层次分析法的基本基本知识和步骤
层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。
层次分析法
(P , P ,, P )
K 层上元素对
(k ) (k ) (k ) , 这时 nk nk 1的矩阵,表示 1 2 nk 1 K 1 层上各元素的排序,那么第 K 层上元素对总目标
的合成排序向量 w( k ) 由下式给出:
( ( ( w(k ) (w1 k ) , w2k ) ,, wnkk ) )T P(k ) w(k 1)
介乎二者之间的可用偶数。 此也即为一个评断标度。见教材表6-14。
比较矩阵（也称判断矩阵）
A aij
x1
nn
性质：
x2 xn
aij 0
aii 1 1 aij a ji
判断矩阵A为正互反矩阵。
x1 a11 a12 a1n x 2 a21 a 22 a2 n
x n an1 an 2 ann
层次总排序计算表
层次 B 层次 C
B1 b1
B2
… … …
Bm bm
C 层次
总排序 权重
b2
C1 C2
c11 c21
c12 c22
c1m
b c
j 1
m
j 1j
…
… …
c2 m
b c
j 1
m
j 2j
Cn
c n1
cn 2
c nm
b c
j 1
m
j nj
四、例子——旅游地的选择
1、建立递阶层次结构
阵各行元素乘积的n次根：
其中， Ai aij
j 1 n
Wi n Ai
,(i 1, 2,, n)
2、将上述结果正交化，即归一化。即先将上述 各数相加， 再将各数除以各数之和，就得到了各要素的 优先级向量Wi；
层次分析法——精选推荐
一、层次分析模型和一般步骤1、定义：层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
2、层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二、建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层——解决问题的目的；中间层——实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等；最低层——用于解决问题的各种措施、方案等。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
例1购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：〔例2〕选拔干部模型练习：画出下列问题的层次模型评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理） （4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。
设共有 n 个元素参与比较，则称n n ij a A ⨯=)( 为成对比较矩阵。
成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，aij按下述标度进行赋值。
在 1— 9及其倒数中间取值。
对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历 x3 ，年龄x4，群众关系x5。
层次分析法步骤及案例分析
层次分析法步骤及案例分析层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行决策的方法。
它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代初提出，并逐渐应用于各个领域。
本文将介绍层次分析法的步骤，并通过一个实际案例来进行分析。
一、层次分析法的步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。
将问题划分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。
例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。
2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较进行判断。
判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。
对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是1/A。
3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层次中各个因素的权重向量。
通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。
一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。
通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。
5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。
在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。
二、案例分析为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。
假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。
我们可以按照以下步骤进行决策：1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。
2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。
层次分析法概述
层次分析法一、层次分析法概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T. L. Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。
其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。
在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
层次分析法特别适用于无结构问题的建模。
自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。
二、层次分析法的基本思想基本思想层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。
把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。
三、确定权重值的基本原理人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法的基本原理和步骤
层次分析法的基本原理和步骤层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种定量分析方法，用于多准则决策问题的分析和决策。
它的基本原理是将复杂的决策问题层次化，通过对准则和方案的比较与评价，得出优先级权重，进而得到最佳方案。
1.确定决策目标：确定决策问题的目标，明确要达到的结果。
2.构建层次结构：将决策问题分解成一个层次结构，包括目标层、准则层和方案层。
目标层表示最终要达到的目标，准则层表示影响目标实现的准则因素，方案层表示可供选择的决策方案。
3.构建判断矩阵：在准则层和方案层中，两两比较各个准则或方案之间的重要性或优劣程度。
根据专家判断或个人主观意见，使用尺度（1-9）对两两比较进行评分，构建判断矩阵。
4.计算准则权重：根据判断矩阵的评分，使用特征值法或最大特征向量法计算准则权重。
首先对判断矩阵的列向量进行归一化处理，然后计算归一化后的特征向量，最后将特征向量的元素相加，并按比例得到准则的权重。
5.一致性检验：通过计算一致性指标和一致性比率来检验判断矩阵的一致性。
一致性指标表示判断矩阵与一致性判断矩阵之间的差异程度，一致性比率表示判断矩阵的一致性程度。
如果一致性指标小于一定阈值，且一致性比率接近1，则认为判断矩阵具有满足一致性的权重。
6.计算方案权重：将计算得到的准则权重与判断矩阵相乘，计算每个方案的权重。
权重值越大，表示方案的优先级越高。
7.一致性检验：对方案权重进行一致性检验，与准则权重的一致性检验类似。
8.敏感性分析：通过增加或减少一些因素的权重，分析结果的稳定性和可靠性。
敏感性分析可以帮助决策者了解权重对决策结果的影响程度。
9.最终决策：根据方案的权重和准则的权重，对各个方案的优先级进行排序，选择权重最高的方案作为最终决策。
层次分析法的基本原理是将决策问题逐层分解，通过两两比较和权重计算，理性地确定各个因素的优先级和权重。
通过分析和评价不同方案，辅助决策者做出最佳选择。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
层次分析法
层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多因素决策和评估的定量方法。
它由美国运筹学家托斯·L·赛蒂（Thomas L. Saaty）在1970年代提出，并成为了一种广泛应用的决策支持工具。
层次分析法通过将一个复杂的决策问题分解为多个层次和因素，然后利用专家的主观判断，对这些层次和因素进行两两比较和权重分配，最终得出最优选择的方法。
下面是层次分析法的基本步骤：
建立层次结构：确定决策问题的目标和准则，并将其拆分为若干层次，形成一个层次结构。
两两比较：对每个层次的元素进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
比较可以使用数字尺度，通常是一个1到9的比较矩阵，其中1表示相同重要性，9表示极端重要性差异。
构建判断矩阵：将两两比较的结果整理成一个判断矩阵，其中矩阵的元素表示各个元素之间的相对重要性。
计算权重：根据判断矩阵计算权重向量，表示各个元素相对于其上一层次的重要性，通常使用特征向量法进行计算。
一致性检验：对判断矩阵的一致性进行检验，确保专家的判断具有合理的一致性。
综合评价：利用权重向量和层次结构中的数据，进行综合评估和决策选择。
层次分析法在许多领域都有广泛应用，包括工程、管理、市场营销、投资决策等。
它能够帮助决策者在复杂的决策问题中进行系统化的分析和评估，从而提供科学的决策支持。
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5 August 2020
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定义3.1.1 设n阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵, 若对于一 切i,j,k,都有aijajk=aik, i,j,k=1,2,…,n,称A为一致矩阵. 由比较判断矩阵A知，在对n个因素比较中，我们只 要作n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这n(n-1)/2次 断矩阵A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻 在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵A一定 要满足一致性.
5 August 2020
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两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素C作
为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次 中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣）
的认识。aij的取值一般取正整数1—9（称为标度）及
其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。
关于aij取值的规则见表3-1。
运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤: ⑴建立递阶层次结构；⑵构造比较判别矩阵； ⑶在单准则下的排序及一致性检验； ⑷总的排序选优。
5 August 2020
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1.1、递阶层次结构及组成 层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次
化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解 为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和 关联程度分组，形成一个不相交的层次。
1
1/ 3
A
3
3
1
/
7
3 1 1/5 1/ 3 1/6
1/ 3 5 1
1/ 2 1/5
1/ 3 3 2 1
1/4
7
6
5
4
1
较，得到比较判断矩阵
仔细分析比较判断矩阵A可以发现，既然u1与u2之比为 1:(1/3), u1与u3之比为1:3, 那么u2与u3之比应该为1:9, 而不是1:5，这样才能说明问题是合理的。也就是中的
5 August 2020
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递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题 中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因 素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如 以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层 有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相 关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环， 从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以 用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过 来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表 现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。 在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可 参阅其他文献。
5 August 2020
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2.1、两两比较法
在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系 就被确定了。假设以上一层次元素C为准则，所支 配的下一层次的关系为u1,u2,…,un，我们的目的是要 按它们对于准则C相对重要性赋予u1,u2,…,un相应的 权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的 考试成绩、某工程的投资额……。但在大多数社会 经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无 法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的 权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法。
在图3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全 部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而 下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递 阶层次结构。典型的递阶层次结构见下面图3-2。
5 August 2020
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层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称 为目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达 到目标或理想的结果；中间层为准则层，层中的元素 为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中 可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度， 分为准则层、子准则层；最低一层为方案层，这一层 包括了实现目标可供选择的方案。
地
收
点
入
单位1
单位2
单位3
单位4
图3-1 最佳职业的递阶层次结构
5 August 2020
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在AHP方法中，首先要建立决策问题的递阶层次 结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围 和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关 系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组， 并把它们的共同特征看成是系统中高一层次的一 些因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方 案层所组成的递阶层次结构。
表3-1 元素aij取值的规则
元素 标度
规
则
1
以上一层某个因素为具准有则同，样本重层要次。因素i与因素j相比，
3
aij
5
7
以上一层某个因素为i比准j则稍，微本重层要次。因素i与因素j相比， 以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比，
i比j明显重要。 以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比，
5 August 2020
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由美国运筹学家T.L.saaty教授在70年代中期提出 的层次分析法（Analytic Hierarchy Process）简称 AHP ，是指将决策问题的有关元素分解成目标、准 则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量 分析的一种决策方法. 这一方法的特点，是在对复杂 决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深 入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较 少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为 求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种 简便的决策方法。
又有许多不同的应用。
5 August 2020
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2、基本思想与建模步骤 层次分析法的基本思路与人们对复杂的决策问题的
思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进 行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关 因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清 晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此 关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后 进行逐一比较、判断，从中选出最优的方案。
⑵为什么要用1—9比例标度？ 其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了1—9比 例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时， 用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、 强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在 相邻两级中再插入一级，正好9级，用9个数字来表 达就够用了。
5 August 2020
引例 大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位 可供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单 位的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、 比较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路， 我们可以得到这样的分析图（见图3-1）。
5 August 2020
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满意的职业
专发单 业展位 对潜名 口力气
5 August 2020
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层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的70年代初 期，1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防 部研究“应急计划”中，充分注意到了当前社会的特 点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综 合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保 证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用 其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表 用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发 表了“用于排序和计划的特征根分配模型”。之后， Saaty教授又发表了一系列关于AHP应用方面的文章。 1977年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。 同年，Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了 “无结构决策问题的建模——层次分析理论”,从 此,AHP方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和 应用。
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⑶为什么要限制比较个数不超过9? 一般地在一个准则下被比较的对象不超过9个, 是
因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人 的判断能力。最多大致在7±2范围，如果以9个为限， 用1—9比例标度表示它们之间的差别正合适。
⑷为什么要比较n(n-1)/2次?
最后，在把n个因素与某个因素进行比较时,有人认为 只需要进行n-1次就可以了。这种做法的弊病在于， 任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于 难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行 n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不 同角度进行比较，以得到一个合理的排序。
2.2、比较判断矩阵的四个说明
关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一 步说明：
5 August 2020
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⑴为什么要用两两比较？ 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主
要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往 往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出 的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又 常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起 两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性 测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。
5 August 2020
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AHP的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下 几个方面：
⑴经济与计划;
⑵能源政策与资源分配;
⑶政治问题及冲突; ⑷人力资源管理;
⑸预测;
⑹项目评价;
⑺教育发展;
⑻环境工程;
⑼医疗卫生;
⑽企业管理与生产经营决策;
⑾会计;
⑿军事指挥，武器评价.
以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内，
子准则n
层
………………………………………………………………
方案1
方案2 方案3
方案t
方 案
图3-2 典型递阶层次结构
层
5 August 2020
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1.2、四个注意点 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因 此在建立递阶层次结构时，应注意到：
⑴从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示 上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一 层次及不相邻元素之间不存在支配关系； ⑵整个结构不受层次限制； ⑶最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一 般不超过9个。元素过多可进一步分层； ⑷对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成 为典型递阶层次结构。