圆的培优讲义(黄琼慧)
著名机构初中数学培优讲义中考复习.圆.第12讲(通用讲).学生版
板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题一、圆的相关概念1. 圆的定义（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．知识点睛中考要求圆（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3.垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．4. 点和圆的位置关系设o e 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有： 点P 在圆外d r ⇔＞； 点P 在圆上d r ⇔=； 点P 在圆内d r ⇔＜四、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定五、切线的性质及判定1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．4．弦切角等于同弧所对的圆周角． ①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．l AlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上 ②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线 (2) 过切点 (3)过圆心TA定理：① 过圆心，过切点⇒ 垂直于切线OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT② 经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点六、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．设两个圆为1O e 、2O e ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离；12d R R =+⇔两圆相外切； 12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交；12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．如果两圆1O e 、2O e 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且直线12O O 平分两外公切所夹的角和两内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、CD 都被12O O 垂直平分．处理两圆位置关系的基本思路与处理关于直线与圆位置关系问题的基本思路是一致的．相切两圆的性质连心线：是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． ①通过两圆圆心的直线叫做连心线．②如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．七 与圆有关的面积和长度计算设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法【例1】若两圆的半径分别是3cm 和4cm ，圆心距为7cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离【巩固】如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为A ．70°B ．35°C ．30°D ．20°例题精讲【例2】如图, O e 的半径为2，点A 为O e 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，1OD =,则BAC ∠=________︒．DCBAO【巩固】若两圆的半径分别为5和7，圆心距为2，则这两圆的位置关系是 （ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切【例3】若O e 的半径为5厘米，圆心O 到弦AB 的距离为3厘米，则弦长AB 为 厘米．【巩固】如图，AB 是e O 直径，弦⊥CD AB 于点E ，若8=CD ，3=OE ，则e O 的直径为． A ．5 B ．6 C ．8 D ．10O E DCBA【巩固】如果半径分别为2cm 和3cm 的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是（ ）A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．小于1cm 或大于5cm【巩固】已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的直径为9cm ，⊙O 2的直径为4cm ，则O 1O 2的长是（ ）A ．5cm 或13cmB ．2.5cmC ．6.5cmD ．2.5cm 或6.5cm【例4】如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ， 且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．【巩固】如图7，已知AB 是O ⊙的直径，O ⊙过BC 的中点D ，且90DEC ∠=︒．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）若30C ∠=°，23CE =O ⊙的半径．【例5】如图，在O e 中，AB 是直径，AD 是弦，6030ADE C ∠=︒∠=︒，． （1）判断直线CD 是否为O e 的切线，并说明理由； （2）若CD =，求BC 的长．CDE【巩固】如图，ABC △内接于e O ，=AB AC ，点D 在e O 上，⊥AD AB 于点A ，AD 与BC 交于点E ，点F 在DA 的延长线上，=AF AE ． ⑴求证：BF 是e O 的切线；⑵若4=AD ，4cos 5∠=ABF ，求BC 的长．【例6】如图，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A ，BM 平分∠ABC 交AC 于点M ，AD ⊥BC 于点D ，AD 交BM 于点N ，ME ⊥BC 于点E ，AB 2＝AF ·AC ，cos ∠ABD ＝53，AD ＝12．（1）求证：△ANM ≌△ENM ；B（图7）（2）求证：FB 是⊙O 的切线；（3）证明四边形AMEN 是菱形，并求该菱形的面积S ．【例7】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相交于点F ．⊙O 过点M ，C ，P ．（1）请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；（2）AN AF 与ADAP 是否相等？请你说明理由；（3）随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H ．设AB 为4，请你通过计算，画出．．这时的图形．（图2，图3供参考）【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ．（1）当E 是CD 的中点时：①tan ∠EAB 的值为______________；ACB FDM N 图1P图2图3②证明：FG 是⊙O 的切线；（2）试探究：BE 能否与⊙O 相切？若能，求出此时DE 的长；若不能，请说明理由．【例9】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90º，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t (s )． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？【例10】在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．1． 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的度数是 ．2. 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于点D ，C 是AB 优弧上任意一点，则图中所有相等的线段有 ；所有相等的角有 .课后作业CMOxy13 4 1- A1BDy ＝x ＋b2ODCBA3．已知：如图，Oe为ABC∆的外接圆，BC为Oe的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A 作AD BF⊥于点D.（1）求证：DA为Oe的切线；（2）若1BD=，1tan2BAD∠=，求Oe的半径.FC4．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连结P A，若P A＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？备用图。
北师大版九年级下册数学《圆》培优说课教学复习课件
(2)以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F这5个点中至少有1个点在圆内，
且至少有2个点在圆外，并求⊙A的半径r的取值范围．
课堂练习
解：(1)如图所示．
∵矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝ AB 2＋AD2＝ 32＋42＝5.
1
1
∵ AE·
BD＝ AB·
AD，
2
2
3×4 12
12
B. 2
C. 2 2
D. 2 3
巩固练习
2、如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度
数是 （ C ）
A．60°
B．45°
A
C． 36°
D． 30°
B
E
O
C
【解题反思】 圆周 角
圆心角
圆内接正多边形的中心角
·
D
巩固练习
3、有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积
则这个圆的半径是 7cm或3cm .
4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心，2cm为半径作⊙A，
则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A 上 .
课堂练习
5．如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D分别为OA，OB上的点，且
AC＝BD.求证：AD＝BC.
证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，
∴ OQ= + = cm>5 cm=r，
∴点Q 在⊙ O 外.
∵ RD=3 cm，OD=3 cm，且OD ⊥ l，
∴ OR= + =3 cm<5cm=r.
∴点R 在⊙O内.
课堂练习
1.下列说法中，正确的是( D )
初三上册数学直升班培优讲义学生版第11讲圆(一)(学生版)
模块一模块二模块三圆的基本概念垂径定理圆周角定理模块一圆的基本概念定义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径. 圆0•由圆的定义可知：\(1)圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在冋一个圆上•因此，圆(是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的n\圆心,—才、半径图形.(2 )要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位表示为“ O 0 ”置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；or\ /圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；‘ \◎能够重合的两个圆叫做等圆. 等圆丄同心圆弦和弧：1 .连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径，并且直径是冋一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍. 优弧、弦2 .圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 7弦以A、B为端点的弧记作A B，读作弧AB . 2J^7B在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 劣弧3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条表示：劣弧A B弧都叫做半圆.优弧ACB或AmB4.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.圆心角和圆周角：1.顶点在圆心的角叫做圆心角.2 .顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周A 圆心角司角扇形和弓形1 .一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫\厂扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：0)S r , l r . 扇形\丿)\ 360 180B弓B2 .由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.模块二垂径定理1.圆的对称性圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心.2 .垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.注意：垂径定理中的五个元素一一“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三•模块三圆周角定理定理示例定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半.推论1 :半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）.推论2:圆内接四边形的对角互补.模块圆的基本概念如图,判断下列正误.(1)(2)(3)(4) 半径相等的两个圆是等圆过圆心的线段是直径半圆所对的弦是直径直径是圆中最大的弦ACB如图，A B90如图，四边形ABCt® 4是O O的内接四边形，则A BCD 180，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即DCE A .(((())))(5) 半圆是弧( ) (6) 长度相等的弧是等弧 ( ) (7) 两个端点能够重合的弧是等弧( ) (8) 圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧()(9) 圆的半径是 R ,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )(1) 如图2-1, AB 为O O 的直径，CD 是O O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点 E ,若AB 2DE , E 18 , AOC _______________ . (2)如图2-2,两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm 2,则该半圆的半径为(1) ________________________________________________________________________________________ 如图 3-1, CD 为 O O 的直径，AB CD 于 E , DE 8cm , CE 2cm ，则 AB ____________________________ (2) ____________ 如图3-2，矩形ABCD 与圆心在 AB 上的O O 交于点G 、B 、F , GB 8cm , AG 1cm , DE 2cm , 则 EF ________ .(3) ______________ (安徽芜湖中考) 如图3-3，在O O 内有折线 OABC ，其中OA 8 , AB 12 , 则BC 的长为 ______________.模块二垂径定理IIB 60 , 图2-1 图3-1(1) _____________________________________________________________________________________ 如图4-1,过O O 内一点M 的最长弦长为12cm ,最短弦长为8cm ,则0M 长为 ___________________________________ .(2) 如图4-2,点P 是半径为5的O 0内一点，且0P 3，在过点P 的所有O 0的弦中，弦的长度为整数的条数有 _______________ .(1)直径为50cm 的O 0中，弦AB//弦CD ，又AB 40cm , CD 48cm ，则AB 和CD 两弦的距离 为 .例题4(2)(郴州中考) 已知在O 0中，半径r 5 , AB、CD是两条平行弦，且AB 8 , CD 6，则AC 的长为.如图，P为O O外一点，过点P引两条割线FAB和PCD，点M , N分别是A B , C D的中点，连接MN 交AB, CD 与E, F .(1)求证：△ PEF为等腰三角形;模块三圆周角定理根据上面的推理，可以发现 ___________________________________________________ .(2) 若点D 是优弧A B 上任意一点，试判断 ADB 与 ACB 的大小关系•根据上面的推理，可以发 现： _________________________________________ .(3) 如果点D 在劣弧A B 上，此时 ADB 和 ACB 的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？(1) 一条弦分圆为1:5两部分，则这条弦所对圆周角的度数为例题8(2)如图8-1 , A 、B 、C 、D 是O O 上的点，直径CEB .AB 交CD 于点E ,已知 C 57 , D 45，则(3) 如图8-2, AB 为e O 的弦，△ ABC 的两边 EDC 70，贝U C ____________ .BC 、AC 分别交e O 于D 、E 两点， B 60 ,(4) ________ 如图8-3, △ ABC 内接于e O , AB 是直径, 长为 _____ .BC 4 , AC 3 , CD 平分 ACB ，则弦 BD 的(1)已知A B 为O O 圆周上任意两点，C 是优弧A B 上一点，请你判断 ACB 与 AOB 的大小关系.D图8-1 图8-2 图8-3例题9如图，△ ABC是O0的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A, B重合），设OABC •猜想与之间的关系，并给予证明.模块一圆的基本概念CD是O O 的直径，EOD 87 , AE 交O O 于B ,且AB OC ，求 A 的度数.（1）如图2-1，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a , EF b , NH c ,则下列选项中正确的是（）.A . abcB . a b cC . cabD . b c a（2）（河南中考）如图2-2，在半径为 5，圆心角等于45的扇形AOB 内部作一个正方形 CDEF ,使点C 在OA 上，点D 、E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留n ） ________________如图,11o 模块二垂径定理 G H OFC 图2-1 A D E 图2-212 (2)已知O 0的直径是10cm , O 0的两条平行弦 AB 6cm , CD 8cm ，则弦AB 与CD 间的距离 为 .(湖北中考)如图，AB 是O 0的直径，且 AB 10,弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动 时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1 , b ，则|h 1 h 2|等于 _________________________________________.(1)如图3-1，是一条水平铺设的直径为中此时水最深为 _______________ 米. 2米的通水管道横截面，其水面宽为 1.6米，则这条管道(2)如图3-2 ,已知C 是弧AB 的中点，半径0C 与弦AB 相交于点D ,如果 那么CD . 0AB 60 , AB 3 , (3)(安徽中考)如图3-3, O 0过点B C .圆心O 在等腰直角△ ABC 的内部, BC 6，则O 0的半径为 ___________________ .BAC 90 , 0A 1 ,6cm ，最短的弦长为 4cm ，贝U 0M 的长等于 _____________最长的弦长为Fh 2 A Nh 1 E OB模块三圆周角定理，（四川成都中考）如图7-1, △ ABC内接于O0 , AB BC , ABC 120 , AD为O0的直径,6，那么BD __________ .(2)贝U A0DA. 70（四川南充中考）（）.如图7-2, AB 是O0 的直径，点C、D 在O 0 上, B0C 110 , AD//0C ,60 C. 50 D. 40 （3）（山东泰安中考）圆周角的度数为如图7-3, O0的半径为1, AB是O 0的一条弦，且AB , 3，则弦AB所对图7-1如图，已知AB是半圆0的直径，C为半圆周上一点, 与AC的数量关系并证明.M是A C的中点，MN AB于N,试判断MN(1)AD13。
初三数学讲义 -圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。
北师版数学九下9B教案 3.1 圆1
3.1 圆正确．故选B.1．理解确定圆的条件及圆的表示方法；(重点)方法总结：掌握与圆有关的概念是解决2．掌握圆的基本元素的概念；(重点)3．掌握点和圆的三种位置关系．(难点)问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1 题【类型二】圆的概念的应用如图，CD是⊙O的直径，点A一、情境导入为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，连古希腊的数学家认为：“一切立体图形接OE，∠A＝20°，AB＝OC，求∠DOE的中最美的是球形，一切平面图形中最美的是度数．圆形．”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、最匀称．观察图形，从中找到共同特点．解析：由AB＝OC得到AB＝BO，则∠A＝∠1，而∠2＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，二、合作探究即可求出∠EOD.探究点一：圆的有关概念解：连接OB，如图，∵AB＝OC，OB＝【类型一】圆的有关概念OC，∴AB＝BO，∴∠A＝∠1.又∵∠2＝∠A 下列说法中，错误的是() ＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB＝OE，∴∠2＝A．直径相等的两个圆是等圆∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＋∠E＝B．长度相等的两条弧是等弧3∠A＝60°.C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧方法总结：解决此类问题要深刻理解圆可能是等弧的概念，在圆中半径是处处相等的，这一点解析：直径相等的两个圆是等圆，A 选在解题的过程中非常关键，不容忽视．项正确；长度相等的两条弧的圆周角不一定变式训练：见《学练优》本课时练习“课相等，它们不一定是等弧，B 选项错误；圆堂达标训练”第2 题探究点二：点与圆的位置关系中最长的弦是直径，C 选项正确；一条直径【类型一】判定几何图形中的点与圆的位置关系把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，D 选项在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D、E分别为BC、AB的中1点，以点A为圆心，AC长为半径作圆，请说明点B、D、C、E与⊙A的位置关系．的位置关系，要熟悉勾股定理．解析：先根据勾股定理求出AC的长，变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9 题再由点D、E分别为BC、AB的中点求出【类型三】在平面直角坐标系中判断点与圆的位置关系AD、AE的长，进而可得出结论．如图，⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为(1，1)，试判断点P(－1，1)，点Q(1，0)，点R(2，2)与⊙O′的位置关系．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝AB2－BC2＝102－82＝6.∵AB＝10＞6，∴点B在⊙A外；∵在Rt△ACD中，∠C＝90°，∴AD＞AC，∴点解析：首先求得圆的半径长，然后求得D在⊙A外；∵AC＝AC，∴点C在⊙A上；1∵E为AB的中点，∴AE＝AB＝5＜6，∴2P、Q、R到Q′的距离，即可作出判断．解：⊙O′的半径是r＝12＋12＝2，PO 点E在⊙A内．′＝2＞2，则点P在⊙O′的外部；QO′＝1＜方法总结：解决本题关键是掌握点与圆2，则点Q在⊙O′的内部；RO′＝（2－1）2＋（2－1）2＝2＝圆的半径，故的三种位置关系．点R在圆上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课方法总结：注意运用平面内两点之间的堂达标训练”第8 题【类型二】根据点与圆的位置关系确距离公式，设平面内任意两点的坐标分别为定圆的半径的取值范围有一长、宽分别为4cm、3cm 的A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则AB＝矩形ABCD，以A为圆心作⊙A，若B、C、（x1－x2）2＋（y1－y2）2.D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点【类型四】点与圆的位置关系的实际在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是应用__________．如图，城市A的正北方向50 千米解析：∵矩形ABCD的长、宽分别为4cm、的B处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100 3cm，∴矩形的对角线为5cm.∵B、C、D三千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的客车车速为60 千米/时．点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆(1)当客车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，客车行驶了0.5 外，∴⊙A的半径r的取值范围是3＜r＜5.小时的时候，接收信号最强．此时，客车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，故答案为3<r<5.信号越强)?(2)客车从A城到C城共行驶2 小时，方法总结：解决本题要熟练掌握点与圆请你判断到C城后还能接收到信号吗？请2说明理由．材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生进一步理解圆的概念．例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课采用了小问题的形式进行，关注数学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置关系.解析：(1)根据路程＝速度×时间求得客车行驶了0.5 小时的路程，再根据勾股定理就可得到客车到发射塔的距离；(2)根据勾股定理求得BC的长，再根据有效半径进行分析．解：(1)过点B作BM⊥AC于点M，则此时接收信号最强．∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50 千米，∴BM＝40 千米．所以，客车到发射塔的距离是40 千米；(2)到C城后还能接收到信号．理由如下：连接BC，∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，∴CM＝AC－AM＝90千米，∴BC＝CM2＋BM2＝10 97千米＜100千米．所以，到C城后还能接收到信号．方法总结：解决本题的关键是能够正确理解题意，熟练运用勾股定理进行计算．三、板书设计圆1．圆的有关概念2．点和圆的位置关系设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r.本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻，对于圆的概念的形成过程主要通过让学生找出圆的两种不同画法的共同点得到，抓住了本质．通过教3。
著名机构初中数学培优讲义圆的概念.第01讲(A级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．揭示圆有关的基本属性； 2．能够利用垂径定理解决相关问题．从前，有一个圆，她每天不停地滚动。
有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。
中考要求重难点课前预习圆的基本概念当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。
当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。
尽管现在，她又完美了，可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。
由此，我想到维纳斯。
她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。
由此，我想到贝多芬。
对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。
但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。
我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。
她对于这个打击，自然是悲痛欲绝，穷其全部精力寻找。
她边找边努力让现在的自己具有那一小片的色泽。
她实现了。
尽管由于缺了一小片滚动的不快，却滚出了比原先更绚丽的色彩。
这个故事是我编的。
我给它起了个名字：挫折洗礼后的完美。
初三数学圆的经典讲义(K12教育文档)
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线，能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
六年级秋季培训讲义专题十一圆的综合与提高
CAB六年级数学秋季培训第一期（第十一讲）一、圆的考察1、比例关系：⑴如图已知图中三个小圆的面积相等，则阴影部分与空白部分的面积比为（）⑵如图，图形中的曲线是用半径长度的比为4:3:1的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是⑶三个圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米, 则图中阴影部分面积与非阴影部分的面积之比是______.第1题第3题＊2、请计算图中阴影部分的面积．3、容斥：正方形的面积是4平方厘米,求阴影面积.4、整体代换：ABC是等腰直角三角形，面积是3平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？5、差不变⑴正方形的面积是4平方厘米，甲阴影面积比乙阴影面积大多少？⑵如图，直角三角形ABC中，AB是半圆的直径，且阴影甲的面积与阴影乙的面积的比是5:3，乙甲半圆面积是三角形ABC 面积的710，若丙的面积是6.28平方厘米，求半圆周长。
＊6、其它如图：在边长为13厘米的正方形中，分别以正方形的每条边为斜边，向内作边长为5厘米和12厘米的三角形，那么图中小圆、大圆的面积比是多少？二、操作题1、数对（a,b ）为下面边长为6厘米方格纸中的点，a,b 不是倍数关系，且a,b 两数的倒数和最大。
⑴请将符合要求的点在图中标出⑵连接所画点，且以这条直线为对称轴，画出图中圆的轴对称图形⑶求出组合图形的面积2、如图：每个方格均为1平方厘米。
⑴画出三角形ABC 顺时针旋转90°后的图形''C AB ，其中'C 的坐标为（ ， ）⑵画出B 点走过的路线，求出AB 扫过的面积。
⑶以AB 所在直线为对称轴，画出前面所有操作形成的组合图形的轴对称图形。
三、确定起跑线两根等长的铁丝摆成下图（半圆弧和小圆），若每根铁丝均长50.24厘米，求两根铁丝的间距。
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圆的培优讲义
1. 如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o
，∠c=50o
,那么sin ∠AEB 的值为（ ） A. 21 B. 33 C.22 D. 23
2. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．
3. 如图，在Rt ABC △中，9068C AC BC O ∠===°
，，，⊙为ABC △的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan ODA ∠=（ ）A
B
C
D ．2
（1） （2） （5）
4. 如图，⊙O 过点B 、C 。
圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6， 则⊙O 的半径为（ ） A ）10 B ）32 C ）23 D ）13
（4） （6） （7） （8） （9） 5. 如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A.
(4 cm B. 9 cm
C. D.
cm
6. 如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则P A+PB 的最小值为（ ）A ．22 B ．2 C ．1 D ．2
7. 如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（ ）
A ．19
B ．16
C ．18
D ．20
8. 如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B ；两点，点P 的坐标为（4，2）,点A 的坐标
为（0）则点B 的坐标为 ．
9. 如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD
,1cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角α＝ ． 10. 现有一个圆心角为
90，半径为cm 8的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥的高为__________
D
C
A
O
图（3）
∙
第3题图
O F E
D
C B A ∙6题图
C O E
D B A 11. 如图，菱形OABC 中，∠A=120°，OA=1，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°至OA ′B ′C ′的位置，则图中由BB ′，B ′
A ′，A ′C ，C
B 围成的阴影部分的面积是_______
（11） （12） （13） 12.将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.
13. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是
14．在Rt △ABC 中，∠A ＝900
，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，
则⊙O 的半径为（ ） A 、 ab B 、
ab b a + C 、b a ab + D 、2
b
a + 15. 如图,PA,PB 是⊙O 的两条切线PA=8,过AB 弧上一点C,作切线分别交PA,PB 于D,E,若∠P=40°，∠DOE .
三角形PDE 的周长等于
16．如图，⊙O 内切于R t △ABC ，∠C=90O ，D 、E 、F 为切点，若∠AOC=120O ，则∠OAC= O ，∠B= O
，若AB=2cm ，△ABC 的外接圆半径= cm ，内切圆半径= cm 。
（15） （16） (17)
17. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =72°，⊙O 过AB 两点且与BC 切于B ，与AC 交于D ，连结BD ，若
BC =5－1， 则AC =_____.
18. 如图，在△ABC 中，∠C=900
，AC=8，AB=10，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、
AC 都相切，⊙O 半径为
（18） （20） （21）
19. 平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 20. 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ）
A 、1∶2
B 、1∶3
C 、1∶4
D 、2∶5
21. 如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。
22. 下列四边形中一定有内切圆的是（ ）
A ．直角梯形
B ．等腰梯形
C ．矩形
D ．菱形。