2013届高考数学第一轮三角函数专项复习教案2.doc

§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号一、填空题1．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝________.2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为________．3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角．4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x|cos x |＋|tan x |tan x 的值域是________．6．α是第一象限角，P (x ，5)为其终边上一点且cos α＝24x ，则x ＝________.7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．9．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 二、解答题11．确定下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 273°；(2)tan 108°cos 305；(3)sin 5π4·cos 4π5·tan 116π.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________．①sin θ2；②cos θ2；③tan θ2；④cos 2θ；⑤sin 2θ.14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关． 2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)知识梳理 1.y r x r y x 作业设计1．－713 2.－ 3 3．三解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 4．3解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∵α的终边经过点P ，cos α＝－35， ∴α为第二象限角， ∴b >0，∴b ＝3. 5．{－1,3}解析 若x 为第一象限角，则f (x )＝3； 若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1. ∴函数f (x )的值域为{－1,3}． 6. 3解析 r ＝x 2＋5，cos α＝xx 2＋5，由2x 4＝x x 2＋5(x >0)，解得x ＝ 3. 7．－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 8．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0， ∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 9.7π4解析 由任意角三角函数的定义，tan θ＝yx ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0， ∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴OP ＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 11．解 (1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0. ∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0. 从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正． (2)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°cos 305°<0，∴式子符号为负．(3)∵5π4是第三象限角，4π5是第二象限角，11π6是第四象限角，∴sin 5π4<0，cos 4π5<0，tan 11π6<0，从而sin 5π4·cos 4π5·tan 11π6<0， ∴式子符号为负．12．解 sin α＝y 3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433.∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433，∴cos α＝－34，tan α＝73. 13．③⑤解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z ，4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z .sin 2θ>0.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4 (n ∈Z )． ∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0. 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )． ∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ， cos 2θ有可能取负值．14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815. (2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.1．2.1 任意角的三角函数(二)课时目标1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是________；余弦函数y ＝cos x 的定义域是________；正切函数y ＝tan x 的定义域是________________． 2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.一、填空题 1.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________． ①正弦线PM ，正切线A ′T ′；②正弦线MP ，正切线A ′T ′；③正弦线MP ，正切线AT ；④正弦线PM ，正切线AT . 2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为______．4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)．5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是________．7．如果π4<α<π2，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．8．不等式tan α＋33>0的解集是______________．9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β.10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 二、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫sin x －22.14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．2．三角函数的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．1．2.1 任意角的三角函数(二)知识梳理1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．MP OM AT MP OM AT 作业设计 1．③ 2.3π4或7π4解析 角α终边落在直线y ＝－x 上． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 4．sin 1.5>sin 1.2>sin 1解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤54π，2π6.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 7．cos α<sin α<tan α 解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z 解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z . 9．>解析 作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析 如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1)图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }． (2)图2作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2 (k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2.当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.13．解 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎨⎧1－2cos x ≥0，sin x－22>0.即⎩⎨⎧sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z . 14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α， 又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α， 即sin α<α<tan α.1．2.2 同角三角函数关系课时目标1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：________________.(2)商数关系：________________(α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________； (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________； sin α·cos α＝____________＝__________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________；cos α＝____________.一、填空题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是________．2．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝______. 3．若sin α＋sin 2α＝1，，则cos 2α＋cos 4α＝________.4．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值为________． 6．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为________． 7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝______.8．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.9．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．10．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝____. 二、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x1＋tan 2x.能力提升 13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a ∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．2.2同角三角函数关系知识梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos2α1－sin2α1＋2sin αcos α1－2sin αcos α2(sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22cos αtan αsin αtan α作业设计1．1 2.－513 3.1 4.－435．－13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 6．－8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8. 7.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.8．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 9.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 10．2解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255.∴cos α＝－5－2sin α＝－55.∴tan α＝sin αcos α＝2.方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos α＋sin α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan α＝5，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.11．解 原式＝(1－cos 4α)－sin 4α(1－cos 6α)－sin 6α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x－sin 2xcos 2x＋sin 2x＝1－tan 2x1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．13．证明(1)左边＝sin2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin2αcos2α－1＝sin2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin2α－cos2αcos2α＝sin2αsin α－cos α－cos2α(sin α＋cos α)sin2α－cos2α＝sin2αsin α－cos α－cos2αsin α－cos α＝sin2α－cos2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解(1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a. ∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a.解得：a＝1－2或a＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，∴a＝1＋2舍去．∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.1．2.3三角函数的诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.2.(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______， tan(π＋α)＝________.一、填空题 1．sin 585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.3．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是________．4．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______.5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.6．tan(5π＋α)＝2，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为________．7．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝________.(用k表示)8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______．9．设f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 011)＝1，则f(2 012)＝____.10．若sin(π－α)＝log814，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________．二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.能力提升13．化简：sin[(k＋1)π＋θ]·cos[(k＋1)π－θ]sin(kπ－θ)·cos(kπ＋θ)(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若s in(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2 cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一)知识梳理1．原点 x 轴 y 轴 2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α －tan α (3)sin α －cos α －tan α (4)－sin α －cos α tan α 作业设计1．－22 2.－33 3.tan α 4．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α.5．－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， ∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32 (α为第四象限角)． 6．3解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.7．－1－k 2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k . 8．－1解析 原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 9．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2-＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－1－49＝－53.11．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α ＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α) ＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. ∴原式的值为－1.14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.1．2.3 三角函数的诱导公式(二)课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝________.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________．6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______.8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.二、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎨⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号 作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝－12. 4．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 7．－ 3解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169，又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13．解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。