平面电磁波电场表达式
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平面电磁波
例如铜：
f 1MHz, c 66106 m
f 30GHz, c 0.38106 m
4.4 电磁波的极化
本节要点
极化 线极化 圆极化 椭圆极化
1. 极化(polarization)
金属导体 金属导体
导体上的感应电 动势等于零
导体上的感应电 动势最大
无耗媒质中电场、磁场与功率流
4.2 无限大导电媒质中的平面电磁波
本节要点
复介电常数 导电媒质中的平面波 色散及其对通信的影响
1.复介电常数(complex permittivity)
无限大导电媒质中复介电常数
~ 1 j
实部代表位移电流的贡 献，不会引起能量消耗。
+z轴方向传播的均匀平面波 -z轴方向传播的均匀平面波
4. 均匀平面波的基本概念
如果电介质区无限延伸，则电场矢量可一般地表示为 E ax E0e jkz 时域表达式为 Ex z, t E0 cost kz 0
下面，我们对平面波进行较为详细的分析。
代表场的波动状态，称为电磁波的相位。它由三部分构成:
~ 将无耗媒质的相位常数及波阻抗中的 均以 来取代，即 得导电媒质中的复相位常数为
~ ~ k j
~ 1 j
2 1 1 1 2 1 2
~ 1 j
2
2.导体中均匀平面电磁波
导体中均匀平面波的电磁场及平均坡印廷矢量为
Ex E0ez e jz
Hy
E0e z e jz e j / 4
第五讲 平面波
= ηHr
× erz
r A
⋅
(
r B
×
r C)
=
r B
⋅
r (C
×
r A)
=
r C
⋅(
r A
×
r B)
( ) erz
erz
⋅ ⋅
r H r E
= =
erz erz
⋅ ⋅
⎜⎛⎝ηη1Hrer×z
×
r E
⎟⎞
erz
⎠ =
η=Hrerz⋅⋅(⎜⎛⎝erezrz××erηz1)
r E =
⎟⎞ ⎠ 0
=
1
η
r E
=
yˆ 1
η
E(z,t)
3. 本征阻抗（特征阻抗）
计算式 η = ωμ = ωμ = μ k ω με ε
单位：欧姆（Ω）
η数值等于电场强度与对应磁场强度的振幅之比，并且仅决定于媒质的
电磁参数。
真空中 ④结论：
η0 =
μ0 = 120π ≈ 377 (Ω ) ε0
x
Ex = Emx cos(ω t − kz + ϕ x )
亥姆霍兹方程的解
结论
①亥姆霍兹方程的解代表正弦电磁波，进一步说，它们代表着等相位面（又
称波面）为平面的平面电磁波。如果将不同nˆ 的平面波进行叠加，还可以表
示等相位面为柱面或球面等其它形式的电磁波。
②从电场和磁场的叉积关系可以看出，电磁波的电场矢量、磁场矢量与波矢量
方向两两正交，且满足右手螺旋关系 Eˆ × Hˆ = kˆ。电场和磁场只有垂直于传播
在理想电介质中的波动方程解表示为
Ei (rv,t) = Ei m cos[ω
电磁场-平面电磁波
入射波电场垂直于入射面 （即垂直极化）
注:入射面即y=0的平面，不是分界面
将 H 分解为界面的切线 t 向，上下边界应相等
• .
• 联解（1）（2）得到菲涅耳公式（设μ1 = μ2=μ）
• 考虑到
在介质1中合成波场的分量为：
讨论： 1）场的每一个分量都有因子 向传播，相位沿x方向变化。
，表示合成波也沿x方
第四章 平面电磁波
无线广播，通讯的载波，激光器发出的激光，都 接近正弦电磁波，称谐和波或单色场。
• 通常正弦电流用复数表示：
称为电场的 x（或y, z）分量的复振幅， 复振幅和幅角都是坐标的函数
.
• 利用复指数后，场量对时间的偏导数变得简单。
。将复数表达式代入正弦电磁场情况下的麦克斯韦方程组得：
时称为理想导体。
• （3）0.01 < < 100 称半导体， • 半导体材料对传导电流和位移 电流都必须考虑。
• .注意: 某种材料是导体还是绝缘体或半导体，
• 不但与ζ 还与工作频率 ω有关。 • 例铜的电导率ζ =5 .7x 107 S/m , 在光频以下为良导体 • 对 x射线（设波长为0.1nm）, 铜却不是良导体。
电场瞬时值表达式：
为沿 -z 方向传播的平面波
电磁波的极化
• 平面电磁波是横波，它的 E矢量可以在垂直于传 播方向（波矢 K 的方向）的任意方向振动，如 果在垂直于传播方向的平面内，E 的振动限于 某一固定的方向，则称为线偏振或平面偏振，E 的振动方向称为偏振方向或极化方向。 • 沿z轴方向传播的电磁波的电场矢量E 可以分解 为两个互相正交的分量Ex , Ey 它们的振幅分别为 E1、 E2，相位差为φ=φ1-φ2
• .良导体的条件
平面电磁波的性质
uv E
'
积分并取积分常数为0
v k
×
uv E
=
uv kv B
v k
×
uv B
=
−με
uv kv E
结论：E、B、k三个矢量互相垂直，并顺序组成右手坐标系。 电场波E和磁场波B都是横波
回
顾
1.3.2 电磁波的矢量性质
分析：电磁波是由高频振荡的电场E和磁场Ｂ按一定的规 律随空间坐标r和时间t传播而形成的。电磁波的波函数描 述了E、 B随r、t的变化规律。在一般情况下，E、B的大 小和方向均随r、t的变化而变化，总是发生在垂直波传播 方向的平面内（横波）。
由于 : k × E = kν B
Qk ⊥ E
且 k = k ⇒ E =νB = 1 B = c B με n
E和B之间的数值关系
r E Qr= B
1 =v
εμ
两波振幅之比是一个正实数， ∴ Er、Br两矢量位相相同。
回 顾
• 平面电磁波的能量传播特性
1.能流密度矢量（各向同性）
电场：u E
=
1 2
•光波在折反射过程中振动分量的状态不变。入射波为s分量时，反射 波和折射波也是s分量，不会出现p分量，反之亦然
这种方向只是一种人为的规定，改变这种规定，并不影响结果的 普遍适用性。
③非铁磁性媒质： μ1 = μ2 = μ0
④
uv E
的正方向的规定：Ｓ分量
为正， 为负；Ｐ分量：在界面的投影向
右为正，左为负
• 在光学中，常常要处理光波从一种介质到另 一种介质的传播问题，由于两种介质的物理 性质不同（分别以ε1、μ1 和ε2、μ2 表征）， 在两种介质的分界面上，电磁场将不连续，
第七章 均匀平面电磁波
4 107 120 1 109 36
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性 5.波印廷矢量
E0 cos(t kz ) S E H a x E0 cos(t kz ) a y 2 E0 az cos2 (t kz )
②等相位面:任一固定时刻,相位相同的点组成的面.
③等相位面方程:
t kz x 常数
④显然随t增加,等相位面必向Z增加方向移动,也即某 一定的E x 值向Z增加的方向移动,也即整个波形向Z增 加方向移动,即向+Z方向传播的简谐波.
第七章 均匀平面电磁波
二.所以波动方程及解:
⑤等相位面上各点相位相等，随时间推移和位置变化始终=常数 等相位面垂直于传播方向(+Z). 小结：
大小上是波阻抗的倍数关系。
(3)瞬时值形式： 将此式乘 e jt取实部可得时域关系式(略)
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性
根据波动方程的解及电磁场关系式不妨设： E a x E 0 cos(t kz ) E0 H a y cos(t kz ) a y H 0 cos(t kz )
2 2 1 T T f
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性
4.波阻抗 电场与磁场复振幅之比,称平面波的波阻抗
E0 k k H0
一般为复数，在理想媒质中,η为实数,即此时 E和H 的相位相同，
如果是真空/空气，则为
0
0 0
第七章 均匀平面电磁波
三.电磁场的关系
E x E x0 cos(t kz x ) Re[Ex e ] 其中 E E e jkz
电磁波、习题
0
0
1 v v j z j ( z 90o ) ex 200e ey 100e 377
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v v 求出z<0区域内的总电场 E1 和总磁场 H1
平面电磁波传播习题课
j ( z 90o )
E1x Ex Erx 100e
100e
平面电磁波传播习题课
等相位面方程：=kzt=常数。 相速度 v p
dz dt k
等振幅面方程：2E0cos(dkz d t)=常数。
dz d 振幅传播速度：v p dt dk dz (dk d 0) dt
波包整体传播速度即群速度。
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i[(k dk ) z (d)t ] E1 E0 ex e , E2 E0 ex ei[(k dk ) z (d)t ] E E1 E2 2E0 ex cos(dk z d t )ei ( kzt ) 仍为x方向上
k sin k sin k k 0 0 k n21k，k x
平面电磁波传播习题课
2 k 2 k x ik sin 2 n21 kz i 为虚数 2
i(k z i ( kxxt ) x t ) e e e E E0 E0
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E
平面电磁波传播习题课
反射系数 R S n E 2 3 0.072 Sn E 2 3 折射系数 T 1 R 0.928(不考虑损耗)
2
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平面电磁波传播习题课
例4：有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60o，证明这 时将会发生全反射，并求出折射波沿表面传播的相速度和透入空 气的深度，设该波在空气中的波长为0=6.28105cm，水的折射 率为n=1.33。 解：空气折射率n21，水折射率n1=n>n2。
4-1 平面电磁波
k 2 /
4. 平面电磁波的性质 （ 1）
E E0 e
i k x t k x t
ik E0e ik E 由于E=0，所以 k E 0 , 表示电场波动是横波,
E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的取向称为电 磁波的偏振方向（极化方向），可以选与 k 垂直的
第四章 电磁波的传播
在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着
的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电 磁波。 由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛
应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为
独立的学科，具有十分丰富的内容。 本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论，下
一章再讨论辐射和激发问题。
消去共同因子e-it 后得
E iH H iE E 0 H 0
（1）
（2） （3） （4）
注意：在0的时谐电磁波情形下这组方程不是 独立的．
取第一式旋度并用第二式得
( E ) E
2
( E ) ( E ) E E
二、时谐电磁场
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单
色波）。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，
它也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析） 方法分解为不同频率的正弦波的叠加。因此，下 面只讨论一定频率的电磁波。 1. 场量的复数形式: 设电磁场只有一种频率 ，电磁场对时间的依赖
关系是cos t，或用复数形式表为
w E0 cos k x t
2 2
1 2 E0 1 cos 2k x t 2
和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需
用到它们的时间平均值。 为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般 公式．设f(t)和g(t)有复数表示
7电磁场与电磁波-第七章(下)图片
第六节 均匀平面波对分界面的垂直入射
本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界面上的 反射与透射，设分界面为无限大平面，分界面位于z=0处。 本节以入射波为x方向的线极化波为例进行讨论。
一、对理想导体的分界面的垂直入射 设 左半空 间 是理 想 介质 ， γ1＝0；右半空间为理想导体， γ2＝∞。分界面在 z = 0 平 面上。 理想介质内将存在入射波 和反射波。
讨论：(1)三者相互垂直，且满足右手螺旋关系
在导电媒质中，电场和磁场在空间 中不同相。电场相位超前磁场相位:
小结：无限大导电媒质中电磁波的特性： 1、为横电磁波（TEM波）三者满足右螺旋关系; 2、电磁场的幅度随传播距离增加而呈指数规律减小； 3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位； 4、是色散波。波的相速与频率相关。
媒质1中总的电场、磁场为：
由两种导电介质边界条件可知：
定义：反射系数
透射系数
反射系数和透射系数关系为：
讨论
3.当1区为空气,2区为良导体，对于一般的高频电磁 波(GHz)，在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁 场场量的振幅将衰减几乎完了。 因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良 导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这 种现象成为趋肤效应。 工程上常用透入深度(穿透深度)来表征良导体中趋肤效 应的强弱。
一、导电媒质中的波动方程
在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为 第一个方程可以改写为
称为复介电 常数或等效 介电常数
说明：复介电常数
引入等效复介电常数后，无源导电媒质中的麦克斯 韦方程组可记做：
二、导电媒质中的波动方程的解
可建立方程组：
三、导电媒质中的平面波的传播特性
1、波的振幅和传播因子
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平面电磁波电场表达式
电磁波是由电场和磁场相互作用而产生的一种波动现象，它的传播速度等于光速。
在电磁波的传播过程中，电场和磁场不断地交替变化，形成了电磁波的特征。
本文将重点讨论电磁波中电场的表达式。
电磁波的电场表达式可以用一个复数函数来表示，即：
E(x, t) = E0 * exp(i(kx - ωt + φ))
其中，E(x, t)表示电场的矢量，x和t分别表示空间和时间坐标，E0表示电场的最大值，k表示波矢，ω表示角频率，φ表示相位常数。
在上述表达式中，exp(iθ)代表复数的指数形式，其中i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数函数exp(i(kx - ωt + φ))描述了电场的时空变化规律。
在表达式中，k = 2π/λ表示波矢的大小，λ表示波长，是电磁波传播一个周期所需要的距离。
角频率ω = 2πf表示电场的变化频率，f为电磁波的频率。
相位常数φ表示电场在t=0时刻的相位，它决定了电场的起始状态。
电场的幅度E0表示电场的最大值，它与电磁波的能量密度和辐射强度有关。
E0的大小取决于电磁波的源头和传播介质的性质。
电场表达式中的指数函数描述了电场的时空变化规律。
指数函数的实部表示电场的振幅随时间的变化，虚部表示电场的相位随时间的变化。
指数函数的指数部分(kx - ωt + φ)表示电场的相位随空间和时间的变化。
电场的表达式中的kx表示电场的相位随空间坐标x的变化，与波矢k有关。
电场的相位随空间的变化可以看作是电场在空间中传播的变化规律。
电场的表达式中的-ωt表示电场的相位随时间t的变化，与角频率ω有关。
电场的相位随时间的变化可以看作是电场在时间中传播的变化规律。
电场的表达式中的φ表示电场的起始相位，它决定了电场的起始状态。
在同一时刻，不同位置的电场具有不同的相位，形成了电磁波的特征。
总的来说，电磁波的电场可以用复数函数来表示，其中包含了电场的幅度、相位、波矢和角频率等信息。
电场的表达式描述了电场在空间和时间中的变化规律，对于研究电磁波的传播和相互作用具有重要的意义。
通过对电磁波电场表达式的分析和理解，我们可以更好地认识电磁波的性质和特点，为电磁波的应用提供理论基础。
同时，电磁波的电场表达式也为电磁波的研究和工程应用提供了重要的数学工具。