行四边形的内角和为360度。
总结而言，菱形、正方形、长方形和平行四边形都是常见的几何图形。
菱形的性质
菱形的性质
一、菱形的性质
1、菱形具有平行四边形的一切性质；
2、菱形的四条边都相等；
3、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
4、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；
5、菱形是中心对称图形。
二、菱形的判定方法
1、在同一平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、四条边均相等的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直平分的四边形；
5、两条对角线分别平分每组对角的四边形；
6、有一对角线平分一个内角的平行四边形；
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
菱形的一条对角线必须与X轴平行，另一条对角线与Y轴平行。
不满足此条件的几何学菱形在计算机图形学上被视作一般四边形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“2．熟练掌握性质”表示平行四边形，例如：平行四边形 ABCD 记作ABCD，读作“平行四边形 ABCD”．平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S =底⨯高 =a h；3．平行四边形的判别方法②平行四边形的对角线将四边形分成 4 个面积相等的三角形．①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；③对角线：对角线互相平分且相等；（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2 条）．②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为 450；④对称性：轴对称图形（4 条）．④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；④有一个角是直角的菱形③对角线互相垂直的矩形．⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任意一个角为直角．②先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的对角线相等．③说明四边形 ABCD 的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任一组邻边相等．②先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形 ABCD 的四条相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③先说明四边形 ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形 ABCD 为菱形，再说明菱形 ABCD 的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明两腰相等．②先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明对角线相等．5．几种特殊四边形的面积问题①设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a,b，则 S 矩形=ab．1②设菱形 ABCD 的一边长为 a，高为 h，则 S 菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为 a,b，则 S 菱形= ab．21③设正方形 ABCD 的一边长为 a，则 S 正方形= a 2 ；若正方形的对角线的长为 a，则 S 正方形= a2 ．21④设梯形 ABCD 的上底为 a，下底为 b，高为 h，则 S 梯形= (a b)h ．2平行四边形矩形菱形正方形图形1．对边1．对边且1．对边且四条边都2．对角1．对边且四条边都2．对角且；；；；2．对角邻角；；2．对角；且四个角都是；3．对角线且四个角都是；性质3．对角线且每3．对角线；3．对角线条对角线且每条对角；；；线面积。
03 要正确认识菱形与平行四边形的关系
要正确认识菱形与平行四边形的关系（1）菱形是特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形，因而它具有平行四边形的一切性质．
（2）菱形有它自己独特的而一般平行四边形没有的性质：四边相等，对角线互相垂直，每条对角线分别平分一组对角．在学习过程中要避免将菱形的特殊性质用到平行四边形上，还要注意不要将矩形与菱形的特殊性质混在一起．（3）菱形的判定也需要三个条件，实际上三个条件中有两个是判定平行四边形的，另一个是菱形的特殊条件．。
平行四边形和菱形的区别
平行四边形和菱形的区别
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、菱形：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边都相等的四边形是菱形。
根据菱形和平行四边形的定义和性质，两者的区别有以下几点：
1、菱形邻边相等，平行四边形邻边不一定相等。
2、菱形对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不一定平分对角。
3、菱形的两条对角线互相垂直平分，平行四边形对角线不一定互相垂直平分。
4、菱形的四条边相等，平行四边形的四条边不一定相等。
5、菱形是轴对称图形、中心对称图形，平行四边形不是。
6、菱形的面积是两条对角线乘积的一半，平行四边形面积是底乘高。
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平行四边形和菱形题型分类： 无星代表普通高中 ★重点高中 ★ ★三大名校 ◆一、平行四边形的性质与判定1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
3、平行四边形的判别方法：(1）∵_____∥______，_____∥______，∴四边形ABCD 是平行四边形 （2）∵AB ＝ ，BC ＝______，∴四边形ABCD 是平行四边形 （3）∴AO ＝______，BO ＝______，∴四边形ABCD 是平行四边形（4）∵∠BAD ＝∠______，∠ABC ＝∠_____，∴四边形ABCD 是平行四边形 （5）∵AD ∥______，AD ＝_____，∴四边形ABCD 是平行四边形 ◆二、菱形的性质与判定：5、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。
6、菱形的性质：（1）对边平行，四边相等。
（2）对角相等，邻角互补。
（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
四边形ABCD AB BC CD DA ⇒===是菱形 四边形12AC BDABCD ⊥⎧⇒⎨∠=∠⎩是菱形7、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形。
平行四边形四边形是菱形ABCD ABCD AC BD ⎫⇒⎬⊥⎭（3）四条边都相等的四边形。
AB BC CD DA ABCD ===⇒是菱形 ❤（4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。
AB CD12ABCDAD◆三、三角形的中位线如下图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，连结DE ，DE 叫△ABC 的中位线.∴（1）DE=21ＢＣ （2）ＤＥ∥ＢＣ 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
例题1、如下图：□ABCD 中，DM ＝BN ，BE ＝DF ．求证：四边形MENF 是平行四边形．★变式练1--1、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF=CE ，BH=DG ． 求证：GF ∥HE ．H ACB DOE GF（图1） （图2）★例题2、如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，E 为AD 延长线上的一点，CF//BE 交AD 于F ，连结BF 、CE 。
求证：四边形BECF 是菱形。
变式练2--1、如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． (1)求证:CF ＝CH ；(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．变式练2--2、菱形的周长为24cm ，两邻角的比为1：2，较短对角线的长是 ，菱形的高为 ，面积是 。
ACEBFD★★例题3、观察控究，完成证明．如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若AC=BD ，请你猜想并证明四边形EFGH 的形状？若AC ⊥BD 呢？（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？★变式练3--1、如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点。
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形ABCD 满足一个什么条件时，四边形EFGH 是菱形？并证明你的结论。
ABCDEFGHO课堂练习：（一） 选择题：相信你一定能选对！1、下列两个图形，可以组成平行四边形的是（ ）A.两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两个锐角三角形D. 两个全等三角形 2、平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（ ）．A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定 3、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 4、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形5、菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm6、下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．□ ABCD 中，AB=BCB ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC=BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD7、如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm（二）填空题：你能填得又快又对吗？8、菱形周长为20cm ，相邻两角比为1：2，则菱形的两对角线的长 。
9、菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是 。
10、在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，AB=10,则BD=________,AC=__________,菱形ABCD 的面 积=________11、在四边形ABCD 中,对角线ACBD 相交于O 点,从(1)AB=CD;(2)AB ∥CD; (3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC ⊥BD;(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD 是菱形.如(1)(2)(5) ⇒四边形ABCD 是菱形四边形;再写出符合要求的两个:⇒四边形ABCD 是菱形; ⇒四边形ABCD 是菱形.ABCDE（三）解答题:12、如图AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC,交AB 于点E ，DF//AB ，交AC 于点F ，证明：AD ⊥EF13、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边BC 、AB 的中点，连接CE ，过点A 作AF//CE ，并交DE 的延长线于点F.（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形;（2）当∠B 的大小满足什么条件时四边形ACEF 是菱形？请证明你的结论; （3）四边形ACEF 有可能是矩形吗?为什么?★14、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD>BC ，AD=8cm ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以1cm/s的速度由A 出发向D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动。
几秒钟后四边形ABQP 是平行四边形？★15、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点，求证：EF=12（BC-AD ）A DE FB C1、已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，且OA=OC ，AB ∥DC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
2、如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线交BC 、AD 于点E 、F ，求证：四边形AECF 是菱形。
ACBACDEF平行四边形和菱形小测试1、 能判别一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A ．一组对边相等，另一组对边平行B ．一组对边平行，一组对角互补C ．一组对角相等，一组邻角互补D ．一组对角互补，另一组对角相等 2、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角3、菱形的一个内角等于 120，过这个角的顶点的对角线长为8cm,则这个菱形的周长为 cm 。
4、 已知菱形的周长是52cm ，较短一条对角线的长是10cm ，则这个菱形的面积是（ ）A ．30cm 2B ．60cm 2C ．120cm 2D ．240cm 25、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件（ ）A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°6、如图3所示，菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，AE=EB ，则∠EDF 等于（ ） A ．75° B ．60° C ．50° D ．45°7、下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ）A ．已知菱形的两条对角线B ．已知菱形的一边和一个内角C ．已知菱形的四条边D ．已知菱形的周长和面积 8、顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是 （ ）A 矩形B 菱形C 正方形D 平行四边形 9、如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于（ ）A.135°B.45°C.22.5°D.30°10、顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是（ ）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形ABCDEF图3。