2017届福建省莆田第八中学高三上学期期中考试数学(文)试题

合集下载

2017-2018学年福建省莆田第八中学高三上学期第四次月考数学(文)试题

2018届高三第四次月考数学试卷（文科）（第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U C A B =( ) A.{|20}x x x ><或 B .{|12}x x << C. {|12}x x <≤ D.{|12}≤≤x x 2.设i 为虚数单位，则复数 5－i 1＋i＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i3.命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x4.sin （3π2－x ）＝35，则cos2x 的值为（）A ．- 725B ．1425C ．- 1625D ．19255．曲线12-=x xy 在点)4,2(P 处的切线与直线l 平行且距离为52，则直线l 的方程为（） A ．022=++y x B ．022=++y x 或0182=-+y x C ．0182=--y x D ．022=+-y x 或0182=--y x6.已知向量a =（2,4）, b =（1, 1）,若向量)(λ+⊥，则实数λ的是（）A ．3B ．-1C ．-2D ．-37.已知函数⎩⎨⎧>-≤=1),1(log 1,2)(3x x x x f x ，且1)(0=x f ，则=0x （）A 、0B 、4C 、0或4D 、1或38.设变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+0302063y y x y x ，则目标函数x y z 2-=的最小值为A.-7B.-4C.1D.29.我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增。

2017年福建省莆田八中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2016-2017学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单项选择（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知复数z=（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．（5分）已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（）A．B．﹣ C．﹣ D．3．（5分）sinxdx等于（）A．πB．2πC．4πD．04．（5分）若a=2，b=ln2，c=log5sin，则（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a5．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．346．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．＞1 C．|a|＞|b|D．（）a＜（）b7．（5分）函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π8．（5分）函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）单调递减区间是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（6，+∞）9．（5分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位10．（5分）△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形11．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．12．（5分）若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C．2 D．2二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合A的子集共有个．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．15．（5分）数列{a n}中，若a n+1=，a1=1，则a6等于．16．（5分）对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是．三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题10分）17．（10分）已知f（α）=；（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．18．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）当∥，求θ．（2）当⊥时，求θ．（3）求|2﹣|的最大和最小值．19．（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k ＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．（1）求k的值；（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．20．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．21．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n ∈N*都成立的实数λ的范围．22．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2（m∈R）满足f'（1）=1．（1）求m的值及函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣3x+c）在[1，3]内有两个零点，求实数c 的取值范围．2016-2017学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知复数z=（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【解答】解：∵z==，∴．故选：A．2．（5分）已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：因为x∈（﹣，0），tanx=﹣，所以sinx=﹣，∴sin（x+π）=﹣sinx=．故选：D．3．（5分）sinxdx等于（）A．πB．2πC．4πD．0【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=﹣（cos2π﹣cos0）=0，故选：D．4．（5分）若a=2，b=ln2，c=log5sin，则（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a=2＞20=1，0=ln1＜b=ln2＜lne=1，c=log5sin＜log51=0，∴a＞b＞c．故选：C．5．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31 B．32 C．33 D．34【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6=2，S5=30，得，解得：．∴S8==．故选：B．6．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．＞1 C．|a|＞|b|D．（）a＜（）b【解答】解：当c=0时，ac=bc=0，A错．由a＜b＜0，1＞＞0，B错．利用绝对值的几何意义得：|a|＞|b|，C正确．因为y=（）x在定义域上为单调减函数，由a＜b＜0，得（）a＞（）b，故D错．故选：C．7．（5分）函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π【解答】解：对于，T=∴两条相邻对称轴间的距离为=故选：B．8．（5分）函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）单调递减区间是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（6，+∞）【解答】解：根据题意，函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）分解成两部分：f（U）=log2U 外层函数，U=x2﹣5x﹣6 是内层函数．根据复合函数的单调性，可得若函数y=log2x单调增函数，则函数y=log2（x2﹣5x﹣6 ）单调递减区间就是函数y=x2﹣5x﹣6单调递减区间，∴，考虑到函数的定义域，x2﹣5x﹣6＞0，得x＜﹣1．故选：C．9．（5分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，故选：A．10．（5分）△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，∵cos2===∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形．故选：B．11．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．12．（5分）若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C．2 D．2【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=﹣x2+3lnx，∴y′=﹣2x+，令﹣2x0+=1，又x0＞0，解得x0=1．∴y0=﹣1+3ln1=﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1=1+m，解得m=﹣2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x﹣2．而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d==2．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值=（2）2=8．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合A的子集共有8个．【解答】解：因为集合A={0，1，2}，所以集合A的子集共有23=8，故答案为：8．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=1+2×3=7．∴z最大值故答案为：715．（5分）数列{a n}中，若a n+1=，a1=1，则a6等于．=，a1=1，【解答】解：∵a n+1∴a2==，a3==，a4==，a5==，a6==，故答案为：16．（5分）对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是250．【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2016次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同，故第2016次操作后得到的数是250，故答案为：250．三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题10分）17．（10分）已知f（α）=；（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）===﹣cosα；（2）α是第三象限角，且cos（α﹣）=，可得﹣sinα=，即sinα=﹣，cosα=﹣=﹣．f（α）的值为：．18．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）当∥，求θ．（2）当⊥时，求θ．（3）求|2﹣|的最大和最小值．【解答】解：（1）由得，cosθ×（﹣1）﹣sinθ=0，则tanθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=；（2）由⊥得，=0，即=0，所以，又θ∈[0，π]，所以；（3）=（2cosθ﹣，2sinθ+1），则|2﹣|===，由θ∈[0，π]，得∈[﹣，]，所以sin（）∈[﹣，1]，所以8+8sin（）∈[8﹣4，16]，|2﹣|∈[，4]，故|2﹣|的最大值为4，最小值为．19．（12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k（k ＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．（1）求k的值；（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，每批费用2000x元．由题意知y=×400+k×2000x，当x=400时，y=43600，解得k=∴y=×400+100x≥2=24000（元）当且仅当×400=100x，即x=120时等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．20．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．【解答】解：（1）因为向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|===，所以2﹣2cos（α﹣β）=，所以cos（α﹣β）=；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，因为cos（α﹣β）=，所以sin（α﹣β）=且sinβ=﹣，cosβ=，所以，sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==21．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n ∈N*都成立的实数λ的范围．【解答】解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）当n≥2时，=6n﹣5…（5分）当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）（2）∵，∴=…（10分）∴2T n＜1又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015故λ≥2016…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2（m∈R）满足f'（1）=1．（1）求m的值及函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣3x+c）在[1，3]内有两个零点，求实数c 的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）函数的定义域是（0，+∞）．…（1分）∵x，由f′（1）=1得m﹣1=1，∴m=2，即…（2分）令f′（x）=0得：或（舍去）．…（3分）当时，f′（x）＞0，∴f（x）在上是增函数；当时，f′（x）＜0，∴f（x）在上是减函数．…（5分）∴函数f（x）的增区间是，减区间是．…（6分）（2）由（1）可知，∴g（x）=2lnx﹣x2+3x﹣c，…（7分）∴．…（8分）令g′（x）=0得：x=2或（舍去）．…（9分）当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，则g（x）在[1，2）上单调递增；当x∈（2，3]时，g′（x）＜0，则g（x）在（2，3]上单调递减．…（10分）又∵函数g （x ）在[1，3]有两个零点等价于：，…（12分）∴，…（13分）∴实数c 的取值范围是． …（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

《解析》福建省莆田八中2017届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年福建省莆田八中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．∅2．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=﹣x的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称4．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）5．已知在△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角C等于（）A．135°B．90°C．45°D．75°6．在下列区间中，函数f（x）=（）x﹣x的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3 ） D．（3，4）7．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．8．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）9．已知向量||=，•=10，|+|=5，则||=（）A．B． C．5 D．2510．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．11．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．12．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x ﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（）A．﹣1 B．1 C．6 D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．i是虚数单位，化简：=．14．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为．15．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）．（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=2求a，c的值．19．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．（2）令b n=lna3n+120．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．21．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x ﹣6y﹣7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为﹣12．（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．22．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P在该圆上，求线段OP的最大值和最小值．2016-2017学年福建省莆田八中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合A为绝对值不等式的解集，由绝对值的意义解出，集合B为二次函数的值域，求出后进行集合的运算．【解答】解：A=[0，4]，B=[﹣4，0]，所以A∩B={0}，∁R（A∩B）={x|x∈R，x≠0}，故选B．2．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D．3．函数f（x）=﹣x的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选C．4．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法．【解答】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，故选B．5．已知在△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角C等于（）A．135°B．90°C．45°D．75°【考点】正弦定理．【分析】先根据正弦定理求得sinA的值，进而求得A，最后用内角和减去A和B．【解答】解：由正弦定理知=，∴sinA==×=，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°，∴C=180°﹣A﹣B=75°，故选：D．6．在下列区间中，函数f（x）=（）x﹣x的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3 ） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】直接利用零点判定定理求出函数值，判断即可．【解答】解：函数f（x）=（）x﹣x，可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0，函数的零点在（0，1）．故选：A．7．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．【解答】解：由于q=2，∴∴；故选：C．8．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．【解答】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）故选A．9．已知向量||=，•=10，|+|=5，则||=（）A．B． C．5 D．25【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积运算即可求出的值，从而得出的值．【解答】解：∵；∴由得，=；∴；∴．故选：C．10．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．11．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选A12．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x ﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（）A．﹣1 B．1 C．6 D．12【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】当﹣2≤x≤1和1＜x≤2时，分别求出函数f（x）的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数f（x）的最大值．【解答】解：由题意知当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．i是虚数单位，化简：=﹣1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将分子、分母同时乘以分母的共轭复数2+i，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，将其中的i2换为﹣1即可．【解答】解：=故答案为：﹣1+2i．14．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为y=cosx．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】按照题目所给条件，先求把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），求出解析式即可．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x的图象，把y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；故答案为：y=cosx．15．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是m＞1．【考点】特称命题．【分析】根据特称命题是假命题，则对应的全称命题是真命题，即可得到结论．【解答】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，即判别式△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故答案为：m＞116．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为3+．【考点】归纳推理．【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．【解答】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+．故答案为：3+．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）．（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用二倍角的余弦与“辅助角”公式可化简f（x）=sin2x+=2sin（2x+），再由不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）即可求得f（x）的单调减区间；（Ⅱ）x∈[﹣，]⇒（2x+）∈[0，]⇒2sin（2x+）∈[0，2]，可得f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），故f（x）的单调减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，（2x+）∈[0，]，2sin（2x+）∈[0，2]，所以，f（x）的值域为[0，2]．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=2求a，c的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ac=4，利用余弦定理可求a+c=4，联立即可解得a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得：2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC，整理得：2cosBsinC﹣sinC=0，∵sinC≠0，∴cosB=，则B=60°；（Ⅱ）∵△ABC的面积为=acsinB=ac，解得：ac=4，①又∵b=2，由余弦定理可得：22=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴解得：a+c=4，②∴联立①②解得：a=c=2．19．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．（2）令b n=lna3n+1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．=ln23n=3nln2．再利用等差数列的求和公式即可得出．（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．b n=lna3n+1【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．=ln23n=3nln2．b n=lna3n+1∴数列{b n}的前n项和T n=3ln2×（1+2+…+n）=ln2．20．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出数列首项，取n=n+1得另一递推式，作差后可得{a n}是等差数列，由等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把数列{a n}通项公式代入b n=，由裂项相消法求和后即可证明b1+b2+…+b n＜．【解答】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，令n=1，得，即a1=1，又4S n+1=（a n+1+1）2，∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，则b1+b2+…+b n===．21．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x ﹣6y﹣7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为﹣12．（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c，∴c=0．∵f′（x）=3ax2+b的最小值为﹣12，∴b=﹣12．又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为，则f′（1）=3a+b=﹣6，得a=2，∴a=2，b=﹣12，c=0；（2）由（1）知f（x）=2x3﹣12x，∴f′（x）=6x2﹣12=6（x+）（x﹣），）﹣（﹣，）（，）和（，∵f（﹣1）=10，f（）=﹣8，f（3）=18，∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（）=﹣8．22．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P 在该圆上，求线段OP 的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0，展开为：ρ2﹣4×ρ（cos θ+sin θ）+6=0．利用互化公式即可得出．（2）由x 2+y 2﹣4x ﹣4y +6=0可得：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2．圆心C （2，2），半径r=．可得|OP |=2．可得线段OP 的最大值为|OP |+r ，最小值为|OP |﹣r ．【解答】解：（1）ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0，展开为：ρ2﹣4×ρ（cos θ+sin θ）+6=0．化为：x 2+y 2﹣4x ﹣4y +6=0．（2）由x 2+y 2﹣4x ﹣4y +6=0可得：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2．圆心C （2，2），半径r=．|OP |==2．∴线段OP 的最大值为2+=3．最小值为2﹣=．2017年1月11日。

福建莆田第八中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题文

莆田八中2016-2017上学年高二数学（文）期中考试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．算法的三种基本结构是( ) A ．顺序结构、模块结构、选择结构 B ．顺序结构、循环结构、模块结构 C ．顺序结构、选择结构、循环结构 D ．选择结构、条件结构、循环结构2、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是（） A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ．分层抽样 D ．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样 3. 右边的程序的输出结果为（）A. 1，1B. 2，0C. 2，1D. 1，-14. 如图面积为4的矩形ABCD 中有一个阴影部分，若往矩形ABCD 投掷1000个点，落在矩形ABCD 的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为( ) A. 2.2 B. 2.4 C. 2.6 D. 2.85．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是( )A ．2B ．3C ．4D ．56．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 27．从1、2、3、4、5、6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( )A.12B.13C.14D.158.“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)3，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪()3，＋∞ 9. 已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤110．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8D ．111．在如图所示的程序框图中，如果输入的n ＝5，那么输出的i 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．612.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间20～25上为一等品，在区间15～20和25～30上为二等品，在区间10～15和30～35上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C．0.25 D．0.45二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.．命题“存在x0∈R，使得x20＋2x0＋5＝0”的否定是________．14．某中学期中考试后，对成绩进行分析，求出了外语成绩x对总成绩y的线性回归方程是y＝7.3x －96.9，如果该校李明的外语成绩是95分，那么他的总成绩可能是________分．(精确到整数) 15．在区间[－2，2]上，随机地取一个数x，则x2∈[0，1]的概率是________．16．一机构为调查某地区中学生平均每天参加体育锻炼的时间x(单位：分钟)，分下列四种情况统计：①0≤x≤10；②10<x≤20；③20<x≤30；④x>30.调查了10 000名中学生，如图是此次调查中某一项的程序框图，其输出的结果是7 300，则平均每天参加体育锻炼的时间在[0，20]分钟内的学生的频率是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)口袋中有红、白、黄、黑共四个小球，其质量相等、大小相同.从中有放回的先后各取一个球.（1）写出所有不同的基本事件；（2）求取出两球中含有白球的概率.18．(本小题满分12分)下图为150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图。

福建省莆田市高三数学上学期期中试题文-人教版高三全册数学试题

2017-2018学年上学期期中质量检测试卷高三年（文科）数学一、单选题（每题5分；共60分）1.已知集合)}3-x lg(|{==y x A ，}5|{≤=x x B ，则=⋂B A （） A 、}3|{<x x B 、}5|{≥x x C 、}53|{≤<x x D 、}53|{≤≤x x2.若,则( )A. B. C. D.3.若复数i a a a z ）（1-)32-(22+-=（为虚数单位，i R a ∈）是纯虚数，则实数a 的值为（）A 、-3B 、3C 、﹣1或3D 、1或﹣34.已知命题p ：若0>m ，则关于x 的方程0-2=-m x x 有实根，q 是p 的逆命题，下面结论正确的是（）A 、p 真q 真B 、p 假q 真C 、p 真q 假D 、p 假q 假 5.若233a =，32b =，33log4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>6.已知非零向量a , b 满足：|b a ||b ||a |+==，）（）（b a b a λ+⊥+2，则实数λ的值为（）A 、1 B 、3 C 、2 D 、﹣27.函数()21,03{1,0x x f x x x-≥=<，若()f a a<，则实数a 的X 围为（）A.(),1-∞- B. ()1,-+∞ C. ()3,+∞ D. ()0,18、函数2sin 1x xx y ++=的部分图象大致为（）A 、B 、C 、D 、9、已知函数k x x x f -3-)(23=有三个不同的零点，则实数k 的取值X 围是（）A 、）0,4-[B 、）（0,4-C 、），（4--∞D 、），（∞+0 10、设平行四边形ABCD ，12,8AB AD ==.若点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM =A. 20B. 15C.36D. 611、已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（） A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减12、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()30f x f x -++=；当()0,3x ∈时，()3ln x f x x=，则方程()30ef x x -=（其中e 是自然对数的底数，且 2.72e ≈）在[-9,9]上的解的个数为()EBCVDAA. 9B. 8C. 7D. 6二、填空题（共4题；共20分） 13、函数的图像可由函数的图像至少向右平移_______ ______个单位长度得到.14、已知e 为自然对数的底数，则曲线xe y 2=在点（1，2e ）处的切线斜率为________． 15、已知257cos -=θ，θ∈（π，2π），则2sin 2cos θθ+=________． 16、首项为正数的等差数列{}n a 中，3475a a =，当其前n 项和S n 取最大值时，n 的值为______三、解答题（6题，共70分） 17、设数列{}n a 的前n 项和为S n，且231n n S a =-(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和T n18、如图，在四棱锥V ABCD -，，1//2AB CD,AB VA CD VD ⊥⊥，E 是VC 的中点. （Ⅰ）证明：//BE VAD 平面；（Ⅱ）证明：平面ABCD ⊥平VAD 面.19、（12分）已知函数)()6sin(cos 4)(R m m x x x f ∈++=π，当]20[π，∈x 时，)(x f 的最小值为1-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，已知1)(=C f ，AC=4，延长AB 至D ，使BC=BD ，且AD=5，求△ACD 的面积．20、（12分）已知单调递增的等比数列}{n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42a a ，的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设））（（122log log 1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ．21、（12分）设函数)(ln 2-1)(2R a x ax x a x f ∈-+=．（Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）当1>a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅲ）若对任意a ∈（3，4）及任意]2,1[21∈x x ，，恒有|)(-)(|2ln 2)1(212x f x f m a >+-成立，某某数m 的取值X 围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

福建省莆田第八中学2017届高三上学期第二次月考数学(文)试题含答案

莆田八中2016—2017上学年高三数学（文）第二次月考试卷命题人：陈桦炜审核人：胡云贵一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，则等于（) A．B．R C．D．2．已知a，b都是实数，那么“”是“”的学科网（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图像关于（）A．轴对称B．直线对称学科C．坐标原点对称D．直线对称4．已知平面向量,，且//，则＝（）科网A．B．C．D．5．已知中，，,,那么角C等于学（）A．B．C．D．6．在下列区间中，函数1()()2xf x x=-的零点所在的区间为（）A。

（0,1) B.（1，2) C.（2，3 ）D。

(3,4）7．设等比数列的公比，前n项和为，则（)A．2 B．4 C．D．8。

设函数则不等式的解集是（）A B C D 9．已知向量｜a｜=5，a·b = 10，︱a + b︱= ，则︱b︱=学科学科网（网）（A）（B）（C）5 (D）25科网10.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为学科网（)(A)（B）（C）（D)学11. 函数cos42x xy=的图象大致是网( ）12．定义新运算“":当时，；当时，．则函数，的最大值等于( ）A．－1 B．1 C．6 D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若i为虚数单位,则＝____ ____14．把函数的图象向左平移个单位长度,再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为____________科网15．若命题“"是假命题，则m的取值范围是____________16．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n行（n ≥3）从左向右的第3 个数为三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

数学---福建省莆田第八中学2017届高三上学期期中考试(理)

福建省莆田第八中学2017届高三上学期期中考试（理）考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，若，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．或2．复数32ii i 1=+-z （i 为虚数单位）的共轭复数为（） A ．1+2iB ．i-1C ．1-iD ．1-2i3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 144．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-的最大值是（）A. 0B. 2C. 4D. 65．已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为（） A ． B ． C ．D ．6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）种.A ．12B ．24 C.48 D.1207．已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π28．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）2{5,35}M a a =-+{1,3}N =M N ⋂≠∅a 12412O 224x y +=:l x y a +=a (-(,)-∞-⋃+∞(-[-701(sin ,)2m A =(3,sin )n A A = A ABC ∆AS02sin a xdx π=-⎰A ．1007 B ．2015 C ．2016 D ．3024 9．设0>ω，函数sin()ωφ=+y x (ππ)φ-<<的图象向左平移π3个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（）A ．π1,3ωφ==- B ．π2,3ωφ==- C ．2π1,3ωφ==D.2π2,3ωφ==10．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（） A. 7 B. 173C. 273D. 811．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点分别为B A F F ,,,21为其左、右顶点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30=∠MAB ,则双曲线的离心率为（）A.221 B .321 C. 319 D. 219 12．已知数列{}n a 满足：*111,()2N +==∈+n n n a a a n a ．若*11(2)(1)()N λ+=-+∈ n nb n n a 1,λ=-b ，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.则二项式的展开式中的系数为．13．已知，14．已知向量，向量．若向量在向量方向上的投影为3，则实数＝．15．已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长为2，侧面积为152，则其外接球的体积为_____.52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x (a = ()3,b m =b a mO ππ3π21116.已知函数()()2(),2,12x f x x ⎧≥⎪=⎨≤<⎪⎩ 若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a 的取值范围 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）如图所示，在四边形中， =，且，，．（Ⅰ）求△的面积；的长．18．（12分）某校数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注ABCD D ∠2B ∠1AD =3CD =cos B =ACD AB栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3（Ⅰ）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；（Ⅱ）如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（Ⅲ）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由．（2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =2，A 1A =4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（Ⅰ）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．20. （12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且长轴长等于4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12F F ，是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以21F F 为直径的圆，直线m kx y l +=:与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点,A B ，若23-=⋅→→OB OA ，求k 的值.21．（本小题满分12分）设函数，其中R ∈a ．（Ⅰ）讨论极值点的个数；（Ⅱ）设，函数，若，（）满足2()l n (32)f x x a x x =+-+()f x 12a =-()2()(3)2g x f x x λ=-++1x 2x 12x x ≠且，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一题做答.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑. 22．（10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的值.23．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:(2)(2)8C x y -+-=，曲线2222:(04)C x y r r +=<<，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θα=π(0)2α<<与曲线1C 交于,O P 两点，与曲线2C 交于,O N 两点，且||PN 最12()()g x g x =1202x x x +=0'()0g x ≠ABCD D DA BC O F CF AB E AE EB =EF FC ⋅大值为（I ）将曲线1C 与曲线2C 化成极坐标方程，并求r 的值；（II ）射线π4θα=+与曲线1C 交于,O Q 两点，与曲线2C 交于,O M 两点，求四边形MNPQ 面积的最大值．24．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围.参考答案一．选择题：1-5 DACDA 6-10 BCDDA 11-12 BC 二．填空题：13． 1415．32π316.1(0,)2⎤⎥⎝⎦三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ） ………………………2分因为，所以，…………………………4分所以△ACD 的面积………………6分（Ⅱ）解法一：在△ACD 中，，所以……………………………………………………8分在△ABC 中，……………10分把已知条件代入并化简得：因为，所以 ……12分解法二：在△ACD 中，在△ACD 中，，所以…………………………………………………………8分因为，所以，………10分得．…………………………………………………………………………12分 18．（I ）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以25,5,15,15a b c d ====，列联表如图640-311cos 22cos cos 2-=-==B B D ()0,D π∠∈sin 3D =1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC AC =12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC 042=-AB AB 0AB ≠4AB =12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC AC =BC =sin sin AC ABB ACB =∠()sin sin 2AB B B π=-4AB =2260(2515515)7.5 6.63530302040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”。

【数学】2017-2018年福建省莆田八中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2017-2018学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z满足z（1﹣i）=4i（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）≤0}，B={x|e x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A．y=sin2x B．y=cos2x C． D．4．（5分）函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A． B． C．D．5．（5分）下列说法中正确的个数是（）①“p∧q”是真命题是“p∨q”为真命题的必要不充分条件；②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）若函数f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．37．（5分）函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x=，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°8．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1]10．（5分）若实数x，y满足不等式组，目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．211．（5分）若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞） C．[，+∞） D．[2，+∞）12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b=（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量为单位向量，向量=（1，1），且|﹣|=，则向量，的夹角为．14．（5分）=．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．16．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题：共70分．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin（+x）cos（π﹣x），（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若α是第二象限角，求cos（2α+）的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，n∈N*（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．19．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣2﹣a=0（a∈R）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a＞﹣1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l的方程．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅱ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．本题有（22）、（23）、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f（x）对满足条件的所有m，n都成立，求实数x 的取值范围．2017-2018学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z满足z（1﹣i）=4i（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2+2i D．2﹣2i【解答】解：∵z（1﹣i）=4i，∴z=，∴=﹣2﹣2i．故选：A．2．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）≤0}，B={x|e x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：A={x|x（x﹣1）≤0}={x|0≤x≤1}，B={x|e x＞1}={x|x＞0}，则∁R A={x|x＞1或x＜0}，则（∁R A）∩B={x|x＞1}=（1，+∞），故选：D．3．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A．y=sin2x B．y=cos2x C． D．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象，故选：C．4．（5分）函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A． B． C．D．【解答】解：∵函数f（x）=lg（|x|﹣1），∴f（﹣x）=lg（|x|﹣1）=f（x），f（x）是偶函数，当x=1或﹣1时，y＜0，故选：B．5．（5分）下列说法中正确的个数是（）①“p∧q”是真命题是“p∨q”为真命题的必要不充分条件；②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，“p∧q”是真命题是，则“p∨q”一定为真命题，“p∨q”是真命题是，则“p∨q”不一定为真命题，故错；对于②，命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0＞1”，故错；对于③，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真、假，故正确．故选：B．6．（5分）若函数f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：函数f（x）=，则f（f（））=f（ln）=f（﹣1）=e0﹣2=﹣1．故选：A．7．（5分）函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x=，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°【解答】解：f（x）=asinx﹣bcosx，∵对称轴方程是x=，∴f（+x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，asin（+x）﹣bcos（+x）=asin（﹣x）﹣bcos（﹣x），asin（+x）﹣asin（﹣x）=bcos（+x）﹣bcos（﹣x），用加法公式化简：2acos sinx=﹣2bsin sinx 对任意x∈R恒成立，∴（a+b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，∴a+b=0，∴直线ax﹣by+c=0的斜率K==﹣1，∴直线ax﹣by+c=0的倾斜角为．故选：D．8．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{a n}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{a n}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1]【解答】解：（如图）以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，进而可得C（1，1），M（1，），设E（x，0）（0≤x≤1）∴=（1﹣x，1），=（1﹣x，）∴=（1﹣x）（1﹣x）+1×=x2﹣2x+∵0≤x≤1，∴当x=1时，有最小值为；当x=0时，有最大值为，由此可得的取值范围是[，]故选：C．10．（5分）若实数x，y满足不等式组，目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选：D．11．（5分）若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞） C．[，+∞） D．[2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2﹣ax+1≤0在（，3）恒成立，即a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a≥故选：C．12．（5分）已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足：函数y=f （x ﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x ∈（﹣∞，0），f （x ）+xf′（x ）＜0（f′（x ）是函数f （x ）的导函数）成立．若，b=（ln2）•，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【解答】解：∵函数y=f （x ﹣1）的图象关于直线x=1对称， ∴y=f （x ）关于y 轴对称， ∴函数y=xf （x ）为奇函数． ∵[xf （x ）]'=f （x ）+xf'（x ），∴当x ∈（﹣∞，0）时，[xf （x ）]'=f （x ）+xf'（x ）＜0，函数y=xf （x ）单调递减，当x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减． ∵，，，，∴a ＞b ＞c ．故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量为单位向量，向量=（1，1），且|﹣|=，则向量，的夹角为．【解答】解：∵向量为单位向量，向量=（1，1）， ∴||=，||=1，∵|﹣|=，∴=6，即2﹣2+2=6，解得=﹣．∴cos ＜＞=﹣．∴cos＜＞=﹣．∴向量，的夹角为．故答案为：．14．（5分）=．【解答】解：dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的一半，即dx=，sinxdx=﹣cosx|=0，故=，故答案为：15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为4π．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故答案为：4π．三、解答题：共70分．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin（+x）cos（π﹣x），（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若α是第二象限角，求cos（2α+）的值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x﹣2sin（+x）cos（π﹣x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（II）若α是第二象限角，，则2sin（α﹣+）+1=，∴sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=，∴cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=﹣（﹣）•=．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，n∈N*（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】（本小题满分12分）解：（I）∵，①当n=1时，S1=，∴a1=1，…（2分）=a n﹣，②当n≥2时，∵S n﹣1①﹣②：a n=，即：a n=3a n﹣1（n≥2）…（4分）又∵a1=1，a2=3，∴对n∈N*都成立，所以{a n}是等比数列，∴．…（6分）（II）∵，∴，…（9分）∴，∴，即．…（12分）19．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣2﹣a=0（a∈R）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a＞﹣1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．【解答】解：（1）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时﹣2﹣a=0，解得a=﹣2，此时直线l的方程为﹣x+y=0，即x﹣y=0；当直线l不经过坐标原点，即a≠﹣2且a≠﹣1时，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得=2+a，解得a=0，此时直线l的方程为x+y﹣2=0；所以直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0；（2）由直线方程可得M（，0），N（0，2+a），因为a＞﹣1，=××（2+a）=×所以S△OMN=[（a+1）++2]≥×[2+2]=2，当且仅当a+1=，即a=0时等号成立；此时直线l的方程为x+y﹣2=0．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅱ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF．…（2分）设AC∩BD=O，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．…（6分）（Ⅱ）解：取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥ED，因为平面BDEF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．所以以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，所以B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），，．所以，．设平面BDH的法向量为，则．令z=1，得．…（9分）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为，则所以二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．…（12分）注：用传统法找二面角并求解酌情给分．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…（6分）①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…（8分）由可得，因为，所以；…（10分）②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…（11分）③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…（12分）本题有（22）、（23）、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|m +n |+|m ﹣n |≥|m |f （x ）对满足条件的所有m ，n 都成立，求实数x 的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=|2x ﹣1|+|x ﹣2|．即由f （x ）＞2得或解得或x ＞1，故所求实数x 的取值范围为．（2）由|m +n |+|m ﹣n |≥|m |f （x ）且m ≠0，得，又∵，∴f （x ）≤2， ∵f （x ）＞2的解集为，∴f （x ）≤2的解集为，∴所求实数x 的取值范围为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x第21页（共21页）则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

【数学】2017-2018年福建省莆田八中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合U={x|x＞1}，集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则∁U A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，3）2．（5分）复数Z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣ B．i C．D．﹣i3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）设命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a5+a7=24，则S9=（）A．36 B．72 C．C144 D．2887．（5分）已知平面向量，，则的值是（）A．1 B．5 C．D．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（）的图象沿x轴向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）若变量x，y满足条件，则z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．310．（5分）函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A． B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=lnx+x与（a＞0）的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为（）A．B． C． D．12．（5分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．9二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则a=．14．（5分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域是[1，+∞），则实数a的取值范围是．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．16．（5分）观察下列等式：（sin ）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin （）﹣2=×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin （）﹣2=×3×4；（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin （）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2= ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知：各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=1，a 2+2a 3=1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）将同时满足下列两个条件的数列{c n }称为“约束数列”：①c n ＞c n +1（n ∈N *）；②存在常数M ，使得数列{c n }的前n 项和S n ＜M 对任意的n ∈N *恒成立，试判断数列{a n }是否是“约束数列”，并说明理由． 18．（12分）已知向量．令f （x ）=，（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当时，求f （x ）的最小值以及取得最小值时x 的值．19．（12分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，S 3=14，a 1•a 5=8a 3，数列{b n }的前n 项和为T n ，b n +b n +1=log 2a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求T 2n ．20．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2bcosC=2a ﹣c ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为，求b 的取值范围．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x 千件，需另投入成本为C（x）．当年产量不足90千件时，（万元）；当年产量不小于90千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入﹣总成本）（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（12分）已知f（x）=ax2﹣（b+1）xlnx﹣b，曲线y=f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为2x+y=0．（1）求f（x）的解析式；（2）研究函数f（x）在区间（0，e4]内的零点的个数．2017-2018学年福建省莆田八中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合U={x|x＞1}，集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则∁U A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，3）【解答】解：根据题意，解（x﹣1）（x﹣3）＜0，可得1＜x＜3，即A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，又由集合U={x|x＞1}，则∁U A={x|x≥3}=[3，+∞）；故选：A．2．（5分）复数Z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣ B．i C．D．﹣i【解答】解：复数Z===，则虚部为，故选：C．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．4．（5分）设命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数），则△=16﹣8m≤0，解得：m≥2，则“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故选：A．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a5+a7=24，则S9=（）A．36 B．72 C．C144 D．288【解答】解：由题意，{a n}是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8．∵S9=，而a5+a5=a1+a9，∴S9═=72，故选：B．7．（5分）已知平面向量，，则的值是（）A．1 B．5 C．D．【解答】解：=（﹣4，﹣3）．∴==5．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（）的图象沿x轴向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一条对称轴是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（）的图象沿x轴向左平移个单位后，可得y=sin（2x++φ）的图象．再根据所得函数的图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，则φ=kπ+，∴φ=，故所得函数的解析式为y=sin（2x+）．令2x+=kπ+π，k∈Z，求得x=+，函数f（x）对称轴方程为x=﹣，故选：B．9．（5分）若变量x，y满足条件，则z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由z=x﹣y，得y=x﹣z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z经过点B（0，﹣1）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，代入z=x﹣y，得z=1；故选：B．10．（5分）函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：∵f（0）=1，排除A，C；f'（x）=xcosx，显然在（0，）上，f'（x）＞0，∴函数为递增，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=lnx+x与（a＞0）的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为（）A．B． C． D．【解答】解：设T（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣﹣ax+1，在x＞0时，有且仅有1个零点，T′（x）==﹣a（x+1）=（x+1）（）=（x+1）••（1﹣ax），∵a＞0，x＞0，∴T（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，如右图，当x→0时，T（x）→∞，x→+∞时，T（x）→﹣∞，∴，即ln+﹣﹣1+1=0，∴ln+=0，∴lnx+在x＞0上单调，∴在a＞0上最多有1个零点，a=1时，+=＞0，a=2时，+＜0，时，＜0，∴a∈（1，）．故选：D．12．（5分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．9【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，故S△ABC而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则a=2．【解答】解：，∴log a2+log a4=3，∴3log a2=3，∴log a2=1∴a=2，故答案为：214．（5分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域是[1，+∞），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：由题意，的值域是[1，+∞），当x≥2时，值域为[1，+∞），∴f（x）=a﹣x，x＜2的最小值大于等于1．∴a﹣2≥1，可得a≥3．故答案为：[3，+∞）15．（5分）已知数列{a n}的前n项和（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：∵（n∈N*），∴n=1时，a1=S1=﹣a1﹣1+2，解得a1=．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n﹣+2﹣，化为：a n=a n﹣1+．∴2n a n﹣2n﹣1a n﹣1=1．∴数列{2n a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴2n a n=1+n﹣1=n，则数列{a n}的通项公式a n=．故答案为：．16．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin （）﹣2=×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin （）﹣2=×3×4；（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin （）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n （n +1）．【解答】解：观察下列等式：（sin ）﹣2+（sin ）﹣2=×1×2；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin （）﹣2=×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin （）﹣2=×3×4；（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin （）﹣2=×4×5；…照此规律（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n +1），故答案为：n （n +1）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知：各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=1，a 2+2a 3=1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）将同时满足下列两个条件的数列{c n }称为“约束数列”：①c n ＞c n +1（n ∈N *）；②存在常数M ，使得数列{c n }的前n 项和S n ＜M 对任意的n ∈N *恒成立，试判断数列{a n }是否是“约束数列”，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }公比为q ，则由a 2+2a 3=1得qa 1+2a 1q 2=1， 2q 2+q ﹣1=0，解得q=或﹣1． ∵各项均为正数的等比数列{a n }，∴q=，即数列的通项公式a n=（）n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得且a n＞0，则a n=2a n+1＞a n+1，设数列{a n}的前n项和T n，则T n==2[1﹣]=2﹣（）n﹣1＜2，即数列{a n}的前n项和T n＜2，∴数列{a n}是“约束数列”．18．（12分）已知向量．令f（x）=，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．【解答】解：（1）f（x）==（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx•cosx=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，由最小正周期公式得：．（2），则，令，则，从而f（x）在单调递减，在单调递增．即当时，函数f（x）取得最小值．19．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，S3=14，a1•a5=8a3，数列{b n}的前n项和为T n，b n+b n=log2a n．+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求T2n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵，（1分）∴a3=8，（2分）又S3=a1+a2+8=14，∴，（3分）解得q=2或（舍去），（5分）所以．（6分）（2）∵，（8分）∴T2n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）=1+3+…+（2n﹣1）==n2．（12分）20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a ﹣c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理得2sinBcosC=2sinA﹣sinC在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB∴2sinBcosC=2sinBcosC+2sinCcosB﹣sinC即2sinCcosB=sinC∵0＜C＜π，sinC≠0∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=（Ⅱ）三角形面积公式S=acsinB==，可得：ac=4．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥ac=4当且仅当a=c2时，“=”成立，∴b≥2．∴b的取值范围是[2，+∞）．21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x）．当年产量不足90千件时，（万元）；当年产量不小于90千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入﹣总成本）（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）当0≤x＜90，x∈N*时，L（x）=﹣x2﹣10x﹣300=﹣x2+40x﹣300．当x≥90，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1300﹣300=1000﹣（x+）．∴L（x）=；（2）当0≤x＜90，x∈N*时，L（x）=﹣（x﹣60）2+900，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=900（万元）．当x≥90，x∈N*时，L（x）=1000﹣（x+）=800﹣（）2≤800．当=，即x=100时，L（x）取得最大值800万元．综上所述，即生产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万元．22．（12分）已知f（x）=ax2﹣（b+1）xlnx﹣b，曲线y=f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为2x+y=0．（1）求f（x）的解析式；（2）研究函数f（x）在区间（0，e4]内的零点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=ax2﹣（b+1）xlnx﹣b，∴f′（x）=2ax﹣（b+1）（1+lnx），f′（e）=2ea﹣2（b+1），f（e）=ae2﹣e（b+1）﹣b，故切线方程是：y=2（ea﹣b﹣1）x﹣ae2+eb+e﹣b，而切线方程为2x+y=0，∴，解得：a=1，b=e，∴f（x）=x2﹣（e+1）xlnx﹣e；（5分）（2）x2﹣（e+1）xlnx﹣e=0⇔x﹣（e+1）lnx﹣=0，x∈（0，e4]．设g（x）=x﹣（e+1）lnx﹣，x∈（0，e4]，则g′（x）=由g′（x）=0得x1=1，x2=e，（8分）当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，e）时，g′（x）＜0，x∈（e，e4）时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上增，在（1，e）上减，在（e，e4）上增，（9分）极大值g（1）=1﹣e＜0，极小值g（e）=﹣2＜0，g（e4）=e4﹣4（e+1）﹣，∵4（e+1）+＜4×4+1=17，e4＞2.74＞2.54＞62=36，∴g（e4）＞0．（11分）g（x）在（0，e4]内有唯一零点，因此，f（x）在（0，e4]内有唯一零点．（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

福建省莆田第八中学高三上学期第二次月考——数学理(数学(理))

福建省莆田第八中学 2017届高三上学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1.设全集为,｛︱>｝，｛︱<<｝, 则=( )A ．（,）B ．（,）C ．（,）D ．（,]2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．±343.设，，，则的大小关系为( )A ．＞＞B ．＞＞C ．＞＞D ．＞＞4．下列说法错误的是（）A ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x+1=0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1≠0B ．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C ．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D ．已知p ：∃x ∈R ，cosx=1，q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则“p ∧￢q”为假命题5．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 6.方程的一个根所在的区间为（）A ．B ．C ．D ．7．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1，则f (x )＝（）A ．x 2B ．2x 2C ．2x 2＋2D ．x 2＋18．若A 为三角形ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．正三角形9.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )11．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f （x ）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向心平移个单位12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图像与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知函数()⎩⎨⎧≤>=030log 2x x x x f x ，，，则.14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为________． 15.计算sin 250°1＋sin 10°＝________.16．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．三．解答题:（本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．18．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R.(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．20．(本小题满分12分)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q ) 2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．22.(本小题满分12分)已知函数x x a ax x f ln )12()(2++-=,R. （Ⅰ）当时,求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程恰有两个不等的实根, 求实数的取值范围；参考答案一、选择题DBCBB DDABD CC 二．填空题:13. 12 14. 3 15. 12 16. (1,1) 三．解答题:17.解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010.又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 18. f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a 0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.19.解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 20.解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1，又q >1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)． (3)因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)，所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f ′(x )<0，得1<x <3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．21.解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－3822.（Ⅰ）解：当时,函数,则xx x x x x x f )1)(12(132)('2--=+-=. …1 分令,得, ,当变化时,的变化情况如下表:∴在和上单调递增,在上单调递减. ……4 分当时,2ln －45－=)21(=)(极大值f x f , 当时,.………5 分（Ⅱ）解：依题意x a ax x x a ax )1(22ln )12(22+-=++-,即. 则. ……6 分令,则342ln 21)(ln 2)11()('x x x x x x x x x x r --=+-+=. …8 分当时, ,故单调递增（如图）,且0111)1(22<+-=+-=e e e e er ；当时, ,故单调递减,且.∴函数在处取得最大值. ……10分故要使与恰有两个不同的交点,只需.∴实数的取值范围是.……12分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

莆田八中高三数学（文）期中考试一、选择题 (每小题5分，共60分)1．设集合{}1,2,3,4U =，集合{}2|540A x N x x =∈-+<，则U C A 等于（）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,4D ．{}1,3,42．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3．在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“2d =”是“124,,a a a 成等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设i 是虚数单位，若复数()621ia a R i ++∈-是纯虚数，则a =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．e6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝3，S 9＝45，则S 3＝( )A ．39B ． -39C ．12D ．-127．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )8．函数21xx e y e =-的大致图象是（）A B C D9．已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+的值为（）A ．37 B ．37- C ．15 D ．15-10．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．211．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝（ )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 412．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)二、填空题 (每小题5分，共20分)13．若向量,a b 满足2,1,427a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为_________．14．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x +y +1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．15．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．16.设函数()()()3,132,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n ·18．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n 2－2n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（1）求角C ；（2）若7c =，ABC ∆的周长为57+，求ABC ∆的面积S ．20.（本小题满分12分）已知函数()233sin cos cos 2f x x x x =++．（1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 的最小正周期是π，求ω的值和函数()g x 的增区间．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：直线AF ∥平面PEC ； (2)求三棱锥P BEF 的表面积．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)在区间(1，e)上f (x )x －1>1恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学（文）期中考试参考答案BCACBDCCDACC【答案】23π【答案】13【答案】n ＋(n ＋1)＋ (n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2【答案】[)11,3,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.18【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.n=1时成立所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝12（1－17）＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1.19【解析】（1）由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()sin C A B C +=，∴2cos sin sin C C C =，故1cos 2C =又(0,)C π∈，∴3C π=．（2）57a b c ++=+且7c =，∴5a b +=，由余弦定理得：222cos 7a b ab C +-=，∴6ab =，133sin 22ABC S ab C ∆==．20【解析】（2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,2T ππωω===5222,23212125,,1212k x k k x k k k k Zπππππππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦增区间为21解：(1)证明：如图，作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME . ∵点F 为PD 的中点， ∴FM 12CD ，又AE12CD，∴AE FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线AF ∥平面PEC .(2)连接ED ，BD ，可知ED ⊥AB ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫PD ⊥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥AB DE ⊥AB⇒AB ⊥平面PEFPE ，FE ⊂平面PEF⇒AB ⊥PE ，AB ⊥FE . 故S △PEF ＝12PF ×ED ＝12×12×32＝38；S △PBF ＝12PF ×BD ＝12×12×1＝14； S △PBE ＝12PE ×EB ＝12×72×12＝78；S △BEF ＝12EF ×EB ＝12×1×12＝14.因此三棱锥P BEF 的表面积S P BEF ＝S △PEF ＋S △PBF ＋S △PBE ＋S △BEF ＝4＋3＋78.22解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 221x a x -=.令g ′(x )=0，解得x =1，因为g ′(x )在(0,1)上为负，在(1，＋∞)上为正．所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝ax －1，令h ′(x )>0，解得x <a .当a >e 时，h (x )在(1，e)上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0.当1<a≤e时，h(x)在(1，a)上单调递增，在(a，e)上单调递减，所以只需h(e)≥0，即a≥e－1.当a≤1时，h(x)在(1，e)上单调递减，则需h(e)≥0，而h(e)＝a＋1－e<0，不合题意．综上，a≥e－1.故实数a的取值范围为[e－1，＋∞)．。