ns方程是抛物型方程
(完整版)流体力学NS方程推导过程
流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。
N-S方程相关知识课件
一、流体力学简介
流体力学研究内容
流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都 可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。 大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是 水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃 至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。
N-S方程相关知识
李晓艳
一、流体力学简介 二、N-S方程的命名及应用 三、 N-S方程的基本内容 四、 N-S方程的求解
一、流体力学简介
流体
流体是液体和气体的总称。 流体是由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的， 它的基本特征是没有一定的形状和具有流动性。流体都有一定的可压 缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改 变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力（即粘滞性）。当流体的 粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究 流体的运动和状态而引入的一个理想模型。
②非线性位流方程：假设气体无粘性，对含有弱激波的跨音速绕流问 题，即使在小扰动假定下，也不能将方程线性化，但仍可假设存在速 度位，这时采用的方程为非线性位流方程。
③非线性欧拉方程：由L.欧拉建立的只假设气体无粘性的方程。它比上 面两种方程更为精确。对于具有较强激波或有分离涡面的流动和其他 一些复杂的问题，在求气动力时常采用这种方程。
三、N-S方程基本内容
N-S方程表示
在直角坐标系中，其表示形式为：
方程(1)为不可压缩流体的动量方程保证动量守恒，方程(2)为连续方 程确保质量守恒。u为速度，p为压力，ρ为流体的密度，v是流体运动 粘度系数，f为外力，“.”为矢量点积，微分算子（哈密顿算子） ∇= / x, / y, / z ∇2为拉普拉斯算子。
三类典型的数学物理方程
1.2 初始条件与边界条件
u n
u
S
f
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边条件，否则称为非 齐次边界条件。
1.3 定解问题的提法
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
二阶线性偏微分方程
方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对 于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。
线性方程示例： 一维波动方程： 二维热传导方程：
1.3 定解问题的提法
解（古典解） 定解条件：边界条件与初始条件的总称 定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解
条件合在一起，就构成了一个定解问题。
始值问题（Cauchy问题） 边值问题 混合问题 解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合
实际）
1.3 定解问题的提法
微分方程的适定性
F(x x,t)
x x 密度ρ
以杆上一小段（x，x＋Δx）为研究对象
应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变
成正比，比值为杨氏模量E
u
小段的相对伸长为x ，在x点处为 在（x＋ Δx）处为 u(x x,t)
u ( x, t ) x
x
小段所受的力为：F F(x x,t) F(x,t)
T1
c h
T2
l
c
h
T1 T2 T0
sin1 tan1 c h sin2 tan2 c (l h) cos1 cos2 1
C
c F0h(l h)
T0l
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
ns方程以及各类耦合方程 概述及解释说明
ns方程以及各类耦合方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述在流体力学领域中，研究流体的运动和相互作用是非常重要的。
然而，由于流体运动的复杂性和多样性，需要使用一系列方程来描述和模拟这一过程。
其中最为基础且广泛应用的方程之一就是Navier-Stokes (NS) 方程。
本文将对NS方程以及各类耦合方程进行概述和解释说明。
首先，我们将介绍NS方程的定义与背景，并讨论其数学形式及物理意义。
随后，我们将探讨各类耦合方程的定义与分类，并着重介绍主要的耦合模型以及特殊情景下的耦合效应。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
除了引言外，还包括NS方程、各类耦合方程、解释与说明以及结论部分。
每个部分都有自己明确的内容目标，形成文章逻辑清晰、条理性强的结构。
1.3 目的本文旨在全面介绍NS方程和各类耦合方程，并对其进行详细解释和说明。
通过阐述数学形式、物理意义和特殊情景下的耦合效应等内容，读者能够更好地理解这些方程在流体力学中的应用和作用。
此外，我们还将探讨解析解和数值解的求解方法，并通过工程实例展示其应用价值。
最后，在结论部分，我们将总结文章的主要内容，并对局限性进行分析，并展望未来研究方向，以促进相关领域的发展和创新。
本文所涵盖的内容旨在为读者提供一个全面且具有参考价值的概述，帮助他们更好地理解和运用NS方程及各类耦合方程。
通过深入研究和了解这些概念和方法，读者可以拓宽自己在流体力学领域的知识面，并为相关研究提供有益的指导和启示。
2. NS方程：2.1 定义与背景：NS方程是流体力学中的一组偏微分方程，描述了流体运动的基本规律。
NS方程由连续性方程和动量守恒方程组成，用于描述流体的质量守恒和动量转移。
在欧拉描述下，连续性方程表示了质量守恒的法则，即流体在任意时刻和位置的质量保持不变。
而动量守恒方程则描述了力对流体运动产生的影响，其中包括惯性项、压力梯度项、粘性项等。
2.2 数学形式：NS方程可以写作以下形式：连续性方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0动量守恒方程：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇P + μ∇^2v + f其中，ρ代表流体的密度，t 代表时间，v是速度矢量，P是压力，μ是动力黏度（反映了流体粘性特性），f代表外部施加给流体的力。
NS方程推导
p
1 3
(
xx
yy
zz );
xx
p
2
u x
;
yy
p 2
v y
;
zz
p 2
w z
以上广义牛顿内摩擦定律以及压力与正应力的关系可以找陈卓如老师的工程流体力学，有相 关的解释。 代入化简上面由牛顿第二定律得到的方程：
fx dxdydz
xxdydz
(
xx
xx x
dx)dydz
yx dxdz
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和 N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时 间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉 方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
w z
0
这个不可压缩流体的连续性方程很重要，下面推导 N-S 方程的时候要用到。
接下来要推导出流体力学的 N-S 方程。在推导 N-S 方程之前，有很多人都在这里有困惑。这 里有两个概念要搞清楚，那就是什么是理想流体和粘性流体。我们很多课本在讲流体力学的 时候是先讲了理想流体的动量方程，之后又没有接着讲粘性流体的动量方程，所以有些人到 后面再讲 N-S 方程就混淆了。另外就是很多人一听到 N-S 方程就心里有点害怕，畏惧了，还 没来得及去仔细研究就放弃了，如果仔细研究一下，其实也不难，很多流体力学的书是用场 论的知识去推导出 N-S 方程的，我们工科学校对场论没有接触，最好还是用正六面体的方法 来推导 N-S 方程。哈工大陈卓如和王洪杰老师的工程流体力学对 N-S 方程的推导用的是正六 面体法，很容易看懂。清华大学的书就比较难，可以参考。在这里得先推到一下理想流体的
粘性流体力学讲解
z
-px
、v、px、p y、pz、f
牛顿第二定律：
x -py
z
M
z
y
py
p y y
y
ma F
x
y
px
p x x
x
-pz
Dv Dt
x
y
z
f
x
y
z
p x
y
z
(p x
p x x
x)
y
z
p y
x
z
(p
y
p y y
y)
x
z
Dv Dt
fy
1
p y
2v
Dw Dt
fz
1
p z
2w
Discussion:
Dv f 1 p 2 v v
Dt
3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和 粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。
0
du
dy
yh
dp h dx
y
h
o -h
umax x
dp 0 dx
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t
u U eky cosky t ——粘性扰动波。 y 2
dp 0 dx
速度分布： （Couette流动）
NS方程推导
代入上面加速度公式，得到
d dt
(M ,t) t
t0,M和M 靠近，
MMMlMi的m变0化会(引M起,三tM个) M方向速(M度的,变t)化
用M点速度
du dt
u(x, y, t
z,t)
u(x,
y,
z,t)
u(x, y, x
z,t)
v(x,
y, z,t)
u(x, y, z,t) y
w(
x,
y,
z,
t
)
u(
x, y, z
z,
t
)
u u u v u w u t x y z
du dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
;
dv dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
;
dw w u w v w w w dt t x y z
至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
பைடு நூலகம்
纳维斯托克斯方程(NS方程)详细推导
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
1、质量力：
fxρdxdydz
x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p
p dx x 2
p
p dx x 2
x轴正方向
x轴负方向
本构方程和NS方程
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
1 u z u y x ( ) 2 y z