系统辨识的数学模型
系统辨识方法
系统辨识方学习总结一．系统辨识的定义关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。
L.Ljung也给“辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。
出了一个定义：二．系统描述的数学模型按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。
经典控制理论中微分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程和离散状态空间方程也如此。
一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控制论中则采用时域状态空间方程建模。
三．系统辨识的步骤与内容(1)先验知识与明确辨识目的这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。
首先从各个方面尽量的了解待辨识的系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。
对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。
(2)试验设计试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。
主要涉及以下两个问题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔(3)模型结构的确定模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的，对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。
为了讨论模型和类型和结构的选择，引入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。
所谓模型结构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。
在单输入单输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。
当具有一定阶次的模型的所有参数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。
(4)模型参数的估计参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶段就称为模型参数估计。
(5)模型的验证一个系统的模型被识别出来以后，是否可以接受和利用，它在多大程度上反映出被识别系统的特性，这是必须经过验证的。
第02讲系统辨识三要素
第02讲系统辨识三要素系统辨识是指通过对系统输入和输出数据的观测和分析，求解出系统的数学模型的过程。
系统辨识主要有两种方法：非参数辨识和参数辨识。
在进行参数辨识时，需要确定三个基本要素，分别是模型结构、参数估计方法和误差分析方法。
本文将详细介绍这三个要素。
首先，模型结构是系统辨识的核心要素之一、模型结构决定了辨识出的数学模型与实际系统之间的对应关系。
模型结构的选择需要根据实际问题和已有的知识和经验来确定。
常用的模型结构包括线性模型、非线性模型、时变模型等。
例如，对于一个物理系统来说，可以尝试使用一阶惯性环节、二阶惯性环节等常见的线性模型结构进行辨识；对于一个生物系统来说，可以采用Lotka-Volterra模型等非线性模型结构进行辨识。
选择合适的模型结构可以提高系统辨识的精度和可靠性。
其次，参数估计方法是指在给定模型结构的情况下，通过对系统输入和输出数据进行处理和分析，求解出模型参数的过程。
参数估计方法分为两类：最小二乘法和最大似然法。
最小二乘法通过最小化观测数据与模型预测数据之间的残差平方和来估计模型参数；最大似然法通过最大化观测数据的似然函数来估计模型参数。
当观测数据服从高斯分布时，最小二乘法和最大似然法等效。
参数估计方法的选择需要根据数据性质和实际问题来确定。
对于小样本数据，最大似然法常常具有更好的效果；对于大样本数据，最小二乘法通常是更好的选择。
最后，误差分析方法是指用来评估辨识结果的准确性和可信度的方法。
误差分析方法主要包括残差分析、模型检验和辨识结果评价等。
残差分析是通过分析辨识结果与观测数据之间的差异来评估模型拟合程度的方法。
模型检验是通过将辨识结果应用到实际应用中，观察其预测能力和鲁棒性来评价模型的有效性。
辨识结果评价是通过计算模型的性能指标，如均方误差、决定系数等来评估辨识结果的准确性和可靠性。
误差分析方法的选择需要根据实际问题和辨识结果的要求来确定。
对于较为简单的问题，可以选择较为简单的误差分析方法；对于复杂的问题，需要选择更为精确和全面的误差分析方法。
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识
在MATLAB中，对质量-弹簧-阻尼系统（Mass-Spring-Damper System）进行数学模型的辨识通常涉及系统识别或参数估计。
这个系统可以用二阶微分方程来描述，形如：[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) ]其中：∙( m ) 是质量∙( c ) 是阻尼系数∙( k ) 是弹簧常数∙( x ) 是位移∙( F(t) ) 是外部作用力∙( \dot{x} ) 和( \ddot{x} ) 分别是一阶和二阶导数，表示速度和加速度为了在MATLAB中进行辨识，你需要有系统的输入和输出数据。
通常，输入是施加到系统上的力，输出是系统的响应（位移、速度或加速度）。
以下是一个简单的步骤，说明如何在MATLAB中辨识质量-弹簧-阻尼系统的参数：1.收集数据：首先，你需要收集系统的输入和输出数据。
这可以通过实验或模拟来完成。
2.数据预处理：确保数据是干净的，没有噪声或异常值。
可能需要进行滤波或平滑处理。
3.选择辨识方法：MATLAB提供了多种系统辨识方法，如最小二乘法、频域分析等。
选择最适合你数据的方法。
4.实现辨识算法：使用MATLAB编程实现所选择的辨识算法。
5.参数估计：应用算法来估计系统的参数（质量、阻尼和弹簧常数）。
6.验证模型：使用估计的参数构建系统模型，并与原始数据进行比较，以验证模型的准确性。
以下是一个简化的MATLAB代码示例，使用最小二乘法来估计质量-弹簧-阻尼系统的参数：matlab复制代码% 假设你已经有了一些输入（力F）和输出（位移x）数据% F - 输入力向量% x - 位移向量% t - 时间向量% 计算速度和加速度dx = diff(x) ./ diff(t);ddx = diff(dx) ./ diff(t);% 构建系统矩阵A和输出向量bA = [diff(t)' diff(t)'];b = -ddx;% 最小二乘法估计参数params = A \ b;% params(1) 是阻尼系数 c% params(2) 是弹簧常数 k% 输出参数估计值fprintf('Estimated damping coefficient (c): %f\n', params(1));fprintf('Estimated spring constant (k): %f\n', params(2));% （可选）验证模型% 使用估计的参数构建模型，并与原始数据进行比较% ...请注意，上述代码是一个非常简化的示例，实际情况可能更加复杂。
南京理工大学“系统的数学建模与辨识”实验报告及作业
A(q ) y(k ) B(q )u(k ) C (q ) (k )
需要估计的参数：
1
1
1
[c]T
已知数据构成的向量：
(k ) [ y(k 1) ... y(k na) u(k d ) ... u(k nb d ) (k 1) ... (k nc)] 其中， (k 1) ... (k nc) 为噪声项。
2.2 数据处理
为了提高辨识精度，实验者必须对原始数据进行剔除坏数据、零均值化、工 频滤波等处理。
2.3 离线辨识
利用处理过的数据，选择某种辨识方法；如 RLS、RELS、RIV 或 RML 等 参数估计算法，以及 F 检验法或 AIC 定阶法。离散估计出来模型参数和阶次， 并计算相应的模型静态增益，同时比较利用不同方法所得到的辨识结果。
三、实验步骤
3.1 设置硬件
在实验之前根据实验手册，要做好基本的准备工作。连上实验室无线以后， 设置好服务器(嵌入式温度控制器)和客户端(PC 机)的 IP 地址以及系统参数设置。
3.2 电炉升温
关好电炉的门，打开实验端软件。根据操作界面上设置好“预加热电压”和
2015 级硕研“系统的数学建模与辨识”实验报告和作业
A(q 1 ) y(k ) B(q 1 )q d u(k ) C (q 1 ) (k ) 系统模型的结构。利用 RELS 辨识方法和
程序，依次确定系统的阶次，延时和参数，分析辨识结果得出结论。
四、离散辨识
离线辨识确定系统模型的阶次，延时和参数。可采用残差平方总和 J 和 F 校 验法确定系统的阶次和延时，这里采用 RELS 算法进行辨识参数。 增广矩阵法是一种用于实时过程控制中系统参数估计的较好方法， 可同时获 得系统参数和噪声模型参数。 改写 LS 模型为
系统辨识步骤及内容
系统辨识步骤及内容系统辨识是研究如何用实验研究分析的办法来建立待求系统数学模型的一门学科。
Zadeh(1962)指出：“系统辨识是在输入和输出数据的基础上，从一类模型中确定一个与所观测系统等价的模型”。
Ljung(1978)也给出如下定义：“系统辨识有三个要素——数据、模型类和准则，即根据某一准则，利用实测数据，在模型类中选取一个拟合得最好的模型”。
实际上，系统的数学模型就是对该系统动态本质的一种数学描述，它向人们提示该实际系统运行中的有关动态信息。
但系统的数学模型总比真实系统要简单些，因此，它仅是真实系统降低了复杂程度但仍保留其主要特征的一种近似数学描述。
建立数学模型通常有两种方法，即机理分析建模和实验分析建模。
机理分析建模就是根据系统内部的物理和化学过程，概括其内部变化规律，导出其反映系统动态行为并表征其输入输出关系的数学方程（即机理模型）。
但有些复杂过程，人们对其复杂机理和内部变化规律尚未完全掌握（如高炉和转炉的冶炼过程等）。
因此，用实验分析方法获得表征过程动态行为的输入输出数据，以建立统计模型，实际上是系统辨识的主要方面，它可适用于任何结构的复杂过程。
系统辨识的主要步骤和内容有以下几个方面。
1、辨识目的根据对系统模型应用场合的不同，对建模要求也有所不同。
例如，对理论模型参数的检验及故障检测和诊断用的模型则要求建得精确些。
而对于过程控制和自适应控制等用的模型的精度则可降低一些，因为这类模型所关心的主要是控制效果的好坏，而不是所估计的模型参数是否收敛到真值。
2、验前知识验前知识是在进行辨识模型之前对系统机理和操作条件、建模目的等了解的统称。
有些场合为了获得足够的验前知识还要对系统进行一些预备性的实验，以便获得一些必要的系统参数，如系统中主要的时间常数和纯滞后时间，是否存在非线性，参数是否随时间变化，允许输入输出幅度和过程中的噪声水平等。
3、实验设计实验设计的主要内容是选择和决定：输入信号的类型、产生方法、引入点、采样周期、在线或离线辨识、信号的滤波等。
系统辨识与模型预测控制
系统辨识与模型预测控制系统辨识与模型预测控制是现代控制理论中的关键概念，它们在工程领域中被广泛应用于系统建模及控制设计中。
本文将详细介绍系统辨识与模型预测控制的基本概念、原理、方法和应用。
一、系统辨识系统辨识是指通过实验数据对系统的动态行为进行建模和估计的过程。
它可以帮助我们了解系统的性质和结构，并在控制系统设计中提供准确的数学模型。
系统辨识的主要任务是确定系统的参数和结构，并评估模型的质量。
1.1 参数辨识参数辨识是系统辨识的主要内容之一，它通过收集系统的输入和输出数据，并根据建模方法对参数进行估计。
常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然法、频域法等。
参数辨识的结果对建模和控制设计具有重要的指导意义。
1.2 结构辨识结构辨识是指确定系统的数学结构，即选择合适的模型形式和结构。
常用的结构辨识方法有ARX模型、ARMA模型、ARMAX模型等。
结构辨识的关键是根据系统的性质和实际需求选择适当的模型结构，以保证模型的准确性和有效性。
二、模型预测控制模型预测控制是一种基于系统动态模型的控制方法，它通过在线求解最优控制问题实现对系统的控制。
模型预测控制通过对系统未来动态行为的预测，结合控制目标和约束条件，求解优化问题得到最优控制输入。
它具有优良的鲁棒性和适应性，并且能够处理多变量、非线性以及时变系统的控制问题。
2.1 模型建立模型预测控制的第一步是建立系统的数学模型，通常采用系统辨识的方法得到。
模型可以是线性的或非线性的，根据实际需求选择适当的模型结构和参数。
2.2 控制器设计模型预测控制的核心是设计控制器，控制器的目标是使系统输出跟踪参考轨迹，并满足约束条件。
控制器设计通常通过求解一个离散时间最优控制问题来实现，常用的方法有二次规划、线性规划、动态规划等。
2.3 优化求解模型预测控制的关键是求解最优控制问题，将系统的模型和控制目标转化为一个优化问题，并通过数值优化方法求解得到最优解。
常用的优化算法包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。
系统辨识
3.系统辨识
建模的方法：
机理建模：依据系统工作所服从的物理、化
学、生物的定理、定律，以及系统的结构数 据推导出数学模型。 －白箱建模 机理模型、解析模型。 系统辨识：通过观测实际系统的输入、输出 数据，从一类数学模型中选择一个特定的数 学模型，该模型在数学上等价于相应的实际 系统。 －黑箱建模 两者相结合，用机理分析确定模型结构，用 系统辨识方法确定模型参数。 －灰箱建模
系统辨识
吴刚
中国科学技术大学工业自动化研究所
2010年11月21日
引论
第一节 定义与分类
1.系统（system）
一般定义： 由相互联系、相互制约、相互作
用的各个部分组成的，具有一定整体功能和 综合行为的统一体。 工程系统中：由相互联系的元部件组成的具 有某种特定功能的整体。 如：晶体管、放大器、电机 伺服系统、调节器、惯性导航平台 磨煤机、水处理、锅炉、发电机 生产线、电网、互联网 企业、联合企业、经济协作区、国民经 济系统
7.先验知识
对模型结构、参数、数据的实际知识或信息
对实际系统的数学假定
主导时间常数
系统时延 系统通频带 系统非线性与时变特性 输入/输出信号变化幅值
噪声水平
8.参数估计的方法
离线辨识 在线辨识（实时辨识） 最小二乘法 极大似然法 辅助变量法 随机逼近法 互相关法
n
向后一步平移算子：
q X t X t 1 yt ai q yt bi q ut
i i i 1 i 1 n n
1
A(q ) yt B(q )ut 1 A(q ) 1 ai q 1 a1q an q
1 i 1 i 1 n n
系统辨识理论及应用
系统辨识理论及应用引言系统辨识是通过对已知输入和输出进行处理，从而识别出系统的数学模型并进行建模的过程。
在现代科学和工程应用中，系统辨识技术被广泛应用于控制系统设计、信号处理、预测和模型识别等领域中。
本文将介绍系统辨识的理论基础、常用方法以及在实际应用中的案例分析，以便读者能够更好地了解系统辨识技术的原理和应用。
系统辨识的理论基础系统辨识的定义系统辨识是一种通过对系统的输入和输出数据进行处理，来推导出系统的数学模型的方法。
系统辨识可以用来描述和预测系统的行为，从而实现对系统的控制和优化。
系统辨识的基本原理系统辨识建模的基本思想是将输入和输出之间的关系表示为一个数学模型。
这个模型可以是线性模型、非线性模型、时变模型等。
在系统辨识中，常用的数学模型包括差分方程模型、状态空间模型、传递函数模型等。
系统辨识的基本原理是通过收集系统的输入和输出数据，然后利用数学方法来推导出系统的数学模型。
这个过程可以看作是一个参数优化的过程，通过不断调整模型参数，使得模型的输出与实际系统的输出尽可能接近。
系统辨识的常用方法系统辨识的常用方法包括参数估计方法、频域分析方法和结构辨识方法。
参数估计方法是最常用的系统辨识方法之一，它通过最小化模型的预测误差来估计模型参数。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法、最小二乘法等。
频域分析方法是基于系统的频率响应特性进行辨识的方法。
常用的频域分析方法包括递归最小二乘法、频域辨识方法等。
结构辨识方法是用来确定系统的结构的方法。
结构辨识方法可以分为模型选择方法和模型结构确定方法。
常用的结构辨识方法包括正则化算法、信息准则准则方法等。
系统辨识的应用控制系统设计系统辨识技术在控制系统设计中起着重要的作用。
通过对系统辨识建模，可以对系统进行建模和优化。
控制系统设计中的系统辨识可以用来预测系统的响应、设计合适的控制器以及优化控制算法。
信号处理系统辨识技术在信号处理中也有广泛的应用。
通过对信号进行系统辨识建模，可以分析信号的特性、提取信号中的有用信息以及去除信号中的干扰等。
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系统辨识的基本原理—等价准则
② 输入误差：令输入误差为 et ut ut ut Gg 1 y t
其中， Gg 1 为模型Gg的逆系统，其关系如图：
激励信号u 辨识对象 e y
系统逆模型
Gg 1
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2013-6-30 15
系统描述的数学模型
前面我们已对数学模型做过分析，对于SI过程，弄 清各类模型的表达形式、相互转换及应用场合十分必要。 ① 按系统施加信息的特征，分为连续型和离散型； 连续系统施加的是连续信号；离散系统施加的信号 是离散的； ② 按系统分析定义，分为时间域和频率域； 一般经典控制论中多采用频域传递函数建模，而现 代控制论中多采用时域状态空间方程建模。
→
2013-6-30 20
系统描述的数学模型-参数模型类
Laplace变换: 设函数f(t)当 t 0 时有定义，积分 f t e st dt （s为复 参量）在s平面的某一域内收敛，称 0
0 为函数f(t)的Laplace变换，记为 F s L f t 。 F(s)称为f(t)的象函数。 将微分方程的 d 用复变量s替换，c(t)和r(t)就转
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J y, y g
t T
yt y t dt e t dt
2 2 g t T
9
系统辨识的基本原理—等价准则
② 离散信号下，准则函数为
N k 2
J y, y g y y g e
2
在给定的模型类中，当Gg使准则函数最小时，定义 Gg与对象等价。因此，辨识就是求使准则函数最小的模 型Gg的优化问题[7]。若模型类采用参数模型描述时，辨 识就归结为参数优化问题。 我们发现，准则函数通常表示成误差e的函数，写作 2 J y, yg f e，而在具体表达中，平方误差准则 f e e 用得最多，而根据误差的定义形式，又可分为输出误 2013-6-30 10 差、输入误差和广义误差形式。
ˆ T b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n
T T k a1T k 1 anT k n
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7
系统辨识的基本原理
ˆ2 J e 2 k T T
k 1 k 1 l l
再选定一个等价准则 l
f 0 lim sF s
s
③ 终值定理 若 L f t F s ，且 sF s 所有极点均在s平面左 半平面（稳定），则 f lim sF s
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s 0
22
系统描述的数学模型-参数模型类
Laplace变换的重要性质: ④ 卷积定理 在Fourier变换中，卷积定义为： f1 t f 2 t f1 f 2 t d 在Laplace变换中，当t<0时，f1(t)=f2(t)=0，此 t 时，卷积为
非参数指模型用响应曲线来描述，如时域中的脉 冲响应模型、频域中的频率响应模型。
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系统描述的数学模型
从发展上看，以往动态系统的设计和控制分析中， 非参数模型曾得到了广泛的应用，目前也有很多应用。 随着计算机的发展，参数模型已成为应用广泛的数学描 述方法。 辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手 段。可以用动态拟合的方法，从响应曲线求取传递函数 或系数矩阵。 非参数模型可通过实验获得，而参数模型又可从非 参数模型得到。例如，可从脉冲响应或频率特性，用最 2013-6-30 18 小二乘法拟合的方法，得到传递函数。
输入误差示意图
12
系统辨识的基本原理—等价准则
③ 广义误差：将输入、输出误差组合而成， et Gg 1 y t G1u t 定义为 G 其中， 1 和 G 21称为广义模型。
激励信号u 辨识对象 模型 +
逆模型 G2 1
y
G1
e
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广义误差示意图
13
系统辨识的基本原理—等价准则
在广义误差中，特别常用的是方程式误差。例 如对于离散时间系统，当G1 、 1为 G
G2 1 : A q 1 1 a1q 1 a 2 q 2 a n q n
G : Bq b q
1 1 1
2
1
b2 q 2 bn q n
System Identification
系统辨识篇
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1
讲述内容
Chapter1系统辨识理论、方法及应用； Chapter2系统辨识的经典方法； Chapter3系统辨识的脉冲响应法 Chapter4智能技术在系统辨识中的应用；
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2
Chapter1
duc RC uc ur duc dt
RC电路
R
i
C
uc
其中， C ，即获得该电路的微分方程。现要 i dt 求在已知ur (t)的条件下，求uc (t) ？ （1）直接解微分方程，求出两者的关系式； （2）将微分方程做拉式变换，得到 RCs 1Uc s U r s 将ur(t)转换为Ur(s)，代入，求得Uc(s)，再拉式 反变换。 2013-6-30 24
G s
SISO系统示意图
C s
19
系统描述的数学模型-参数模型类
（一）连续系统的参数模型 微分系数ai i 1,2,, n 和 b j j 1,2,, m与系统阶次 n和m，决定了系统的动态特性，是系统需要辨识的 参数。 对（B）式进行Laplace（拉式）变换，在假定初 始条件为零的条件下，写成复数域形式：
系统辨识的基本原理—等价准则
① 输出误差：令输出误差为 e y yg 输出误差通常是参数的非线性函数，这种参数辨识 是一种复杂的非线性最优化问题，当误差和参数的关系 是一次函数时，称模型是关于参数线性的。 参数线性模型按照最小均方误差准则，采用最小二 乘（LS，Least Square），可实现对参数辨识。 辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手段。 这里，系统线性和参数线性是不同的概念。
5
系统辨识的基本原理
燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输出）之间的关 系： 欲建立T/Q模型，经观测得到一组输入-输出数据， 记为Qk , k 1,2,, l 和 T k , k 1,2,, l，其中l 为数据 长度，同时，选定一组模型：
T k a1T k 1 anT k n
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16
系统描述的数学模型
③ 动态系统按描述模型方式，划分为参数型和非参 数型，参数型用模型的系数来描述系统，如微分方程和 传递函数中的ai、bi系数，状态空间方程中的系数矩阵 A，B，C，D等。 线性定常系统状态空间表达式： xt Axt But
y t Cxt Dut
T k a1T k 1 anT k n b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n2
k 1
而Q与T之间的数学描述就是T/Q的数学模型的辨识问题，即 根据所观测的In-Out数据 Qk , k 1,2,, l k , k 1,2,, l 和 T 从模型类（A）式中寻找一个模型，也就是确定（A）式中的模型 阶次n及未知参数 ai , bi , i 1,2,, n ，使准则J=min。 由于观测到的数据一般都含有噪声，辨识建模实际上是一种实 验统计的方法，所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的 一种近似描述[6] 。 2013-6-30 8
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
0
则卷积定理为 L f t f t F s F s 1 2 1 2
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系统描述的数学模型-参数模型类
下面引入R-C电路，说明卷积的应用 ur 由基尔霍夫电压定律，有
F s f t e st dt
dt
换为相应的象函数C(s)和R(s)。
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j
系统描述的数学模型-参数模型类
S平面
0 Laplace变换的重要性质: ① 时域微分 若 L f t F s ，则 L f t sF s f 0 ② 初值定理 若 L f t F s ，且 lim sF s -30
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系统辨识的基本原理—等价准则
其中，q-1为后移算子，即
1
q yk yk 1 则误差准则为
J
L 1 k 1
Aq yt Bq ut
1
2
这里， 表示方程中的参数，即ai , bi , i 1,2,, n 。 当给定输入输出u和y时，误差是线性的，即误差准 则函数J 关于模型参数空间是线性的，其参数可 以用最小二乘法辨识得到。
系统描述的数学模型-参数模型类
b1Qk 1 b2 Qk 2 bn Qk n ek
（A）
6
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系统辨识的基本原理
ˆ （A）式相当于表达了 T T ek 的关系，在这个关 系式中，T表示量测温度，可表示为
ˆ T 表示了估计（计算）温度 ，可表示为