不完全信息静态博弈
不完全信息静态博弈
由于θi在[-ε,+ε]上是均匀分布的，因而θi ≥ 0和θi < 0的概率各为1/2。可认 为每个参与人认为对方选择抓与不抓的概率各为1/2。 当ε 0时，该纯策略贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博弈的混合策 略纳什均衡。
因而，海萨尼说，完全信息博弈的混合策略均衡可以解释为不完全信息 情况下纯策略均衡的极限。
策略贝叶斯均衡是一个类型依存战略组合
{ai* (i )}in，满足： 1
* ai* (i ) arg max pi (i | i )ui (ai , ai (i );i ,i ) ai
1、不完全信息古诺模型（板书）
• 在这个模型中，参与人的类型是成本函数。逆需求函数为
荷兰式拍卖：从一个非常高的初始标价逐步降低到有一个买者接受报价。 一级密封价格拍卖：出价最高的投标者获得拍卖品，并支付自己的出价 给卖者； 二级密封价格拍卖：出价最高的投标者获得拍卖品，并支付次最高出价。
1)
2)
英式拍卖：投标者按照递增的顺序宣布他们的出价，直到没有人愿意出更
高的价格，出价最高的投标者获得拍卖品； 荷兰式拍卖：从一个非常高的初始标价逐步降低到有一个买者接受报价。
看，一开始应采取“不合作”的策略。究竟是直觉正确，还是逻辑正
确？ 博弈论专家Ken Binmore实验发现，不会出现一开始选择“不合作”
策略而使双方收益为1的情况。双方会主动选择“合作”策略，从而 走向合作。但逆向归纳法在某一步肯定会起作用。只要逆向归纳法在 起作用，“合作”便不能进行下去。
这个悖论在现实中的对应情况是，参与人不会在开始时确定他的策略
现在考虑同样的博弈但具有不完全信息：每个参与人有相同的支付结
构，但如果他赢了的话，他的利润为（1+θi），这里θi是每个参与人的 类型，是私人信息。但θi在[-ε,+ε]上均匀分布，这是公共知识。
博弈论与经济分析(不完全信息静态)
博弈论与经济分析（不完全信息静态）第四章 不完全信息静态博弈不完全信息意味着至少有一个参与者不能确定另一个参与者的收益函数，或者说类型。
我们用一个例子来引入要讨论的问题： 例：信息不对称条件下的古诺模型 市场：P(Q)=a-Q ，Q=q1+q2 企业1：C1(q1)=cq1企业2：以θ的概率为高成本，即222()H C q c q =；以1θ-的概率为低成本，即222()L C q c q =。
当然，H L c c >。
信息不对称：企业2知道自己的成本，也知道企业1的成本；企业1知道自己的成本，但是只知道企业2成本状况的概率分布。
以上都是公共信息，即企业1知道企业2享有信息优势，企业2知道企业1知道，企业1也知道企业2知道企业1知道……如此等等。
解题：企业1会预测企业2在不同情况下的最优选择：当企业2为高成本时2122max[()]H q a q q c q *---当企业2为低成本时2122max[()]L q a q q c q *---既然企业只知道企业2成本情况的概率分布，则企业1只能根据上述预测最大化自己的期望收益：1121121max [(())](1)[(())]H L q a q q c c q a q q c c q θθ**---+----以上三个优化问题的一阶条件为：12()2H H a q c q c **--=12()2LL a q c q c **--=221[()](1)[()]2H L a q c c a q c c q θθ***--+---=联立求解：221()()36H H H L a c c q c c c θ*-+-=+-22()()36L L H L a c c q c c c θ*-+=-- 12(1)3H L a c c c q θθ*-++-=比较该结果与“完全信息条件”条件下结果的不同。
作业：说明企业2在两种成本下是否因为“信息优势”得到了好处？是应该巩固该优势还是向企业1公开信息？一、 静态贝叶斯博弈的标准表述完全信息静态：G={S1,…Sn;u1,…,un}在静态博弈条件下，策略S 就是一个行动A （当然，动态博弈则不同），于是我们可以写作G={A1,…An;u1,…,un}。
第三章 不完全信息静态博弈
二、例子
1、抓钱博弈 这个博弈有两个非对 称纯战略均衡：一个 参与人抓，另一个参 与人不抓；一个对称 混合战略均衡：每个 参与人以0.5的概率 选择抓。 （1）完全信息
参与人2 抓 参与人1 不抓 抓 -1，-1 1，0
不抓 0，1
0，0
（2）不完全信息 每个参与人有相同 参与人2 的支付结构，但若 抓 不抓 他赢了，其利润是 抓 -1，-1 1+θ1，0 （1+θi）。 θi是参 参与人1 与人的类型，参与 不抓 0 ， 1+θ 0，0 人i自己知道θi，但 另一参与人不知道。 假定θ 在[-ε,+ε]区间上均匀分 i 布。
博弈方的类型 原来的静态博弈，即各 中选择行动方案 a1 , , a n 个实际博弈方
u i u i ( a 1 , , a n , i ), i 1, , n
根据海萨尼公理，假定分布函数P（θ1,…,θn）是所有 参与人的共同知识，用θ-i =（θ1,…, θi-1 ,θi+1,…,θn）表示 除i之外的所有参与人的类型组合。这样， θ= （θ1,…, θn)= （θi,θ- i）。称pi(θ-i | θi)为参与人i的条 件概率，即给定参与人i属于类型θi的条件下，他有 关其他参与人属于θ- i的概率。根据条件概率规则， p i , i p i , i p i i | i p i p i , i 这里， p (θi)是边缘概率。如果类型的分布是独立的， pi(θ-i | θi)＝ p (θ-i)。
2
均衡意味着两个反应函数同时成立。解两个反应函数 得贝叶斯均衡为：
q1
*
1 3
; q2
L*
博弈论——不完全信息静态博弈
3 不完全信息静态博弈3.1 简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。
不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。
如在拍卖商品或工程招投标中。
信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。
不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。
但对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”（private information）。
在博弈论中，习惯地将局中人的“私人信息”集中表现为局中人的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。
3.2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中人的支付函数类型并不清楚，局中人不知道他在与谁博弈，在1967年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行分析。
Harsanyi （1967、1968）提出了一种处理不完全信息博弈的方法，即引入一个虚拟的局中人——“自然N ”。
N 首先行动，决定每个局中人的特征。
每个局中人知道自己的特征，但不知道其他局中人特征。
这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N 的行动选择，第二阶段是除N 外的局中人的静态博弈。
这种转换被称为“Harsanyi 转换”，它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。
局中人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故常将支付函数等同于类型。
用i θ表示局中人i 的一个特定类型，i H 表示局中人i 所有可能类型的集合，即i i H ∈θ，称i H 为局中人i 的类型空间，n i ,,1 =。
经济博弈论第六章不完全信息静态博弈共39页
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6.1.3 海萨尼转换
基本思路：将静态博弈转化为动态博弈 （1）假设有一个名为“自然”的博弈方0，该博弈
方的作用是先为其他每个博弈方抽取他们的类型， 抽取的这些类型构成类型向量
t＝（t1，…，tn）,其中t i T i ，i=1,…，n。
（2）“自然”让每个博弈方知道到自己的类型， 但却不让其他博弈方知道。
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6.1.2 静态贝叶斯博弈的一般表示
静态贝叶斯博弈的一般表达式为： G={A1,…，An ;T1,…，Tn;u1,…，un}
其中Ai为博弈方i的行为空间（策略空间）， Ti是博弈方i的类型空间，博弈方i的得益 ui=ui(a1，…，an,ti)为策略组合(a1，…，an ) 和类型ti的函数。
q1*a2C1C3 H(1)CL)
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6.1.1 不完全信息的古诺模型
与完全信息古诺模型比较 完全信息古诺模型中的的产量
q1*
a2C1 3
C2
q2*
a2C2 3
C1
CH C2 q2*(CH)q2*
CL C2 q2*(CL)q2*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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6.1.2 静态贝叶斯博弈的一般表示
厂商1只知道有两种可能性，一种是C2＝ C2（q2） ＝ CH q2概率为θ另一种是C2＝ C2（q2）＝ C Lq2， 概率为1－θ，而CH>CL,也即边际成本有高、低两 种可能。
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6.1.1 不完全信息的古诺模型
厂商2在边际成本是较高的CH时会选择较低的产 量，而在边际成本为较低的CL时会选择较高的产 量。
不完全信息静态博弈
练习
自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的 （1）若“自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵 的 ） 情况还是得益矩阵2的情况 并让博弈方1知道而不让博弈方 的情况， 情况还是得益矩阵 的情况，并让博弈方 知道而不让博弈方 2知道；（ ）博弈方 在T和B中选择，同时博弈方 在L和R 知道；（ 中选择， 知道；（2）博弈方1在 和 中选择 同时博弈方2在 和 中进行选择。找出贝叶斯纳什均衡。 中进行选择。找出贝叶斯纳什均衡。 L T B 1,1 0,0 1 R 0,0 0,0 T B L 0,0 0,0 2 R 0,0 2,2
如果在位者是高成本的，则均衡是进入者进入， 如果在位者是高成本的，则均衡是进入者进入，在 位者默许；如果在位者是低成本的， 位者默许；如果在位者是低成本的，均衡是进入者 不进入，在位者打击。 不进入，在位者打击。 因此，如果在完全信息情况下， 因此，如果在完全信息情况下，知道在位者是高成 则进入者进入；知道在位者是低成本， 本，则进入者进入；知道在位者是低成本，则进入 者不进入。 者不进入。 但现在进入者并不知道在位者究竟是高成本还是低 成本，因此很难进行选择。 成本，因此很难进行选择。
暗标拍卖
拍卖和招投标是经济活动中普遍采用的重要交易工具， 拍卖和招投标是经济活动中普遍采用的重要交易工具，有许 多不同的方式。暗标拍卖是典型的不完全信息静态博弈。 多不同的方式。暗标拍卖是典型的不完全信息静态博弈。 暗标拍卖的基本特征：密封递交标书；统一时间公证开标； 暗标拍卖的基本特征：密封递交标书；统一时间公证开标； 标价最高者以所报标价中标。 标价最高者以所报标价中标。 这种博弈的博弈方就是所有投标人； 这种博弈的博弈方就是所有投标人；各个博弈方的策略就是 他们各自提出的标价；中标博弈方的得益是其对拍卖标的的 他们各自提出的标价； 估价与成交价格之差，未中标博弈方的得益为0.由于各博弈 估价与成交价格之差，未中标博弈方的得益为 由于各博弈 方的标书是密封递交和同时开标的， 方的标书是密封递交和同时开标的，各博弈方在选择自己的 策略之前都无法知道其他博弈方的策略， 策略之前都无法知道其他博弈方的策略，而且这是一个一次 性选择问题，所以是静态博弈问题。 性选择问题，所以是静态博弈问题。
博弈论_不完全信息静态博弈
贝叶斯纳什均衡的存在性
贝叶斯纳什均衡的存在性定理 定理3.1.2，见书上第62页，不讲定理的证明 它与第24页的定理2.2.3的比较。定理3.1.2所
要用到的前提条件更强，其原因在于： 在贝叶斯博弈中，局中人i的收益是纯策略下
的期望收益。或，局中人i的收益函数ui(s-i, si, ti)可以随着类型的变化而变化；当ui是si的凹函 数时，其凸组合“∑pi(t-i|ti)×ui(s-i(t-i), si, ti), t-i∈T-I”也是si的凹函数；若拟凹则不成立
义3.1.2做比较 此定义是对纯策略下贝叶斯纳什均衡定义的一
个直接扩展，其中E(ui)是局中人i在混合策略 组合下，对其收益函数ui的数学期望 定理3.1.3：混合策略组合是贝叶斯纳什均衡 的充分必要条件 定理3.1.4：贝叶斯纳什均衡的存在性定理
求解行业博弈的贝叶斯纳什均衡
条件概率 标记混合策略的符号 标记期望收益的符号 计算不同类型下的期望收益 书上的方法：由混合策略下贝叶斯纳什均衡的
对局中人2的计算
局中人 1建厂 高成本
进入
不进入
局中人 1建厂 低成本
进入
不进入
建厂 , -4/3 , 0 建厂 , -4/3 , 0
不建厂 , 1 , 0 不建厂 , 1 , 0
合成后的支付矩阵
局中人 1建厂 高成本
进入
不进入
局中人 1建厂 低成本
进入
不进入
建厂 0, -4/3 2, 0 建厂 1.5, -4/3 3.5, 0
混合策略
在贝叶斯博弈G＝[N, {Ti}, P, {Si(ti)}, {ui}]中，局中人i 在类型ti∈Ti下，为每一个纯策略以概率进行选择，则 xi(ti) ＝(x1(i)(ti), x2(i)(ti), ···, xm_i(i)(ti))称为局中人i在类型 ti下的一个混合策略。有时简写为xi。
不完全信息静态博弈的现实例子
不完全信息静态博弈在现实生活中有许多例子。
以下是其中几个：
房地产市场：在房地产市场中，买家和卖家可能对房屋的实际价值有不同的了解。
由于信息不完全，买家和卖家可能会在价格上产生分歧，导致交易的困难。
就业市场：在就业市场中，雇主和应聘者之间可能存在信息不完全的情况。
雇主可能不了解应聘者的全部技能和经验，而应聘者可能不了解雇主的具体需求和工作要求。
这可能导致雇主开出过高的薪资或对应聘者产生误判，影响双方的利益。
保险市场：在保险市场中，保险公司和投保人之间可能存在信息不完全的情况。
投保人可能不了解保险产品的全部条款和细节，而保险公司可能不了解投保人的真实风险状况。
这可能导致保险产品的定价不合理或投保人得不到足够的保障，影响双方的利益。
商业谈判：在商业谈判中，双方可能对对方的底牌和利益诉求不完全了解。
这可能导致谈判陷入僵局或达成不公平的协议，影响双方的利益。
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2.案例1
考虑如下的古诺双头模型。其中市场反需求函数由给出，这里为市 场中的总产量。企业1的成本函数为，不过企业2的成本函数以的概率 为，以的概率为，这里。并且信息是不对称的：企业2知道自己的成本 函数和企业1的成本函数，企业1知道自己的成本函数，但却只知道企业 2边际成本为的概率是，边际成本为的概率是（企业2可能是新进入这一 行业的企业，也可能刚刚发明一项新的生产技术）。上述一切都是共同 知识：企业1知道企业2享有信息优势，企业2知道企业1知道自己的信息 优势，如此等等。
行动空间：诸葛亮：跑还是不跑；司马懿：退兵还是进攻
诸葛亮的类型空间：无兵，有兵。
诸葛亮的私人信息：无兵。
公共知识：司马懿：对方有兵因而埋伏的可能性大，无兵的可
能性小。
均衡结果：司马懿退兵；诸葛亮不动并逃跑成功。
在孔明—司马懿的空城计 博弈中，孔明了解双方的局势，制造空城 假象的目的就是让司马懿感到进攻有较大的失败的可能。如果我们用概 率论的术语来说，诸葛亮的做法是加大司马懿对进攻失败的主观概率。 此时，在司马懿看来，进攻失败的可能性较大，而退兵的期望效用大于 进攻的期望效用。即：司马懿认为进攻的期望效用低于退兵的效用。诸
这就是为后人广为传颂的空城计。这是一个信息不对称的博弈。 这里，司马懿不知道自己和对方在不同行动策略下的支付，而诸葛 亮是知道的，他们对博弈结构的了解是不对称的，诸葛亮拥有比司马懿 更多的信息。这种信息的不对称完全是诸葛亮“制造出来的”。因此这是 一个信息不对称的博弈。 在这里，孔明可以选择的策略是“弃城”或“守城”。无论孔明所选择的 是“弃”还是“守”，只要司马懿明确知道在各种可能的情况下他自己的支 付，那么孔明均要被其所擒。孔明惟一的办法就是不让司马懿清楚地知 道他自己的策略结果。孔明通过空城计，目的是降低司马懿进攻的可能 收益，使得司马懿认为，后退比进攻要好。
葛亮惟有通过这个办法，才能让司马懿退兵。 司马懿想，诸葛亮一生谨慎，不做险事，只有设定埋伏才可能如此
镇定自若，焚香操琴。此时，司马懿觉得“退”比“进攻”更合理，或者说 期望效用更大。于是后军变前军，前军变后军，后退而去。结果是诸葛 亮得以逃脱。司马懿对局势的判断不是没有道理的，他对诸葛亮的判断 是基于以前的认识，这就是“归纳法”。
自然地，企业2的边际成本较高时和较低时，它希望生产的产出水平 是不同的（一般而言，前一种情况时的产出要更低一些）。企业1从自 己的角度，也会预测到企业2根据其成本情况将选择不同的产量。用和 分别把企业2的产量选择表示为成本的函数，并令表示企业1的单一产量 选择。如果企业2的成本较高，它会选择满足：
类似地，如果企业2的成本较低，应满足下式
第六章 不完全信息静态博弈 1.非完全信息博弈及贝叶斯纳什均衡 非完全信息博弈有时也称为贝叶斯博弈，指的是博弈的收益函 数不是公共知识。
定义 一个n人的静态贝叶斯博弈的标准式：参与人的行动空间，它 们的类型空间，，他们的不同内心下对他人类型的信息，及收益函数。 我们用来表示该博弈。
定义 在静态贝叶斯博弈中，战略组合是一个纯战略贝叶斯纳什均 衡，如果对每一参与者及对的类型集中的每一，满足
企业1知道企业2成本较高的概率为，并应该能预测到企业2的产量选 择将分别为或。从而，企业1选择满足下式的
以使期望的利润最大化。
上面三个最优化问题的一阶条件为
，
，
.
三个一阶条件构成的方程组的解为
，
，
பைடு நூலகம்
及
.
把这里的、和与成本分别为和的完全信息古诺均衡相比较，假定、 的取值可使得两个企业的均衡产量都为正，在完全信息的条件下，企业 1的产出为。然而与之不同的，在非完全信息条件下，要高于，却低 于。之所以会出现这种情况，是因为企业2不仅根据自己的成本调整其 产出，同时还将考虑到企业1的情况选择最优反应。例如，如果企业2的 成本较高，它就会因成本较高而减少产量，但同时又会产生稍多一些， 因为它知道企业1将根据期望利润最大化的原则决定产出，从而要低于 企业1确知企业2成本较高时的产量。（这一例子可能会引起误解的地 方，是恰好等于企业1在相应的两个完全信息博弈中古诺产量的期望 值。一般情况下这一点是不成立的，例如可以考虑企业的总成本为的情 况。）
3.案例2：空城计博弈 空城计博弈：
诸葛亮误用马谡，致使街亭失守。司马懿引大军十五万蜂拥而来。
当时孔明身边别无大将，只有一班文官，五千军士，已分一半先运粮草 去了，只剩二千五百军士在城中。众官听得这个消息，尽皆失色。孔明 登城望之，果然尘土冲天，魏兵分两路杀来。孔明传令众将旌旗尽皆藏 匿，诸军各收城铺。打开城门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街 道。而孔明乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前凭栏 而坐，焚香操琴。司马懿自飞马上远远望之，见诸葛亮焚香操琴，笑容 可掬。司马懿顿然怀疑其中有诈，立即叫后军作前军，前军作后军，急 速退去。司马懿之子司马昭问：“莫非诸葛亮无军，故作此态，父亲何 故便退兵？”司马懿说：“亮平生谨慎，不曾弄险。今大开城门，必有埋 伏。我兵若进，中其计也。”孔明见魏军退去，抚掌而笑，众官无不骇 然。诸葛亮说，司马懿“料吾生平谨慎，必不弄险；见如此模样，疑有 伏兵，所以退去。吾非行险，盖因不得已而用之”，我兵只有二千五 百，若弃城而去，必为之所擒。