2020年密云区高一模数学试卷

2020年密云区高一模数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =>，{}11N x x =-≤≤，则M N I =A.[1,)-+∞B. (0,1)C. (]1,0D. [0,1]2．已知复数2i1iz =+，则||z = A.1i + B. 1i - C. 2 D. 23. 设数列{}n a 是等差数列，13576, 6.a a a a ++==则这个数列的前7项和等于 A.12 B.21 C.24 D.364. 已知平面向量(4,2)=a ，(,3)x =b ，a //b ，则实数x 的值等于 A ．6 B ．1 C ．32 D ．32-5. 已知,x y ∈R ，则“x y <”是“1xy<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(,)M a b 与圆C 的位置关系是 A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为A ．51[π,π]44k k -+-+，k ∈Z B ．51[2π,2π]44k k -+-+，k ∈ZC ．51[,]44k k -+-+，k ∈ZD ．51[2,2]44k k -+-+，k ∈ZOxy第7题图18. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 A ．8 B ．83C ．822+D ．842+9. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线x y C 4:2=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >，则斜率k 的取值范围是A.)(,1-∞B. (,1]-∞C.()1+∞， D. [1,)+∞10. 在正方体AC 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是 A ．点F 的轨迹是一条线段 B ．A 1F 与BE 是异面直线 C ．A 1F 与D 1E 不可能平行D ．三棱锥F -ABD 1的体积为定值二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知52()x x-的展开式中，含3x 项的系数为_______.（用数字作答）．12．双曲线221y x -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是_______．13. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第_______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14. 函数2()=cos f x x 的最小正周期是_________，单调递增区间是_______．15. 已知函数21,0,()(2),0.x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩≤若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是________．第8题图第10题图三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=． （Ⅰ）已知 ，计算ABC ∆的面积；请从①7a =，②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分． （Ⅱ）求cos cos B C +的最大值．17.（本小题满分14分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到下表：卫生习惯 状况类 垃圾处理 状况类体育锻炼 状况类心理健康 状况类 膳食合理 状况类 作息规律 状况类有效答卷份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立． （Ⅰ）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备2类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“=1k ξ”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“=0k ξ”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=o ，PAD ∆ 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点. （Ⅰ）求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AP B --的余弦值； （Ⅲ）试判断直线MN 与平面 P AB 的位置关系，并给出证明．NABCDM第18题图19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数．20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为32，且过点A (0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ的中点为M ．直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系．21.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，*N a ∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b ∈*N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表*M ：记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j c ，其中,=+i j i j c a b (,1,2,3,)i j =L ． 记数表*M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j d ，其中,1+=-i j i j d a b(1,,)∈∈**N N i b i j ≤≤．如：1,212=+c a b ，1,213=-d a b ． （Ⅰ）设5=a ，9=b ，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（Ⅱ）设6a =，7b =，试求,i j c ，,i j d 的表达式（用,i j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表*M ；（Ⅲ）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案及评分标准一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCBADBDDCC二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．10- 12．02±（，）；y x =± 13．16；2114．π；π[+π,π],2k k k -∈Z 15.(,3)-∞． 备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 在ABC ∆中，0πA <<，所以π3A =． 若选择①和②方法一 将7a =，2b =代入222b c a bc +-=化简得2230c c --=．所以1c =-（舍），或3c =． 因此11333sin 232222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 方法二 由正弦定理得sin sin a bA B=， 所以72sin 32B =，因此3sin 7B =． 在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >． 因此B 为锐角，所以2cos 7B =．所以33sin sin()sin cos cos sin 27C A B A B A B =+=+=． 因此133sin 22ABC S ab C ∆==． 若选择①和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．将7a =，2c b =代入222b c a bc +-=解得73b =． 所以273c =． 所以11727373sin 222633ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 若选择②和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．因为2b =，所以4c =．所以113sin 2423222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）解：因为π3A =，所以2π3B C +=．所以2πcos cos cos cos()3B C B B +=+-2π2πcos coscos sin sin 33B B B =++ 31πsin cos sin()226B B B =+=+． 因为2π03B <<，所以π5π66B <<． 所以当π3B =时，cos cos B C +有最大值1.17. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份），受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人， 所以，()P A =260=0.1042500． （Ⅱ）解：记事件A 为“该区卫生习惯良好者”，事件B 为“该区体育锻炼状况习惯良好者”， 事件C 为“该区膳食合理习惯良好者”，由题意，估计可知()=0.6()=0.8()=0.65P A P B P C ，，，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”． 由题意知，()()()()E ABC ABC ABC ABC =U U U所以事件E 的概率所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯的概率为0.766． （Ⅲ）解：615432>D D D D D D ξξξξξξ=>>>．18．（本小题满分15分）（Ⅰ）解：取AD 中点为O ，连接OP ，OC 和AC ．因为PAD ∆为等边三角形， 所以PO OD ⊥．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥． 在菱形ABCD 中，AD CD =，60ADC ∠=o， 所以ADC ∆为正三角形，因此OC AD ⊥．以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ，(100)A ，，，(230)B ，，，(030)C ，，，(1,0,0)D -， (0,0,3)P ，13(,0,)22M -，(1,3,0)N ． ()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++=()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++=0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=0.168+0.078+0.208+0.312=0.766NABC DMxyzO所以13(,3,)22CM =--u u u u r ，(1,3,0)AB =u u u r ，(1,0,3)AP =-u u u r ． 设平面PAB 的法向量()x y z =，，m ，由00.AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r ，m m 得3030.x y x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，则(3,1,1)=-m ．设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，则有||315sin |cos ,|.10||||25CM CM CM θ⋅=<>===⋅⨯u u u u ru u u u r u u u ur m m m 所以直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值为1510． （Ⅱ）解：因为,OC AD OC PO ⊥⊥，所以OC ⊥平面P AD ．所以(0,3,0)OC =u u u r是平面P AD 的法向量，则有35cos ,5||||53OC OC OC ⋅-<>===-⋅⋅u u u r u u u ru u u r m m m ，因为二面角B AP D --的平面角为钝角， 所以二面角B AP D --的余弦值为55-． （Ⅲ）解：结论MN //平面PAB ．因为33(,3,)22MN =-u u u u r ， 所以3333(1)()1022MN =⨯+⨯-+-⨯=u u u u r g m ． 因此MN ⊥u u u u rm ．又因为直线MN ⊄平面PAB ， 所以MN //平面PAB ．19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1xf x ax =+，x ∈R ，所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当0a >时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：x 1()a -∞，-1- 11a -- 1(1,)a--+∞'f x （） — 0 + f x （）↘↗所以()f x 的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：x1()a-∞，-1-11a --1(1,)a--+∞'f x （） + 0 — f x （）↗↘所以()f x 的单调增区间是1()a-∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=.（1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时 因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点． （3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<， 并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减，所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2221,3,2.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）解：方法一 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则00x ≠，01y ≠± ，并且220014x y +=， 0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 所以00000000(,1)(,1)2(1)22(1)x x x y MD y y y y =---=----u u u u r ． 因为00(,)2x MO y =--u u u u r ， 所以000000()(1)2(1)2x y x MD MO y y y =⨯-++-u u u u r u u u u r g 200000(1)4(1)x y y y y =-⨯++-． 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以200000(1)(1)01y MD MO y y y y =--⨯++=-u u u u r u u u u r g ． 因此MD MO ⊥u u u u r u u u u r ．所以点M 在以OD 为直径的圆上． 方法二 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则220014x y +=，并且0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 设E 为线段OD 的中点，则001(,)4(1)2x E y --． 所以2ME =2200001()()4(1)22x x y y -++-=22200020(21)1()16(1)2x y y y -++-． 设以OD 为直径的圆的半径为r ，则222020116(1)4x r OE y ==+- ． 所以22222200002200(21)11()16(1)16(1)42x x y r ME y y y --=-+-+-- 222000020()11()4(1)42x y y y y -=⨯+-+- 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以22222000020()11(1)()0(1)42y y r ME y y y --=-⨯+-+=-． 因此||r ME =． 所以点M 在以OD 为直径的圆上．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为55=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为99=-n b n ．得，,(55)(99)5914=-+-=+-i j c i j i j ，则2,650=c ，396,62020=c ． 得，,(55)[9(1)9]595=--+-=--i j d i j i j ，则2,649=-d ． （Ⅱ）证明：已知6a =，7b =，得数列{}n a 的通项公式为66=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为77=-n b n ．所以，,6(1)7(1)6713=-+-=+-i j c i j i j ，,∈∈**N N i j ． 所以，,(66)[7(1)7]676i j d i j i j =--+-=--，17,,∈∈**N N i i j ≤≤． 所以，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．若*t M ∈，则存在,6,∈∈*N N u u v ≤，使67=-t u v ．因此，对于整数t ，考虑集合0{|6,,6}==-∈N M x x t u u u ≤，即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}-t ．下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为126,6--t u t u ，其中1212,,6∈<N u u u u ≤．则这两个元素的差为7的倍数，即21126(6)6()---=-t u t u u u ．所以120-=u u ，与12u u <矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为0006,,6-∈N t u u u ≤．则存在∈Z s ，使00067,,6t u s u u -=∈N ≤，即00067,,6,=+∈∈N Z t u s u u s ≤． 由已证可知，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．而t M ∉，所以s 为负整数，设v s =-，则*N v ∈，且00067,,6,=-∈∈*N N t u v u u v ≤． 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立． （Ⅲ）解：下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉．假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈．则对于整数t ，存在,∈∈N N n m ，,6,∈∈*N N u u v ≤，使6767=-=+t u v n m 成立．整理，得6()7()u n m v -=+．又因为∈N m ，∈*N v ，所以7()06-=+>u n m v 且u n -是7的倍数． 因为,6∈N u u ≤，所以6-u n ≤，所以矛盾，即假设不成立．所以，对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉．又由第二问，对于整数t ，t M ∉，则*t M ∈．所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值．又因为67,,6*N,N t u v u v u =-∈∈≤， 所以*max max ()667129t M ==⨯-⨯=．。