不完全信息静态博弈(一)
不完全信息静态博弈
由于θi在[-ε,+ε]上是均匀分布的，因而θi ≥ 0和θi < 0的概率各为1/2。可认 为每个参与人认为对方选择抓与不抓的概率各为1/2。 当ε 0时，该纯策略贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博弈的混合策 略纳什均衡。
因而，海萨尼说，完全信息博弈的混合策略均衡可以解释为不完全信息 情况下纯策略均衡的极限。
策略贝叶斯均衡是一个类型依存战略组合
{ai* (i )}in，满足： 1
* ai* (i ) arg max pi (i | i )ui (ai , ai (i );i ,i ) ai
1、不完全信息古诺模型（板书）
• 在这个模型中，参与人的类型是成本函数。逆需求函数为
荷兰式拍卖：从一个非常高的初始标价逐步降低到有一个买者接受报价。 一级密封价格拍卖：出价最高的投标者获得拍卖品，并支付自己的出价 给卖者； 二级密封价格拍卖：出价最高的投标者获得拍卖品，并支付次最高出价。
1)
2)
英式拍卖：投标者按照递增的顺序宣布他们的出价，直到没有人愿意出更
高的价格，出价最高的投标者获得拍卖品； 荷兰式拍卖：从一个非常高的初始标价逐步降低到有一个买者接受报价。
看，一开始应采取“不合作”的策略。究竟是直觉正确，还是逻辑正
确？ 博弈论专家Ken Binmore实验发现，不会出现一开始选择“不合作”
策略而使双方收益为1的情况。双方会主动选择“合作”策略，从而 走向合作。但逆向归纳法在某一步肯定会起作用。只要逆向归纳法在 起作用，“合作”便不能进行下去。
这个悖论在现实中的对应情况是，参与人不会在开始时确定他的策略
现在考虑同样的博弈但具有不完全信息：每个参与人有相同的支付结
构，但如果他赢了的话，他的利润为（1+θi），这里θi是每个参与人的 类型，是私人信息。但θi在[-ε,+ε]上均匀分布，这是公共知识。
博弈论与经济分析(不完全信息静态)
博弈论与经济分析（不完全信息静态）第四章 不完全信息静态博弈不完全信息意味着至少有一个参与者不能确定另一个参与者的收益函数，或者说类型。
我们用一个例子来引入要讨论的问题： 例：信息不对称条件下的古诺模型 市场：P(Q)=a-Q ，Q=q1+q2 企业1：C1(q1)=cq1企业2：以θ的概率为高成本，即222()H C q c q =；以1θ-的概率为低成本，即222()L C q c q =。
当然，H L c c >。
信息不对称：企业2知道自己的成本，也知道企业1的成本；企业1知道自己的成本，但是只知道企业2成本状况的概率分布。
以上都是公共信息，即企业1知道企业2享有信息优势，企业2知道企业1知道，企业1也知道企业2知道企业1知道……如此等等。
解题：企业1会预测企业2在不同情况下的最优选择：当企业2为高成本时2122max[()]H q a q q c q *---当企业2为低成本时2122max[()]L q a q q c q *---既然企业只知道企业2成本情况的概率分布，则企业1只能根据上述预测最大化自己的期望收益：1121121max [(())](1)[(())]H L q a q q c c q a q q c c q θθ**---+----以上三个优化问题的一阶条件为：12()2H H a q c q c **--=12()2LL a q c q c **--=221[()](1)[()]2H L a q c c a q c c q θθ***--+---=联立求解：221()()36H H H L a c c q c c c θ*-+-=+-22()()36L L H L a c c q c c c θ*-+=-- 12(1)3H L a c c c q θθ*-++-=比较该结果与“完全信息条件”条件下结果的不同。
作业：说明企业2在两种成本下是否因为“信息优势”得到了好处？是应该巩固该优势还是向企业1公开信息？一、 静态贝叶斯博弈的标准表述完全信息静态：G={S1,…Sn;u1,…,un}在静态博弈条件下，策略S 就是一个行动A （当然，动态博弈则不同），于是我们可以写作G={A1,…An;u1,…,un}。
不完全信息博弈
• 这个博弈的一个纯策略ai(ci) 是从﹝c’， c’’﹞到﹛0，1﹜的一个函数，其中0表示不 提供，1表示提供。参与人的支付函数为： • Ui(ai，a j, ci)=max(a1, a2)-aici • 如果j提供，i不提供， Ui(0，1, ci)=max(0, 1)-0ci=1；如果i提供， j不提供， Ui(1，0, ci)=max(1, 0)-1ci=1-ci • 贝叶斯均衡是一个策略组合，便得对于每 个i和每个可能的ci，策略ai﹡ (ci) 最大化参 与人i的期望效用。
因为z j≡Prob﹙ c’ ≤c j ≤c j ﹡﹚= P﹙ c j ﹡﹚ ，均衡分割点ci﹡必须满足ci﹡=1P﹙ c j ﹡﹚。因此ci﹡ 和c j ﹡都必须满足 方程c﹡=1- P（1-P﹙ c ﹡﹚）。假定存在 唯一的一个c﹡，解这个方程，那么下列条 件一定成立： ci﹡ = c﹡= 1- P﹙ c ﹡﹚。 比如说，如果P（· ）是定义在﹝0，2﹞上 均匀分布（ P（c）≡c/2 ），那么c﹡是唯 一的，等于2/3。为了检查c﹡=2/3确实是个 均衡点，如果参与人i不提供，他的期望支 付是P（c﹡）=1/3；如果成本为c﹡时提供， 他的期望支付为1- c﹡，提供是最优的。
• 那么q2L =1/2（5/4-q1）； q2H =1/2（3/4-q1） • 企业1不知道企业2的真实成本从而不知道企 业2的最优反应是q2L还是q2H ，因此企业1选 择q1最大化下列期望利润函数： • E u1 =1/2 q1 （1- q1- q2L ）+ 1/2 q1 （1- q1q2H ） 解一阶条件可得企业1的反应函数： • q1﹡= 1/2 （1- q1H- q2L ）=1/2（1-Eq2） • 解反应函数可得贝叶斯均衡为： • q1﹡=1/3； q2L﹡=11/24； q2H﹡=5/24
博弈
1.两个人（甲、乙）通过一快递公司运送同样一件易碎品，结果途中都损坏，要求快递公司赔偿，快递公司只能对商品做一个粗略的估价（商品价格不超过500），于是让甲、乙分别在500元内写下货物价格，如果两个人写的价格一样，快递公司则按所写数额赔偿；如果两个人价格不一致，则按照低价进行赔偿，并且对报价低的人奖励50，对报价高的人罚款50。
甲、乙双方进行博弈，最后快递公司将获利。
不完全信息静态博弈2.7个人分一笔奖金，分配方式为：第一个人提出方案，如果同意这种方案的人数达到3人，提议通过，否则此人无权分享奖金，由剩余的人进行同样的过程。
并且提议顺序是既定的。
完全信息动态博弈3.定义物品的基本价值（公允价值），当物品的实际交易价格大于次基本价值，卖方获利，买房亏损，且两者数值相等，反之，买房获利，卖方亏损。
零和博弈4.两个人比武，双方都不知道对方实力。
比赛项目是徒手击碎转头，甲先一掌击碎3块，乙同样击碎3块。
于是，甲又拿来5块，一掌击碎，乙心中没底，放弃。
不完全信息动态博弈5.一名篮球前锋和队友在蓝下面对着对方的一个后卫时，形成了二打一的局面，该前锋可以选择直接投篮，也可以选择传球给队友，但根据经验，传球过人的成功率更大，最终前锋选择传球。
完全信息静态博弈6.甲到菜场去买菜，摊主众多，一摊主为了能与甲建立持久的销售关系，保持其信誉，不会对甲进行出售次品或者高价出售的行为，最后甲与摊主进行持久交易。
重复博弈7.一个收藏家，去农村淘宝，在一个农户家发现主人用珍贵的碟子做猫食碗，于是假装要买猫，主人不卖，收藏家表示愿意以高于猫本身价格两倍的钱购买这只猫，主人同意。
成交后，收藏家不在意地说：“这个碟子您已经没猫用不着了，就一起送我吧。
”，主人却说：“我用这个碟子已经卖出去10只猫了。
”不完全信息静态博弈8.两个人玩抛硬币的游戏，正面甲给以十元，背面乙给甲十元，为了公平起见，丙做裁判，每一局甲和乙都需要分别给丙一元，作为报酬，这项活动对甲、乙双方来说为负和博弈9. 各个国家通过比较优势进行贸易分工，充分利用资源，提高整体福利正和博弈10.跳蚤市场中卖方：甲；买方：乙。
博弈论——不完全信息静态博弈
3 不完全信息静态博弈3.1 简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。
不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的。
如在拍卖商品或工程招投标中。
信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。
不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。
但对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”（private information）。
在博弈论中，习惯地将局中人的“私人信息”集中表现为局中人的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。
3.2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中人的支付函数类型并不清楚，局中人不知道他在与谁博弈，在1967年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行分析。
Harsanyi （1967、1968）提出了一种处理不完全信息博弈的方法，即引入一个虚拟的局中人——“自然N ”。
N 首先行动，决定每个局中人的特征。
每个局中人知道自己的特征，但不知道其他局中人特征。
这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N 的行动选择，第二阶段是除N 外的局中人的静态博弈。
这种转换被称为“Harsanyi 转换”，它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。
局中人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故常将支付函数等同于类型。
用i θ表示局中人i 的一个特定类型，i H 表示局中人i 所有可能类型的集合，即i i H ∈θ，称i H 为局中人i 的类型空间，n i ,,1 =。
经济博弈论第六章不完全信息静态博弈共39页
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6.1.3 海萨尼转换
基本思路：将静态博弈转化为动态博弈 （1）假设有一个名为“自然”的博弈方0，该博弈
方的作用是先为其他每个博弈方抽取他们的类型， 抽取的这些类型构成类型向量
t＝（t1，…，tn）,其中t i T i ，i=1,…，n。
（2）“自然”让每个博弈方知道到自己的类型， 但却不让其他博弈方知道。
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6.1.2 静态贝叶斯博弈的一般表示
静态贝叶斯博弈的一般表达式为： G={A1,…，An ;T1,…，Tn;u1,…，un}
其中Ai为博弈方i的行为空间（策略空间）， Ti是博弈方i的类型空间，博弈方i的得益 ui=ui(a1，…，an,ti)为策略组合(a1，…，an ) 和类型ti的函数。
q1*a2C1C3 H(1)CL)
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6.1.1 不完全信息的古诺模型
与完全信息古诺模型比较 完全信息古诺模型中的的产量
q1*
a2C1 3
C2
q2*
a2C2 3
C1
CH C2 q2*(CH)q2*
CL C2 q2*(CL)q2*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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6.1.2 静态贝叶斯博弈的一般表示
厂商1只知道有两种可能性，一种是C2＝ C2（q2） ＝ CH q2概率为θ另一种是C2＝ C2（q2）＝ C Lq2， 概率为1－θ，而CH>CL,也即边际成本有高、低两 种可能。
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6.1.1 不完全信息的古诺模型
厂商2在边际成本是较高的CH时会选择较低的产 量，而在边际成本为较低的CL时会选择较高的产 量。
第九讲不完全信息静态博弈o
Example 2:
Players: The pair of people
States: The set of states is yy, yn, ny, nn Actions: The set of actions of each player is B, S
Signals: Player 1 receive one of two signals, y1 and n1; her
Conclusion: (B, (B, S)), where the component is the action of player 1 and the other component is the pair of actions of the two types of player 2, is a Nash equilibrium.
2. The action of each type of player 2 is optimal, given the action of player 1.
That is, we treat the two types of player 2 as sepatate players and analyze the situation as a three-player strategic game.
1/2
BS 2/3 B 2,1 0,0
S 0,0 1,2
State y y
2:y2
B
1/3
S
1/2
BS 0,1 2,0 1,0 0,2
1:y1
2/3 B S
1/2
BS 2,0 0,2 0,1 1,0
State y n
1:n1
2:n2
B
博弈论_不完全信息静态博弈
贝叶斯纳什均衡的存在性
贝叶斯纳什均衡的存在性定理 定理3.1.2，见书上第62页，不讲定理的证明 它与第24页的定理2.2.3的比较。定理3.1.2所
要用到的前提条件更强，其原因在于： 在贝叶斯博弈中，局中人i的收益是纯策略下
的期望收益。或，局中人i的收益函数ui(s-i, si, ti)可以随着类型的变化而变化；当ui是si的凹函 数时，其凸组合“∑pi(t-i|ti)×ui(s-i(t-i), si, ti), t-i∈T-I”也是si的凹函数；若拟凹则不成立
义3.1.2做比较 此定义是对纯策略下贝叶斯纳什均衡定义的一
个直接扩展，其中E(ui)是局中人i在混合策略 组合下，对其收益函数ui的数学期望 定理3.1.3：混合策略组合是贝叶斯纳什均衡 的充分必要条件 定理3.1.4：贝叶斯纳什均衡的存在性定理
求解行业博弈的贝叶斯纳什均衡
条件概率 标记混合策略的符号 标记期望收益的符号 计算不同类型下的期望收益 书上的方法：由混合策略下贝叶斯纳什均衡的
对局中人2的计算
局中人 1建厂 高成本
进入
不进入
局中人 1建厂 低成本
进入
不进入
建厂 , -4/3 , 0 建厂 , -4/3 , 0
不建厂 , 1 , 0 不建厂 , 1 , 0
合成后的支付矩阵
局中人 1建厂 高成本
进入
不进入
局中人 1建厂 低成本
进入
不进入
建厂 0, -4/3 2, 0 建厂 1.5, -4/3 3.5, 0
混合策略
在贝叶斯博弈G＝[N, {Ti}, P, {Si(ti)}, {ui}]中，局中人i 在类型ti∈Ti下，为每一个纯策略以概率进行选择，则 xi(ti) ＝(x1(i)(ti), x2(i)(ti), ···, xm_i(i)(ti))称为局中人i在类型 ti下的一个混合策略。有时简写为xi。
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N
●
P
●
1-P
●
进入者 进
●
进入者 进
不进
●
不进
●
在位者 （0，400） 打击
● ●
●
在位者 打击
●
（0，300）
●
（40，50）
（-10，0） （30，80） （-10，100）
海萨尼转换后的市场进入博弈
四、贝叶斯纳什均衡
贝叶斯纳什均衡的基本思想与纳什均衡一样：各博弈方的策 略必须是对其他博弈方策略的最佳反应。
二、对“类型”的阐释
在不完全信息博弈中，某些博弈方虽然不能确定其他博弈
方在一定策略组合下的得益，但至少知道其他博弈方的得
益有哪几种可能的结果，而哪种可能的结果会出现则取决 于其他博弈方属于哪种类型。
类型是博弈方自己清楚而他人无法完全清楚的私人内部信 息、有关情况或数据等，包括策略空间、信息集、得益函
这个博弈的关键问题是，中标博弈方的得益除了取决于标价 以外，还取决于他对拍卖标的物的带有很大主观性的估价。 由于人们在认识、立场和判断能力方面必然有差距，因此对 标的物的估价也往往有差距，而且每个人的估价通常都是自 己的私人信息。因此，在此博弈中，各个博弈方对其他博弈 方拍得标的物的实际得益无法确知，此博弈是不完全信息博 弈。 拍卖问题是博弈论的一个热门研究领域。现代博弈论对拍卖 问题的研究，并不仅仅局限于严格意义上的拍卖，而是包括 各种有不完全信息特征的交易活动的广义的拍卖。
四、贝叶斯纳什均衡 五、应用
一、不完全信息博弈的例子
市场进入博弈
我们曾多次提到一个简单的市场进入博弈。给定在 位者和进入者各种策略组合下的得益，假设进入者 先行动，最后均衡结果是进入者进入，在位者默许。 在这个博弈中，双方的得益是共同知识，即信息是 完全的。 但现实中的企业进入和遏制是没有这么简单的，往 往满足不了完全信息的要求。考虑如下市场进入博 弈：
关键的不同在于这里的策略不再只是一种简单的行为选择，
而是由类型决定行为选择。
求解思路：首先对其他参与人各种可能的类型作概率大小的 判断，然后根据该判断计算己方各种策略在其他参与人这种 类型的分布下能给自己带来的期望得益，找出其中最大期望
得益对应的策略就是己方的最优策略。
例
在市场进入博弈中： 高成本情况 默许 打击
数等。比如拍卖问题中的估价、市场进入博弈中的在位者
成本。
三、海萨尼转换
1967年，海萨尼提出了“海萨尼转换”来处理不完全信息 的博弈。 基本思路是：引入一个虚拟的参与人——“自然”，“自然” 首先行动选定参与人的某种类型，各参与人知道自己的类型， 但其他参与人不知道。不过，“自然”以怎样的概率来选择 各参与人的类型，此概率分布却是共同知识。 以对参与人类型的概率的分析代替对参与人确切行动的分析， 这样的转换就是“海萨尼转换”。 通过海萨尼转换，博弈开始时，所有参与人有关“自然”的 行动有一致的信念，即都知道所有人类型的概率分布，此即 “海萨尼公理”。
在位者
高成本情况 默许 进入者 进入 不进入
40，50 0，300
低成本情况 默许
30，80 0，400
打击
-10400
此例中，进入者有关在位者的成本信息是 不完全的，但在位者知道进入者的有关成 本信息，即信息是不对称的。
如果在位者是高成本的，则均衡是进入者进入，在 位者默许；如果在位者是低成本的，均衡是进入者 不进入，在位者打击。 因此，如果在完全信息情况下，知道在位者是高成 本，则进入者进入；知道在位者是低成本，则进入 者不进入。 但现在进入者并不知道在位者究竟是高成本还是低 成本，因此很难进行选择。
暗标拍卖
拍卖和招投标是经济活动中普遍采用的重要交易工具，有许 多不同的方式。暗标拍卖是典型的不完全信息静态博弈。 暗标拍卖的基本特征：密封递交标书；统一时间公证开标； 标价最高者以所报标价中标。 这种博弈的博弈方就是所有投标人；各个博弈方的策略就是 他们各自提出的标价；中标博弈方的得益是其对拍卖标的的 估价与成交价格之差，未中标博弈方的得益为0.由于各博弈 方的标书是密封递交和同时开标的，各博弈方在选择自己的 策略之前都无法知道其他博弈方的策略，而且这是一个一次 性选择问题，所以是静态博弈问题。
不完全信息静态博弈
不完全信息博弈也称为“贝叶斯博弈”， 其中“不完全信息”指博弈中至少有一个博 弈方不完全清楚其他某些博弈方的得益或者 得益函数。不完全信息不是完全没有信息， 否则博弈方的决策选择就会完全失去依据，
博弈分析也就没有意义了。
本章内容
一、不完全信息博弈的例子 二、对“类型”的阐释
三、海萨尼转换
R
0,0 2,2
博弈方1的策略是私人信息类型的函数：当“自然”选择得 益矩阵1时选择T，当“自然”选择得益矩阵2时选择B。
博弈方2的策略根据期望利益最大化决定。选择L的期望得 益是0.5×1+0.5×0=0.5，选择R的期望得益是 0.5×0+0.5×2=1，因此博弈方2选择R.
所以该博弈的贝叶斯纳什均衡为：博弈方1在“自然”选
在位者 低成本情况 默许
30，80
打击
-10，100
进入者
进入
不进入
40，50
-10，0
0，300
0，300
0，400
0，400
假定进入者认为在位者是高成本的概率是P，低成本的概 率是（1-P）。则进入者选择进入的期望利润是P（40）+ （1-P）（-10），选择不进入的期望利润是0.当P≥1/5时， P（40）+（1-P）（-10）≥ 0 ，选择进入， P＜1/5时选择 不进入。 贝叶斯纳什均衡：高成本的在位者选择默许，低成本的在 位者选择打击；当且仅当P≥1/5时，进入者选择进入。
择得益矩阵1时选择T，在“自然”选择得益矩阵2时选择B；
博弈方2选择R。
练习
（1）若“自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的 情况还是得益矩阵2的情况，并让博弈方1知道而不让博弈方 2知道；（2）博弈方1在T和B中选择，同时博弈方2在L和R 中进行选择。找出贝叶斯纳什均衡。 L T B 1,1 0,0 矩阵1 R 0,0 0,0
L T
B 0,0 0,0 矩阵2