10-4三重积分应用
三重积分
21
I f ( x , y , z )dxdydz
c2 z
z
Dz
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }
先做二重积分，后做定积分
I=
c2
c1
dz f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
x 2016年10月27日星期 四
2
1
8 . 2016年10月27日星期
四
20
（2）“先二后一” 计算方法
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }
z
Dz
先做二重积分，后做定积分
c1
0 y
x 2016年10月27日星期 四
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
2
y
x 27日星期 2016年10月 6 四
11
1. 化 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分， ：平面 y = 0, z = 0， 3x+y = 6, 3x+2y = 12 和 x+y+z = 6 所围成的区域
6 z
x+y+z=6
y2=x
y=0 o
D
0
2
x
I dxdy
z=0
2
2016年10月27x 日星期 四
D
π x 2 0
二、三重积分的计算技巧
二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。
一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、在闭区域D为x2y 2 a 2的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1）x 2 dxdy y2 dxdyx 2 y2 a2x2 y2 a2（2）若m, n中有一个为奇数有x n y m dxdy 0.x2y2a2例 1．求( x2 3 y 2 )dxdyx2y 2 a 2解：根据对称性，2a原式 =2(x 2y2 )dxdy =2d r 3dr a4 .x2y2a200例 2．求( x2dxdy 3y)x2y 2 a 2解：原式 =( x29 y 2 6 xy)dxdy5(x 2y 2 )dxdy5 a 4 .x2 y 2 a 2x2 y2 a22例 3．求(x3y 5 ) 2.（积分区域为球）z dxdydzx2y 2z2a2解：原式 =(x29y225z26xy30yz10).xz dxdydzx2y 2 z2a2=35( x2y 2z2 )dxdydz.35. 4a528 a 5 .3 x2y2z2a2 3 532、在闭区域D为( x a)2y 2 a 2的圆上例 4．求x dxdy( x a) 2y2a2(x a a)2a3 .解：原式 =dxdy( x a) 2y2a2—例 5．求x 2dxdy( x a) 2 y2a2解：原式 =(x a2a) dxdy( x a) 2y2a2(x 22a( x a)dxdy a 2dxdy 5 a4.=a) dxdy( x a) 2 y2 a2(x a)2 y 2 a2( x a )2 y2 a 243、在闭区域D为( x a)2( y b) 2c2的圆上(处理方法同2)二、积分区域的对称（化重积分为累次积分）1、区域关于坐标轴对称例 6．区域D由y x 2与 y 1 围成，求( xy2x 2 y 2 )dxdy.D2211224x y dxdy dx dy =解：原式 =x y..D1x2272、区域关于y x 对称，(x, y) D ,( y, x) D ，有 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.D D例 7．求( xy2yx2 )dxdy. 其中区域 D 为x2y 2 a 2， x0, y0D解：原式 =( yx2yx2 )dxdy. =0.D例 8．( xy23yx2)dxdy.其中区域 D 为x2y 2 a 2， x0, y0D2a解：原式 = 4xy2 dxdy=4d r cos r 2 sin 2rdrD00ar 5 sin2 2 a6= 4 2 d d sin=09例 9.求 a ( x)b ( y)dxdy. 其中区域D为 x2y2a2， ( x ) 为正值连续函数。
高等数学三重积分
I=
∫∫ dxdy ∫
D
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
=
∫
4
0
dx ∫
4− x
0
dy ∫
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
. .
Ω
y
y=0
x+ y = 4
1
.
D
o
4
x
8. 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
x y z 所围区域。 Ω : 抛物柱面 2 y = x和平面 + + = 1, z = 0 所围区域。 4 2 2
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
D
f ( x , y , z )dz
。
y
y= x
y2=x
y=0
.
Ω
0
D
π
o
y
2
x
z=0
10-5 三重积分的概念与性质 (1)
x
y
Dxy : x 2 y2 4.
zdv
2
2 1 2 64 4 d (16 )d . 0 2 0 3
0
d d 2 zdz
0
2
4
12
(2)当 f ( x , y, z ) 在闭区域上连续时， 定义中和 式的极限必存在，即三重积分必存在.
(3)三重积分与二重积分有类似的性质。 (4)三重积分的物理意义：如果被积函数表示空 间物体的体密度，则三重积分表示物体的质量。
4
三重积分的直角坐标形式
z
已知三重积分存在的前提下 在直角坐标系下用平行于三 个坐标面的三组平面来划分区域 Ω，则典型小区域是长方体，
第十章 重积分
第三节 三重积分的概念
1
一、三重积分的概念
定义 设 f ( x , y, z ) 是空间有界闭区域 上的有界 ， 函数，将 任意分成 n 个小闭区域 v1 ， v2 , 上任取一点 (i ,i , i ) ， 作乘积 f (i ,i , i ) v i ， 并作和
在每个 vi vn ， v i 也表示第 i 个小闭区域的体积，
( i 1,2,, n) ，
f ( , , )v ，
i 1 i i i i
2
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在闭区域 上的三重积分， 记为
o
x
v
x
z
y
y
则体积元素为 dv xyz dxdydz
故三重积分可写为
f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz.
重积分运算的常用解法
重积分运算的常⽤解法积分运算的常⽤⽅法Warren K引⾔：本学期课程的⼀⼤重点在于重积分的运算、利⽤重积分解决实际问题的微元法以及线⾯积分及其应⽤。
这⾥根据⾃⼰学习的⼀些⼼得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结⼀些积分运算的常⽤⽅法。
⼀、⼆重积分（1）、化为累次积分公式==bax y x y dcy x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f )(2)(1)(2)(1)(),(),(),(例1:计算??)(s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域.解将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得855])2[(5.02142212)(2=-+==--+dy y y y xydx dyxyds y s y 如果⽤直线把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。
先对y 后对x 积分得--+=412)(xx x xs xydy dx xydy dx xyds由上式可以得出同样的结果，但这种⽅法显然要⿇烦⼀些。
从这也可以看到，计算⼆重积分时，选取适当的积分顺序是⼀个值得注意的问题。
如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的⿇烦，⽽且可能导致积分⽆法算出。
（2）、化为极坐标若积分域（S ）与被积函数f(x,y)⽤极坐标表⽰更为简便，则应考虑将其化为极坐标的⼆重积分来计算。
为此，建⽴极坐标系，令极点与xOy 直⾓坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。
利⽤直⾓坐标与极坐标的转换公式),20,0(sin ,cos π?ρ?ρ?ρ≤≤+∞≤≤==y x将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为).sin ,cos (),(?ρ?ρf y x f =接下来就是把⾯积微元由极坐标表⽰出来，.?ρρ??≈?s从⽽==βα?ρ?ρρρ?ρ?ρ??ρρ?ρ?ρ)()(21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f ss=??ba d f d )()(21)sin ,cos (ρ?ρ??ρ?ρ?ρρ例2：)0()(41022222>+-=??-+--a dy y x a dx I ax a a x解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算.a d a d I a 224sin 2022-=-=??--πρρρθπθ（3）、曲线坐标下⼆重积分的计算法 1.正则变换⼆重积分??)(),(s ds y x f作变换.)(),()(),(),,(),,(22R s v u R s y x y x v v y x u u ?'∈?∈==若以下三个条件满⾜,则称上变换为⼀正则变换. a 、函数));((,)1(σC v u ∈b 、Jacobi ⾏列式);(),(,0),(),(σ∈?≠=??y x v u v u y x v u yyx x c 、此变换将域)(σ⼀⼀对应地映射为).(σ'2.x0y 坐标系下的⼆重积分与uOv 坐标系下⼆重积分之间的关系为σσσσ'??='d v u y x v u y v u x f d y x f ),(),()],(),,([),()( 例3：求-=σσd x y I )(，其中)(σ是由直线53,973,3,1+-=+-y x y x y x y 所围成的区域。
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
第十章-重积分的应用
第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S y Dσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，假设先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰yyDdx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。
三重积分
故：
{( x, y, z ) | x 2 2 y 2 z 2 x 2 , ( x, y ) Dxy }
Dxy {( x , y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
I 1 dx
1
1 x 2 1 x
x
o
P ( , )
y
z
3.柱面坐标系下的体积元素
d
d
dV d d dz ,
f ( x , y , z )dxdydz
dz
o
d
y
x
f ( cos , sin , z ) d d dz .
4.下列情形可考虑用柱面坐标： 1) 的投影区域 D 是圆域或圆域的一部分 ;
当 f ( x , y , z ) 关于
z 为奇函数时 , f ( x, y, z )dV 0 ; 当 f ( x , y , z ) 关于 z 为偶函数时 , f ( x, y, z )dV 2 f ( x , y, z )dV
1
其中 1 为 在 xoy 面上方的部分.
x 2 y 1, 1 x 1.
I
1
1
dx 2 dy
x
1
x2 y2
0
2xdz .
例4.设是由z x 2 y 2及z=h所围，将 I
.
f (x , y , z )dV 化为直角坐标下的三次积分。
例5.设是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围，将 I
二、利用直角坐标计算三重积分
三重积分习题课(一)
f ( x,
y , z )dxdydz dz f ( x , y , z )dxdy
c1 Dz
c2
2．利用柱面坐标计算 若 {(,
, z ) | z1 (, ) z z 2 (, ), 1 () 2 (), }
: r z 0r R2 r 2 , 2 R, 0 2 2
.
4
x
o
y
故有
zdxdydz
2 0
d
2 R 2 0
dr
R2 r 2 r
zrdz
2
2 R 2 0
1 1 2 2 R 4 r ( R 2r )dr 8 2
2 0
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z
2
dxdydz
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
d sin cos d r 3dr 0
4 0
R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
其中 为平面 x 0 ，
z 0 ，x y z 1 ，所围成的四面体。 y 0，
解: （如图）在平面 xoy 上的投影域 D xy
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2
2
4
D1
2
a a x y
2 2
a cos 0
2
dxdy
4a d
0
2
1 a r
2 2
rdr
2a 4a .
2
11/13
例 5
求 由 曲 面 x y az 和 z 2 a
2 2
x y
2
2
(a 0)所 围 立 体 的 表 面 积 .
第四节 重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积
第十章
1/13
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法) • 从定积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
2 x0
z 2 x0 x 2 y0 y 1
2 y0
的交线在 xoy 面上的投影为
2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) 1 (记所围域为D )
D
2 x0 x 2 y0 y 1 x0 2 y0 2 x 2 y 2 d x d y
1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 d x d y
解
解方程组
x y az , 2 2 z 2a x y
2 2
得两曲面的交线为圆周
x y a , z a
2 2 2
2 2 2 在xy 平面上的投影域为 D xy : x y a ,
由 z
1 a
( x y )得
2 2
zx
2x a
ห้องสมุดไป่ตู้
,
zy
解
由 对 称 性 知 A 4 A1 ,
D 1 ： x y ax
2 2
( x, y 0)
2 2
曲面方程 z
a x y ,
2
2
于是
1
z x
z 2 y
a a x y
2 2 2
,
10/13
面 积 A 4
D1
1 z x z y dxdy
2 2
2 2
z
S
n
M
o
x
n
d
y
z
d A
1 f x ( x , y ) f y ( x, y ) d
dA
M
(称为面积元素)
d
6/13
故有曲面面积公式
A
D
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) d
z x z y
2
2
即 A
2
y
2
若光滑曲面方程为隐式
z x Fx Fz , z y
2
且
Fy Fz
2 2
则
,
( x, y ) D x y
A
Fx Fy Fz Fz
dx d y
Dx y
8/13
例3. 计算双曲抛物面
出的面积 A .
被柱面
所截
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x 2 y 2 R 2 , 则
3
(1 cos )
5/13
二、曲面的面积
设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点M ( x, y, z ) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则
d cos d A
cos 1 1 f x ( x, y ) f y ( x, y )
D
令 x x0 r cos , y y0 r sin
D
r r d r d
2
2
0
d r d r
0
1 3
2
4/13
例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
0 r 2a cos
2y a
,
12/13
1 z z
2 x
2 y
2
2x 2y 1 a a
2
2
2
1 a
a 4x 4y ,
2
由 z 2a
x y 知
2 2
2 2
1 zx zy
2 2
2
2,
故S
D xy
a
1
a 4 x 4 y dxdy
A
D
1 z x z y d xd y
2
2
0
1 x y d xd y
d
R
2
2
D
2
1 r r dr
2 3 2
2
0
2 3
[ (1 R )
1) ]
9/13
例 4
2
求球面 x y z a ，含在圆柱体
2 2 2 2
2
x y ax 内 部 的 那 部 分 面 积 .
d
a 0
D xy
2 dxdy
2
0
6
2
1 a
a 4 r rdr
2 2
2 a
a
2
( 6 2 5 5 1 ).
13/13
D
1 (
) (
2
)
2
d xd y
若光滑曲面方程为 x g ( y, z ) , ( y, z ) D y z , 则有
Dy z
7/13
若光滑曲面方程为 y h ( z , x) , ( z , x) Dz x , 则有
A 1 ( ) ( ) dzdx Dz x z x y
2/13
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V f ( x , y ) d xd y
D
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z
3/13
例1. 求曲面 解: 曲面 S1在点 它与曲面
V
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 的切平面方程为
2a
z
M
r
: 0 0 2
x
2
o
y
则立体体积为
V d xd yd z
2 0
d v r sin d d dr
d
0
sin d
4 a 3
3
2 a cos
r dr
4
2
0
16 a 3
3
0
cos sin d