高斯光束下的圆屏衍射

第 22 卷第 6 期 2003 年 6 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 22 No. 6 J une. 2003
高斯光束下的圆屏衍射
王忠纯
(盐城师范学院 物理系 ,江苏 盐城 224002)
摘要 : 计算分析了用高斯光束作光源时 ,圆屏衍射轴线上的光强分布规律 ,并与球面波入射的情况进行了对 比.
在高斯光束衍射中 ,由于高斯光束在圆屏处的有 效半径 ω( z1) 和高斯光束的波面在圆屏处的曲率半径 R ( z1) 都是圆屏到束腰 O′处的距离 z1 的函数 , 所以改 变 z1 ,则轴上光强也相应改变. 图 5 给出了 He - Ne 激 光照射下轴上某固定观察点 P 的相对光强随 z1 的变 化规律. 图中取观察点 P 到束腰的距离为 z1 + r0 = 200 cm ,ω0 = 0. 05 mm , b = 1 mm , I1 为 z1 = 20 cm 时 P 点 的光强. 从图 5 中可见 , 当 z1 + r0 一定时 , z1 愈大 , 轴 上光强愈强. 但当 z1 达到 PO′间的距离的 1/ 2 后 ,增大 z1 ,光强基本不再增大.
关键词 : 激光 ;高斯光束 ;圆屏衍射 ;菲涅耳 - 基尔霍夫衍射公式 中图分类号 :O 436. 1 文献标识码 :A 文章编号 :100020712 (2003) 0620021203
菲涅耳圆盘衍射实验是光学中的一个著名实验. 该实验是 1818 年泊松在巴黎科学院研究菲涅耳的论 文时 ,把它作为菲涅耳光的波动理论论点谬误的证据 提出来的. 是阿拉果首次做出了相应的实验 ,证实了菲 涅耳理论的正确性[1 ] . 一般教学中应用理论分析菲涅 耳圆屏衍射时 ,光源用点光源 ,入射光波为球面波. 而 实际课堂演示实验中 ,一般用激光作光源 ,入射光束是 圆高斯光束. 这两种光束衍射的结果有何差异 ? 本文 利用菲涅耳 - 基尔霍夫公式 ,推导出高斯光束照射下 的圆屏衍射轴线上的光强公式 ,对各参量变化的情况 用计算机进行了数值分析 ,并与点光源入射的情况进 行了比较.
I球 ( P) =
1 2
|
Uk +1|
2
=
π2 16 ( z1
B2 + r0)
2 cos2θ
(14)
3 高斯光束下圆屏衍射的特点以及与球面波菲涅耳 圆屏衍射的比较
3. 1 圆屏大小和位置一定时 ,轴线上光强的分布规律
当高斯光束入射 , b 、z1 、λ一定时 ,由式 (9) 有
I ( r0 , b , z1) ∝
·
exp
ρ2 - i k 2 R ( z1) + z1
+ iφ( z1)
(1)
式中 :
ω( z1) = ω0
1+
z1
2
πω02/ λ
(2)
R ( z1) = z1
1+
πω02/ λ 2 z1
(3)
ω( z1) 为高斯光束在圆屏处的有效半径 , 当 ρ= ω 时 , 振幅减为轴上 O 点处振幅的 1/ e≈36 % ,而光强减为 O 点处的 13 %. ω0 为高斯光束的束腰半径 , R ( z1 ) 为 高斯光束的波面在圆屏处的曲率半径 , A 为常数.
图 5 衍射光强与圆屏位置的关系 4 结论
在高斯光束下的菲涅耳圆屏衍射中 , 当圆屏半径 较小且大小和位置一定时 , 轴线上的光强分布与球面 波入射时规律相同 , 但圆屏半径的变化对衍射光强的 影响很大. 为清楚看到衍射花样中圆屏阴影中心的亮 点 ,圆屏半径必须比圆屏处高斯光束的有效半径小. 圆 屏到高斯光束束腰的距离也会影响轴上的光强分布 , 当此距离较大时 ,轴上光强较强.
k = 2π/λ～104 mm , k2ω4～ (108～1012) mm2
而高斯光束的波面在圆屏处的曲率半径 R ( z1) ～ z1～ 102 mm ,4 R2～ ( 104 ～ 105 ) mm2 ,所以 4 R2 ν K2ω4 . 又 因为 r02 ν ( R + r0) 2 ,所以 4 R2 r02 ν k2ω4 ( R + r0 ) 2 , 式 (8) 中分母上的 4 R2 r02 可略去 , 则轴线上 P 点的光强 为
-
ik
R+ 2 r0
r0 R
b2
I ( P) = U ( P) U ( P) 3 =
λ2
4 A 2π2ω2 R2 4 R2 r02 + k2ω4 R + r0
2
exp
-
2 b2 ω2
(8) 式中 , 高 斯 光 束 在 圆 屏 处 的 有 效 半 径 ω ( z1 ) 约 为 1～10 mm ,对于可见光 (如 He - Ne 激光器发出的光的 波长 λ= 632. 8 nm) ,波数
∫ U (
P)
=
-i λr0
Σ U 0 (ρ, z 1) e- i krd S 0
(5)
收稿日期 :2002 - 01 - 17 作者简介 :王忠纯 (1954 —) ,男 ,江苏东台人 ,盐城师范学院物理系副教授 ,主要从事光学教学和研究.
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1 高斯光束入射时圆屏衍射光强分布公式
一束激光垂直入射到半径为 b 的圆屏上 , 设圆
屏到高斯光 束 束 腰 O′的 距 离 为 z1 , 如 图 1 , 则 圆 满 屏所在平面上距圆心 O 为ρ处的 Q 点光振动的复
振幅为[2 ,3]
U 0 (ρ, z1) =ω(Az1) exp
ρ2 - ω2 ( z1)
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大 学 物 理 第 22 卷
式中 r = ρ2 + r02 = r0 1 +ρ2/ r02 考虑到入射的高斯光束有效截面较小 ,当 ρ较大时 , U 0 (ρ, z1) 已趋向于 0 , 所以上式满足 ρν r0 , 则可将上式 按幂级数展开 ,并近似取前二项 :
ρ2 r≈ r0 1 + 2 r02
ρ2 = r0 + 2 r0
(6)
将式 (1) 、(6) 代入式 (5) ,整理得
U ( P) =λ-r0iωA exp - i k ( r0 + z1) + iφ ·
∫exp Σ 0
-
1 ω2
-
ik 2R
-
ik 2 r0
ρ2
dS
(7)
取积分元为 d S = 2πρdρ=πdρ2 ,积分区间为 b2～ ∞. 由 于当 ρ较大时 ,exp ( - ρ2/ ω2 ) 已趋向于 0 , 该积分范围 与傍轴条件并不矛盾. 由式 (7) 可积出
图 1 高斯光束入射时的圆屏衍射
在圆屏所在平面内 Q 点取面元 d S ,设 Q 到轴上 P
点的距离为 r , P 到圆屏中心 O 的距离为 r0 . 利用菲涅 耳 - 基尔霍夫衍射公式 , 圆屏所在平面内的波面在 P 点产生光振动的复振幅为
∫ U ( P)
=
-i 2λ
Σ (cos θ0
+ cos θ) U 0 (ρ, z1)
I ( P) = I ( r0 , b , z1) ≈
λ2
4 A 2π2ω2 R2 k2ω4 ( R + r0
)
2
exp
-
2 b2 ω2
=
ω2
A2 R2 R + r0
2 exp
-
2 b2 ω2
(9)
式中 R 、ω分别由 (2) 、(3) 两式决定.
2 球面波入射时圆屏衍射光强分布公式
以下用半波带法简单分析一下球面波入射时圆屏 衍射的光强分布. 将图 1 中的高斯光束换成球面波 , 球 心位于原激光高斯光束的束腰 O′处 ,如图 2 ,圆屏处球 面波的振幅为 B / z1 ,其中 B 为常数. 设对于给定的 O′ 和 P 点 ,圆屏挡住了 k 个半波带 , 由菲涅耳 - 基尔霍夫 衍射公式 ,第 k + 1 个半波带在 P 点激发的光振动的复 振幅为
小且大小和位置一定时 , 高斯光束入射与球面波入射
时轴线上的光强分布规律相同.
3. 2 轴线上光强与圆屏半径的关系
高斯 光 束 入 射 时 , 由 式 ( 9 ) , I ( r0 , b , z1 ) ∝ exp
-
2 b2 ω2
,轴线上光强随 b 的增大呈指数衰减. 图 3
中给出了 z1 = 50 cm , b = 1 mm ,1 . 5 mm ,ω( z1 ) 三种 情况的光强分布曲线. 当圆屏半径 b 与高斯光束在圆 屏处的有效半径ω 相等时 , 光强已降为 b = 1 mm 时 光强的 1/ 4 左右. 事实上 ,当 b > ω后 , 轴线上光强已 很弱 ,此时已不容易观察到衍射花样圆屏阴影中心的 亮点.
图 4 cos2θ与 b 的关系
图 3 高斯光束圆屏衍射光强分布 当球面波入射 ,在 b 较小时 ,cos θ≈1 , 由式 (14) 轴 线上的光强也有
I球
(
P)
∝
(
z1
1 +
r0) 2
(16)
注意到在激光器谐振腔外 , 一般有 (πω02/ λ) 2 ν z1 , 所
以 R ( z1) ≈ z1 , 对比式 (15) 、( 16) 可知 , 在圆屏半径较
1 R + r0 2
(15)
图 3 中 实 线 给 出 了 ω0 = 0. 05 mm ,λ = 589. 3 nm ,
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