宁夏银川市2021届高三数学上学期第五次月考试题理.doc

宁夏银川市2021届高三数学上学期第五次月考试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}35|A x x =<<，{}2|340B x x x =--<，则AB =.A ．∅B ．{}|25x x <<C ．5{|}4x x <<-D ．{|34}x x << 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是Z (1，2），则=⋅z i A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为()00n N n t n n N N <⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（0t 、0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为 A ．16小时B ．11小时C ．9小时D ．8小时4．直线1:+10l ax y a +-=，直线1:420l x ay +-=，则“2a =±”是“l 1∥l 2”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若2cos()12x π+=5(12x π∈，11)12π，则cos()6x π-值为 A ．35B ．45 C ．35-D ．45-6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2113234m m m a a a -+-+=，214038m S -=，则m =.A ．1000B ．1010C ．1020D ．10307．如右图所示，等边ABC ∆的边长为2，//AM BC ，且6AM =. 若N 为线段CM 的中点，则AN BM ⋅=A ．24B ．23C ．22D ．188．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有 刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问积 几何．”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底 面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，则该楔体的体积为 A ．12000立方尺 B ．11000立方尺 C ．10000立方尺 D ．9000立方尺 9．函数141xy e x =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是A B C D 10．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=A ．0B ．6C ．12D ．1811．若函数()()2122ln 2ax f x a x x =+--在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是A ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．(),1-∞-C ．()2,1--D ．(),2-∞-12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知25c =52sin cos sin sin sin 2a C B a Ab B b C =-+，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为 A ．35B ．554C 55D 55二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知51cos sin =+x x ，π≤≤x 0，则=x tan .14．已知函数2331)(23+--=x x x x f ，则函数()x f 的 极大值点为_________.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为_____. 16．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为8，10，12，第四行为 14，16，18，20，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行， 第j 列的数记为,i j a ，比如3,210=a ，4,216=a ，5,424=a ， 若,2020=i j a ，则i j +=________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分) 17．（本题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知3a =，2c =45B =︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 18．（本题满分12分）在数列{}n a 中，112a =，1(42)(21)n n n a n a +-=+. （1）设21nn a b n =-，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：3n S <. 19．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>6右焦点为(22,0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形PAB ，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程； （2）求PAB ∆的面积. 20．（本题满分12分）如图，PD ⊥平面ABCD AD CD AB CD PQ CD ⊥，，∥，∥，222AD CD DP PQ AB =====，点E F M ，，分别为AP CD BQ ，，的中点.（1）求证：EF ∥平面MPC ； （2）求二面角Q PM C --的正弦值；（3）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面PMQ 所成的角为6π，求线段QN 的长. 21．（本题满分12分）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-．(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos y x （α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx '2'后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()413f x x x =-+--. （1）解不等式()2f x ≤；（2）方程()20f x kx +-=解集非空，求k 的取值范围.银川一中2021届高三第五次月考数学(理科)参考答案1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 D B CCABBCDDCD二、填空题13．﹣5816. 71 三、解答题17.【解析】（1）由余弦定理，得22222cos cos 452262a cb B ac +-=︒===， 因此25b =，即5b =sin sin c b C B =，得25sin 2C =，因此5sin C =． （2）∵4cos 5ADC ∠=-，∴23sin 1cos ADC ADC ∠=-∠=，∵(,)2ADC ππ∠∈，∴(0,)2C π∈，∴225cos 1sin C C =-=，sin sin()sin()DAC DAC ADC C π∠=-∠=∠+∠25sin cos cos sin 25ADC C ADC C =∠+∠=，∵(0,)2DAC π∠∈，∴2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠． 18．【解析】（1）因为1121n n a b n ++=+，1(42)(21)n n n a n a +-=+，所以11(21)1(21)2n n n nb n a b n a ++-==+. 又11b =，所以{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列. 于是111121222n n n n a b n -⎛⎫=== ⎪-⎝⎭，故212n n n a -=.（2）23135212222n nn S -=+++⋅⋅⋅+. 234111352122222n n n S +-=++++. 以上两式相减得211111121222222n n n n S +-=++++-111112122212212n n n +-⋅-=+--. 故23332n nn S +=-<. 19. 【解答】（1）由已知得622,c c a ==，解得23a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=.（II ）设直线l 的方程为y x m =+，由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22463120x mx m ++-=…①.设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y 12()x x <，AB 中点为00(,)E x y ，则120003,244x x m mx y x m +==-=+=.因为AB 是等腰PAB ∆的底边，所以PE AB ⊥.所以PE 的斜率241334m k m -==--+，解得2m =. 此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-=，所以121,2y y =-=.所以||32AB =.此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离3222d ==， 所以PAB ∆的面积19||22S AB d =⋅=. 20.【解析】（Ⅰ）连接EM ，因为AB CD PQ CD ∥，∥， 所以AB PQ ∥，又因为AB PQ =，所以PABQ 为平行四边形. 由点E 和M 分别为AP 和BQ 的中点， 可得EM AB ∥且EM AB =，因为2AB CD CD AB F =∥，，为CD 的中点，所以CF AB ∥且CF AB =，可得EM CF ∥且EM CF =， 即四边形EFCM 为平行四边形，所以EF ∥MC ， 又EF MPC ⊄平面，CM MPC ⊂平面， 所以EF MPC ∥平面.（Ⅱ）因为PD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，可以建立以D 为原点，分别以DA DC DP ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得()()()()000200210020D A B C ，，，，，，，，，，，， ()()()002012111P Q M ，，，，，，，，.()()()()111010111022PM PQ CM PC =-==-=-，，，，，，，，，，，设()1n x y z =，，为平面PMQ的法向量，则110n PM n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y +-=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得)1,0,1(1=n设()2n x y z =，，为平面MPC 的法向量，则2200n PC n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200y z x y z -=⎧⎨-+=⎩，不妨设1z =，可得()2=011n ，，.1212121cos 2n n n n n n ⋅==⋅，，于是123sin 2n n =，. 所以，二面角Q PM C --的正弦值为32（Ⅲ）设()01QN QC λλ=≤≤，即()02QN QC λλλ==-，，，则()0122N λλ+-，，. 从而()0122DN ，，λλ=+-. 由（Ⅱ）知平面PMQ 的法向量为()1101n =，，， 由题意，111sin cos 6DN nDN n DN n ，π⋅==⋅，即12=整理得231030λλ-+=，解得13λ=或3λ=， 因为01λ≤≤所以13λ=，所以11533QN QC QN QC ===，.21.【解析】（1）因为()()3246x f x x e x x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥，由()()221ln 1ln x x F x x x-+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减， 所以()()11max F x F ==， 所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++- 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-. 22.解析：（1）因为曲线1C 的参数方程为{ 2x cos y sin αα==（α为参数），因为2{.x x y y ''==，，则曲线2C 的参数方程2{ 2.x cos y sin αα''==，．所以2C 的普通方程为224x y ''+=．所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆． 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=． （2）直线l 的普通方程为100x y --=．曲线2C 上的点M 到直线l 的距离|22cos(+)10|422d πα-==当cos +=14πα⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k Z παπ-∈时， d 2=5222． 当cos +=14πα⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k Z παπ+∈时， d |22+10|522+．23.【解析】()221413014284xx f x x x x x x -≤⎧⎪=-+--=<<⎨⎪-≥⎩()2f x ≤，即1432x x -+--≤所以1222x x ≤⎧⎨-≤⎩ 或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩解得01x ≤≤或14x <<或45x ≤≤解集为{}05x x ≤≤（2）等价于114kx x x +=-+-有解即函数1y kx =+和函数14y x x =-+-的图像有交点52114314254xx y x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩画出14y x x =-+-的图像，直线1y kx =+恒过点()0,1P ,即直线1y kx =+绕点P 旋转时，与函数图象14y x x =-+-有交点时斜率的范围. 如图，当直线1y kx =+过点B 时刚好满足条件，当旋转到斜率为2-，刚好不满足条件,12BP k =所以k 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭。